Giới thiệu
Ý tưởng về sự vô tận có lẽ cũng lâu đời như chính những con số, quay trở lại bất cứ khi nào mọi người lần đầu tiên nhận ra rằng họ có thể tiếp tục đếm mãi mãi. Nhưng ngay cả khi chúng ta có một ký hiệu cho vô cực và có thể đề cập đến khái niệm này trong cuộc trò chuyện thông thường, thì vô cực vẫn là một bí ẩn sâu sắc, ngay cả đối với các nhà toán học. Trong tập này, Steven Strogatz trò chuyện với nhà toán học đồng nghiệp của mình Justin Moore của Đại học Cornell về cách một vô cực có thể lớn hơn vô cực khác (và liệu chúng ta có thể chắc chắn rằng không có vô cực trung gian giữa chúng hay không). Họ cũng thảo luận về cách các nhà vật lý và toán học sử dụng vô cực khác nhau như thế nào và tầm quan trọng của vô cực đối với nền tảng của toán học.
Lắng nghe về Podcast của Apple, Spotify, Google Podcasts, người may quần áo, TuneIn hoặc ứng dụng podcasting yêu thích của bạn, hoặc bạn có thể truyền nó từ Quanta.
Bảng điểm
Steven Strogatz (00:03): Tôi là Steve Strogatz, và đây là Niềm vui của tại sao, một podcast từ Tạp chí Quanta đưa bạn vào một số câu hỏi lớn nhất chưa có câu trả lời trong toán học và khoa học ngày nay.
(00:13) Trong tập này, chúng ta sẽ thảo luận về vô cực. Không ai thực sự biết ý tưởng về sự vô tận bắt nguồn từ đâu, nhưng nó phải rất cổ xưa - cũng như những hy vọng và nỗi sợ hãi của con người về những thứ có thể tồn tại mãi mãi. Một số trong số chúng đáng sợ, giống như những cái hố không đáy, và một số thì cao thượng, giống như tình yêu bất tận. Trong toán học, ý tưởng về vô cực có lẽ cũng lâu đời như chính những con số. Một khi mọi người nhận ra rằng họ có thể tiếp tục đếm mãi mãi - 1, 2, 3, v.v. Nhưng mặc dù vô cực là một ý tưởng rất cũ, nhưng nó vẫn vô cùng bí ẩn. Con người đã vò đầu bứt tai về sự vô tận từ hàng nghìn năm nay, ít nhất là từ thời Zeno và Aristotle ở Hy Lạp cổ đại.
(00:57) Nhưng ngày nay các nhà toán học hiểu thế nào là vô hạn? Có kích thước khác nhau của vô cực? Là vô cực hữu ích cho các nhà toán học? Và nếu vậy, làm thế nào chính xác? Và tất cả những điều này có liên quan gì đến nền tảng của chính toán học?
(01:14) Tham gia cùng tôi hôm nay để thảo luận về vô cực là Justin Moore, giáo sư toán học tại Cornell. Lĩnh vực nghiên cứu của ông bao gồm lý thuyết tập hợp, logic toán học và tổ hợp vô hạn và các ứng dụng của chúng cho các lĩnh vực toán học khác, chẳng hạn như cấu trúc liên kết, giải tích hàm và đại số. Xin chào Justin.
Justin Moore (01:33): Này, Steve. Cảm ơn vì đã giúp tôi.
Strogatz (01:35): Vâng, tôi rất vui được nói chuyện với bạn. Tôi nên nói, có lẽ để tiết lộ đầy đủ, Justin là bạn và đồng nghiệp của tôi trong khoa toán tại Cornell. Được rồi, vậy chúng ta bắt đầu nghĩ về vô cực như cách các nhà toán học nghĩ về nó. Trên thực tế, có lẽ trước khi chúng ta đi sâu vào phần toán học, chúng ta hãy nói một chút về thế giới thực, bởi vì chúng ta sẽ không ở đó lâu. Bây giờ, tôi có đúng không, rằng bạn đã từng được đào tạo trong thế giới vật lý?
Moore (02:02): Vâng, đó là môn kép vật lý với toán, khi tôi còn là sinh viên đại học. Tôi gần như bị kiệt sức với môn vật lý. Tôi bắt đầu yêu thích vật lý và cũng có phần hứng thú với toán học hơn. Và rồi bằng cách nào đó, qua quá trình đó, tôi có hứng thú hơn với toán học và vật lý.
Strogatz (02:18): Được. Chà, còn vật lý của vô cực thì sao? Liệu nó thậm chí có ý nghĩa? Có thứ vô hạn nào trong thế giới thực mà chúng ta biết không?
Moore (02:26): Anh biết mà video này, Quyền hạn của 10, được tạo ra bởi Charles và Ray Eames? Về cơ bản, cứ sau 10 giây, tôi nghĩ rằng cứ sau 10 giây, bạn lại có sức mạnh nhỏ hơn 10 lần. Chà, lúc đầu, tôi nghĩ lũy thừa của 10 lớn hơn. Bạn thu nhỏ. Và sau đó cứ sau 10 giây, bạn lại nhỏ hơn 70 lần, và bạn đi từ quy mô lớn nhất của vũ trụ xuống quy mô nhỏ nhất của hạt hạ nguyên tử. Bạn biết đấy, điều này đã được thực hiện trở lại, tôi muốn nói, cuối những năm 80 hoặc đầu những năm 40. Và tôi nghĩ rằng sự hiểu biết của chúng ta về một số thứ đã phát triển một chút kể từ đó, nhưng không quá nhiều. Nhưng ý tôi là, vấn đề là, có khoảng 10 lũy thừa của 10 phân tách thang đo chiều dài nhỏ nhất với thang đo chiều dài lớn nhất, và có lẽ bạn có thể hào phóng và thêm vào một số lũy thừa 10, chỉ để đo lường tốt. Nhưng thật công bằng khi nói rằng không có gì mà bạn có thể đo lường trong vật lý lớn hơn, bạn biết đấy, XNUMX100 hoặc 10200 hoặc điều tương tự.
(03:22) Và có thể quan niệm của chúng ta về sự vật là liên tục — chuyển động liên tục hay gì đó — có lẽ tất cả chỉ là ảo tưởng. Có lẽ mọi thứ thực sự là chi tiết và hữu hạn. Nhưng sự thật là chắc chắn các nhà vật lý đã khám phá ra rất nhiều điều về thế giới chúng ta đang sống, bằng cách tưởng tượng rằng mọi thứ đều trơn tru và liên tục, và rằng sự vô tận đó có ý nghĩa. Khi bạn đi sâu vào các phần của vật lý mà họ chưa thực sự chính thức hóa mọi thứ, rất nhiều vấn đề mà các nhà toán học gặp phải với điều này khiến các nhà vật lý phải đối mặt với vô cực theo nhiều cách tùy tiện khác nhau và lấy vô cực trừ đi vô số và có thể không chịu trách nhiệm về nó như một nhà toán học mong muốn. Tôi không nghĩ rằng đó thực sự là một tuyên bố gây tranh cãi. Tôi nghĩ một nhà vật lý sẽ - hầu hết các nhà vật lý có lẽ sẽ - ý tôi là, OK, có lẽ bạn sẽ biết rõ hơn. Nhưng tôi tin rằng hầu hết các nhà vật lý sẽ nói rằng đó là một phát biểu khá đúng.
Strogatz (04:20): Vì vậy, về câu chuyện cá nhân của riêng bạn — tôi hứa rằng tôi sẽ không đi quá sâu để làm bạn bối rối về điều này — nhưng điều gì đã thu hút bạn đến với vô tận? Có phải bằng cách nào đó vật lý cảm thấy quá nhỏ đối với bạn? Hay bạn chỉ thích sự chặt chẽ của toán học, hay…?
Moore (04:33): Ý tôi là, tôi nghĩ rằng tôi quan tâm đến toán học nói chung và rời xa vật lý trước khi tôi quan tâm cụ thể đến lý thuyết tập hợp. Trớ trêu thay, đó là bởi vì tôi — à, nếu bạn tham gia một lớp vật lý, đến một lúc nào đó, bạn sẽ trở nên khá nhanh và lỏng lẻo với môn toán. Và bạn đồng ý với điều đó, hoặc không. Tôi là một trong những người không hài lòng với điều đó.
Strogatz (04:56): Hả. Và tôi là người ổn, và tôi vẫn đang làm điều đó. Bạn biết đấy, ý tôi là, những điều đó không làm tôi lo lắng quá nhiều, mặc dù tôi tôn trọng sự quan tâm - sự chính trực về trí tuệ mà các nhà toán học thuần túy có, bạn biết đấy, khi lo lắng về những điều này.
(05:11): OK, vậy giả sử tôi chỉ, tôi không biết, giống như một thiếu niên tò mò, và tôi thậm chí không biết vô cực là gì. Bạn sẽ nói nó là gì? Tôi có nên nghĩ về nó như một con số rất lớn? Nó có phải là một số biểu tượng? Nó có phải là tài sản không? Đâu là cách hay để suy nghĩ về vô cực là gì?
Moore (05:26): Vâng, ý tôi là, tôi đoán là — nó có thể là một điểm lý tưởng hóa ở cuối hàng, được chứ? Nó có thể là một biểu tượng chính thức. Bạn biết đấy, bạn có thể nghĩ về nó theo cách… một biểu tượng hình thức theo nghĩa giống như nói, chúng tôi giới thiệu -1, phải không? Và tôi nhớ khi tôi còn là một đứa trẻ, các giáo viên sẽ không sẵn lòng giải thích rõ ràng liệu có an toàn khi nói về số âm hay không. Và, đúng vậy, điều đó nghe có vẻ ngớ ngẩn khi nhìn lại, nhưng ở một mức độ nào đó, phải không, -1 có tồn tại trong thế giới thực không? Nhưng bạn có thể chính thức thao túng nó và bạn có thể chính thức thao túng vô cực ở một mức độ nào đó, nhưng bạn có thể phải cẩn thận hơn một chút. Bạn cũng có thể sử dụng vô hạn như một phương tiện để định lượng có bao nhiêu thứ. Và điều đó mở ra nhiều cánh cửa hơn ở đó, bởi vì bạn có thể nói về việc có vô số tập hợp, một số tập hợp này lớn hơn những tập hợp khác.
