Bằng chứng mới xỏ kim về bài toán hình học dính | Tạp chí lượng tử

Năm 1917, nhà toán học Nhật Bản Sōichi Kakeya đã đưa ra một thứ thoạt đầu có vẻ chẳng khác gì một bài tập thú vị về hình học. Đặt một cây kim mỏng, dài vô tận trên một bề mặt phẳng, sau đó xoay nó để nó lần lượt chỉ theo mọi hướng. Diện tích nhỏ nhất mà kim có thể quét ra là bao nhiêu?

Nếu bạn chỉ đơn giản xoay nó quanh tâm của nó, bạn sẽ có một vòng tròn. Nhưng có thể di chuyển kim theo những cách sáng tạo để bạn tạo ra một lượng không gian nhỏ hơn nhiều. Kể từ đó, các nhà toán học đã đặt ra một phiên bản liên quan của câu hỏi này, được gọi là phỏng đoán Kakeya. Trong nỗ lực giải quyết nó, họ đã phát hiện ra những mối liên hệ đáng ngạc nhiên với giải tích điều hòa, lý thuyết số và thậm chí cả vật lý.

“Bằng cách nào đó, dạng hình học của các đường chỉ theo nhiều hướng khác nhau này phổ biến trong phần lớn toán học,” ông nói jonathan hickman của Đại học Edinburgh.

Nhưng đó cũng là điều mà các nhà toán học vẫn chưa hiểu hết. Trong vài năm qua, họ đã chứng minh các biến thể của phỏng đoán Kakeya trong cài đặt dễ dàng hơn, nhưng câu hỏi vẫn chưa được giải quyết trong không gian ba chiều bình thường. Trong một thời gian, dường như mọi tiến bộ đều dừng lại ở phiên bản phỏng đoán đó, mặc dù nó có nhiều hệ quả toán học.

Bây giờ, có thể nói như vậy, hai nhà toán học đã xoay chuyển được kim chỉ nam. Bằng chứng mới của họ tấn công một trở ngại lớn điều đó đã tồn tại trong nhiều thập kỷ - nhen nhóm hy vọng rằng cuối cùng có thể có một giải pháp.

Thỏa thuận nhỏ là gì?

Kakeya quan tâm đến các tập hợp trong mặt phẳng chứa một đoạn thẳng có độ dài 1 theo mọi hướng. Có rất nhiều ví dụ về các tập hợp như vậy, ví dụ đơn giản nhất là một chiếc đĩa có đường kính bằng 1. Kakeya muốn biết tập hợp nhỏ nhất như vậy sẽ trông như thế nào.

Ông đề xuất một hình tam giác có các cạnh hơi lõm vào trong, được gọi là hình tam giác, có diện tích bằng một nửa cái đĩa. Tuy nhiên, hóa ra là có thể làm được nhiều, tốt hơn rất nhiều.

Năm 1919, chỉ vài năm sau khi Kakeya đặt ra bài toán của mình, nhà toán học người Nga Abram Besicovitch đã chỉ ra rằng nếu bạn sắp xếp những chiếc kim của mình theo một cách rất đặc biệt, bạn có thể tạo ra một tập hợp trông có vẻ gai góc có diện tích nhỏ tùy ý. (Do Chiến tranh thế giới thứ nhất và Cách mạng Nga, kết quả của ông không đến được với phần còn lại của thế giới toán học trong một số năm.)

Để xem điều này có thể hoạt động như thế nào, hãy lấy một hình tam giác và chia dọc theo đáy của nó thành các mảnh hình tam giác mỏng hơn. Sau đó, trượt các mảnh đó xung quanh sao cho chúng chồng lên nhau nhiều nhất có thể nhưng nhô ra theo các hướng hơi khác nhau. Bằng cách lặp đi lặp lại quá trình này nhiều lần — chia nhỏ hình tam giác của bạn thành các mảnh ngày càng mỏng hơn và sắp xếp lại chúng một cách cẩn thận trong không gian — bạn có thể làm cho tập hợp của mình nhỏ như ý muốn. Trong giới hạn vô hạn, bạn có thể thu được một tập hợp mà về mặt toán học không có diện tích nhưng nghịch lý thay, vẫn có thể chứa một cây kim chỉ theo bất kỳ hướng nào.

