Hai sinh viên làm sáng tỏ một phỏng đoán toán học được nhiều người tin tưởng | Tạp chí lượng tử

Summer Haag và Clyde Kertzer đặt nhiều hy vọng vào dự án nghiên cứu mùa hè của họ. Che mắt toàn bộ một lĩnh vực toán học không phải là một trong số đó.

Vào tháng 5, Haag đang học xong năm đầu tiên sau đại học tại Đại học Colorado, Boulder, nơi Kertzer đang theo học đại học. Cả hai đều mong được nghỉ học. Haag lên kế hoạch khám phá những tuyến đường đi bộ đường dài và leo núi mới. Kertzer, một người gốc Boulder, muốn chơi bóng đá và chuẩn bị hồ sơ đăng ký học cao học. Nhưng với tư cách là những nhà toán học nghiên cứu đầy tham vọng, họ cũng đã đăng ký tham gia chương trình nghiên cứu mùa hè bán thời gian trong nhóm các nhà toán học. Katherine Stange.

Stange là một nhà lý thuyết số, người tự mô tả mình là một nhà toán học “ếch” — một người đi sâu vào sự phức tạp của một vấn đề trước khi chuyển sang vấn đề khác. Cô ấy quan tâm đến “những câu hỏi có vẻ đơn giản dẫn đến sự phong phú về cấu trúc,” cô nói. Các dự án của cô thường giải quyết các vấn đề mở khó nắm bắt của lý thuyết số bằng cách sử dụng máy tính để tạo ra các tập dữ liệu lớn.

Haag và Kertzer bắt đầu chương trình vào sinh nhật lần thứ 23 của Haag với phần giới thiệu kéo dài một tuần về cách đóng gói vòng tròn Apollonian - nghiên cứu cổ xưa về cách các vòng tròn có thể co lại một cách hài hòa thành một vòng tròn lớn hơn.

Hãy tưởng tượng bạn sắp xếp ba đồng xu sao cho mỗi đồng xu chạm vào những đồng xu khác. Bạn luôn có thể vẽ một vòng tròn xung quanh chúng chạm vào cả ba từ bên ngoài. Sau đó, bạn có thể bắt đầu đặt câu hỏi: Kích thước của vòng tròn lớn hơn đó liên quan như thế nào đến kích thước của ba đồng xu? Hình tròn có kích thước bao nhiêu sẽ vừa với khoảng trống giữa ba đồng xu? Và nếu bạn bắt đầu vẽ các vòng tròn lấp đầy các khoảng trống ngày càng nhỏ hơn giữa các vòng tròn - tạo ra một mô hình fractal được gọi là đóng gói - thì kích thước của các vòng tròn đó có liên quan với nhau như thế nào?

Thay vì nghĩ về đường kính của những vòng tròn này, các nhà toán học sử dụng một thước đo gọi là độ cong - nghịch đảo của bán kính. Vậy hình tròn có bán kính 2 có độ cong 1/2 và hình tròn có bán kính 1/3 có độ cong 3. Hình tròn càng nhỏ thì độ cong càng lớn.

Các nhà toán học thời Phục hưng đã chứng minh rằng nếu bốn đường tròn đầu tiên có độ cong là số nguyên thì độ cong của tất cả các đường tròn tiếp theo trong gói được đảm bảo là số nguyên. Điều đó thật đáng chú ý. Nhưng các nhà toán học đã đưa vấn đề đi một bước xa hơn bằng cách đặt câu hỏi về số nguyên nào xuất hiện khi đường tròn ngày càng nhỏ hơn và độ cong ngày càng lớn hơn.

Trong 2010, Elena Fuchs, một nhà lý thuyết số tại Đại học California, Davis, chứng minh các độ cong tuân theo một mối quan hệ cụ thể buộc chúng vào các nhóm số nhất định. Ngay sau đó, các nhà toán học bị thuyết phục rằng không chỉ các đường cong phải rơi vào nhóm này hay nhóm khác mà còn phải sử dụng mọi số có thể có trong mỗi nhóm. Ý tưởng này được gọi là phỏng đoán địa phương-toàn cầu.