Strogatz (06:15): Được. Được rồi. Vì vậy, bạn đã đề cập đến từ này "tập hợp" và chắc chắn chúng ta sẽ nói rất nhiều về tập hợp ngày hôm nay. Tôi đã nói rằng sở thích của bạn bao gồm lý thuyết tập hợp. Bạn có muốn nói thêm về ý nghĩa của một bộ không?
Moore (06:26): Tôi đoán tôi… Câu trả lời là có và không. Vì vậy, tôi nghĩ rằng có thể bay qua chỗ ngồi của quần một người và chỉ xem nó như, bạn biết đấy, một khái niệm không xác định và sử dụng nó theo kiểu trực giác. Nhưng nó cũng được sử dụng như một cơ chế để cung cấp nền tảng cho toán học, khi mọi người nhận ra rằng chúng ta cần phải có một số, tạo ra một số nền tảng cẩn thận về toán học là gì.
Strogatz (06:49): Ủa. Nó thật thú vị. Bởi vì tôi — rất giống như, khi còn nhỏ, chúng ta học đếm trên đầu ngón tay, hoặc cha mẹ chúng ta có thể bắt đầu nói các từ, sau đó họ có thể chỉ vào đồ vật và nói, “1, 2, 3…” Và chúng ta đã học âm — những đứa trẻ như thế khi chúng còn rất nhỏ, tôi biết, phải không? Ý tôi là, nếu bạn có con nhỏ hoặc người thân. Vì vậy, có mặt đó của mọi thứ. Và tôi nghĩ hầu hết mọi người sẽ tưởng tượng rằng những con số là nền tảng của toán học. Nhưng bạn đang nói, và tôi nghĩ hầu hết các nhà toán học sẽ đồng ý, rằng có một thứ thậm chí còn sâu sắc hơn cả những con số, đó là khái niệm về tập hợp, phải không?
Moore (07:22): Tôi nghĩ khái niệm “tập hợp” xuất hiện như một khái niệm nền tảng vì nó rất cơ bản và nguyên thủy. Và nếu bạn, nếu bạn đang muốn có thứ gì đó để sử dụng làm cơ sở cho toán học, bạn muốn bắt đầu với thứ gì đó mà các tính chất cơ bản của nó có vẻ rất sơ khai, rồi bắt đầu từ đó. Và sau đó, ý tưởng là bạn sử dụng các tập hợp để mã hóa những thứ như số đếm, và những thứ như số hữu tỉ, và số thực, v.v. Và rồi từ đó, tất cả các loại cấu trúc toán học phức tạp hơn, như đa tạp, hoặc, hoặc bất cứ thứ gì.
Strogatz (07:57): Vì vậy, tôi có thể nhớ, trong một Sesame Street tập mà tôi thường xem với các con tôi. Đó là trong một bộ phim; Tôi nghĩ rằng nó là. Rằng có một nhân vật đang đặt món cá cho căn phòng đầy chim cánh cụt đói. Và anh ấy yêu cầu những con chim cánh cụt gọi và, và chúng nói, "Cá, cá, cá, cá, cá, cá." Và thế là người phục vụ gọi xuống bếp, “Cá, cá, cá, cá, cá.” Và sau đó một người khác nói, "Không, bạn hiểu sai rồi." Và một người khác nói, “Chà, tại sao bạn không nói rằng họ đã đặt mua sáu con cá?” Nhưng nó chỉ ra rằng ý tưởng về một loại số này xuất hiện sau bộ sưu tập các đối tượng về cá này. Và sau đó một nhân vật khác ngạc nhiên và nói, “Nó có dùng được cho bugi không? Và chả quế?”
Moore (08:42): Ý tôi là, tôi cũng nghĩ, chỉ là nếu bạn muốn tìm hiểu thử, bạn có thể chứng minh điều này không? Hay bạn có thể chứng minh điều đó? Và bạn đang cố gắng thiết lập các quy tắc về cách bạn sẽ chứng minh mọi thứ hay bất cứ điều gì, bạn muốn các nguyên tắc cơ bản càng đơn giản càng tốt. Và vì vậy, thay vì cố gắng viết ra các quy tắc về cách hoạt động của số học, bạn bắt đầu bằng cách viết ra các quy tắc đơn giản hơn cho những thứ đơn giản hơn, rồi xây dựng số học từ những khối xây dựng cơ bản hơn này.
Strogatz (09:08): Được. Vì vậy, và điều này cũng làm tôi nhớ đến “Toán học mới,” khi còn là một đứa trẻ ở những năm 60, chúng ta thường học về các giao lộ, biểu đồ Venn và các công thức, phải không? Đó là sự khởi đầu của lý thuyết tập hợp. Họ đã dạy nó cho chúng tôi vào - tôi không nhớ - đó là lớp hai hoặc lớp ba; bố mẹ tôi không biết tại sao. Nhưng tôi đoán đó là những nhà toán học thuộc loại của bạn, hoặc những người khác nghĩ rằng trẻ em nên học các tập hợp, trước hoặc cùng lúc với việc chúng học về số học.
Moore (09:33): Vâng, hầu hết những gì mọi người nghiên cứu về lý thuyết tập hợp, ý tôi là, ngày nay thực sự là cách các tập hợp vô hạn hoạt động. Bởi vì trực giác của chúng ta về các tập hợp vô hạn không tốt bằng trực giác của chúng ta về các tập hợp hữu hạn. Và tôi nghĩ đó là lý do tại sao động lực thành lập quỹ lại ở đó. Một phần là vì chúng tôi muốn viết ra, OK, chúng tôi khá chắc chắn những tính chất của các tập hợp vô hạn và các tập hợp nói chung, và sau đó cố gắng phát triển điều gì đúng về các tập hợp vô hạn từ đó?
Strogatz (10:03): OK, vậy tại sao chúng ta không có một vài ví dụ? Bạn có thể cho tôi biết một số ví dụ về những thứ là tập hợp vô hạn không?
Moore (10:08): À, giống số tự nhiên. Giống như bạn đang nói — như 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, v.v. — nhưng cũng có những thứ như số hữu tỷ. Bạn biết đấy, phân số giống như hai số tự nhiên đối nhau, hoặc có thể là phân số âm. Nhưng cũng có những thứ như số thực, trong đó - bạn biết đấy, bất cứ thứ gì bạn có thể biểu thị bằng số thập phân, bao gồm cả những thứ như số pi và e.
Strogatz (10:28): Hừm. Vì vậy, chúng có thể có vô số chữ số sau dấu thập phân.
Moore (10:32): Yeah, yeah, vô số chữ số. Họ không phải lặp lại.
Strogatz (10:35): Ủa. Còn những thứ như hình dạng hoặc điểm hoặc những thứ hình học, không chỉ những thứ bằng số thì sao?
Moore (10:41): Vâng, bạn cũng có thể nói về tập hợp các hình dạng hình học.
Strogatz (10:45): OK, đây là một tính năng hay của tập hợp: với tập hợp, chúng ta có thể thống nhất hoặc ít nhất có một ngôn ngữ chung để nói về số học, hình học, … .
Moore (10:54): Đúng.
Strogatz (10:55): Tôi cho rằng chúng ta có thể nói về một tập hợp các hàm, nếu chúng ta tham gia một khóa học giải tích sơ bộ. Bạn biết đấy, giống như tập hợp của tập hợp các hàm liên tục, nếu chúng ta đang học môn giải tích.
Moore (11:04): Chắc chắn rồi. Vâng.
Strogatz (11:05): Hay sao cũng được. Vì vậy, vâng, vì vậy điều này mang lại cho chúng ta một ngôn ngữ chung cho tất cả các phần khác nhau của toán học.
Moore (11:09): Đúng.
Strogatz (11:10): Và — nhưng đó là một ý tưởng tương đối mới với tư cách là nền tảng của toán học xét về tổng thể lịch sử của toán học, phải không?
Moore (11:16): Vâng, ý tôi là, tôi... Chà, toán học hiện đại như chúng ta biết, nó tồn tại đâu đó trong khoảng 100 đến 150 năm tuổi. Nhưng tôi thường liên tưởng nó xung quanh - phần đầu tiên của thế kỷ trước thực sự là khi chúng ta bắt đầu thấy tất cả các phần chính của toán học như chúng ta biết ngày nay bắt đầu phát triển và thực sự trở thành những môn học riêng biệt của riêng chúng. Và đó cũng là khoảng thời gian mà [Bertrand]Russell phát hiện ra nghịch lý của mình, điều này thúc đẩy nhu cầu về một số loại nền tảng chặt chẽ cho toán học.
Strogatz (11:49): Ờ, hả. Chúng ta nên đề cập đến - vâng. Vì vậy, Bertrand Russell, chúng ta đang nói đến bây giờ, thường được biết đến nhiều hơn với tư cách là một triết gia hoặc một người theo chủ nghĩa hòa bình, nhưng ông ấy là một nhà toán học và logic học khá giỏi, một người quan tâm đến logic như một phần của toán học.
Moore: Tuyệt.
Strogatz (12:04): Vì vậy, như bạn nói, anh ấy là một trong những người đã giúp lý thuyết tập hợp thực sự thành công. Và thậm chí trước anh ta, đã có quý ông này, George Cantor, người mà chúng ta sẽ nói đến khá nhiều, ở Đức vào cuối những năm 1800.
(12:17): OK, vậy làm thế nào trong toán học, giả sử, các nhà toán học sử dụng vô hạn? Bạn đã đề cập đến việc nó có thể hữu ích như thế nào. Nó được sử dụng ở đâu?
Moore (12:27): Vâng, vì vậy, trong lớp giải tích, đó là một ký hiệu hữu ích để thực hiện một số phép tính nhất định. Nói về cách một chức năng hoạt động khi đầu vào trở nên rất lớn. Bạn có thể nói về giới hạn ở vô cực, hoặc tỷ lệ của các đại lượng khi một số tiến đến XNUMX hoặc vô cực hoặc đại loại như thế. Đó là một khái niệm về vô cực theo nghĩa đầu tiên mà tôi đã đề cập, trong đó bạn xem vô cực như một điểm lý tưởng hóa ở cuối dòng.
