Sơ lược về lịch sử của việc xếp lát toán học phức tạp | Tạp chí Quanta

Mỗi ngày chúng ta đều thấy những ví dụ về các họa tiết lặp đi lặp lại. Sự đối xứng và đều đặn này có thể có vẻ tầm thường và gần như vô hình, như với gạch trên tường xây dựng hoặc hình lục giác trong tổ ong. Hoặc nếu chúng ta may mắn bắt gặp thứ gì đó giống như tác phẩm lát gạch trang nhã trong Alhambra của Tây Ban Nha hay những bức vẽ sáng tạo của MC Escher, thì những họa tiết đó có thể truyền cảm hứng và làm chúng ta ngạc nhiên.

Trong nhiều thế kỷ, các nhà toán học đã chơi đùa với những hình dạng lặp đi lặp lại này, thu được những hiểu biết sâu sắc và những khả năng mới lạ từ chúng. Vẻ đẹp của toán học sánh ngang với vẻ đẹp của chính các thiết kế.

Các viên gạch đơn giản nhất được làm bằng các đa giác giống hệt nhau với các cạnh có chiều dài bằng nhau và các góc có số đo bằng nhau được nối từ cạnh đầy đủ đến cạnh đầy đủ. Nhưng mặc dù có vô số các đa giác “thông thường” này - một đa giác cho mỗi số cạnh - chỉ có ba viên gạch đều đặn, được tạo thành từ các hình có ba, bốn hoặc sáu cạnh - tức là hình tam giác, hình vuông và hình lục giác.

Các hình dạng khác không được xây dựng cho nó. Một hình ngũ giác đều (có năm cạnh) có góc trong bằng 108 độ. Điều này không chia đều thành 360 độ, do đó, bất kỳ nỗ lực nào để lắp ráp các hình ngũ giác thông thường thành một ô lát đều chắc chắn sẽ tạo ra những khoảng trống không thể lấp đầy; ta nói rằng hình ngũ giác đều không thể xếp được mặt phẳng. Và các đa giác đều có hơn sáu cạnh có các góc trong quá lớn để ba góc có thể gặp nhau tại một điểm duy nhất, và do đó chúng cũng không thể gặp nhau.

Một ý tưởng khác về việc ốp lát các đa giác đều đến từ Johannes Kepler, người ngày nay được biết đến nhiều nhất nhờ những khám phá về chuyển động của hành tinh. Vào năm 1619, ông đã chỉ ra rằng ngay cả khi bạn sử dụng nhiều hơn một đa giác đều, bạn chỉ có thể tạo ra tám mẫu lát gạch mới trong đó cấu hình xung quanh mỗi đỉnh là giống hệt nhau. (Nếu chúng ta được phép đi chệch khỏi hạn chế này thì sẽ có nhiều khả năng hơn.)

Khi chúng tôi cho phép đa giác không đều, mọi thứ trở nên thú vị hơn. Điều đáng ngạc nhiên là mọi hình tam giác đều có thể xếp cạnh mặt phẳng, và điều đáng ngạc nhiên hơn nữa là mọi hình tứ giác đều có thể xếp chồng lên nhau.

Mặt khác, không thể xếp mặt phẳng bằng bất kỳ đa giác lồi nào có hơn sáu cạnh; tổng các góc trong quá lớn. Vì vậy, chỉ còn lại các hình ngũ giác và hình lục giác là những khả năng còn lại.

Trong luận án tiến sĩ năm 1918 của mình, Karl Reinhardt đã chứng minh rằng có thể xếp mặt phẳng này với vô số hình lục giác lồi - những hình không có vết lõm - mà ông nhóm thành ba họ.

Các hình ngũ giác lồi xếp trên mặt phẳng khó phân loại hơn. Reinhardt đã phát hiện ra năm họ ngũ giác như vậy; 50 năm sau, Richard Kershner tìm thấy thêm ba chiếc nữa. Sau đó vào năm 1975, Martin Gardner đã viết về vấn đề Khoa học Mỹ, thu hút sự chú ý của cả các nhà toán học chuyên nghiệp và nghiệp dư. Một người nghiệp dư như vậy, một lập trình viên máy tính tên là Richard James III, đã gửi cho Gardner một ví dụ về họ thứ chín và hỏi: “Bạn có đồng ý rằng Kershner đã bỏ sót họ này không?” Anh ấy đã có.