“Đó là loại đáng ngạc nhiên và phản trực giác,” nói Ruixiang Zhang của Đại học California, Berkeley. “Đó là một bộ rất bệnh hoạn.”

Kết quả này có thể được tổng quát hóa cho các chiều cao hơn: Có thể xây dựng một tập hợp có thể tích nhỏ tùy ý chứa một đoạn thẳng đơn vị chỉ theo mọi hướng trong n-không gian chiều.

Besicovitch dường như đã giải quyết triệt để câu hỏi của Kakeya. Nhưng nhiều thập kỷ sau, các nhà toán học bắt đầu nghiên cứu một phiên bản khác của bài toán trong đó họ thay thế diện tích (hoặc thể tích, trong trường hợp nhiều chiều hơn) bằng một khái niệm khác về kích thước.

Để hiểu cách sắp xếp lại câu hỏi này, trước tiên hãy lấy từng đoạn dòng trong bộ Kakeya và làm cho nó to lên một chút - như thể bạn đang sử dụng một cây kim thực tế, thay vì một cây kim lý tưởng. Trong mặt phẳng, tập hợp của bạn sẽ bao gồm các hình chữ nhật cực mỏng; trong không gian ba chiều, bạn sẽ có một tập hợp các ống cực mỏng.

Những bộ được vỗ béo này luôn có một số diện tích (hoặc thể tích, nhưng bây giờ chúng ta sẽ dính vào trường hợp hai chiều). Khi bạn thay đổi chiều rộng của kim, khu vực này sẽ thay đổi. Vào những năm 1970, nhà toán học Roy Davies (vừa qua đời vào tháng trước) đã chỉ ra rằng nếu tổng diện tích thay đổi một lượng nhỏ, thì chiều rộng của mỗi chiếc kim phải thay đổi đáng kể. Chẳng hạn, nếu bạn muốn một phiên bản nâng cấp của bộ Besicovitch có diện tích 1/10 inch vuông, thì mỗi kim cần có độ dày khoảng 0.000045 inch: e^-10 chính xác là một inch. Nhưng nếu bạn muốn làm cho tổng diện tích là 1/100 inch vuông — nhỏ hơn 10 lần — thì kim sẽ phải e^-100 dày một inch. (Bốn mươi ba số không theo sau dấu thập phân trước khi bạn chuyển sang các chữ số khác.)

“Nếu bạn nói với tôi rằng bạn muốn khu vực này nhỏ đến mức nào, thì tôi phải yêu cầu một cây kim mỏng đến mức khó tin,” nói Charles Fefferman của Đại học Princeton.

Các nhà toán học đo “kích thước” của tập hợp Kakeya bằng cách sử dụng một đại lượng gọi là chiều Minkowski, có liên quan nhưng không hoàn toàn giống với một chiều thông thường (được định nghĩa là số hướng độc lập mà bạn cần để mô tả một không gian).

Đây là một cách để suy nghĩ về kích thước Minkowski: Lấy bộ của bạn và phủ nó bằng những quả bóng nhỏ mà mỗi quả bóng có đường kính bằng một phần triệu đơn vị ưa thích của bạn. Nếu tập hợp của bạn là một đoạn thẳng có độ dài 1, bạn sẽ cần ít nhất 1 triệu quả bóng để bao phủ nó. Nếu tập hợp của bạn là hình vuông có diện tích 1, thì bạn sẽ cần nhiều, rất nhiều nữa: một triệu bình phương hoặc một nghìn tỷ. Đối với một quả cầu có thể tích 1, nó có kích thước khoảng 1 triệu khối (một triệu tỷ), v.v. Thứ nguyên Minkowski là giá trị của số mũ này. Nó đo tốc độ mà số lượng bóng bạn cần để phủ lên bộ của mình tăng lên khi đường kính của mỗi quả bóng nhỏ hơn. Đoạn thẳng có kích thước 1, hình vuông có kích thước 2, hình lập phương có kích thước 3.