(12:53) Nhưng bạn cũng có thể nói về nó như — bạn biết đấy, bạn có thể, bạn có thể nói về việc đếm số phần tử của một số tập hợp hoặc một số tập hợp, và theo dõi xem nó có bao nhiêu phần tử hữu hạn hoặc có thể, nếu nó có vô số phần tử, cố gắng phân biệt giữa các kích thước khác nhau của vô cực. Ý tôi là, mọi người đều hiểu - hoặc giả vờ hiểu - sự khác biệt giữa hữu hạn và vô hạn. Và tôi nghĩ Khám phá đáng chú ý của Cantor là bạn có thể, đối với một tập hợp vô hạn, bạn có thể phân biệt thêm. Bạn có thể phân biệt giữa cái gọi là đếm được và cái gọi là không đếm được. Hoặc thậm chí nói chung, các hồng y không đếm được cao hơn so với sự khác biệt giữa các hồng y không đếm được khác nhau.
Strogatz (13:34): OK, đến đó thôi. Bởi vì điều này thực sự đưa chúng ta vào trọng tâm của chủ đề. Tôi nghĩ rằng một người bình thường lần đầu tiên nghe thấy từ “đếm được” có thể nghĩ nó có nghĩa đen là đếm được, giống như thứ gì đó có 10. Bạn biết đấy, nếu có 10 chiếc bugi trên bàn, tôi có thể đếm chúng - 1, 2, 3 , lên đến 10. Nhưng bạn và các nhà toán học khác sử dụng đếm được để có nghĩa là một cái gì đó khác hơn thế một chút.
Moore (13:56): Nó chỉ có nghĩa là bạn có thể gán một số tự nhiên cho mỗi phần tử của tập hợp sao cho không có số tự nhiên nào được sử dụng hai lần.
Strogatz (13:56): Vì vậy, một cái gì đó có thể đếm được và vô hạn.
Moore (13:57): Và vô hạn. Vì vậy, các số tự nhiên rõ ràng là đếm được vì chúng tự đếm được. Nhưng có lẽ ít rõ ràng hơn một chút là các số nguyên bao gồm các số âm của các số tự nhiên, đó là những số đếm được.
Strogatz (14:18): Hãy nói về điều đó một chút. Vì vậy, nếu một người chưa từng nghĩ về điều đó trước đây, thì điều đó thật thú vị. Bởi vì — như bạn đã nói, bạn sẽ xét tất cả các số, tất cả các số nguyên dương, tất cả các số nguyên âm và số không.
Moore (14:29): Ừ.
Strogatz (14:30): Và bạn có thể làm sai. Giống như nếu bạn bắt đầu từ số 0 và bắt đầu đếm sang phải, và bạn tiếp tục 1, 2, 3, XNUMX, bạn sẽ không bao giờ quay lại số âm. Và như vậy thì bạn sẽ không đếm được tất cả các số nguyên.
Moore (14:41): Ừ.
Strogatz: Nhưng thay vào đó bạn nên làm gì?
Moore: Điều bạn có thể làm là, bạn có thể đếm, bạn biết đấy, 0, 1, -1, và sau đó là 2, -2, 3, -3, 4, -4, 5, -5. Và nếu bạn liệt kê chúng theo cách này, thì cuối cùng bạn sẽ liệt kê mọi thứ.
Strogatz (14:55): Đẹp. Vì vậy, lập luận ngoằn ngoèo này khi bạn nhảy qua nhảy lại giữa số dương và số âm là một cách hay, có tổ chức, có hệ thống để chỉ ra rằng nếu bạn nghĩ về bất kỳ số nguyên nào, thì cuối cùng nó sẽ có trong danh sách.
Moore: Vâng. Vâng.
Strogatz(15:07): Vậy thì tuyệt. Vì vậy, OK, vì vậy các số nguyên có thể đếm được. Cantor cũng phát hiện ra một số thứ khác có thể đếm được — tôi không biết anh ấy có ngạc nhiên không, nhưng rất nhiều người trong chúng ta ngạc nhiên khi lần đầu tiên biết về nó. Như, như cái gì?
Moore (15:21): Vâng, tôi nghĩ hai ví dụ điển hình đáng ngạc nhiên là — đầu tiên, các lý lẽ. Vậy tập hợp tất cả các phân số của hai số nguyên là đếm được. Điều đó thực sự khá dễ nhận thấy khi bạn, khi bạn nghĩ về nó, bởi vì bạn chỉ có thể liệt kê tất cả các phân số có mẫu số 1 — hoặc giá trị tuyệt đối của tử số và mẫu số nhiều nhất là 1. Và sau đó, nhiều nhất là 2, nhiều nhất là 3, nhiều nhất là 4 .Và ở mỗi giai đoạn, chỉ có hữu hạn phân số mà tử số và mẫu số có độ lớn nhỏ nhất nhiều nhất là n. Và sau đó bạn có thể làm cạn kiệt tất cả các lý do theo cách đó.
Strogatz (15:55): Ví dụ, nếu tôi chọn số n là 3, bạn đang nói rằng tôi có thể có một số như 1/2 hoặc 2/1, hoặc 0/3, vì tử số cộng với mẫu số cộng lại đến 3?
Moore (16:06): Ừ. Một điều nữa, một lần nữa, hơi ngạc nhiên, là nếu bạn lấy số từ mà bạn có thể viết ra trong bảng chữ cái Latinh, hoặc bất kỳ bảng chữ cái nào bạn muốn. Có nhiều nhất có thể đếm được nhiều từ hữu hạn, hoặc chuỗi ký hiệu hữu hạn đến từ bảng chữ cái này. Nếu bạn nghĩ về tất cả các từ hoặc tất cả các câu, tất cả các tác phẩm văn học, nếu bạn thích -
Strogatz: Ồ.
Moore (16:30): — bất cứ thứ gì không chỉ tồn tại ở hiện tại mà còn có khả năng tồn tại vào một thời điểm nào đó trong tương lai. Bạn biết đấy, bạn đặt vô số con khỉ đó vào máy đánh chữ và xem kết quả đầu ra mà chúng có thể tạo ra trong một khoảng thời gian hữu hạn. Đó là tất cả chỉ là một tập hợp đếm được.
Strogatz (16:44): Chà. Vì vậy, tất cả các cuốn sách có thể có trong tất cả, giả sử, bằng tiếng Latinh, bằng tất cả các ngôn ngữ có thể mà chúng ta biết?
Moore (16:50): Bằng tất cả các ngôn ngữ có thể. Vâng. Ý tôi là, nếu bạn thích, bạn có thể có một bảng chữ cái đếm được nếu bạn thích. Điều đó không làm cho bất cứ điều gì lớn hơn.
Strogatz (16:56): Vì vậy, có thể đếm được dường như là một vô hạn rất lớn. Chưa hết —
Moore (16:59): Ừ. Điều đáng ngạc nhiên đầu tiên là những tập hợp có vẻ lớn hơn các số tự nhiên thực ra lại có cùng kích thước với các số tự nhiên. Chúng có thể đếm được. Nhưng có một điều ngạc nhiên khác, đó là các số thực, tập hợp các số thập phân, là không đếm được.
Strogatz (17:13): Vì vậy, có một điểm đáng chú ý mà bạn đã đề cập là có thể có những tập hợp không thể đếm được. Và tôi đoán, có lẽ ví dụ đơn giản nhất sẽ là: Hãy nghĩ về một đường thẳng kéo dài đến vô tận theo cả hai hướng. Vì vậy, giống như một đường thẳng dài vô tận. Dòng thực sự như chúng ta sẽ gọi nó. Đó là không thể đếm được.
Moore (17:32): Đúng. Nếu bạn, nếu bạn đưa cho tôi một danh sách, một danh sách có mục đích gồm tất cả các phần tử trên dòng đó, thì có một quy trình gọi là đối số đường chéo, cho phép bạn tạo ra một điểm mới nằm trên dòng đó, nhưng không có trong danh sách của bạn. Đó là khám phá nổi tiếng của Cantor.
Strogatz (17:49): Vì vậy, đó là một khám phá thực sự hoàn toàn đáng kinh ngạc, tôi đoán vào thời điểm đó, phải không? Bây giờ bạn có thể đột nhiên nói về hai tập hợp vô hạn và so sánh chúng.
Moore (17:58): Vâng, vâng. Và sự khác biệt giữa đếm được và không đếm được là một điều thực sự hữu ích trong toán học. Về cơ bản, các tập hợp đếm được, bạn vẫn có thể nói về các tổng có độ dài vô hạn đếm được. Đó là điều được dạy ở phần cuối của một tiêu chuẩn - phần cuối của khóa học giải tích học kỳ thứ hai. Trong khi tổng trên các tập hợp không đếm được ít có ý nghĩa hơn hoặc ít nhất bạn phải xác định chúng theo cách tinh tế hơn. Điều đó nói rằng, một cái gì đó giống như một tích phân hoặc một cái gì đó tương tự.
Strogatz (18:30): OK, vậy bây giờ chúng ta có sự khác biệt giữa đếm được, như số nguyên — 1, 2, 3, 4, 5 — và không đếm được, như điểm trên một đường thẳng. Có một câu hỏi khác mà tôi nghĩ sẽ tốt hơn nếu chúng ta có thể dành thời gian cho nó. Được gọi là giả thuyết liên tục. Bạn có thể, bạn có thể cho chúng tôi biết đó là gì?
Moore (18:50): Ừ. Vì vậy, Cantor tự hỏi: Có cái gì ở giữa không? Bạn có thể — bạn biết đấy, số tự nhiên nằm bên trong số thực và số tự nhiên đếm được. Các số thực không đếm được và lớn hơn các số tự nhiên. Có một tập hợp các số thực lớn hơn các số tự nhiên, nhưng nhỏ hơn —
Strogatz (19:10): Nhỏ hơn theo nghĩa đếm này.
Moore (19:12): — nhỏ hơn dòng? Có tập hợp điểm nào trên đoạn thẳng đó, trên trục số, lớn hơn các số tự nhiên, lớn hơn các số hữu tỉ, nhưng nhỏ hơn cả chính trục thẳng đó không? Khẳng định rằng không có tập hợp trung gian như vậy được gọi là giả thuyết liên tục. Và đó là vấn đề đầu tiên của Hilbert, liệu giả thuyết liên tục là một phát biểu đúng hay sai.
Strogatz (19:35): Uh huh, vậy Hilbert là một nhà toán học vĩ đại về vấn đề này - có thể muộn hơn một chút nhưng không lâu sau. Và vào năm - tôi nghĩ là khoảng năm 1900 hoặc khoảng đó - ông đã công bố hoặc đưa ra một danh sách những gì ông nghĩ là một số vấn đề lớn nhất cho tương lai, tại thời điểm các nhà toán học thế kỷ 20 nghiên cứu. Và tôi nghĩ đây là câu hỏi số một trong danh sách của anh ấy?
