Hình học đơn giản dự đoán khảm phân tử | Tạp chí lượng tử

Vào một buổi chiều thứ bảy mùa thu năm 2021, Silvio Decurtins đã lướt qua một tờ giấy với tiêu đề có thể được lấy ra từ một cuốn truyện tranh dành cho thanh thiếu niên thiên về toán học: “Khối lập phương của Plato và Hình học tự nhiên của sự phân mảnh.”

Đập vào mắt anh không phải là tiêu đề khác thường mà là những hình ảnh trên trang thứ ba - các mô hình địa chất ở mọi quy mô từ lớp băng vĩnh cửu bị nứt cho đến các mảng kiến ​​tạo của Trái đất. Decurtins, một nhà hóa học tại Đại học Bern, nhớ lại những vật liệu mà ông đã nghiên cứu. "Ah! Tôi cũng có mẫu!” anh ta đã nghĩ. “Đó chỉ là vấn đề quy mô.”

Các mẫu của Decurtins không được hình thành bởi các vết nứt trên trái đất, mà bởi các phân tử: chúng là những lớp phân tử giống như khảm trong các tấm chỉ dày một phân tử. Những vật liệu 2D này có thể có các đặc tính thực tế và đặc biệt phụ thuộc vào cách sắp xếp các khối xây dựng phân tử của chúng.

Ví dụ: có thể sắp xếp các phân tử thành các mẫu 2D sử dụng các electron làm bit tính toán hoặc để lưu trữ dữ liệu. Các mẫu có khoảng trống có thể hoạt động như màng. Và các mẫu có chứa các ion kim loại có thể là chất xúc tác mạnh mẽ.

Có thể xây dựng từng nguyên tử vật liệu 2D này, nhưng làm như vậy rất tốn kém, khó khăn và tốn thời gian. Vì vậy, nhiều nhà khoa học, bao gồm cả Decurtins và đồng nghiệp của ông, muốn thiết kế các vật liệu tự lắp ráp. Dự đoán cách các phân tử tự lắp ráp thành các tấm 2D là một trong những thách thức lớn của khoa học vật liệu, cho biết Johannes Barth, một nhà vật lý tại Đại học Kỹ thuật Munich.

Đó là bởi vì thiên nhiên không đặc biệt phù hợp với triết lý thiết kế phân tử của cô ấy. Tự lắp ráp dự báo là một công việc dành cho siêu máy tính và các chương trình nặng cần thiết có thể mất vài ngày hoặc vài tuần để chạy.

Vì vậy, Decurtins đã liên lạc với Gábor Domokos, tác giả đầu tiên của nghiên cứu, một nhà toán học tại Đại học Công nghệ và Kinh tế Budapest. Decurtins tự hỏi liệu cùng một dạng hình học mô tả cách các hành tinh đứt gãy có thể giải thích cách các phân tử tập hợp lại hay không.

Trong năm tiếp theo, Domokos và các đồng nghiệp của ông đã sử dụng tư duy hình học để giải mã các quy tắc tự lắp ráp phân tử — nghĩ ra một cách mới để hạn chế các khảm mà các phân tử có thể hình thành, chỉ sử dụng hình học đơn giản của sự phân chia.

“Lúc đầu, họ không tin rằng bạn có thể làm được,” Domokos nói. “Họ đang làm trí tuệ nhân tạo, siêu máy tính và tất cả những thể loại nhạc jazz này. Và bây giờ họ chỉ nhìn vào các công thức. Và điều này rất thư giãn.”

Từ hành tinh đến nguyên tử

 Sau khi Decurtins liên lạc, Domokos đã cố gắng bán ý tưởng này cho Krisztina Regős, nghiên cứu sinh của mình. Decurtins đã gửi một số hình ảnh mô tả các mẫu ở quy mô nguyên tử - các ô của một phân tử đã được thiết kế và tổng hợp bởi đồng nghiệp của ông Lưu Thạch Hạ - được nhìn qua con mắt của kính hiển vi mạnh mẽ. Domokos muốn xem liệu Regős có thể sử dụng hình học mà ông đã phát triển ban đầu để mô tả các vết đứt gãy địa chất để mô tả các mẫu trong hình ảnh của Decurtins hay không.

Để bắt đầu, Regős coi các vật liệu 2D như các dải ô đa giác đơn giản — các mẫu khớp với nhau mà không có khoảng trống và lặp lại vô hạn. Sau đó, theo cách tiếp cận của Domokos, cô ấy đã tính toán hai con số cho mỗi mẫu. Đầu tiên là số đỉnh hoặc góc trung bình trên mỗi đa giác. Thứ hai là số đa giác trung bình bao quanh mỗi đỉnh.