Những kích thước này là quen thuộc. Nhưng sử dụng định nghĩa của Minkowski, có thể xây dựng một tập hợp có số chiều là 2.7. Mặc dù một tập hợp như vậy không lấp đầy không gian ba chiều, nhưng theo một nghĩa nào đó, nó “lớn hơn” so với bề mặt hai chiều.

Khi bạn bao phủ một bộ bằng các quả bóng có đường kính nhất định, bạn đang tính gần đúng thể tích của phiên bản vỗ béo của bộ. Âm lượng của bộ càng giảm dần theo kích thước kim của bạn, bạn càng cần nhiều bóng để che nó. Do đó, bạn có thể viết lại kết quả của Davies — phát biểu rằng diện tích của tập hợp Kakeya trong mặt phẳng giảm dần — để chỉ ra rằng tập hợp đó phải có chiều Minkowski là 2. Giả thuyết Kakeya tổng quát hóa tuyên bố này cho các chiều cao hơn: Tập hợp Kakeya phải luôn có cùng kích thước với không gian mà nó sinh sống.

Tuyên bố đơn giản đó rất khó để chứng minh.

Tháp phỏng đoán

Cho đến khi Fefferman thực hiện một khám phá đáng kinh ngạc vào năm 1971, phỏng đoán được coi là một sự tò mò.

Anh ấy đang giải quyết một vấn đề hoàn toàn khác vào thời điểm đó. Anh ấy muốn hiểu về phép biến đổi Fourier, một công cụ mạnh mẽ cho phép các nhà toán học nghiên cứu các hàm bằng cách viết chúng dưới dạng tổng của các sóng hình sin. Hãy nghĩ về một nốt nhạc, được tạo thành từ nhiều tần số chồng chéo. (Đó là lý do tại sao nốt C giữa trên đàn piano nghe khác với nốt C giữa trên đàn vĩ cầm.) Biến đổi Fourier cho phép các nhà toán học tính toán các tần số cấu thành của một nốt cụ thể. Nguyên tắc tương tự hoạt động đối với những âm thanh phức tạp như lời nói của con người.

Các nhà toán học cũng muốn biết liệu họ có thể xây dựng lại hàm ban đầu hay không nếu họ chỉ được cung cấp một số tần số thành phần vô hạn của nó. Họ hiểu rõ về cách thực hiện điều này trong một chiều. Nhưng ở các chiều cao hơn, họ có thể đưa ra các lựa chọn khác nhau về việc sử dụng tần số nào và bỏ qua tần số nào. Trước sự ngạc nhiên của các đồng nghiệp, Fefferman đã chứng minh rằng bạn có thể thất bại trong việc xây dựng lại chức năng của mình khi dựa vào một cách chọn tần số đặc biệt nổi tiếng.

Chứng minh của ông xoay quanh việc xây dựng một hàm bằng cách thay đổi tập Kakeya của Besicovitch. Điều này sau đó đã truyền cảm hứng cho các nhà toán học phát triển một hệ thống phân cấp các phỏng đoán về hành vi chiều cao hơn của phép biến đổi Fourier. Ngày nay, hệ thống phân cấp thậm chí còn bao gồm các phỏng đoán về hành vi của các phương trình vi phân từng phần quan trọng trong vật lý, như phương trình Schrödinger. Mỗi phỏng đoán trong hệ thống phân cấp sẽ tự động ám chỉ cái bên dưới nó.

Phỏng đoán Kakeya nằm ở chân tháp này. Nếu nó sai, thì các câu lệnh cao hơn trong hệ thống phân cấp cũng vậy. Mặt khác, việc chứng minh điều đó đúng sẽ không ngụ ý ngay lập tức sự thật của những phỏng đoán nằm trên nó, nhưng nó có thể cung cấp các công cụ và thông tin chi tiết để tấn công chúng.

“Điều tuyệt vời về phỏng đoán Kakeya là nó không chỉ là một bài toán vui; đó là một nút cổ chai lý thuyết thực sự,” Hickman nói. “Chúng tôi không hiểu nhiều hiện tượng này trong các phương trình vi phân từng phần và giải tích Fourier vì chúng tôi không hiểu các tập Kakeya này.”