Moore (19:58): Vâng, đây là câu hỏi số một.
Strogatz (20:00): Chà. Vì vậy, nó là lớn để nghĩ về điều này. Cantor, bạn nói, gọi nó là một giả thuyết. Anh cứ nghĩ hóa ra lại là sự thật.
Moore: Vâng.
Strogatz (20:07): Rằng không có vô cực nào có thể kẹp giữa hai cái mà anh ấy đã biết về nó
Moore (20:11): Ừ. Và vấn đề là, nó tồn tại qua bài kiểm tra tìm kiếm các phản ví dụ. Ý tôi là, nếu bạn bắt đầu xem xét tất cả các tập hợp số thực, tập hợp con của dòng mà bạn có thể viết ra một mô tả hoặc bạn có thể xây dựng bằng một số phương tiện. Anh ấy đã thử cái này. Và anh ấy đã chứng minh, ý tôi là, anh ấy đã chứng minh rằng không có phản ví dụ. Thậm chí đã có những định lý từ rất sớm nói rằng các tập hợp thuộc loại này hoặc loại kia không thể là các phản ví dụ.
Strogatz (20:40): Thật tuyệt vời. Hãy để tôi chắc chắn rằng tôi nhận được điều này. Tôi chưa bao giờ nghe tuyên bố này: Chỉ riêng việc một số trong số chúng có thể mô tả được đã khiến chúng, theo một nghĩa nào đó, không đủ tốt.
Moore (20:49): Ví dụ, một tập hợp đóng có tất cả các điểm giới hạn của nó. Cantor đã chứng minh rằng đây không thể là một ví dụ phản bác. Nó có thể đếm được hoặc nó có cùng kích thước với số thực.
Strogatz (21:00): Cho nên nếu có phản ví dụ thì không thể diễn tả được.
Moore (21:04): Ừ, nó phải phức tạp.
Strogatz (21:06): Chà. Nhưng tất nhiên, có thể có một thứ, chỉ là nó sẽ là một thứ thực sự kỳ lạ.
Moore (21:12): Ừ. Vì vậy, loại đó đưa chúng ta đến một điều gì đó đang quay trở lại câu hỏi cơ bản này. Bạn biết đấy, vào khoảng thời gian đó, họ bắt đầu cố gắng hình thức hóa các tiên đề toán học là gì. Và một thời gian sau, vào khoảng — vào những năm 1930, [Kurt] Gödel đã chứng minh rằng trên thực tế, bất kỳ loại hệ thống tiên đề dễ hiểu nào mà bạn có thể đạt được mục tiêu khiêm tốn là hình thức hóa số học trên các số tự nhiên, đều nhất thiết là không đầy đủ. Có những mệnh đề mà bạn không thể chứng minh từ hệ thống tiên đề này, và bạn không thể bác bỏ chúng từ các tiên đề, bằng cách sử dụng các bằng chứng hữu hạn tiêu chuẩn.
(21:52) Và điều này, tôi nghĩ, khá sốc. Bởi vì nó cho bạn biết rằng mục tiêu bằng cách nào đó cố gắng giải quyết tất cả các vấn đề của bạn trong toán học bằng thuật toán và tạo ra một loại nền tảng thuật toán nào đó, một nền tảng hoàn chỉnh nào đó của toán học, theo một nghĩa nào đó, sẽ bị tiêu diệt. Hoặc ít nhất phải được chi phối bởi một số trực giác cao hơn ngoài - tôi không biết - những gì có sẵn vào thời điểm đó.
(22:16) Và điều mà Gödel đã chứng minh — một trong những điều mà sau này ông đã chứng minh là một trong những mệnh đề mà bạn không thể chứng minh hoặc bác bỏ là mệnh đề rằng hệ tiên đề của bạn nhất quán ngay từ đầu. Rằng nó không dẫn đến bất kỳ mâu thuẫn nào. Tuyên bố đó có thể được mã hóa như một dạng tuyên bố nào đó về lý thuyết số, về số học trên các số tự nhiên, nhưng không phải theo một cách đặc biệt tự nhiên. Nếu bạn đến và nói chuyện với một trong những nhà lý thuyết số trong khoa, họ sẽ không coi đó là một vấn đề hay một phát biểu của lý thuyết số, mặc dù về mặt kỹ thuật thì đúng như vậy. Và thế là — một câu hỏi còn sót lại từ thời Gödel là liệu giả thuyết liên tục — hay liệu có một mệnh đề toán học tự nhiên nào khác, không thể giải quyết được dựa trên hệ thống tiên đề mà chúng ta đang làm việc bên trong.
Strogatz (23:02): Vậy là có khái niệm tiên đề này. Có lẽ chúng ta nên cố gắng nhớ xem chúng trông như thế nào. Bởi vì nếu chúng tôi làm toán rất cẩn thận, chúng tôi phải đặt ra một số định nghĩa, nhưng cũng có một số điều mà chúng tôi chấp nhận — tôi không biết tại sao tôi không muốn nói “chúng tôi coi đó là điều hiển nhiên,” nhưng điều đó chúng tôi chấp nhận như nền tảng.
Moore (23:19): Ừ, ừ. Vì vậy, ý tôi là, đây là điều mà người Hy Lạp đã làm, đó là, bạn biết đấy - một trong những thành tựu trong việc hình thức hóa hình học - là, thay vì cố gắng định nghĩa hình học là gì, hãy xem nó như là: Bạn là sẽ viết ra một số thuật ngữ không xác định, sau đó viết ra các quy tắc hoặc tiên đề chi phối cách các thuật ngữ không xác định này hoạt động. Đối với họ, đó là những thứ như một điểm và một đường thẳng. Và khi một điểm nằm trên một đường thẳng, đó là những khái niệm không xác định. Và khi một điểm nằm giữa hai điểm khác trên một đường thẳng, đó là những khái niệm không xác định. Và sau đó bạn viết ra một tập hợp các tiên đề chi phối cách thức hoạt động của những khái niệm này. Và nếu bạn đã làm đúng, thì mọi người đều đồng ý rằng những tính chất này rõ ràng là đúng với những thứ này, những thứ này. Và do đó, những tiên đề này là những thứ hiển nhiên là đúng.
(23:19) Đối với hình học, bạn biết đấy, có định đề song song nổi tiếng này, mà — bạn không thể suy ra nó từ những định đề khác. Và nó có phần mang tính cách mạng, khi người ta phát hiện ra rằng bạn thực sự có thể xây dựng các mô hình hình học thỏa mãn tất cả các tiên đề chứ không phải định đề song song. Và do đó, định đề song song không thể chứng minh được từ các tiên đề khác. Vì vậy, theo một nghĩa nào đó, những gì Gödel đã làm là phát triển một phương pháp để làm điều đó, nhưng ở cấp độ các mô hình toán học, hoặc ít nhất là các mô hình của hệ thống tiên đề này mà chúng ta có cho toán học.
Strogatz (24:45): Aha, cách nói thú vị đấy. Vì vậy, giống như, nơi chúng ta có hình học Euclide và sau đó chúng ta cũng có những hình học phi Euclide mới lạ hơn này, mà Einstein nổi tiếng đã sử dụng trong thuyết tương đối rộng, nhưng chúng cũng được sử dụng ở những nơi khác. Và chúng cũng tốt như hình học Euclid về mặt logic. Nhưng bây giờ thay vì chỉ nói về hình học, bạn đang nói rằng nó giống như chúng ta có thể có truyền thống — à, tôi không chắc những từ đó là gì. Tương tự của hình học Euclide là gì? Có toán học truyền thống?
Moore (25:16): Đó là một câu hỏi mở. Ý tôi là, ý tôi là - tôi nghĩ đó là một phần câu hỏi triết học. Có lẽ đó là một câu hỏi xã hội học, bởi vì đó là vấn đề toán học là gì, phải không? Nó quay trở lại câu hỏi cơ bản đó. Và tôi nghĩ rằng các tiên đề mà chúng ta có Các tiên đề ZFC đã được phát triển hơn 100 năm trước, là những tiên đề mà chúng ta thường đồng ý rằng chúng đúng, hoặc đây là, đây là những thuộc tính mà “bộ” nên có, nhưng chúng' không hoàn thành.
Strogatz (25:44): Chà, chờ đã, hãy giải nén tất cả những thứ đó. Điều đó nghe có vẻ tốt. Vậy ZFC, tại sao chúng ta không bắt đầu với điều đó? Đó là tên của một số người và một sự vật.
Moore (25:51): Vâng, vâng. “Lý thuyết tập hợp Zermelo-Fraenkel” với một thứ gọi là “tiên đề của sự lựa chọn.” Vâng.
Strogatz (25:55): Được. Và đó là những quy tắc của trò chơi được chấp nhận rộng rãi.
Moore (25:59): Vâng, đó là một danh sách các tiên đề — nó khá dài, nhưng không quá dài. Những thứ như, nếu bạn có hai tập hợp, thì có một tập hợp có cả hai phần tử của chúng. Tiên đề ghép nối, mà bạn có thể lấy hợp của một tập hợp các tập hợp, và đó là một tập hợp. Và như thế.
Strogatz (26:15): Được. Vì vậy, có một cách ZFC để thực hiện lý thuyết tập hợp, đó là, bạn nói, được đề xuất vào một thời điểm nhất định và mọi người thích nó, nhưng sau đó bạn nói rằng nó chưa hoàn chỉnh?
Moore (26:26): Ừ. Vì vậy, nó là một cái gì đó mà bạn có thể viết. Một thuật toán máy tính để liệt kê các tiên đề. Đó là một tập hợp vô hạn các tiên đề. Nhưng ngoại trừ hai loại cụm tiên đề, nó là hữu hạn. Nếu bạn không chú ý, bạn sẽ thực sự nghĩ rằng những cụm tiên đề này, mỗi cụm tiên đề khác này là các tiên đề đơn lẻ. Nhưng chúng thực sự là một họ tiên đề vô tận. Bạn có thể tạo ra một chương trình máy tính đưa ra tất cả các tiên đề. Chúng tôi có xu hướng tin rằng ZFC nhất quán vì chúng tôi chưa phát hiện ra bất kỳ mâu thuẫn nào. Nếu bạn tin điều đó, thì theo định lý bất toàn của Gödel, ZFC sẽ không thể chứng minh rằng nó nhất quán.