Marjorie Rice, một người nội trợ, cũng đọc chuyên mục của Gardner và bắt đầu giải quyết vấn đề trên bàn bếp của mình. Cô mày mò trong hơn hai năm và phát hiện ra bốn gia đình nữa của các hình ngũ giác ốp lát.

Các nhà nghiên cứu đã tìm thấy họ ngũ giác ốp lát thứ 14 vào năm 1985, và ba thập kỷ sau, một nhóm khác đã tìm thấy họ thứ 15 bằng cách tìm kiếm trên máy tính. Không ai biết liệu phát hiện này có hoàn thành danh sách hay không, hay vẫn còn nhiều gia đình đang lẩn trốn. Câu hỏi đó đã được trả lời vào năm 2017 khi Michaël Rao chứng minh rằng tất cả các hình ngũ giác ốp lát lồi - và cùng với chúng, tất cả các đa giác ốp lát lồi - đã được tìm thấy.

Tất cả những lát gạch này lặp lại. Nghĩa là, chúng có một sự đối xứng tuần hoàn, về cơ bản có nghĩa là nếu chúng ta vạch các ô trên một tờ giấy và trượt tờ giấy đó theo các hướng nhất định, nó sẽ lại thẳng hàng với các ô.

Các loại đối xứng khác cũng có thể xảy ra. Ví dụ, sự đối xứng gương ngụ ý rằng các mẫu của chúng ta sẽ thẳng hàng nếu chúng ta lật ngược tờ giấy can quanh một đường cố định. Tính đối xứng quay có nghĩa là chúng sẽ thẳng hàng nếu chúng ta xoay tờ giấy của mình. Và chúng ta có thể kết hợp các hành động để đạt được sự đối xứng phản chiếu khi lướt, giống như trượt tờ giấy rồi lật nó lại.

Năm 1891, nhà tinh thể học người Nga Evgraf Fedorov đã chứng minh rằng chỉ có 17 cách để kết hợp những sự đối xứng này. Vì hạn chế này áp dụng cho tất cả các đồ trang trí định kỳ trên máy bay nên chúng được gọi rộng rãi là 17 “nhóm hình nền”.

Một khi đã quen với việc phân loại các mẫu đối xứng này, gần như không thể nhìn thấy một thiết kế tuần hoàn, dù phức tạp đến đâu, và không xem nó như một câu đố cần giải mã: Chính xác thì nó lặp lại ở đâu và như thế nào? Những sự đối xứng đó ở đâu?

Tất nhiên, không phải mọi thiết kế ốp lát đều mang tính định kỳ. Có thể và thường dễ dàng đặt các ô trong mặt phẳng để thiết kế thu được không bao giờ lặp lại. Trong ví dụ của chúng tôi với hình lục giác, hình vuông và hình tam giác, bạn có thể thực hiện việc này bằng cách xoay một hình lục giác và các đa giác xung quanh nó một góc 30 độ. Việc ốp lát kết quả không còn có sự đối xứng tịnh tiến nữa.

Vào năm 1961, nhà logic học Hao Wang đã phỏng đoán rằng nếu một tập hợp các hình xếp cạnh mặt phẳng thì các hình đó phải có khả năng xếp chồng lên mặt phẳng một cách định kỳ. Chỉ vài năm sau, sinh viên tốt nghiệp Robert Berger đã chứng minh rằng ông đã sai khi phát hiện ra một bộ khổng lồ gồm hơn 20,000 viên gạch lát mặt phẳng, nhưng chỉ không theo định kỳ. Những bộ gạch như vậy được gọi là không định kỳ.

Mặc dù Berger và những người khác đã có thể giảm kích thước của những bộ tuần hoàn này xuống một cách đáng kể, nhưng vào giữa những năm 1970, Roger Penrose đã thu hút sự chú ý của thế giới bằng cách khám phá ra những bộ rất nhỏ của những ô tuần hoàn của chính ông. Các bộ nhỏ nhất chỉ cần hai ô.

