1فزکس ڈیپارٹمنٹ، یونیورسٹی آف میساچوسٹس بوسٹن، 02125، USA
2Dipartimento di Fisica `Ettore Pancini', Università degli Studi di Napoli Federico II, Via Cintia 80126, Napoli, Italy
3INFN، Sezione di Napoli، Italy
اس کاغذ کو دلچسپ لگتا ہے یا اس پر بات کرنا چاہتے ہیں؟ SciRate پر تبصرہ کریں یا چھوڑیں۔.
خلاصہ
الجھن کوانٹم میکانکس کی وضاحتی خصوصیت ہے۔ دو طرفہ الجھن وون نیومن اینٹروپی کی خصوصیت ہے۔ تاہم، الجھن کو صرف ایک عدد سے بیان نہیں کیا جاتا ہے۔ یہ اس کی پیچیدگی کی سطح کی طرف سے بھی خصوصیات ہے. الجھن کی پیچیدگی کوانٹم افراتفری کے آغاز، الجھنے والے سپیکٹرم کے اعدادوشمار کی عالمگیر تقسیم، ایک الگ الگ الگورتھم کی سختی اور نامعلوم بے ترتیب سرکٹ کی کوانٹم مشین لرننگ، اور عالمگیر وقتی الجھن کے اتار چڑھاو کی جڑ ہے۔ اس مقالے میں، ہم عددی طور پر یہ دکھاتے ہیں کہ کس طرح ایک کراس اوور کو الجھنے کے ایک سادہ پیٹرن سے لے کر عالمگیر، پیچیدہ پیٹرن تک $T$ گیٹس کے ساتھ بے ترتیب کلفورڈ سرکٹ کو ڈوپ کر کے چلایا جا سکتا ہے۔ یہ کام ظاہر کرتا ہے کہ کوانٹم پیچیدگی اور پیچیدہ الجھنیں الجھنوں اور غیر مستحکم وسائل کے جوڑ سے پیدا ہوتی ہیں، جسے جادو بھی کہا جاتا ہے۔
نمایاں تصویر: $16N^10$ رینڈم کلفورڈ گیٹس کے بعد 2-کوبٹ ریاست کے رنگین نقشے کی نمائندگی، پھر $n_T$ بے ترتیب $T$ گیٹس $($اوپر کی قطار: $n_T{=}5$۔ نیچے کی قطار: $n_T {=}20)$، پھر ایک اور $10N^2$ بے ترتیب کلفورڈ گیٹس لاگو ہوتے ہیں، ابتدائی حالت $left|psi_0right>{=}left|0right>^{otimes N}$ سے شروع ہوتے ہیں۔ تصویر کو ریاست کو دو مساوی ذیلی نظاموں میں تقسیم کرکے اور ہر ایک محور کے ساتھ ایک کو پھیلا کر ترتیب دیا گیا ہے۔ کسی پوزیشن پر ایک پکسل $(x, y)$ کو کمپیوٹیشنل بنیاد حالت $left|sigma_{xy}right>{=}left|sigma_xright>{otimes}left|sigma_yright>$$ کے لیے طول و عرض کے طول و عرض سے میپ کیا جاتا ہے۔ ($مثال کے طور پر، $(0, 0)$ پر پکسل ریاست $left|sigma_{00}right>{=}left|0right>^{otimes N/2}{otimes}left|0right>^ سے مطابقت رکھتا ہے۔ {otimes N/2})$۔ $T$ گیٹ کی کارروائی، فیز گیٹ ہونے کی وجہ سے، رنگین نقشے کی نمائندگی کو بالکل بھی تبدیل نہیں کرتی ہے۔ تاہم، دوسرے کلفورڈ سرکٹ کے ذریعے پھیلنے کے بعد، رنگین نقشہ کی نمائندگی سرکٹ کے لیے زیادہ گھل مل جاتی ہے جس میں داخل کیے گئے $T$ گیٹس کی ایک بڑی تعداد شامل ہوتی ہے، جو کہ کلفورڈ سے چلنے والے نان کلفورڈ وسائل اور آپریٹر کے درمیان آپریٹر کو ظاہر کرتی ہے۔ کوانٹم افراتفری کے آغاز میں الجھنا۔
► BibTeX ڈیٹا
► حوالہ جات
ہے [1] JP Eckmann اور D. Ruelle, Ergodic theory of chaos اور عجیب متوجہ کرنے والے، Rev. Mod. طبیعیات 57, 617 (1985), 10.1103/RevModPhys.57.617۔
https:///doi.org/10.1103/RevModPhys.57.617
ہے [2] D. Rickles, P. Hawe and A. Shiell, A Simple Guide to chaos and complexity, Journal of Epidemiology & Community Health 61(11), 933 (2007), 10.1136/jech.2006.054254.
