Sinh Viên Năm Nhất Tìm Bộ Số Nghịch Lý | Tạp chí lượng tử

Các nhà toán học vui mừng khi chứng minh được rằng tồn tại những điều dường như không thể. Đó là trường hợp với một bằng chứng mới được đăng trực tuyến vào tháng XNUMX bởi Cédric Pilatte, một sinh viên mới tốt nghiệp năm thứ nhất tại Đại học Oxford.

Pilatte đã chứng minh rằng có thể tạo ra một tập hợp — một tập hợp các con số — thỏa mãn hai thuộc tính dường như không tương thích với nhau. Đầu tiên là không có hai cặp số nào trong tập hợp có tổng bằng nhau. Ví dụ: cộng hai số bất kỳ trong {1, 3, 5, 11} với nhau và bạn sẽ luôn nhận được một số duy nhất. Thật dễ dàng để xây dựng các tập hợp “Sidon” nhỏ như thế này, nhưng khi số lượng phần tử tăng lên, thì khả năng các tổng sẽ trùng nhau cũng tăng theo, phá hủy tính chất Sidon của tập hợp.

Yêu cầu thứ hai là tập hợp phải rất lớn. Nó phải là vô hạn và bạn sẽ có thể tạo ra bất kỳ số nào đủ lớn bằng cách cộng nhiều nhất ba số trong tập hợp lại với nhau. Thuộc tính này, làm cho tập hợp trở thành “cơ sở tiệm cận bậc 3”, yêu cầu một tập hợp số lớn, dày đặc. “Họ đang kéo ngược chiều nhau,” Pilatte nói. “Các tập hợp Sidon bị ràng buộc là nhỏ và cơ sở tiệm cận bị ràng buộc là lớn. Không rõ ràng là nó có thể hoạt động được.”

Câu hỏi liệu một tập hợp như vậy có tồn tại hay không đã tồn tại trong nhiều thập kỷ, kể từ khi nó đã được đặt ra bởi nhà toán học người Hungary xuất sắc Paul Erdős và hai cộng tác viên vào năm 1993. Niềm đam mê của Erdős với các tập hợp Sidon có thể bắt nguồn từ cuộc trò chuyện của ông vào năm 1932 với nhà phát minh Simon Sidon, người vào thời điểm đó quan tâm đến việc tìm hiểu tốc độ tăng trưởng của các tập hợp này. (Erdős sau này mô tả Sidon là “điên rồ hơn cả một nhà toán học bình thường,” điều mà ông ấy gần như chắc chắn muốn nói đến như một lời khen ngợi.)

Các tập hợp Sidon phát sinh trong nhiều bối cảnh toán học bao gồm lý thuyết số, tổ hợp, phân tích điều hòa và mật mã, nhưng câu hỏi đơn giản về việc chúng có thể lớn đến mức nào vẫn là một bí ẩn lâu dài mà Erdős đã cân nhắc trong phần lớn sự nghiệp của mình. Erdős đã sớm nhận ra rằng các bộ Sidon cực kỳ khó mở rộng quy mô. Năm 1941, ông và một nhà toán học khác chứng minh rằng tập hợp Sidon lớn nhất có thể có tất cả các phần tử nhỏ hơn một số nguyên N phải nhỏ hơn căn bậc hai của N cộng với một số hạng tăng theo tỷ lệ với căn bậc bốn của N. (Đến năm 1969, Bernt Lindström sẽ chứng minh rằng nó nhỏ hơn $latex sqrt{N}+sqrt[4]{N}+1$, và vào năm 2021, một nhóm các nhà toán học khác thắt chặt ràng buộc thành $latex sqrt{N}+0.998 lần sqrt[4]{N}$.) Nói cách khác, tập hợp sidon phải thưa thớt.

Từ lâu người ta đã biết rằng tập hợp Sidon không thể là cơ sở tiệm cận của bậc 2, trong đó bất kỳ số nguyên nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của nhiều nhất hai số. (Ví dụ, các số lẻ tạo thành cơ sở của thứ tự 2.) Như Pilatte đã giải thích, điều này quá đơn giản để chỉ ra rằng các nhà toán học đã không buồn viết nó ra: “Việc bậc 2 là bất khả thi có lẽ đã được biết đến sớm hơn nhiều so với khi nó được viết rõ ràng trong tài liệu.” Ông giải thích rằng điều này là do “Các chuỗi Sidon không thể vượt quá một mật độ nhất định, trong khi các bazơ tiệm cận bậc 2 luôn đặc hơn ngưỡng đó, vì vậy hai thuộc tính không thể giữ cùng một lúc.”

Người ta thường tin rằng một cơ sở tiệm cận của bậc 3 có thể được xây dựng từ một tập hợp Sidon, nhưng việc chứng minh điều này lại là một vấn đề khác. Cố vấn của Pilatte cho biết: “Mọi người tin rằng điều này nên đúng. James Maynard. “Nhưng có một khó khăn với các kỹ thuật mà chúng tôi đang sử dụng.”

Một số tiến bộ đã được thực hiện trước khi Pilatte chấp nhận thử thách. Năm 2010, nhà toán học Hungary Sándor Kiss cho thấy rằng một tập hợp Sidon có thể là cơ sở tiệm cận của bậc 5—có nghĩa là bất kỳ số nguyên đủ lớn nào cũng có thể được viết dưới dạng tổng của nhiều nhất năm phần tử của tập hợp—và vào năm 2013, Kiss và hai đồng nghiệp của ông chứng minh phỏng đoán về cơ sở tiệm cận của bậc 4. Hai năm sau, nhà toán học người Tây Ban Nha Javier Cilleruelo lấy những kết quả này tiến thêm một bước bằng cách chứng minh rằng có thể xây dựng tập Sidon là cơ sở tiệm cận của bậc 3 + e, nghĩa là bất kỳ số nguyên đủ lớn nào N có thể được viết dưới dạng tổng của bốn thành viên của tập hợp Sidon, với một trong số chúng nhỏ hơn N^e cho dương nhỏ tùy ý e.