Những hình dạng và kiểu mẫu này đã làm say mê các nhà toán học, nhà khoa học và công chúng. Nhưng họ đã đặt ra một câu hỏi hiển nhiên tiếp theo: Có một ô tuần hoàn duy nhất không? Nhiệm vụ cuối cùng của lý thuyết lát gạch bây giờ là tìm ra một viên gạch “einstein” như vậy - được đặt tên không phải theo tên nhà vật lý mà theo cụm từ tiếng Đức “một viên đá”.

Năm 2010, Joshua Socolar và Joan Taylor đã tiến rất gần đến việc khám phá ra Einstein. Vấn đề với cách tiếp cận của họ là ô của họ đã bị ngắt kết nối; điều này sẽ giống như xếp mặt phẳng với các hình dạng giống như bang Hawaii, một thực thể duy nhất bao gồm các khu vực riêng biệt, thay vì với các hình dạng được kết nối như California. Càng ngày, các nhà toán học càng nghi ngờ rằng nếu Einstein tồn tại thì nó phải là một thứ gì đó rất phức tạp về mặt hình học.

Vào tháng 2023 năm XNUMX, một kẻ nghiệp dư lại gây chấn động thế giới. Một kỹ thuật viên in đã nghỉ hưu và một người có sở thích toán học tên là David Smith đã phát hiện ra không chỉ một đơn cực tuần hoàn mà còn một gia đình vô tận của những Einstein khó nắm bắt này. Anh ấy đã liên hệ với Craig Kaplan, Chaim Goodman-Strauss và Joseph Samuel Myers - những chuyên gia về khoa học máy tính, toán học và lý thuyết về gạch ốp lát - và họ cùng nhau trình bày một loại einstein đơn giản về mặt hình học được gọi là mũ ngói (mà Internet cho rằng trông giống như một chiếc áo phông). ).

Phản ứng diễn ra nhanh chóng và tích cực. Những người khám phá đã phát biểu tại các hội nghị và nói chuyện trực tuyến. Các nghệ sĩ toán học đã chớp lấy cơ hội tìm ra những cách sáng tạo để tạo ra các thiết kế giống Escher dựa trên những viên gạch mới thú vị về mặt hình học này. Chiếc mũ thậm chí còn xuất hiện trong đoạn độc thoại của một chương trình truyền hình đêm khuya.

Tuy nhiên, vẫn còn chỗ để cải thiện. Để xếp chiếc mũ lên máy bay, bạn phải lật ngược khoảng XNUMX/XNUMX số ô. Chủ nhà muốn lát gạch hình mũ cho phòng tắm của mình sẽ phải mua hai loại gạch: gạch tiêu chuẩn và gạch hình phản chiếu. Điều này có thực sự cần thiết không?

Ngay cả trước khi sự phấn khích của chiếc mũ lắng xuống, đội đã đưa ra một thông báo khác. Smith đã tìm thấy, trong họ vô hạn các đơn phân tuần hoàn đó, một cái mà ông gọi là “bóng ma” có thể xếp lớp trên mặt phẳng mà không yêu cầu các bản sao phản chiếu. Một Einstein đích thực cuối cùng đã xuất hiện.

Bây giờ chúng ta đang ở trong giai đoạn hồi sinh của việc khám phá toán học về các ô và các ô xếp. Nó dựa vào những đóng góp quan trọng từ những người nghiệp dư, truyền cảm hứng cho sự sáng tạo của các nghệ sĩ toán học và khai thác sức mạnh của máy tính để đẩy các ranh giới của kiến ​​thức về phía trước. Và từ đó, chúng tôi đã đạt được những hiểu biết mới về bản chất của tính đối xứng, hình học và thiết kế.

Điều chỉnh: 30 Tháng Mười
Phiên bản gốc của bài viết này nói rằng không thể xếp mặt phẳng bằng bất kỳ đa giác nào có nhiều hơn sáu cạnh. Điều này chỉ đúng nếu đa giác lồi.

Quanta đang tiến hành một loạt cuộc khảo sát để phục vụ khán giả của chúng tôi tốt hơn. Lấy của chúng tôi khảo sát độc giả môn toán và bạn sẽ được tham gia để giành chiến thắng miễn phí Quanta buôn