https://doi.org/10.1136/jech.2006.054254
ہے [3] جی بوئنگ، غیر لکیری متحرک نظاموں کا بصری تجزیہ: افراتفری، فریکٹلز، خود مماثلت اور پیشین گوئی کی حدود، سسٹمز 4(4) (2016)، 10.3390/Systems4040037۔
https://doi.org/10.3390/systems4040037
ہے [4] SH Strogatz، Nonlinear Dynamics and Chaos: Applications to Physics, Biology, Chemistry and Engineering, Westview Press, 10.1201/9780429492563 (2015) کے ساتھ۔
https://doi.org/10.1201/9780429492563
ہے [5] F. Haake، S. Gnutzmann اور M. Kuś، Quantum Signatures of Chaos، Springer International Publishing، 10.1007/978-3-319-97580-1 (2018)۔
https://doi.org/10.1007/978-3-319-97580-1
ہے [6] JS Cotler, D. Ding and GR Penington, Out-of-time-order operators and the Butterfly Effect, Anals of Physics 396, 318 (2018), 10.1016/j.aop.2018.07.020۔
https:///doi.org/10.1016/j.aop.2018.07.020
ہے [7] A. بھٹاچاریہ، W. Chemissany et al., Towards the web of quantum chaos diagnostics, The European Physical Journal C 82(1) (2022), 10.1140/eepjc/s10052-022-10035-3۔
https://doi.org/10.1140/epjc/s10052-022-10035-3
ہے [8] S. چوہدری، A. Smith et al.، کوانٹم دستخط آف افراتفری ان اے ککڈ ٹاپ، نیچر 461 (7265)، 768 (2009)، 10.1038/ فطرت08396۔
https://doi.org/10.1038/nature08396
ہے [9] ڈی اے رابرٹس اور بی یوشیدا، ڈیزائن کے لحاظ سے افراتفری اور پیچیدگی، جرنل آف ہائی انرجی فزکس 2017(4) (2017)، 10.1007/jhep04(2017)121۔
https://doi.org/10.1007/jhep04(2017)121
ہے [10] ڈی اے رابرٹس اور بی سوئنگل، لیب-رابنسن باؤنڈ اینڈ دی بٹر فلائی ایفیکٹ ان کوانٹم فیلڈ تھیوریز، فز۔ Rev. Lett. 117, 091602 (2016), 10.1103/ PhysRevLett.117.091602۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevLett.117.091602
ہے [11] YY Atas، E. Bogomolny et al.، بے ترتیب میٹرکس کے جوڑ میں مسلسل سطح کے وقفوں کے تناسب کی تقسیم، Phys. Rev. Lett. 110, 084101 (2013), 10.1103/ PhysRevLett.110.084101۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevLett.110.084101
ہے [12] جے کوٹلر، این ہنٹر جونز وغیرہ، افراتفری، پیچیدگی، اور بے ترتیب میٹرکس، جرنل آف ہائی انرجی فزکس (آن لائن) 2017(11) (2017)، 10.1007/jhep11(2017)048۔
https://doi.org/10.1007/jhep11(2017)048
ہے [13] JS Cotler، G. Gur-Ari et al.، بلیک ہولز اور رینڈم میٹرکس، جرنل آف ہائی انرجی فزکس 2017(5)، 118 (2017)، 10.1007/JHEP05(2017)118۔
https://doi.org/10.1007/JHEP05(2017)118
ہے [14] H. Gharibyan، M. Hanada et al.، scrambling systems میں بے ترتیب میٹرکس رویے کا آغاز، جرنل آف ہائی انرجی فزکس 2018(7)، 124 (2018)، 10.1007/JHEP07(2018)124۔
https://doi.org/10.1007/JHEP07(2018)124
ہے [15] ایس ایف ای اولیویرو، ایل لیون وغیرہ، رینڈم میٹرکس تھیوری آف دی آئسو اسپیکٹرل ٹورلنگ، سائنس پوسٹ فز۔ 10, 76 (2021), 10.21468/SciPostPhys.10.3.076۔
https:///doi.org/10.21468/SciPostPhys.10.3.076
ہے [16] ایل لیون، ایس ایف ای اولیویرو اور اے ہما، آئسو اسپیکٹرل ٹورلنگ اور کوانٹم افراتفری، اینٹروپی 23(8) (2021)، 10.3390/e23081073۔
https://doi.org/10.3390/e23081073
ہے [17] ڈبلیو جے راؤ، وگنر کے قیاس پر مبنی رینڈم میٹرکس تھیوری میں ہائر آرڈر لیول اسپیسنگ، فز۔ Rev. B 102, 054202 (2020), 10.1103/PhysRevB.102.054202۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevB.102.054202
ہے [18] ایکس وانگ، ایس گھوس وغیرہ، کوانٹم افراتفری کے دستخط کے طور پر الجھنا، فز۔ Rev. E 70, 016217 (2004), 10.1103/ PhysRevE.70.016217.