Nở một kế hoạch

Chứng minh của Fefferman — cùng với các mối liên hệ được phát hiện sau đó với lý thuyết số, tổ hợp và các lĩnh vực khác — đã làm sống lại mối quan tâm đến bài toán Kakeya trong các nhà toán học hàng đầu.

Năm 1995, Thomas Wolff đã chứng minh rằng chiều Minkowski của bộ Kakeya trong không gian 3D ít nhất phải là 2.5. Giới hạn dưới đó hóa ra rất khó tăng. Sau đó, vào năm 1999, các nhà toán học Lưới Katz, Izabella Łaba và Terence tao quản lý để đánh bại nó. Giới hạn mới của họ: 2.500000001. Mặc dù cải tiến nhỏ như thế nào, nhưng nó đã vượt qua một rào cản lớn về mặt lý thuyết. Bài báo của họ là công bố trên Biên niên sử của Toán học, tạp chí uy tín nhất của lĩnh vực này.

Katz và Tao sau đó hy vọng sẽ áp dụng một số ý tưởng từ tác phẩm đó để tấn công phỏng đoán Kakeya 3D theo một cách khác. Họ đưa ra giả thuyết rằng bất kỳ phản ví dụ nào cũng phải có ba tính chất cụ thể và sự cùng tồn tại của những tính chất đó phải dẫn đến mâu thuẫn. Nếu họ có thể chứng minh điều này, điều đó có nghĩa là phỏng đoán Kakeya là đúng trong không gian ba chiều.

Họ không thể đi hết con đường, nhưng họ đã đạt được một số tiến bộ. Đặc biệt, họ (cùng với các nhà toán học khác) đã chỉ ra rằng bất kỳ phản ví dụ nào cũng phải có hai trong số ba tính chất. Nó phải là "phẳng", có nghĩa là bất cứ khi nào các đoạn thẳng cắt nhau tại một điểm, các đoạn đó cũng gần như nằm trong cùng một mặt phẳng. Nó cũng phải “có hạt”, điều này đòi hỏi các mặt phẳng của các điểm giao nhau gần đó phải được định hướng tương tự.

Đó là để lại tài sản thứ ba. Trong một tập hợp "dính", các đoạn thẳng chỉ gần như cùng một hướng cũng phải được đặt gần nhau trong không gian. Katz và Tao không thể chứng minh rằng tất cả các phản ví dụ đều phải dính. Nhưng theo trực giác, một tập hợp cố định có vẻ như là cách tốt nhất để buộc nhiều đoạn đường chồng lên nhau, do đó làm cho tập hợp này càng nhỏ càng tốt — chính xác là những gì bạn cần để tạo một phản ví dụ. Nếu ai đó có thể chỉ ra rằng một bộ Kakeya dính có kích thước Minkowski nhỏ hơn 3, thì điều đó sẽ bác bỏ phỏng đoán Kakeya 3D. “Nghe có vẻ như 'dính' sẽ là trường hợp đáng lo ngại nhất," nói Larry Guth của Viện Công nghệ Massachusetts.

Nó không còn là một lo lắng.

điểm dính

Vào năm 2014 — hơn một thập kỷ sau khi Katz và Tao cố gắng chứng minh phỏng đoán Kakeya — Tao đã đăng một phác thảo về cách tiếp cận của họ trên blog của anh ấy, tạo cơ hội cho các nhà toán học khác tự mình thử nghiệm.

Trong 2021, Hồng Vương, một nhà toán học tại Đại học New York, và Joshua Zahl của Đại học British Columbia quyết định tiếp tục nơi Tao và Katz đã dừng lại.

Họ bắt đầu bằng cách giả định sự tồn tại của một phản ví dụ dính với số chiều Minkowski nhỏ hơn 3. Từ công việc trước đây, họ đã biết rằng một phản ví dụ như vậy phải phẳng và sần sùi. Zahl nói: “Vì vậy, chúng tôi đang ở trong thế giới mà Terry Tao và Nets Katz đang nghĩ đến. Bây giờ họ cần chứng minh rằng các đặc tính phẳng, sần sùi và dính tác động lẫn nhau và dẫn đến mâu thuẫn, điều đó có nghĩa là phản ví dụ này không thể thực sự tồn tại.