Cùng với nhau, hai giá trị trung bình đó giống như tọa độ GPS của mẫu. Họ cung cấp vị trí của nó trong một cảnh quan của tất cả các tessellations có thể.

Cảnh quan này được gọi là mặt phẳng tượng trưng. Nó là một lưới 2D đơn giản với số lượng hình dạng trung bình trên mỗi đỉnh trên x-axis và số đỉnh trung bình của mỗi hình trên y-trục. Mỗi tessname nên biểu thị chính xác một điểm trong mặt phẳng. Ví dụ, một mô hình tổ ong hoàn hảo là một dãy các hình lục giác sáu cạnh gặp nhau thành bộ ba ở mỗi đỉnh — một điểm tại (3, 6) trong mặt phẳng biểu tượng.

Nhưng hầu hết các khảm tự nhiên, từ các vết nứt đá đến các đơn lớp phân tử, không phải là các lớp phủ tuần hoàn hoàn hảo.

Ví dụ, các tế bào của một tổ ong sáp thực sự không phải là tất cả các hình lục giác hoàn hảo. Ong mắc sai lầm. Nhưng lộn xộn như nó có thể, một tổ ong, trung bình, vẫn là một tổ ong. Và trung bình, nó vẫn vẽ đồ thị tới một điểm tại (3, 6) trong mặt phẳng ký hiệu. Nhà toán học cho biết, thay vì đơn giản hóa quá mức, phương pháp tính trung bình của Domokos rất sâu sắc. Marjorie Senechal của Đại học Smith, người đã xem xét nghiên cứu mới. Bằng cách loại bỏ những sai lầm và coi các mẫu là trung bình, nó tiết lộ một loại thực tế lý tưởng thường bị chôn vùi dưới hàng đống ngẫu nhiên.

Nhưng khi Regős cố gắng áp dụng phương pháp này cho các bức ảnh phân tử của Decurtins, cô nhanh chóng gặp rắc rối. “Tôi bắt đầu đặt chúng trên bình diện tượng trưng,” cô ấy nói, “và sau đó tôi nhận ra rằng mình không thể.”

Vấn đề là quy mô. Không giống như các mô hình địa chất mà Domokos đã nghiên cứu trước đây, các khảm phân tử thực sự là các mô hình bên trong các mô hình. Nhìn ở các độ phóng đại khác nhau, chúng có dạng hình học khác nhau. Regős không thể mô tả khảm phân tử bằng một cặp giá trị vì các mẫu vẽ các điểm khác nhau trên mặt phẳng ký hiệu, tùy thuộc vào độ phóng đại của hình ảnh. Nó giống như phóng to một ô lục giác và thấy rằng các khối xây dựng cơ bản của nó thực sự là hình tam giác.

“Vì vậy, Kriszti nói: OK, đây là một mớ hỗn độn,” Domokos nói.

Sau đó, cô ấy tìm ra cách sắp xếp các bức tranh khảm. Thay vì buộc các mẫu lồng nhau của vật liệu thành một cặp trung bình duy nhất, cô chia chúng thành ba cấp độ tổ chức, mỗi cấp độ được biểu thị bằng điểm riêng của nó trên mặt phẳng biểu tượng.

Ở cấp độ thấp nhất, các nguyên tử trong mỗi phân tử kết hợp với nhau để tạo thành một đa giác. Những phân tử này sau đó kết nối với nhau thông qua các liên kết hydro, tạo ra một chuỗi các đa giác. Cuối cùng, ở mức thu nhỏ nhất, các phân tử riêng lẻ co lại thành các điểm và các điểm đó kết nối với nhau để tạo thành một bức tranh khảm.

Trong khuôn khổ mới của Regős, mỗi cấp độ được biểu diễn dưới dạng một lưới đơn giản gồm các điểm và đường — một biểu đồ.

Sử dụng lý thuyết đồ thị để mô tả các mẫu phân tử “rất hiệu quả”, ông nói Carlos-Andres Palma, một nhà vật lý hóa học tại Viện Khoa học Trung Quốc và Đại học Humboldt ở Berlin. Theo truyền thống, các nhà khoa học phân loại các mẫu dựa trên tính đối xứng của chúng. Nhưng điều đó không phản ánh sự lộn xộn của thực tế - các vật liệu nano thực sự hiếm khi có tính tuần hoàn hoặc đối xứng hoàn hảo, Palma nói. Vì vậy, việc giảm các mô hình phân tử thành các biểu đồ linh hoạt, đơn giản “cho phép chúng ta giao tiếp với thế giới tự nhiên, theo ý kiến ​​​​của tôi, tốt hơn nhiều,” ông nói.