https:///doi.org/10.1103/PhysRevE.70.016217
ہے [19] X. چن اور AWW Ludwig، افراتفری لہر کے فنکشن میں عالمگیر اسپیکٹرل ارتباط اور کوانٹم افراتفری کی ترقی، فز۔ Rev. B 98, 064309 (2018), 10.1103/ PhysRevB.98.064309۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevB.98.064309
ہے [20] P. Hosur, X.-L. کیوئ وغیرہ، کوانٹم چینلز میں افراتفری، جرنل آف ہائی انرجی فزکس 2016، 4 (2016)، 10.1007/JHEP02(2016)004۔
https://doi.org/10.1007/JHEP02(2016)004
ہے [21] Z.-W. Liu, S. Lloyd et al., Entanglement, quantum randomness, and complexity beyond scrambling, Journal of High Energy Physics 2018(7) (2018), 10.1007/jhep07(2018)041۔
https://doi.org/10.1007/jhep07(2018)041
ہے [22] M. کماری اور S. گھوس، Untangling entanglement and chaos، Phys. Rev. A 99, 042311 (2019), 10.1103/ PhysRevA.99.042311۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevA.99.042311
ہے [23] اے ہما، ایس سنٹرا اور پی زنارڈی، بے ترتیب جسمانی حالتوں میں کوانٹم اینگلمنٹ، فز۔ Rev. Lett. 109, 040502 (2012), 10.1103/PhysRevLett.109.040502.
https:///doi.org/10.1103/PhysRevLett.109.040502
ہے [24] اے ہما، ایس سنٹرا اور پی زنارڈی، فزیکل سٹیٹس کے انسمبلز اور گرافس پر بے ترتیب کوانٹم سرکٹس، فز۔ Rev. A 86, 052324 (2012), 10.1103/PhysRevA.86.052324۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevA.86.052324
ہے [25] R. Jozsa، Entanglement and quantum computation, 10.48550/ARXIV.QUANT-PH/9707034 (1997)۔
https:///doi.org/10.48550/ARXIV.QUANT-PH/9707034
ہے [26] J. Preskill، Quantum computing and the enanglement frontier, 10.48550/ARXIV.1203.5813 (2012)۔
https://doi.org/10.48550/ARXIV.1203.5813
ہے [27] Y. Sekino اور L. Suscind, Fast scramblers, Journal of High Energy Physics 2008(10), 065 (2008), 10.1088/1126-6708/2008/10/065۔
https://doi.org/10.1088/1126-6708/2008/10/065
ہے [28] P. Hayden اور J. Preskill، بلیک ہولز بطور آئینہ: کوانٹم انفارمیشن ان رینڈم سب سسٹمز، جرنل آف ہائی انرجی فزکس 2007(09)، 120 (2007)، 10.1088/1126-6708/2007/09/120.