Kertzer nói: “Rất nhiều tác phẩm đã đề cập đến nó như thể nó đã là sự thật”. “Chúng tôi đã thảo luận về nó như thể nó sẽ được chứng minh vào một thời điểm nào đó trong tương lai gần.”

James Rickards, một nhà toán học tại Boulder, người làm việc với Stange và các sinh viên, đã viết mã để kiểm tra bất kỳ sự sắp xếp mong muốn nào của việc đóng gói vòng tròn. Vì vậy, khi Haag và Kertzer gia nhập nhóm vào ngày 15 tháng XNUMX, họ nghĩ rằng họ sẽ tạo ra những âm mưu thú vị về quy tắc từ địa phương đến toàn cầu đáng tin cậy đang có hiệu lực.

Stange bay sang Pháp dự hội nghị vào đầu tháng 12. Khi cô quay trở lại vào ngày XNUMX tháng XNUMX, nhóm đã tập trung xung quanh các biểu đồ chứng minh tại sao một số nhóm dường như thiếu những con số nhất định.

“Chúng tôi không điều tra hiện tượng này,” Rickards nói. “Tôi không cố gắng kiểm tra xem điều đó có đúng không. Tôi biết đó là sự thật - tôi chỉ cho rằng đó là sự thật. Và rồi đột nhiên, chúng ta phải đối mặt với dữ liệu nói rằng không phải như vậy.”

Đến cuối tuần, nhóm nghiên cứu tin chắc rằng phỏng đoán đó là sai. Những con số mà họ mong đợi sẽ xuất hiện đã không bao giờ xảy ra. Họ đã đưa ra một bằng chứng, và vào ngày 6 tháng XNUMX họ đăng công việc của họ đến trang web in sẵn khoa học arxiv.org.

Fuchs nhớ lại đã nói chuyện với Stange ngay sau khi bằng chứng được đưa ra. “Bạn tin vào phỏng đoán từ địa phương đến toàn cầu đến mức nào?” Stange hỏi. Fuchs trả lời rằng tất nhiên là cô ấy tin điều đó. “Sau đó, cô ấy cho tôi xem tất cả những dữ liệu này và tôi nói, 'Ôi chúa ơi, thật tuyệt vời',” Fuchs nói. “Ý tôi là, tôi thực sự tin rằng phỏng đoán từ địa phương đến toàn cầu là đúng.”

“Một khi bạn nhìn thấy nó, bạn chỉ cần nói 'Aha! Tất nhiên rồi!'” nói Peter Sarnak, một nhà toán học tại Viện Nghiên cứu Cao cấp và Đại học Princeton, người có quan sát ban đầu đã giúp thúc đẩy phỏng đoán địa phương-toàn cầu.

“Đó là một cái nhìn sâu sắc tuyệt vời,” thêm vào Alex Kontorovich của Đại học Rutgers. “Tất cả chúng tôi đều đang tự trách mình vì đã không tìm thấy nó cách đây 20 năm, khi mọi người lần đầu tiên bắt đầu chơi với thứ này.”

Giữa đống đổ nát do kết quả để lại, công trình này đã bộc lộ một vết nứt trên nền tảng của các giả thuyết khác trong lý thuyết số. Các nhà toán học đã phải tự hỏi niềm tin được nhiều người tin tưởng sẽ là gì tiếp theo.

Lịch sử bùng binh

Các gói vòng tròn Apollonian lấy tên từ người sáng lập có thể xảy ra của chúng, Apollonius of Perga. Khoảng 2,200 năm trước, nhà hình học Hy Lạp đã viết một cuốn sách tên là tiếp tuyến về cách dựng một đường tròn tiếp xúc với ba đường tròn bất kỳ. Cuốn sách đã bị thất lạc theo thời gian. Nhưng khoảng 500 năm sau, nhà toán học Hy Lạp Pappus ở Alexandria đã biên soạn một bản tóm tắt có thể tồn tại sau sự sụp đổ của đế chế Byzantine.