(27:03) Và do đó, có những tuyên bố, chẳng hạn như tính nhất quán của ZFC, mà ZFC không thể chứng minh. Đó là một điểm thú vị. Bởi vì một lần nữa, chúng tôi tin rằng ZFC nhất quán. Và đó, ý tôi là, một trong những lý do mà, ý tôi là… Hầu hết các nhà toán học, họ sẽ làm việc dựa trên niềm tin rằng CFC là nhất quán. Phải? Nhưng đó là điều mà chúng tôi coi là một tuyên bố đúng. Nhưng đó không phải là điều mà bản thân ZFC đủ để chứng minh.
Strogatz (27:27): Tôi chỉ đang suy nghĩ thôi. Trên đường đến đây, chúng tôi đã đề cập đến Gödel. Tôi không biết rằng chúng tôi đã nói anh ấy là ai. Bạn có muốn nói với chúng tôi một thời gian ngắn?
Moore (27:34) Đúng vậy. Ý tôi là, anh ấy là một nhà logic học cách mạng. Điều này, Định lý Bất toàn là một trong những thành tựu chính của ông. Và thành tựu quan trọng khác của ông là chỉ ra rằng không thể bác bỏ giả thuyết liên tục bằng cách sử dụng các tiên đề ZFC.
Strogatz (27:49): Một số người coi ông là nhà logic học vĩ đại nhất kể từ sau Aristotle. Và Einstein, bạn và đồng nghiệp của ông tại Viện Nghiên cứu Cao cấp, cho biết ông rất thích có vinh dự được đi bộ đến nơi làm việc cùng. Kurt Godel. Ý tôi là, anh ấy ở cùng một liên minh trí tuệ với Einstein. Nếu bạn chưa nghe nói về anh ấy, tôi khuyên bạn nên xem một cuốn sách về anh ấy có tên Hành trình đến bờ vực của lý trí. Một cuốn sách tuyệt vời về cuộc đời của Gödel. Nhưng OK, vậy ông ấy, đúng vậy, ông ấy là một nhà logic học giữa thế kỷ 20, đầu thế kỷ 20. Và bạn nói rằng anh ấy đã chứng minh điều đó - tốt, hãy nói lại về giả thuyết liên tục?
Moore (28:23): Trong bất kỳ mô hình lý thuyết tập hợp nào, ông đã xây dựng một mô hình lý thuyết tập hợp nhỏ hơn thỏa mãn giả thuyết liên tục. Và điều đó cho thấy rằng bạn không thể bác bỏ giả thuyết liên tục trong các tiên đề của lý thuyết tập hợp. Từ một mô hình của lý thuyết tập hợp, nếu bạn có, thì tôi có thể tạo ra một mô hình mới, thỏa mãn giả thuyết liên tục.
Strogatz (28:43): Tôi hiểu rồi. Vì vậy, có thể có các phiên bản của lý thuyết tập hợp, loại phiên bản nhỏ hơn, mà vẫn đủ để làm số học, tôi cho là vậy.
Moore: Vâng.
Strogatz (28:51): Nhưng trong đó, OK, giả thuyết liên tục là đúng, giống như Cantor đã đoán.
Moore: Vâng.
Strogatz (28:56): Và sau đó. Nhưng sau đó - có một chữ “nhưng” lớn trong câu chuyện này.
Moore (28:59): Ừ. Rất nhiều, rất nhiều năm sau, [Paul] Cohen đã phát triển một kỹ thuật gọi là cưỡng bức cho phép ông phóng to các mô hình của lý thuyết tập hợp. Và bằng cách sử dụng điều này, ông đã chứng minh rằng bạn không thể chứng minh giả thuyết liên tục. Ngoại trừ kỹ thuật của anh ấy cũng có thể được sử dụng để chứng minh rằng bạn không thể bác bỏ nó. Cái này, ừ, kỹ thuật gọi là ép buộc này thực sự, nó rất mạnh. Buộc và kỹ thuật xây dựng một mô hình nhỏ hơn trong mô hình lý thuyết tập hợp của bạn. Đây là hai loại công cụ mà chúng ta có để xây dựng các mô hình lý thuyết tập hợp mới từ các mô hình lý thuyết tập hợp cũ.
Moore (29:32): Trở lại với phép loại suy hình học. Ý tôi là, ngay cả những mô hình của mặt phẳng hypebol này, vốn là những mô hình hình học phi Euclide - bản thân những mô hình này bắt đầu bằng cách lấy mặt phẳng Euclide hoặc một tập hợp con của nó và xây dựng mô hình hình học như các điểm và đường ở đó. Các điểm chỉ là điểm bình thường trên đĩa này. Và các đường thẳng có các vòng tròn, các vòng tròn nhất định trong hình học ban đầu. Vấn đề mà tôi đang cố gắng đưa ra là đây là một loại điều hiệu quả mà bạn làm trong toán học. Bạn thường bắt đầu với một số cấu trúc thỏa mãn hệ thống tiên đề của mình, chẳng hạn như một hình học thỏa mãn các tiên đề hình học của bạn, và bằng cách nào đó bạn thao tác với nó và tạo ra một thứ mới, thứ có thể thỏa mãn một tập hợp các tiên đề khác. Đó là điều mà Cohen và Gödel đang làm, đó là họ đang sử dụng một mô hình các tiên đề của lý thuyết tập hợp — và do đó, theo một nghĩa nào đó, là một mô hình toán học — và vận dụng nó bằng nhiều kỹ thuật khác nhau để tạo ra các mô hình mới thỏa mãn cả hai giả thuyết liên tục là đúng, hoặc giả thuyết liên tục là sai.
Strogatz (30:36): Vì vậy, điều này thực sự tuyệt vời đối với tôi, và tôi chắc chắn với nhiều người rằng, bạn biết đấy... Giống như, Plato có triết lý này, rằng có những hình thức lý tưởng nhất định ngoài kia và những sự thật mà — có lẽ chúng ta có thể không nhìn thấy chúng ở đây trên Trái đất, nhưng trong một cõi Platon nào đó, sự thật của chúng tồn tại.
Moore: Tuyệt.
Strogatz (30:57): Và bạn sẽ cảm thấy như những con số thực tồn tại, cho dù con người có nghĩ về chúng hay không, và rằng giả thuyết liên tục hoặc đúng với số thực, hoặc không. Nhưng bạn đang nói với tôi?
Moore (31:09): Ý tôi là, vâng, có nhiều trường phái tư tưởng khác nhau về vấn đề này. Ý tôi là, bạn không thể — bạn có thể xem nó như là, có một thứ mà tôi nghĩ dưới cái tên, cái nhìn chung về đa vũ trụ đó, rằng bạn không thể nói gì hơn nữa. Chỉ có tất cả các mô hình này của lý thuyết tập hợp. Và điều tốt nhất mà chúng ta có thể làm là cố gắng hiểu điều gì là đúng trong mỗi người trong số họ và di chuyển giữa chúng. Và đó là một cách nhìn rất phi-Platonic về mọi thứ, một kiểu quan điểm hình thức về mọi thứ. Bạn cũng có thể có quan điểm rằng có một số mô hình lý thuyết tập hợp có thể được ưa thích hơn. Đó là, bạn biết đấy, thực tế mà chúng ta đang sống, và tất cả những mô hình khác này, chúng là mô hình của các tiên đề, nhưng chúng không thực sự là thứ mà chúng ta đang cố gắng mô tả bằng các tiên đề. Tôi nghĩ rằng sự tương tự với hình học có phần minh họa ở đó, phải không? Ý tôi là, bạn có thể tạo ra nhiều mô hình hình học khác nhau. Nhưng chúng ta vẫn sống trong một thế giới vật chất có hình học và có lẽ đó là hình học mà chúng ta quan tâm nhất.
Strogatz (32:03): Tôi hiểu rồi. Vì vậy, theo cùng một cách mà chúng ta có thể cho hình học Euclid một số trạng thái ưa thích bởi vì nó là trạng thái mà chúng ta đã quen thuộc. Đó là cách đã có từ lâu, bởi vì nó dễ nhất và rõ ràng nhất, nhưng chúng tôi vẫn nghĩ rằng những cách khác là tốt và chúng có các lĩnh vực hữu ích và thú vị.
Moore (32:20): Nhưng có lẽ điều đáng được chỉ ra ở đó, đó là ngay cả sự hiểu biết của chúng ta về - Chà, trước tiên, tôi không chắc rằng chúng ta đang sống trong hình học Euclide. Nhưng có, có một câu hỏi về điều đó. Nhưng ngay cả sự hiểu biết của chúng ta về thế giới vật chất cũng phong phú hơn rất nhiều khi hiểu tất cả các dạng hình học khác này, sự khám phá miễn phí các mô hình hình học khác này. Và điều này cũng đúng với lý thuyết tập hợp. Tôi nghĩ, ngay cả khi trong tương lai, chúng ta đạt được sự đồng thuận nhất định về đâu là tiên đề mới cho lý thuyết tập hợp, thì việc đến đích đó là điều chắc chắn sẽ không thể thực hiện được nếu không có tất cả quá trình khám phá diễn ra trước đó.
Strogatz (33:00): Việc chứng minh hoặc bác bỏ giả thuyết liên tục có nghĩa là gì? Đối với mỗi trại này? Những gì bị đe dọa?
Moore (33:08): Vâng, đó là - OK, vì vậy tôi nghĩ phe ủng hộ loại quan điểm “tất cả các thế giới” này sẽ chỉ nói rằng đây là một câu hỏi vô nghĩa. Việc Cohen và Gödel và các kỹ thuật xây dựng nhiều mô hình của lý thuyết tập hợp của họ gần như là phần cuối của cuộc thảo luận. Và bạn biết đấy, có thể chúng ta sẽ tạo ra rất nhiều mô hình lý thuyết tập hợp mới, nhưng chúng ta sẽ không bao giờ có câu trả lời cuối cùng cho việc nói rằng giả thuyết liên tục là đúng hay sai. Những người có quan điểm rằng có một số loại đúng hoặc sai đối với tuyên bố đó, có lẽ sẽ cố gắng đưa ra một số tiên đề mới và có lẽ là một số lời biện minh dựa trên kinh nghiệm cho lý do tại sao tiên đề này phải đúng - hoặc là một lời biện minh theo kinh nghiệm hoặc có thể là một lời biện minh thực dụng. vì sao nó đúng. Và sau đó một khi bạn lập luận rằng tiên đề này nên được chấp nhận, rằng bằng cách nào đó nó gói gọn một số trực giác mà chúng ta có về toán học hoặc các tập hợp, thì nếu tiên đề này cũng chứng minh hoặc bác bỏ giả thuyết liên tục theo một nghĩa chính thức của từ này, thì bạn sẽ xem CH đó đúng hay sai.