Dự đoán các mẫu

Regős và Domokos hiện đã có một cách để mô tả khảm phân tử của Decurtins, một bước quan trọng để dự đoán cách các phân tử có thể tự lắp ráp.

“Chúng tôi thực sự khá tệ trong việc dự đoán,” nói Ulrich Aschauer, một nhà vật lý máy tính tại Đại học Salzburg, người nghiên cứu về khả năng tự lắp ráp.

Theo truyền thống, các nhà khoa học sử dụng nhiều phương pháp khác nhau để dự đoán các phân tử sẽ tự lắp ráp như thế nào. Aschauer mô phỏng cách các phân tử tương tác trên bề mặt. Sau đó, anh ấy xác định các mẫu cần ít năng lượng nhất để hình thành, những mẫu có nhiều khả năng xuất hiện nhất. Các nhà khoa học khác sàng lọc một số lượng lớn các mẫu được tạo ngẫu nhiên hoặc họ huấn luyện các thuật toán học máy để dự báo quá trình tự lắp ráp. Tất cả các phương pháp này đều tốn kém về mặt tính toán — Palma nhớ lại cách một đồng nghiệp đã từng mô phỏng các phân tử nước trong nhiều năm, chỉ để đưa ra một dự đoán duy nhất về cách nước tự lắp ráp. Các thuật toán học máy cũng có điểm mù; Aschauer nói, chúng chỉ học những gì bạn cho chúng ăn. Và không thể kiểm tra mọi mẫu có thể, vì vậy các nhà khoa học thường phải đoán xem mẫu nào đáng để xem xét ngay từ đầu.

“Dự đoán ban đầu của chúng tôi xác định điều cuối cùng mà chúng tôi tìm thấy,” Aschauer giải thích. “Và đó là một vấn đề lớn bởi vì nếu tôi không có trực giác đúng đắn để bắt đầu, thì cuối cùng tôi sẽ mắc sai lầm.”

Nhưng hình học của Regős và Domokos là bất khả tri. Nó chỉ đơn giản coi các phân tử là điểm và liên kết là đường. Nó không yêu cầu một phỏng đoán bắt đầu.

Sau khi gặp trực tiếp Aschauer và Decurtins ở Thụy Sĩ, các nhà toán học cuối cùng đã chuyển sang công việc lộn xộn là cố gắng dự đoán các mẫu thay vì chỉ đơn giản là mô tả chúng.

Gömböcs và những cây cầu

Như hiện tại, hệ thống của Regős có thể hạn chế mức tổ chức trung bình của một mẫu, trong đó các phân tử là các đa giác và các liên kết hydro là các đường thẳng. Nhưng cô ấy không thể đi lên từ ô phân tử để dự đoán bức tranh khảm quy mô lớn. Không có thứ gì đó để liên kết cả ba cấp độ về mặt toán học, mô hình của cô ấy giống như một cái thang bị thiếu một bậc.

Domokos quyết định rằng nó đáng để đăng ký với Kostya Novoselov — một nhà vật lý tại Đại học Quốc gia Singapore, người chia sẻ giải thưởng Nobel để tổng hợp graphene, có lẽ là vật liệu 2D nổi tiếng nhất trong tất cả. Hai người đã vô tình gặp nhau vào đầu năm đó, sau khi Novoselov đặt hàng một số lượng đáng kể Gömböcs, dạng hình học mới mà Domokos đã khám phá ra, từ một cửa hàng ở Budapest.

Với đầu vào của Novoselov, Domokos và Regős đã tinh chỉnh mô hình hình học của họ. Cho đến lúc đó, họ chỉ sử dụng ba cấp độ tổ chức: phân tử, mô hình quy mô trung bình và mô hình quy mô lớn. Novoselov đề xuất thêm cấp độ thứ tư - cầu nối giữa cấp độ trung bình và lớn. Phương trình mô tả cây cầu này đã liên kết hình học của cấp độ nhỏ nhất và trung bình với cấp độ lớn nhất, khảm phân tử.

Với cây cầu tại chỗ, giờ đây nhóm có thể lấy ô phân tử và làm việc hướng lên trên để hạn chế các mẫu quy mô lớn tiềm năng của nó bằng cách sử dụng một hệ đơn giản gồm năm phương trình đại số và bất đẳng thức có thể nằm gọn trên mặt sau của một chiếc phong bì. Trong các phát biểu toán học này, các biến là tọa độ của một mẫu trên mặt phẳng ký hiệu, cộng với một số thuật ngữ mô tả cấu trúc của phân tử. Xét một cách tổng thể, hệ thống liên kết từng cấp độ tổ chức với những cấp độ khác và với các tọa độ của một mẫu trên mặt phẳng biểu tượng.