Chỉ sử dụng mô tả của Pappus về tiếp tuyến, Các nhà toán học thời Phục hưng đã cố gắng tìm lại tác phẩm gốc. Đến năm 1643, René Descartes đã phát hiện ra mối liên hệ đơn giản giữa độ cong của bốn đường tròn bất kỳ tiếp xúc với nhau. Descartes khẳng định rằng tổng của tất cả các độ cong bình phương bằng một nửa bình phương của tổng các độ cong. Điều này có nghĩa là, với ba đường tròn, có thể tính được bán kính của đường tròn tiếp tuyến thứ tư. Ví dụ: nếu bạn có ba đường tròn có độ cong là 11, 14 và 15, bạn có thể thế các số đó vào phương trình Descartes và tính độ cong của đường tròn phù hợp với chúng: 86.

Năm 1936, nhà hóa học phóng xạ đoạt giải Nobel Frederick Soddy nhận thấy điều gì đó kỳ lạ khi ông xây dựng các gói với mối quan hệ của Descartes. Khi các vòng tròn ngày càng nhỏ hơn và độ cong lớn hơn, anh mong đợi sẽ thu được những con số khủng khiếp với căn bậc hai hoặc số thập phân vô hạn. Thay vào đó, tất cả các độ cong đều là số nguyên. Đây là một hệ quả khá rõ ràng của phương trình Descartes, nhưng không ai để ý đến nó trong suốt hàng trăm năm. Nó truyền cảm hứng cho Soddy xuất bản một bài thơ trong tạp chí khoa học Thiên nhiên, bắt đầu:

Để đôi môi có thể hôn nhau
Không liên quan đến lượng giác.
'Không phải vậy khi bốn vòng tròn hôn nhau
Mỗi người ba người còn lại.

Điều có thể và điều không thể tránh khỏi

Một khi người ta đã xác định được rằng có những gói chứa đầy các số nguyên, các nhà toán học đã cố gắng tìm ra các mẫu trong các số nguyên đó.

Năm 2010, Fuchs và Katherine Sanden bắt đầu xây dựng trên một giấy từ 2003. Bộ đôi này đã quan sát thấy rằng nếu bạn chia mỗi đường cong trong một gói nhất định cho 24 thì sẽ xuất hiện một quy tắc. Ví dụ, một số vật liệu đóng gói chỉ có độ cong có số dư là 0, 1, 4, 9, 12 hoặc 16. Những nhóm khác chỉ để lại số dư 3, 6, 7, 10, 15, 18, 19 hoặc 22. Có thể có sáu nhóm khác nhau.

Khi các nhà toán học kiểm tra các loại gói khác nhau, họ bắt đầu nhận thấy rằng đối với các vòng tròn đủ nhỏ - những vòng tròn có độ cong lớn - dường như mọi con số có thể có trong mỗi loại đều xuất hiện cho các gói thuộc loại đó. Ý tưởng này được gọi là phỏng đoán địa phương-toàn cầu. Chứng minh nó đã trở thành “một trong những giấc mơ của các nhà toán học nhỏ bé này,” Fuchs nói. “Giống như, có thể vào một thời điểm nào đó trong nhiều năm nữa tôi sẽ có thể giải quyết được nó.”

Năm 2012, Kontorovich và Jean Bourgain (người chết năm 2018) Chứng minh rằng hầu như mọi con số được dự đoán bởi phỏng đoán sẽ xảy ra. Nhưng “hầu như tất cả” không có nghĩa là “tất cả”. Ví dụ, số bình phương hoàn hảo hiếm đến mức, về mặt toán học, các số nguyên “hầu như tất cả” không phải là số chính phương hoàn hảo, mặc dù, chẳng hạn, 25 và 49 là như vậy. Các nhà toán học cho rằng những phản ví dụ hiếm hoi vẫn có thể xảy ra sau bài báo của Kontorovich và Bourgain không thực sự tồn tại, chủ yếu là do hai hoặc ba gói vòng tròn được nghiên cứu kỹ lưỡng nhất dường như tuân theo phỏng đoán địa phương-toàn cầu rất tốt, Kontorovich nói.