Tuy nhiên, để giải quyết mâu thuẫn đó, Wang và Zahl đã hướng sự chú ý của họ sang một hướng mà Katz và Tao không lường trước được - hướng tới một lĩnh vực được gọi là lý thuyết phép chiếu.

Họ bắt đầu bằng cách phân tích chi tiết hơn cấu trúc của phản ví dụ dính của họ. Nếu bạn xem xét phiên bản lý tưởng hóa của tập hợp, thì nó có vô số đoạn thẳng chỉ theo mọi hướng. Nhưng trong vấn đề này, hãy nhớ rằng bạn đang xử lý các phiên bản được làm phẳng của các đoạn thẳng đó - một đống kim. Mỗi kim đó có thể chứa nhiều đoạn đường lý tưởng, nghĩa là bạn có thể mã hóa toàn bộ tập hợp vô hạn bằng một số kim hữu hạn. Tùy thuộc vào độ dày của kim, bộ vỗ béo của bạn có thể trông rất khác.

Nếu bộ kim dính, nó sẽ trông ít nhiều giống nhau cho dù kim có dày đến đâu.

Wang và Zahl đã sử dụng đặc tính này để chỉ ra rằng khi kim mỏng hơn, bộ kim sẽ ngày càng phẳng hơn. Thông qua quá trình này, họ có thể “trích xuất một đối tượng thậm chí còn bệnh hoạn hơn,” Zahl nói – một thứ dường như không thể có phẩm chất.

Đó là những gì họ thể hiện tiếp theo. Họ đã chứng minh rằng đối tượng bệnh lý này phải nhìn theo một trong hai cách, cả hai đều dẫn đến mâu thuẫn. Hoặc là bạn có thể chiếu nó xuống không gian 2D theo cách làm cho nó nhỏ hơn nhiều theo nhiều hướng — điều mà Wang và các đồng nghiệp của cô ấy vừa mới làm được. cho thấy là không thể. Hoặc, trong trường hợp thứ hai, các kim trong bộ sẽ được sắp xếp theo một loại chức năng rất cụ thể, điều mà Zahl và các cộng tác viên của ông gần đây đã chứng minh được. không thể tồn tại, bởi vì nó sẽ dẫn đến các loại phép chiếu vô nghĩa khác.

Giờ đây Wang và Zahl đã có mâu thuẫn của họ - nghĩa là không có phản ví dụ dính nào đối với phỏng đoán Kakeya. (Họ đã chỉ ra điều này không chỉ cho chiều Minkowski, mà còn cho một đại lượng liên quan được gọi là chiều Hausdorff.) “Kết quả loại trừ toàn bộ lớp các phản ví dụ này,” Zahl nói - loại tập hợp chính xác mà các nhà toán học đã coi là có khả năng bác bỏ nhất sự phỏng đoán.

Công việc mới “là sự hỗ trợ mạnh mẽ cho phỏng đoán Kakeya là đúng,” cho biết Pablo Shmerkin của Đại học British Columbia. Trong khi nó chỉ áp dụng cho trường hợp ba chiều, một số kỹ thuật của nó có thể hữu ích trong các chiều cao hơn. Sau nhiều năm dành nhiều tiến bộ cho phỏng đoán trong các hệ thống số khác, các nhà toán học rất hào hứng với việc quay trở lại miền số thực ban đầu của bài toán.

Zhang nói: “Điều đáng chú ý là họ đã giải quyết triệt để vụ án này. “Trong bối cảnh thực tế, điều đó cực kỳ hiếm.” Và nếu ai đó có thể chứng minh rằng một phản ví dụ phải dính, thì kết quả mới sẽ bao hàm phỏng đoán đầy đủ trong không gian ba chiều. Hệ thống phân cấp phỏng đoán được xây dựng bên trên nó sẽ vẫn an toàn, nền tảng của nó ổn định.

“Bằng cách nào đó, hai vấn đề khác nhau này trong lý thuyết phép chiếu, bề ngoài không liên quan nhiều đến nhau, lại khớp với nhau khá độc đáo để đưa ra chính xác những gì Kakeya cần,” Zahl nói.