Được vẽ trên mặt phẳng ký hiệu, các sắp xếp quy mô lớn có thể có của một phân tử rơi vào một phần nhỏ của đường cong xác định tất cả các mẫu phân tử 2D có thể lấp đầy không gian. Giờ đây, các nhà nghiên cứu có thể sử dụng phân tử ban đầu để hạn chế lát cắt đó.

Nhưng họ vẫn chưa tin rằng “lát cắt” các mẫu có thể của họ đủ nhỏ. Nếu nó quá rộng, nó sẽ không phải là một ràng buộc rất hữu ích. Khi Liu vẽ sơ đồ cấu trúc của nước đá 2D trên mặt phẳng biểu tượng, cô nhận thấy rằng chúng hoàn toàn nằm ở các đầu cực của phạm vi dự đoán của phương pháp. Các giới hạn không thể được cải thiện.

“Đây là ngôn ngữ của tự nhiên ở đây,” Domokos nói. “Đó là một bất ngờ lớn đối với tôi.”

Tăng trưởng và hình thành

Gần cuối dự án, vào tháng 2022 năm XNUMX, người Hungary lại đến Thụy Sĩ. Lần này, các đồng nghiệp của họ đã làm họ ngạc nhiên khi đến thăm chiếc kính hiển vi đã tạo ra những hình ảnh mà họ đang làm việc — và đó là lúc Regős và Domokos cuối cùng nhận ra điều họ đã làm: Bằng cách liên kết toán học các bức tranh khảm quy mô lớn với các liên kết phân tử ở quy mô nhỏ hơn nhiều, họ đã nắm bắt được thứ gì đó trong mớ tương tác vô hình mà cuối cùng quyết định cách hình thành các mẫu phân tử. Hình học của họ có thể “nhìn thấy” những thứ mà máy móc không thể.

“Thật không thể tin được,” Regős nói. “Chúng tôi đi xuống tầng hầm và thấy rằng họ đang ở giới hạn khoa học của chúng tôi.”

Novoselov cho biết, sử dụng kính hiển vi để hiểu các mẫu tự lắp ráp cũng giống như cố gắng hiểu cỏ bằng cách chụp ảnh nó từ trên cao. Những bức ảnh đó cho bạn biết nhiều điều về cỏ, “nhưng chắc chắn không phải là tất cả,” anh ấy nói. Họ tiết lộ rất ít về rễ của cỏ hoặc cách nó phát triển. Khung của Domokos và Regős không thể nhìn thấy rễ một cách hoàn hảo, nhưng nó cung cấp một cách hoàn toàn mới để phác thảo chúng, bằng cách liên kết các khối xây dựng phân tử của một mẫu với bức tranh khảm cuối cùng.

Senechal nói: “Họ đang tiếp tục một truyền thống lâu đời tuyệt vời là nghiên cứu mối quan hệ giữa sự phát triển và hình dạng, đây thực sự là trọng tâm để hiểu bất cứ điều gì trong thế giới xung quanh chúng ta.”

Quá trình tự lắp ráp phân tử thường bắt đầu bằng một mảng nhỏ vật liệu phát triển thành một mẫu lớn hơn. Tuy nhiên, khuôn khổ toán học mới giả định một mô hình vô hạn, không phải là một mảng hữu hạn. Palma cho biết, việc điều chỉnh công việc để mô tả cách các mảng hữu hạn phát triển thành các mẫu lớn hơn có thể là một bước tiến tới dự đoán chính xác. Aschauer cho biết ông có kế hoạch sử dụng hình học như một hướng dẫn đến ngõ cụt và những góc đầy hứa hẹn nhưng chưa được khám phá trong bối cảnh của các mẫu có thể. Và việc sử dụng ngôn ngữ toán học của mặt phẳng biểu tượng để huấn luyện các mô hình học máy có thể rất thú vị, ông nói thêm.

“Tôi thực sự bị hấp dẫn bởi vẻ đẹp của nó,” Novoselov nói. “Với rất ít — chỉ là một cách tiếp cận toán học cơ bản, thực sự là hình học thuần túy, chỉ là các đồ thị ở dạng 2D — bạn có thể dự đoán rất nhiều điều.”

Bài toán rất đơn giản, Senechal nói. Nhưng “để thấy được sự đơn giản,” cô ấy nói thêm, “cần rất nhiều sự tinh tế.”