Strogatz (34:12): Vậy chúng ta đang ở đâu bây giờ. Rằng thực sự có hai trại này vào lúc này.
Moore (34:16): Vâng, ở một mức độ nào đó. Đã quá lâu kể từ khi giả thuyết liên tục được chứng minh là không thể quyết định dựa trên các tiên đề, tôi nghĩ rằng hầu hết các nhà toán học đã quen với thực tế rằng có lẽ đó là điều tốt nhất mà bạn có thể nói. Và tôi nghĩ sẽ thật tuyệt vời vào thời điểm này nếu toàn bộ các nhà toán học có thể tập hợp xung quanh một số kinh nghiệm mới mà bạn biết đấy, mọi người đều có thể đồng ý rằng nó phải đúng. Và có lẽ điều đó sẽ không bao giờ xảy ra. Có thể, có thể cộng đồng có quá nhiều quan điểm khác nhau trong đó. Công bằng mà nói, tôi nghĩ rằng - tôi nghĩ rằng đó là một quan điểm đồng thuận, nhưng không phải là quan điểm phổ quát, rằng ZFC là tập hợp các tiên đề thực sự cho toán học. Chắc chắn có những người cho rằng bất cứ thứ gì vô hạn đều không tồn tại. Và nó không có ý nghĩa gì để nói về nó và chúng ta không nên nói về nó.
Strogatz (35:05): Chà, đó là một truyền thống lâu đời. Ý tôi là, đó là — Aristotle đã bảo chúng ta hãy coi chừng sự vô tận. Và trong suốt lịch sử toán học, thậm chí những người vĩ đại như [Carl Friedrich] Gauss đã rất cẩn thận về khái niệm về sự vô tận đã hoàn thành này, đó là điều mà Cantor đã mở ra cho chúng ta cái hộp giun này. Nhưng tôi không biết rằng đó là giun. Có vẻ như nó - bạn biết đấy, có hại gì không? Mà là chúng ta đang thả sức tưởng tượng và khám phá ra rất nhiều điều thú vị.
(35:30) Nhưng tôi có một câu hỏi. Là một người không phải là nhà lý thuyết tập hợp, tôi không muốn hỏi nó một cách bất lịch sự. Nhưng nó có thể phát ra âm thanh hơi bất lịch sự, mà - bạn biết tôi đang đi đâu, phải không? Giống như, điều này ảnh hưởng đến tôi như thế nào? Phần còn lại của toán học có cảm nhận được những rung động đang xảy ra trong lý thuyết tập hợp không? Hay chúng tôi được cách ly khỏi những gì các bạn đang làm?
Moore (35:49): Đó là một câu hỏi hay. Tôi nghĩ rằng hầu hết các nhà toán học không bao giờ gặp phải một tuyên bố không thể chứng minh cũng như không thể bác bỏ trong hệ thống tiên đề toán học thông thường trong ZFC. Và các nhà lý thuyết tập hợp ở một mức độ nào đó đã tìm ra lời giải thích cho điều đó. Có một mô hình của lý thuyết tập hợp lớn hơn mô hình ban đầu của Gödel nhưng nhỏ hơn vũ trụ của tất cả các tập hợp được gọi là mô hình cơ sở vững chắc, đó là [Robert] Solovay được phát hiện vào khoảng thời gian Cohen làm việc. Và khám phá đáng chú ý là mô hình này - những gì đúng trong đó không thể bị ảnh hưởng bởi sự ép buộc. Và do đó, về cơ bản, nếu bạn có thể diễn đạt điều gì đó về điều đúng trong mô hình đó hoặc điều sai trong mô hình đó, thì đó là điều gần như miễn nhiễm với hiện tượng độc lập.
(36:35) Vấn đề là mô hình lý thuyết tập hợp này không — không thỏa mãn tiên đề lựa chọn. Vì vậy, tiên đề của sự lựa chọn là - đây là một hộp giun khác ở đây. Nhưng một trong những lý do khiến tiên đề lựa chọn khác với những tiên đề khác là nó không mang tính xây dựng. Tất cả các tiên đề khác cho bạn biết rằng một tập hợp nào đó mà bạn có một mô tả, trên thực tế, là một tập hợp. Đó chỉ là cách các tiên đề hoạt động. Nhưng tiên đề của sự lựa chọn cho bạn biết rằng với một tập hợp các tập hợp không trống, bạn có thể chọn thứ gì đó từ mỗi tập hợp đó — do đó có sự lựa chọn — nhưng nó không cho bạn biết bạn sẽ thực hiện lựa chọn như thế nào. Đây là một tiên đề, một mặt, cho phép chúng ta xây dựng tất cả những thứ kỳ lạ, nghịch lý. Tôi đoán bạn biết đấy, trong sân bóng của 100 năm trước hoặc lâu hơn, giống như những tập hợp không thể đo lường được, bất kể đó là gì. Có sự phân hủy khối cầu nổi tiếng này, đó là Nghịch lý Banach-Tarski, cái đó -
Strogatz (37:29): Ồ, thật thú vị.
Moore (37:32): — bạn có thể cắt quả cầu thành nhiều mảnh hữu hạn, rồi ghép chúng lại thành hai quả cầu có cùng kích thước với quả cầu ban đầu. Và bây giờ lý do tại sao điều đó lại vô lý là bạn phải có khả năng gán khối lượng cho từng - bạn biết đấy, cho quả cầu ban đầu, rồi gán khối lượng cho tất cả những mảnh mà bạn có thể cắt nó thành, và những mảnh đó phải thêm vào khối lượng ban đầu. Và sau đó khi bạn sắp xếp lại chúng, quá trình đó sẽ không làm thay đổi khối lượng. Nhưng bằng cách nào đó, khi bạn ráp chúng lại, bạn có khối lượng gấp đôi ban đầu. Bây giờ, điểm mấu chốt trong lập luận đó - nơi mọi thứ trở nên sai lầm là việc cắt khối cầu mà tiên đề lựa chọn cho phép bạn làm tệ đến mức bạn không thể ấn định khối lượng cho những mảnh mà bạn có.
(38:11) Bây giờ, hành vi nghịch lý đó đã khiến mọi người nghĩ rằng tiên đề lựa chọn có lẽ có vấn đề. Có lẽ nó sẽ dẫn đến một loại nghịch lý nào đó trong chính toán học. Và do đó, tiên đề lựa chọn không nên được chấp nhận. Một trong những điều mà Gödel đã chứng minh đồng thời với việc ông chứng minh rằng bạn không thể bác bỏ giả thuyết liên tục, đó là việc giả định tiên đề lựa chọn cũng an toàn. Nghĩa là, nếu các tiên đề của ZFC không có tiên đề lựa chọn là nhất quán, thì tập các tiên đề của ZFC có tiên đề lựa chọn cũng nhất quán. Nó mang đến cho bạn rất nhiều thứ kỳ lạ, có thể kỳ lạ, nhưng từ quan điểm cơ bản, nó không gây ô nhiễm nước.
(38:51) Một thời gian sau, người ta phát hiện ra thứ gọi là bổ đề Zorn, hóa ra lại tương đương với tiên đề lựa chọn. Và nó thực sự rất hiệu quả để phát triển nhiều ngành toán học khác nhau. Đó là điều mà — bạn tìm hiểu về nó nếu bạn là sinh viên đại học nâng cao hoặc nếu bạn là sinh viên mới tốt nghiệp ngành toán. Bằng cách nào đó, nó chỉ là một phần của việc học cần thiết để lấy bằng tốt nghiệp về toán. Và vì tiện ích cực kỳ này, đó là thứ mà ngày nay chúng ta chỉ chấp nhận. Tôi nghĩ rằng hầu hết các nhà toán học không cảm thấy thoải mái khi làm việc mà không có tiên đề lựa chọn, chỉ vì trong nhiều trường hợp, họ có thể sử dụng nó mà không hề hay biết.
(39:31) Vì vậy, tôi nghĩ đây cũng là một ví dụ về cách chúng ta có thể giải quyết giả thuyết liên tục. Đó là chúng ta khám phá ra một số tiên đề trong tương lai rất hữu ích trong việc phát triển toán học hơn nữa, đến mức chúng ta chỉ coi tiên đề này đúng ở một mức độ nào đó. Đó là những gì đã xảy ra với bổ đề Zorn. Và với tiên đề lựa chọn, đó không phải là điều ban đầu được xem là đúng. Trên thực tế, ban đầu nó được xem với một số hoài nghi.
Strogatz (39:56): Nhưng hãy để tôi xem liệu tôi có thể không, vì nó có thể... Bây giờ chúng ta đã nói rất nhiều về tiên đề lựa chọn: Mối quan hệ của nó với giả thuyết liên tục. Có một cách súc tích để nói đó là gì?
Moore (40:06): Bạn biết đấy, tiên đề lựa chọn và giả thuyết liên tục có một mối quan hệ kỳ lạ bởi vì chúng… OK, giả thuyết liên tục, từ quan điểm của một nhà lý thuyết tập hợp, nó cho phép bạn xây dựng rất nhiều điều kỳ lạ . Nó cho phép bạn thực hiện một công trình dài vô hạn, thậm chí dài không đếm được, trong đó bạn làm mọi thứ theo một cách rất có kiểm soát, một cách có thuật toán. Và xây dựng một số đối tượng kỳ lạ mà bạn đã duy trì rất nhiều quyền kiểm soát trên đường đi. Trong trường hợp không có tiên đề lựa chọn, giả thuyết liên tục, như tôi đã nói ban đầu, rằng không có bộ quy tắc nào là trung gian, đó là thứ không có cùng ý nghĩa như thể tiên đề lựa chọn là đúng. Và lý do cho điều đó là, chẳng hạn, trong trường hợp không có tiên đề lựa chọn, bạn có thể nói về những phiên bản thậm chí còn mạnh hơn của giả thuyết liên tục. Giống như, mọi tập hợp con của dãy số này, dãy số thực, đều có thể đếm được hoặc có một bản sao của tập hợp Cantor nằm bên trong nó. Giống như, có một loại cây điểm, cây nhị phân gồm các điểm nằm bên trong tập hợp của bạn. Và đây là một cách rất cụ thể để nói rằng nó có cùng kích thước với các số thực.