https://doi.org/10.1088/1126-6708/2007/09/120
ہے [29] KA Landsman، C. Figgatt et al.، تصدیق شدہ کوانٹم انفارمیشن اسکرمبلنگ، نیچر 567(7746)، 61–65 (2019)، 10.1038/s41586-019-0952-6۔
https://doi.org/10.1038/s41586-019-0952-6
ہے [30] B. Yoshida اور A. Kitaev، hayden-preskill پروٹوکول کے لیے موثر ضابطہ کشائی، 10.48550/ARXIV.1710.03363 (2017)۔
https://doi.org/10.48550/ARXIV.1710.03363
ہے [31] D. Ding, P. Hayden اور M. Walter، دو طرفہ اتحاد اور اسکرمبلنگ کی مشروط باہمی معلومات، جرنل آف ہائی انرجی فزکس 2016(12)، 145 (2016)، 10.1007/JHEP12(2016)145۔
https://doi.org/10.1007/JHEP12(2016)145
ہے [32] B. Swingle، G. Bentsen et al.، کوانٹم انفارمیشن کی سکیمبلنگ کی پیمائش، فزیکل ریویو A 94, 040302 (2016), 10.1103/ PhysRevA.94.040302۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevA.94.040302
ہے [33] ڈی گوٹسمین، کوانٹم کمپیوٹرز کی ہائزنبرگ کی نمائندگی (1998)، 10.48550/ARXIV.QUANT-PH/9807006۔
https:///doi.org/10.48550/ARXIV.QUANT-PH/9807006
ہے [34] ایم اے نیلسن اور آئی ایل چوانگ، کوانٹم انفارمیشن تھیوری، صفحہ۔ 528–607، کیمبرج یونیورسٹی پریس، 10.1017/CBO9780511976667.016 (2010)۔
https://doi.org/10.1017/CBO9780511976667.016
ہے [35] AW Harrow اور A. Montanaro، Quantum Computational supremacy، Nature 549(7671), 203–209 (2017), 10.1038/nature23458۔
https://doi.org/10.1038/nature23458
ہے [36] آر پی فین مین، کمپیوٹرز کے ساتھ طبیعیات کا تقلید، بین الاقوامی جرنل آف تھیوریٹیکل فزکس 21(6)، 467 (1982)، 10.1007/BF02650179۔
https://doi.org/10.1007/BF02650179
ہے [37] L. Leone, SFE Olivero et al., Quantum Chaos is Quantum, Quantum 5, 453 (2021), 10.22331/q-2021-05-04-453۔
https://doi.org/10.22331/q-2021-05-04-453
ہے [38] ایس ایف اولیویرو، ایل لیون اور اے ہما، پیمائش کے لحاظ سے بے ترتیب کوانٹم سرکٹس میں الجھن کی پیچیدگی میں تبدیلی، طبیعیات کے خطوط A 418، 127721 (2021)، 10.1016/j.physleta.2021.127721۔
https://doi.org/10.1016/j.physleta.2021.127721
ہے [39] S. Bravyi اور D. Gosset، کلفورڈ گیٹس کے زیر اثر کوانٹم سرکٹس کی بہتر کلاسیکی تخروپن، فزیکل ریویو لیٹرز 116، 250501 (2016)، 10.1103/ PhysRevLett.116.250501۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevLett.116.250501
ہے [40] J. Haferkamp، F. Montealegre-Mora et al.، کوانٹم ہومیوپیتھی ورکس: غیر کلفورڈ گیٹس کی ایک آزاد تعداد کے نظام کے سائز کے ساتھ موثر یونٹری ڈیزائن، 10.48550/ARXIV.2002.09524 (2020)۔
https://doi.org/10.48550/ARXIV.2002.09524
ہے [41] P. Boykin، T. Mor et al.، ایک نیا عالمگیر اور فالٹ ٹولرنٹ کوانٹم بنیاد، انفارمیشن پروسیسنگ لیٹرز 75(3)، 101 (2000)، 10.1016/S0020-0190(00)00084-3۔
https://doi.org/10.1016/S0020-0190(00)00084-3
ہے [42] ڈی گوٹسمین، کوانٹم ایرر کریکشن اور فالٹ ٹولرنٹ کوانٹم کمپیوٹیشن کا تعارف، 10.48550/ARXIV.0904.2557 (2009)۔
https://doi.org/10.48550/ARXIV.0904.2557
ہے [43] NJ Ross اور P. Selinger, Optimal ancilla-free clifford+t approximation of z-rotations, Quantum Info. کمپیوٹنگ 16(11–12)، 901–953 (2016)، 10.26421/QIC16.11-12-1۔