Quay số đó

Khi Haag và Kertzer bắt đầu công việc vào mùa hè này ở Boulder, Rickards đã viết nguệch ngoạc những ý tưởng lên bảng đen trong văn phòng của Stange. “Chúng tôi có cả một danh sách,” Rickards nói. Họ có bốn hoặc năm điểm khởi đầu để thử nghiệm. “Những thứ bạn có thể chơi và xem điều gì sẽ xảy ra.”

Một ý tưởng là tính toán tất cả các gói hình tròn có thể chứa hai độ cong tùy ý A và B. Rickards đã viết một chương trình xuất ra một loại sổ cái báo cáo số nguyên nào hiển thị cho bên khi A đang tổ chức.

Dựa trên chương trình này, Haag đã soạn thảo một tập lệnh Python để vẽ ra hàng tấn mô phỏng cùng một lúc. Nó giống như một bảng cửu chương: Haag chọn những hàng và cột để đưa vào dựa trên số dư của chúng khi chúng được chia cho 24. Các cặp số xuất hiện trong một gói Apollonian cùng nhau có các pixel màu trắng; những cái không có pixel đen.

Haag đã cày xới hàng chục lô - mỗi ô cho mỗi cặp phần còn lại trong mỗi nhóm trong số sáu nhóm.

Chúng trông giống hệt như mong đợi: một bức tường màu trắng, rải rác những đốm đen dành cho những số nguyên nhỏ hơn. Stange nói: “Chúng tôi mong đợi các chấm đen sẽ biến mất. Rickards nói thêm, “Tôi nghĩ có lẽ thậm chí có thể chứng minh được rằng họ đã kiệt sức.” Ông suy đoán rằng bằng cách xem xét các biểu đồ tổng hợp nhiều gói lại với nhau, nhóm nghiên cứu sẽ có thể chứng minh những kết quả không thể thực hiện được khi họ chỉ nhìn vào bất kỳ gói nào.

Trong khi Stange đi vắng, Haag đã lên kế hoạch cho từng cặp số dư - khoảng 120. Không có gì ngạc nhiên ở đó. Sau đó cô ấy đã đi lớn.

Haag đã vẽ ra cách 1,000 số nguyên tương tác với nhau. (Biểu đồ này lớn hơn vẻ bề ngoài vì nó bao gồm 1 triệu cặp có thể có.) Sau đó, cô ấy xoay mặt số lên tới 10,000 lần 10,000. Trong một biểu đồ, các hàng và cột đều đặn có các đốm đen không chịu hòa tan. Nó trông không giống những gì phỏng đoán địa phương-toàn cầu sẽ dự đoán.

Đội gặp nhau vào thứ Hai sau khi Stange trở lại. Haag trình bày biểu đồ của mình và tất cả họ đều tập trung vào biểu đồ có các dấu chấm kỳ lạ. “Đó chỉ là một mô hình liên tục,” Haag nói. “Và đó là lúc Kate nói, 'Điều gì sẽ xảy ra nếu giả thuyết địa phương-toàn cầu không đúng?'”

“Cái này trông giống như một khuôn mẫu. Nó phải tiếp tục. Vì vậy, phỏng đoán địa phương-toàn cầu phải sai,” Stange nhớ lại suy nghĩ. “James thì hoài nghi hơn.”

“Suy nghĩ đầu tiên của tôi là chắc chắn có lỗi trong mã của tôi,” Rickards nói. “Ý tôi là, đó là điều hợp lý duy nhất tôi có thể nghĩ ra.”

Trong vòng nửa ngày, Rickards đã xuất hiện. Mẫu này loại trừ tất cả các cặp trong đó số đầu tiên có dạng 8 × (3n ± 1)² và số thứ hai gấp 24 lần bất kỳ hình vuông nào. Điều này có nghĩa là 24 và 8 không bao giờ xuất hiện trong cùng một bao bì. Những con số bạn mong đợi sẽ không xảy ra.

“Tôi hơi choáng váng. Không phải lúc nào điều gì đó thực sự làm bạn ngạc nhiên,” Stange nói. “Nhưng đó chính là sự kỳ diệu của việc chơi đùa với dữ liệu.”