Strogatz (41:14): Vì vậy, đối với phần còn lại của chúng ta trong toán học ngoài lý thuyết tập hợp, liệu chúng ta có nên mất ngủ vì - điều dường như là - loại trạng thái không xác định tại thời điểm của giả thuyết liên tục? Chúng tôi đã nói rằng nó không thể quyết định được trong mô hình tiêu chuẩn của lý thuyết tập hợp. Bạn biết đấy, nó có quan trọng không? Nó có ảnh hưởng đến phần còn lại của toán học không?
Moore (41:35): Hầu hết câu trả lời là không. Nhưng nó không hoàn toàn được biết đến. Giả thuyết liên tục Đó là sự thật trong người mẫu Solovay, ví dụ: Mọi tập hợp số thực đều đếm được hoặc có một tập đóng các số thực bên trong nó không đếm được và không có điểm cô lập. Nhưng có những mệnh đề xuất hiện trong toán học, những câu hỏi xuất hiện một cách tự nhiên, thuộc loại hữu cơ trong các lĩnh vực khác, nơi hóa ra chúng phụ thuộc vào giả thuyết liên tục hoặc thứ gì đó khác, không phụ thuộc vào các tiên đề của ZFC. Một ví dụ về điều này là thứ gọi là giới hạn trung gian, là một thiết bị hữu ích trong xác suất và một số phần của xác suất để lấy giới hạn của mọi thứ và vẫn duy trì rằng mọi thứ đều có thể đo lường được. Giới hạn trung gian là thứ mà bạn có thể xây dựng bằng cách sử dụng giả thuyết liên tục, nhưng chúng không phải là thứ bạn có thể xây dựng trong ZFC.
Strogatz (42:27): Phải nói là điều này làm tôi rất vui. Ý tôi là, tôi muốn tin rằng toán học là một trang web lớn. Và điều đó, giống như một câu ngạn ngữ cổ, “No man is a island,” từ ai, tôi không biết. Nhưng dù sao đi nữa, tôi không muốn bất kỳ phần nào của toán học là một hòn đảo. Vì vậy, tôi ghét nghĩ rằng lý thuyết tập hợp bằng cách nào đó là một số - ý tôi là, sẽ không ai nói là như vậy, nhưng ngay cả phần chứa giả thuyết liên tục, tôi không muốn điều đó bị tách rời khỏi lục địa lớn. Và có vẻ như không phải vậy.
Moore (42:52): Đúng. Nếu bạn lấy một không gian Hilbert, và bạn nhìn vào các toán tử bị chặn, và các toán tử compact, đây là những đại số đối tượng đã được nghiên cứu kỹ lưỡng trong toán học. Bạn có thể lấy một thương số của họ. Nghiên cứu cái được gọi là nhóm tự đẳng cấu của nó là điều mà một nhà toán học có thể thắc mắc. Và thực sự, Brown, Douglas và Fillmore đã hỏi về điều đó vào những năm 1970. Và người ta biết rằng giả thuyết liên tục đúng hay sai có liên quan đến việc có hay không các phép đồng cấu rất phức tạp của đại số đó. Bạn biết đấy, đó là một đối tượng tiêu chuẩn trong khóa học giải tích hàm mà bạn sẽ dạy ở cấp độ sau đại học. Và đây là những thuộc tính rất, rất cơ bản của đối tượng này.
(43:34) Nhưng vấn đề là, nhìn bề ngoài thì đây là một vấn đề — đây không phải là vấn đề trong lý thuyết tập hợp. Các nhà lý thuyết tập hợp khác nhau có những quan điểm khác nhau về lý do tại sao chủ đề này lại quan trọng. Nhưng đối với tôi, đây là lý do tại sao chủ đề này - nó quan trọng để làm gì. Đó là nó đóng vai trò duy nhất có thể cho bạn biết khi nào bạn đặt câu hỏi mà có thể không thể quyết định được, dựa trên các tiên đề. Bởi vì bạn không muốn nghiên cứu vấn đề này mà bạn không thể quyết định mà không có bất kỳ thành công nào trong nhiều năm và nhiều năm. Và nếu ai đó có thể nói với bạn rằng, “Chà, bạn sẽ không bao giờ thực sự tìm ra giải pháp cho vấn đề đó, bởi vì bạn không thể chứng minh hay bác bỏ điều đó,” phải không? Đó là một điều tốt để biết.
Strogatz (44:13): Được rồi. Chà, với tôi, đây là một thông điệp rất khích lệ mà bạn đang đưa ra, Justin, rằng - John Donne! Đó là cái tên tôi đang tìm, John Donne. Và hãy nói điều này theo cách hiện đại: Không ai là một hòn đảo. Và điều tương tự không có phần nào của toán học. Có - ngay cả những thứ có vẻ bí truyền nhất nằm ngoài phạm vi của lý thuyết tập hợp vẫn được liên kết thành các phần rất thực tế của toán học, theo xác suất, trong phân tích chức năng làm nền tảng cho lý thuyết lượng tử. Vì vậy, đây là một tin mới đối với tôi và tôi chỉ muốn cảm ơn bạn đã khai sáng cho chúng tôi. Điều này thật thú vị. Cảm ơn.
Moore (44:46): Cảm ơn vì đã có tôi.
Người báo cáo (44:46): Khám phá thêm những bí ẩn toán học trong Quanta cuốn sách Âm mưu số nguyên tố, được xuất bản bởi The MIT Press, hiện có sẵn tại Amazon.com, Barnesandnoble.com, hoặc hiệu sách địa phương của bạn. Ngoài ra, hãy đảm bảo nói với bạn bè của bạn về podcast này và cho chúng tôi đánh giá tích cực hoặc theo dõi nơi bạn nghe. Nó giúp mọi người tìm Niềm vui của tại sao.
Strogatz (45: 12): Niềm vui của tại sao là một podcast từ Tạp chí Quanta, một ấn phẩm độc lập về mặt biên tập được hỗ trợ bởi Quỹ Simons. Các quyết định tài trợ của Quỹ Simons không ảnh hưởng đến việc lựa chọn chủ đề, khách mời hoặc các quyết định biên tập khác trong podcast này hoặc trong Tạp chí Quanta. Niềm vui của tại sao được sản xuất bởi Susan Valot và Polly Stryker. Các biên tập viên của chúng tôi là John Rennie và Thomas Lin, với sự hỗ trợ của Matt Carlstrom, Annie Melcher và Zach Savitsky. Nhạc chủ đề của chúng tôi do Richie Johnson sáng tác, Julian Lin đã nghĩ ra tên podcast. Hình minh họa tập phim là của Peter Greenwood và logo của chúng tôi là của Jaki King. Đặc biệt cảm ơn Burt Odom-Reed tại Cornell Broadcast Studios. Tôi là người dẫn chương trình của bạn Steve Strogatz. Nếu bạn có bất kỳ câu hỏi hoặc nhận xét nào cho chúng tôi, vui lòng gửi email cho chúng tôi theo địa chỉ Cảm ơn vì đã lắng nghe.
- Phân phối nội dung và PR được hỗ trợ bởi SEO. Được khuếch đại ngay hôm nay.
- Platoblockchain. Web3 Metaverse Intelligence. Khuếch đại kiến thức. Truy cập Tại đây.
- Đúc kết tương lai với Adryenn Ashley. Truy cập Tại đây.