https://doi.org/10.26421/QIC16.11-12-1
ہے [44] ڈی لیٹنسکی، سطحی کوڈز کا کھیل: جالی سرجری کے ساتھ بڑے پیمانے پر کوانٹم کمپیوٹنگ، کوانٹم 3، 128 (2019)، 10.22331/q-2019-03-05-128۔
https://doi.org/10.22331/q-2019-03-05-128
ہے [45] T. Bækkegaard، LB Kristensen et al.، ایک سپر کنڈکٹنگ کوئبٹ کوٹریٹ سرکٹ کے ساتھ موثر کوانٹم گیٹس کا احساس، سائنسی رپورٹس 9(1) (2019)، 10.1038/s41598-019-49657-1۔
https://doi.org/10.1038/s41598-019-49657-1
ہے [46] Q. Wang, M. Li et al.، کوانٹم کیمسٹری کے لیے ایک کوانٹم کمپیوٹر پر ریسورس آپٹمائزڈ فرمیونک لوکل ہیملٹونین سمولیشن، کوانٹم 5، 509 (2021)، 10.22331/q-2021-07-26-509۔
https://doi.org/10.22331/q-2021-07-26-509
ہے [47] V. Gheorghiu, M. Mosca اور P. Mukhopadhyay, T-count and t-depth of any multi-qubit unitary, 10.48550/ARXIV.2110.10292 (2021)۔
https://doi.org/10.48550/ARXIV.2110.10292
ہے [48] C. Chamon, A. Hamma اور ER Mucciolo, Emergent irreversibility and enanglement spectrum statistics, Physical Review Letters 112, 240501 (2014), 10.1103/ PhysRevLett.112.240501۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevLett.112.240501
ہے [49] D. Shaffer، C. Chamon et al.، کوانٹم سرکٹس میں ناقابل واپسی اور الجھنے کے اسپیکٹرم کے اعدادوشمار، شماریاتی میکانکس کا جرنل: تھیوری اور تجربہ 2014(12)، P12007 (2014)، 10.1088/1742/5468/2014/12 /p12007۔
https://doi.org/10.1088/1742-5468/2014/12/p12007
ہے [50] S. Zhou, Z. Yang et al.، کلفورڈ سرکٹ میں سنگل ٹی گیٹ یونیورسل اینٹگلمنٹ اسپیکٹرم کے اعدادوشمار، SciPost Phys میں منتقلی کو چلاتا ہے۔ 9, 87 (2020), 10.21468/SciPostPhys.9.6.087۔
https:///doi.org/10.21468/SciPostPhys.9.6.087
ہے [51] زیڈ یانگ، اے ہما وغیرہ، کوانٹم کئی باڈی ڈائنامکس، تھرملائزیشن اور لوکلائزیشن میں الجھن کی پیچیدگی، فزیکل ریویو B 96، 020408 (2017)، 10.1103/ PhysRevB.96.020408۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevB.96.020408
ہے [52] A. Nahum، J. رحمن وغیرہ، بے ترتیب وحدانی حرکیات کے تحت کوانٹم الجھن میں اضافہ، فزیکل ریویو X 7(3) (2017)، 10.1103/physrevx.7.031016۔
https:///doi.org/10.1103/physrevx.7.031016
ہے [53] A. Nahum، S. Vijay اور J. Haah، آپریٹر بے ترتیب یونٹری سرکٹس میں پھیل رہا ہے، فزیکل ریویو X 8, 021014 (2018), 10.1103/ PhysRevX.8.021014۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevX.8.021014
ہے [54] X. Mi، P. Roushan et al.، کوانٹم سرکٹس میں معلومات کی جھڑپ، سائنس 374(6574)، 1479–1483 (2021)، 10.1126/science.abg5029۔
https://doi.org/10.1126/science.abg5029
ہے [55] ڈی اے رابرٹس، ڈی سٹینفورڈ اور ایل سسکنڈ، لوکلائزڈ شاکس، جرنل آف ہائی انرجی فزکس 2015(3)، 51 (2015)، 10.1007/JHEP03(2015)051۔
https://doi.org/10.1007/JHEP03(2015)051
ہے [56] S. Moudgalya، T. Devakul et al.، کوانٹم نقشوں میں پھیلانے والا آپریٹر، فزیکل ریویو B 99(9) (2019)، 10.1103/physrevb.99.094312۔
https:///doi.org/10.1103/physrevb.99.094312
ہے [57] L. Amico، F. Baroni et al.، کم جہتی کوانٹم سسٹمز میں الجھنے کی حد کا فرق، طبیعیات۔ Rev. A 74, 022322 (2006), 10.1103/ PhysRevA.74.022322.