Sản phẩm giấy tháng bảy đưa ra một bằng chứng chặt chẽ cho thấy mô hình mà họ quan sát được tiếp tục vô tận, bác bỏ giả thuyết. Bằng chứng xoay quanh một nguyên lý hàng thế kỷ được gọi là sự tương hỗ bậc hai liên quan đến bình phương của hai số nguyên tố. Nhóm của Stange đã khám phá ra cách áp dụng nguyên tắc có đi có lại trong việc xếp các vòng tròn. Nó giải thích tại sao những đường cong nhất định không thể tiếp xúc với nhau. Quy tắc, được gọi là sự cản trở, lan truyền khắp toàn bộ bao bì. “Đó chỉ là một điều hoàn toàn mới,” nói Jeffrey Lagarias, một nhà toán học tại Đại học Michigan, đồng tác giả của bài báo đóng gói vòng tròn năm 2003. “Họ đã tìm ra nó một cách khéo léo,” Sarnak nói. “Nếu những con số này xuất hiện, chúng sẽ vi phạm nguyên tắc có đi có lại.”

Rơi

Một số giả thuyết khác trong lý thuyết số hiện nay có thể bị nghi ngờ. Giống như giả thuyết địa phương-toàn cầu, chúng khó chứng minh nhưng đã được chứng minh là đúng trong hầu hết mọi trường hợp và thường được coi là đúng.

Ví dụ, Fuchs nghiên cứu bộ ba Markov, tập hợp các số thỏa mãn phương trình x² + y² + z² = 3xyz. Cô và những người khác đã chỉ ra rằng một số loại nghiệm nhất định được kết nối với các số nguyên tố lớn hơn 10³⁹². Mọi người đều tin rằng mô hình này sẽ tiếp tục kéo dài đến vô tận. Nhưng trước kết quả mới, Fuchs đã cho phép mình cảm thấy một chút nghi ngờ. “Có lẽ tôi đang thiếu thứ gì đó,” cô nói. “Có lẽ mọi người đang thiếu thứ gì đó.”

“Bây giờ chúng ta có một ví dụ duy nhất trong đó nó sai, câu hỏi đặt ra là: Nó có sai đối với những ví dụ khác không?” Rickards nói.

Ngoài ra còn có phỏng đoán của Zaremba. Nó nói rằng một phân số với bất kỳ mẫu số nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng phân số liên tục chỉ sử dụng các số từ 1 đến 5. Năm 2014, Kontorovich và Bourgain đã chứng minh rằng phỏng đoán Zaremba đúng với hầu hết mọi số. Nhưng sự ngạc nhiên về việc xếp vòng tròn đã làm suy yếu niềm tin vào phỏng đoán của Zaremba.

Nếu vấn đề đóng gói là điềm báo cho những điều sắp xảy ra thì dữ liệu tính toán có thể là công cụ để giải quyết vấn đề đó.

Fuchs nói: “Tôi luôn thấy thật thú vị khi toán học mới ra đời chỉ đơn thuần là nhìn vào dữ liệu. “Không có nó, thật khó để tưởng tượng rằng [họ] sẽ gặp phải điều này.”

Stange nói thêm rằng những điều này sẽ không xảy ra nếu không có dự án mùa hè có mức đặt cược thấp. Cô nói: “Sự tình cờ và thái độ khám phá vui tươi đều có vai trò rất lớn trong việc khám phá.

“Đó hoàn toàn là sự trùng hợp ngẫu nhiên,” Haag nói. “Nếu tôi không đi đủ lớn, chúng tôi sẽ không nhận ra điều đó.” Công việc này báo hiệu tốt cho tương lai của lý thuyết số. Stange nói: “Bạn có thể thu thập hiểu biết về toán học thông qua trực giác của mình, thông qua các bằng chứng”. “Và bạn tin tưởng điều đó rất nhiều vì bạn đã dành rất nhiều thời gian để suy nghĩ về nó. Nhưng bạn không thể tranh cãi với dữ liệu.”

Ghi chú của người biên tập: Alex Kontorovich là thành viên của Tạp chí Quantaban cố vấn khoa học của Anh ấy đã được phỏng vấn về câu chuyện này nhưng không đóng góp gì vào việc sản xuất nó.