- nguồn: https://www.quantamagazine.org/how-can-some-infinities-be-bigger-than-others-20230419/
- : có
- :là
- ][P
- $ LÊN
- 1
- 10
- 100
- 11
- 28
- 39
- 7
- 8
- a
- Có khả năng
- Giới thiệu
- về nó
- Tuyệt đối
- AC
- Chấp nhận
- thành tích
- thành tựu
- thực sự
- tiên tiến
- ảnh hưởng đến
- Sau
- thuật toán
- thuật toán
- theo thuật toán
- Tất cả
- cho phép
- dọc theo
- Bảng chữ cái
- Đã
- Mặc dù
- tuyệt vời
- số lượng
- phân tích
- Xưa
- và
- công bố
- Một
- trả lời
- bất kì
- ứng dụng
- Apple
- các ứng dụng
- LÀ
- tranh luận
- đối số
- xung quanh
- đến
- Nghệ thuật
- AS
- Liên kết
- At
- sự chú ý
- có sẵn
- Trung bình cộng
- trở lại
- Bad
- cơ sở
- dựa
- cơ bản
- Về cơ bản
- BE
- đẹp
- bởi vì
- trở nên
- trở thành
- được
- trước
- Bắt đầu
- được
- Tin
- Berkeley
- Bertrand
- BEST
- Hơn
- giữa
- Ngoài
- lớn
- lớn hơn
- lớn nhất
- Một chút
- Khối
- cuốn sách
- Sách
- chi nhánh
- một thời gian ngắn
- Mang lại
- phát sóng
- xây dựng
- Xây dựng
- đốt cháy
- by
- tính toán
- cuộc gọi
- gọi là
- Cuộc gọi
- cambridge
- Trại
- CAN
- không thể
- mà
- cẩn thận
- Carl
- trường hợp
- bình thường
- Catch
- Thế kỷ
- nhất định
- chắc chắn
- thay đổi
- tính cách
- Charles
- sự lựa chọn
- vòng tròn
- tốt nghiệp lớp XNUMX
- trong sáng
- đóng cửa
- đồng nghiệp
- bộ sưu tập
- bộ sưu tập
- Đến
- thoải mái
- đến
- Bình luận
- Chung
- cộng đồng
- so sánh
- hoàn thành
- Hoàn thành
- phức tạp
- sáng tác
- máy tính
- khái niệm
- khái niệm
- Sự đồng thuận
- Hãy xem xét
- thích hợp
- xây dựng
- xây dựng
- xây dựng
- chứa
- lục địa
- liên tục
- Continuum
- điều khiển
- kiểm soát
- gây tranh cãi
- Conversation
- có thể
- Counter
- Khóa học
- tạo ra
- tò mò
- Cắt
- cắt
- Ngày
- quyết định
- quyết định
- sâu
- sâu sắc hơn
- Bằng cấp
- bộ
- phụ thuộc
- mô tả
- Mô tả
- điểm đến
- phát triển
- phát triển
- phát triển
- thiết bị
- sơ đồ
- ĐÃ LÀM
- khác nhau
- chữ số
- kích thước
- công bố thông tin
- khám phá
- phát hiện
- khám phá
- phát hiện
- thảo luận
- thảo luận
- thảo luận
- khác biệt
- phân biệt
- Không
- làm
- lĩnh vực
- dont
- Doomed
- cửa ra vào
- tăng gấp đôi
- xuống
- lái xe
- mỗi
- Đầu
- trái đất
- dễ nhất
- Cạnh
- Biên tập
- hay
- thành phần
- các yếu tố
- Endless
- đủ
- Làm giàu
- hoàn toàn
- Tương đương
- chủ yếu
- Ngay cả
- cuối cùng
- Mỗi
- mọi người
- tất cả mọi thứ
- phát triển
- chính xác
- ví dụ
- ví dụ
- Trừ
- ngoại lệ
- kích thích
- triển lãm
- tồn tại
- Exotic
- giải thích
- thăm dò
- khám phá
- thể hiện
- thêm
- cực
- vải
- Đối mặt
- thất bại
- công bằng
- khá
- đức tin
- gia đình
- nổi tiếng
- nổi tiếng
- NHANH
- Yêu thích
- nỗi sợ hãi
- Đặc tính
- đồng bào
- vài
- Lĩnh vực
- cuối cùng
- Tìm kiếm
- Tên
- lần đầu tiên
- Cá
- theo
- Trong
- mãi mãi
- chính thức
- Chính thức
- các hình thức
- Nền tảng
- Foundations
- phân số
- Miễn phí
- người bạn
- bạn bè
- từ
- Full
- vui vẻ
- chức năng
- chức năng
- chức năng
- tài trợ
- xa hơn
- tương lai
- trò chơi
- Tổng Quát
- nói chung
- tạo ra
- thế hệ
- hào phóng
- Nước Đức
- được
- nhận được
- Cho
- được
- cho
- Cho
- Go
- mục tiêu
- Đi
- đi
- tốt
- cấp
- tốt nghiệp
- cấp
- tuyệt vời
- lớn nhất
- rất nhiều
- Hy lạp
- Rừng xanh
- Nhóm
- đoán
- khách
- tay
- xảy ra
- đã xảy ra
- Xảy ra
- vui mừng
- Có
- có
- he
- đứng đầu
- nghe
- nghe
- Trái Tim
- đã giúp
- hữu ích
- giúp
- tại đây
- cao hơn
- sự suy xét lại
- lịch sử
- hy vọng
- chủ nhà
- Độ đáng tin của
- HTTPS
- Nhân loại
- Hungry
- i
- ý tưởng
- lý tưởng
- Illusion
- trí tưởng tượng
- tầm quan trọng
- quan trọng
- in
- Mặt khác
- bao gồm
- Bao gồm
- độc lập
- độc lập
- Infinite
- Vô cực
- ảnh hưởng
- bị ảnh hưởng
- ban đầu
- đầu vào
- ví dụ
- thay vì
- Viện
- thiếu
- tính toàn vẹn
- trí tuệ
- quan tâm
- thú vị
- lợi ích
- giới thiệu
- Trớ trêu thay
- đảo
- bị cô lập
- các vấn đề
- IT
- ITS
- chính nó
- nhà vệ sinh
- Johnson
- tham gia
- Justin
- Giữ
- giữ
- Đứa trẻ
- trẻ em
- Loại
- Vua
- Biết
- Biết
- nổi tiếng
- Ngôn ngữ
- Ngôn ngữ
- lớn
- phần lớn
- lớn hơn
- lớn nhất
- Họ
- Trễ, muộn
- Tiếng Latin
- dẫn
- Liên minh
- LEARN
- học
- học tập
- Led
- bổ đề
- Chiều dài
- để
- Cấp
- Cuộc sống
- Lượt thích
- LIMIT
- giới hạn
- Dòng
- dòng
- liên kết
- Danh sách
- Listening
- văn chương
- ít
- sống
- cuộc sống
- địa phương
- Logo
- dài
- Xem
- giống như
- tìm kiếm
- mất
- Rất nhiều
- yêu
- yêu
- thực hiện
- tạp chí
- Duy trì
- chính
- làm cho
- LÀM CHO
- người đàn ông
- thao túng
- nhiều
- nhiều người
- Thánh Lễ
- quần chúng
- toán học
- toán học
- toán học
- chất
- có ý nghĩa
- có nghĩa
- đo
- cơ chế
- đề cập
- tin nhắn
- phương pháp
- ở giữa
- Might
- MIT
- kiểu mẫu
- mô hình
- hiện đại
- thời điểm
- chi tiết
- hầu hết
- chuyển động
- di chuyển
- phim
- Multiverse
- Âm nhạc
- bí ẩn
- tên
- tên
- Tự nhiên
- nhất thiết
- Cần
- tiêu cực
- Cũng không
- Mới
- tin tức
- Khái niệm
- con số
- số
- vật
- đối tượng
- Rõ ràng
- of
- đôi khi
- Xưa
- on
- ONE
- mở
- mở
- mở ra
- khai thác
- bình thường
- hữu cơ
- Tổ chức
- nguyên
- ban đầu
- Nền tảng khác
- Khác
- vfoXNUMXfipXNUMXhfpiXNUMXufhpiXNUMXuf
- bên ngoài
- kết thúc
- tổng thể
- riêng
- cặp đôi
- Paradox
- Song song
- cha mẹ
- một phần
- đặc biệt
- các bộ phận
- paul
- trả tiền
- Chim cánh cụt
- người
- của người dân
- có lẽ
- người
- riêng
- Peter
- hiện tượng
- triết lý
- vật lý
- Vật lý
- miếng
- Nơi
- Nơi
- plato
- Thông tin dữ liệu Plato
- PlatoDữ liệu
- xin vui lòng
- thêm
- Podcast
- Podcasting
- Điểm
- Quan điểm
- điểm
- tích cực
- có thể
- có khả năng
- quyền lực
- mạnh mẽ
- quyền hạn
- thực dụng
- ưa thích
- nhấn
- khá
- Thủ tướng Chính phủ
- nguyên thủy
- nguyên tắc
- có lẽ
- Vấn đề
- vấn đề
- quá trình
- sản xuất
- Sản xuất
- Giáo sư
- chương trình
- lời hứa
- bằng chứng
- tài sản
- tài sản
- đề xuất
- bảo vệ
- có thể chứng minh được
- Chứng minh
- chứng minh
- chứng minh
- cho
- Xuất bản
- công bố
- đặt
- tạp chí lượng tử
- Quantum
- câu hỏi
- Câu hỏi
- tập hợp
- hơn
- hợp lý
- RAY
- Đạt
- thực
- thế giới thực
- Thực tế
- nhận ra
- vương quốc
- lý do
- lý do
- giới thiệu
- liên quan
- mối quan hệ
- mối quan hệ
- tương đối
- thân
- vẫn còn
- đáng chú ý
- nhớ
- lặp lại
- cần phải
- nghiên cứu
- tôn trọng
- REST của
- xem xét
- cách mạng
- nghiêm ngặt
- ROBERT
- Vai trò
- Lăn
- dạng cuộn
- Phòng
- quy tắc
- an toàn
- Nói
- tương tự
- hài lòng
- nói
- Quy mô
- Trường học
- Khoa học
- Thứ hai
- giây
- dường như
- lựa chọn
- ý nghĩa
- riêng biệt
- định
- bộ
- giải quyết
- Giải quyết
- một số
- hình dạng
- nên
- hiển thị
- thể hiện
- Chương trình
- bên
- đăng ký
- Đơn giản
- kể từ khi
- duy nhất
- Six
- Kích thước máy
- kích thước
- Chủ nghĩa hoài nghi
- ngủ
- nhỏ
- nhỏ hơn
- So
- rắn
- giải pháp
- một số
- Một người nào đó
- một cái gì đó
- phần nào
- một nơi nào đó
- Không gian
- Spark
- đặc biệt
- đặc biệt
- tiêu
- Spotify
- Traineeship
- cổ phần
- Tiêu chuẩn
- Bắt đầu
- bắt đầu
- Bắt đầu
- quy định
- Tuyên bố
- báo cáo
- Trạng thái
- Steve
- Vẫn còn
- Câu chuyện
- ngay
- mạnh mẽ
- mạnh mẽ hơn
- cấu trúc
- Sinh viên
- nghiên cứu
- studio
- Học tập
- Học tập
- Tiêu đề
- thành công
- như vậy
- đủ
- Hỗ trợ
- chắc chắn
- bất ngờ
- ngạc nhiên
- thật ngạc nhiên
- Susan
- biểu tượng
- hệ thống
- bàn
- Hãy
- mất
- dùng
- Thảo luận
- nói
- ครูผู้สอน
- Giảng dạy
- kỹ thuật
- thiếu niên
- nói
- về
- thử nghiệm
- Cảm ơn
- việc này
- Sản phẩm
- Tương lai
- Dòng
- thế giới
- cung cấp their dịch
- Them
- chủ đề
- tự
- Đó
- vì thế
- Kia là
- điều
- điều
- Suy nghĩ
- Thứ ba
- nghĩ
- hàng ngàn
- Thông qua
- khắp
- thời gian
- đến
- bây giờ
- quá
- công cụ
- Chủ đề
- TỔNG CỘNG
- theo dõi
- truyền thống
- truyền thống
- đào tạo
- điều trị
- rất nhiều
- đúng
- Sự thật
- XOAY
- Quay
- Hai lần
- không xác định
- Dưới
- hiểu
- sự hiểu biết
- hiểu
- công đoàn
- Công đoàn
- độc đáo
- phổ cập
- Vũ trụ
- trường đại học
- us
- sử dụng
- đã sử dụng
- thường
- tiện ích
- giá trị
- khác nhau
- Xem
- quan điểm
- chờ đợi
- đi bộ
- mong muốn
- Đồng hồ đeo tay
- Nước
- Đường..
- cách
- web
- webp
- chào mừng
- TỐT
- Điều gì
- Là gì
- liệu
- cái nào
- CHÚNG TÔI LÀ
- bất cứ ai
- toàn bộ
- rộng rãi
- sẽ
- sẵn sàng
- với
- ở trong
- không có
- Từ
- từ
- Công việc
- đang làm việc
- công trinh
- thế giới
- giun
- lo lắng
- giá trị
- sẽ
- viết
- viết
- Sai
- năm
- năm
- Bạn
- trên màn hình
- mình
- zephyrnet
- không
- thu phóng