Những phát hiện này thu được bằng cách sử dụng các biến thể của một phương pháp xác suất do Erdős tiên phong, liên quan đến việc tạo ra một tập hợp số nguyên ngẫu nhiên và điều chỉnh nó một chút để tạo ra một tập hợp thỏa mãn cả hai thuộc tính.

Philatte nhận ra rằng phương pháp xác suất đã bị đẩy đi quá xa. “Bạn có thể có được cơ sở của bậc 4 bằng cách sử dụng các phương pháp xác suất, nhưng bạn không thể có được cơ sở của bậc 3,” ông nói. "Nó chỉ thất bại."

Vì vậy, Pilatte đã thực hiện một chiến thuật khác, thay vào đó, chuyển sang một quy trình sử dụng logarit của các số nguyên tố làm khối xây dựng của các tập hợp Sidon. Được phát triển bởi nhà lý thuyết số Hungary Imre Ruzsa và Cilleruelo, cách tiếp cận này mang lại các tập hợp Sidon lớn hơn, dày đặc hơn so với phương pháp xác suất, mà Pilatte cần để tạo ra một cơ sở có trật tự thấp cũng tuân theo tính chất Sidon. Nhưng phương pháp này đòi hỏi một cơ sở với các số nguyên tố mà ngay cả những chuyên gia hàng đầu thế giới cũng không có. “Bạn sẽ cần sự hiểu biết về các số nguyên tố vượt xa mọi thứ chúng ta có,” Pilatte nói. “Vậy là không tốt.”

Việc tìm kiếm một giải pháp đã đưa Pilatte theo một hướng bất ngờ, rời khỏi lý thuyết số cộng và bước vào thế giới của hình học đại số, một nhánh toán học nghiên cứu mối quan hệ giữa các hình dạng hình học, như đường cong và bề mặt, và các phương trình xác định chúng. Sử dụng một ý tưởng của Cilleruelo, Pilatte bắt đầu bằng cách thay thế các số bằng đa thức, điều này ngay lập tức làm cho vấn đề trở nên dễ xử lý hơn.

Đa thức là một biểu thức đại số được tạo bởi tổng các số hạng, mỗi số là tích của một hệ số không đổi và một hoặc nhiều biến được nâng lên lũy thừa nguyên không âm. Các thuật ngữ có thể được kết hợp bằng cách sử dụng cộng, trừ và nhân. Ví dụ: 3x² + 22x + 35 là đa thức có ba hạng tử. Phân tích thành nhân tử của một đa thức có nghĩa là chia nó thành một tích của các đa thức khác đơn giản hơn. Trong ví dụ này, 3x² + 22x + 35 = (x + 5)(3x + 7). Một đa thức bất khả qui — một đa thức không thể phân tích thành nhân tử — là dạng tương tự của một số nguyên tố.

Hoán đổi số nguyên cho các biến và hệ số nghe có vẻ lạ, nhưng chúng có nhiều điểm chung hơn bạn nghĩ. “Hóa ra là các đa thức hoạt động rất giống với các số nguyên,” đồng nghiệp của Pilatte ở Oxford nói Thomas nở. “Tôi có thể cộng, trừ, nhân, chia chúng.” Và ở một số khía cạnh, các nhà toán học hiểu đa thức tốt hơn nhiều so với hiểu các con số. Maynard nói: “Tất cả những thứ này, với các số nguyên tố, nghe giống như khoa học viễn tưởng đối với chúng ta đều được biết đến trong thế giới đa thức.

Sử dụng một kết quả gần đây của nhà toán học Đại học Columbia Sẽ Sawin về sự phân bố của các đa thức bất khả quy trong cấp số cộng, Pilatte đã có thể xây dựng một tập hợp sở hữu lượng ngẫu nhiên vừa phải và mật độ số vừa phải để thỏa mãn các ràng buộc của Erdős.

“Tôi vô cùng hạnh phúc,” Pilatte nói. “Tôi đang tham gia vào nhóm những người ở đây đã giải quyết được vấn đề Erdős, và điều đó thật thú vị.”

Nhưng điều khiến anh ấy thích thú nhất là cách anh ấy đi đến giải pháp một cách đáng ngạc nhiên. Ông nói: “Thật thú vị khi những kỹ thuật rất sâu sắc này từ hình học đại số cũng có thể được sử dụng cho câu hỏi đơn giản và cụ thể này về các tập hợp số.

Các bài toán của Erdős có một sở trường kỳ lạ trong việc khai quật các mối liên hệ giữa các nhánh toán học được cho là không liên quan, và những khám phá mà các nhà toán học thực hiện trong khi cố gắng giải đáp chúng thường có ý nghĩa hơn bản thân các câu trả lời. Bloom nói: “Họ lừa dối về mức độ sâu của chúng và giải pháp của Cédric là một ví dụ tuyệt vời về điều này. “Tôi chắc rằng Erdős sẽ rất vui mừng.”

Điều chỉnh: 5 Tháng Sáu, 2023
Bài viết này ban đầu đã đưa ra một ví dụ về tập hợp Sidon không thực sự là tập hợp Sidon. Ví dụ đó đã bị xóa.