https:///doi.org/10.1103/PhysRevA.74.022322
ہے [58] N. Linden، S. Popescu et al.، تھرمل توازن کی طرف کوانٹم مکینیکل ارتقاء، فزیکل ریویو E 79, 061103 (2009), 10.1103/ PhysRevE.79.061103۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevE.79.061103
ہے [59] JR McClean، S. Boixo et al.، کوانٹم نیورل نیٹ ورک ٹریننگ لینڈ سکیپس میں بنجر سطح مرتفع، نیچر کمیونیکیشنز 9(1)، 4812 (2018)، 10.1038/s41467-018-07090-4۔
https://doi.org/10.1038/s41467-018-07090-4
ہے [60] Z. Holmes، A. Arrasmith et al.، بنجر سطح مرتفع سیکھنے کو روکنے والے scramblers، Phys. Rev. Lett. 126, 190501 (2021), 10.1103/ PhysRevLett.126.190501۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevLett.126.190501
ہے [61] M. Cerezo، A. Sone et al.، اتلی پیرامیٹرائزڈ کوانٹم سرکٹس میں لاگت کے فنکشن پر منحصر بنجر سطح مرتفع، نیچر کمیونیکیشنز 12(1)، 1791 (2021)، 10.1038/s41467-021-21728-w.
https://doi.org/10.1038/s41467-021-21728-w
ہے [62] RJ Garcia, C. Zhao et al., مقامی لاگت کے فنکشنز کے ساتھ سکریبلرز سیکھنے سے بیرین پلیٹاؤس، 10.48550/ARXIV.2205.06679 (2022)۔
https://doi.org/10.48550/ARXIV.2205.06679
ہے [63] L. Leone, SFE Olivero and A. Hamma, Stabilizer Rényi Entropy, Phys. Rev. Lett. 128(5)، 050402 (2022)، 10.1103/PhysRevLett.128.050402۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevLett.128.050402
ہے [64] ای ٹی کیمبل، کیٹالیسس اینڈ ایکٹیویشن آف میجک سٹیٹس ان فالٹ ٹولرنٹ آرکیٹیکچرز، فزیکل ریویو اے 83(3) (2011)، 10.1103/physreva.83.032317۔
https:///doi.org/10.1103/physreva.83.032317
ہے [65] K. Goto, T. Nosaka اور M. Nozaki, Chaos by magic, 10.48550/ARXIV.2112.14593 (2021)۔
https://doi.org/10.48550/ARXIV.2112.14593
ہے [66] AW Harrow، L. Kong et al.، علیحدگی آف ٹائم آرڈر شدہ ارتباط اور الجھن، PRX Quantum 2, 020339 (2021), 10.1103/PRXQuantum.2.020339.
https:///doi.org/10.1103/PRXQuantum.2.020339
ہے [67] L. Leone, SFE Oliviero et al.
https://doi.org/10.48550/ARXIV.2206.06385
کی طرف سے حوالہ دیا گیا
Lorenzo Leone, Salvatore FE Oliviero, and Alioscia Hamma، "جادو کوانٹم سرٹیفیکیشن میں رکاوٹ ہے"، آر ایکس سی: 2204.02995.
[2] ٹوبیاس ہاگ اور ایم ایس کم، "کوانٹم کمپیوٹرز کے لیے جادو کے قابل توسیع اقدامات"، آر ایکس سی: 2204.10061.
Lorenzo Leone, Salvatore FE Oliviero, Stefano Piemontese, Sarah True, and Alioscia Hamma, "To Learn a Mocking-Black Hole"، آر ایکس سی: 2206.06385.
مذکورہ بالا اقتباسات سے ہیں۔ SAO/NASA ADS (آخری بار کامیابی کے ساتھ 2022-09-22 16:45:47)۔ فہرست نامکمل ہو سکتی ہے کیونکہ تمام ناشرین مناسب اور مکمل حوالہ ڈیٹا فراہم نہیں کرتے ہیں۔
نہیں لا سکا کراس ریف کا حوالہ دیا گیا ڈیٹا آخری کوشش کے دوران 2022-09-22 16:45:45: Crossref سے 10.22331/q-2022-09-22-818 کے لیے حوالہ کردہ ڈیٹا حاصل نہیں کیا جا سکا۔ یہ عام بات ہے اگر DOI حال ہی میں رجسٹر کیا گیا ہو۔
یہ مقالہ کوانٹم میں کے تحت شائع کیا گیا ہے۔ Creative Commons انتساب 4.0 انٹرنیشنل (CC BY 4.0) لائسنس کاپی رائٹ اصل کاپی رائٹ ہولڈرز جیسے مصنفین یا ان کے اداروں کے پاس رہتا ہے۔
