Giới thiệu
Tháng 1977 năm XNUMX, một chiến sĩ cách mạng giấy lặng lẽ xuất hiện trong Journal d'Analyse Mathématique, một tạp chí toán học chuyên ngành. Tác giả, Hillel Furstenberg, không tuyên bố bất kỳ kết quả ly kỳ nào — hoặc thậm chí là mới —. Anh ấy chỉ đơn giản đưa ra một chứng minh về một định lý mà một nhà toán học khác, Endre Szemerédi, đã chứng minh hai năm trước đó.
Mặc dù vậy, bài báo của Furstenberg đã để lại dấu ấn lâu dài đối với toán học. Lập luận mới của ông chứa đựng một kiến thức cốt lõi với những hệ quả sâu rộng: Bạn có thể diễn đạt lại các bài toán giống như bài toán mà Szemerédi đã giải, về các tập hợp số nguyên, thành các câu hỏi về các điểm chuyển động trong không gian.
Trong những năm kể từ đó, các kỹ thuật của Furstenberg đã được sử dụng đi sử dụng lại và dần dần chúng được điều chỉnh và cải tiến. Đầu năm nay, chúng đã được tăng cường, xuất hiện trong hai bài báo mới phát hiện ra các mẫu vô hạn trong các tập hợp số nguyên - tiến bộ vượt bậc so với định lý hiện đã 47 tuổi của Szemerédi.
Bằng chứng của Furstenberg
Szemerédi đã kiểm tra các tập hợp chứa “phân số dương” của tất cả các số nguyên. Lấy ví dụ, tập hợp chứa tất cả các bội số của 5. Khi bạn nhìn vào các dải số ngày càng lớn hơn, các bội số của 5 tiếp tục xuất hiện thường xuyên. Các nhà toán học nói rằng tập hợp chứa tất cả các bội số của 5 có phân số bằng XNUMX/XNUMX của tất cả các số nguyên.
Ngược lại, mặc dù có vô số số nguyên tố, nhưng chúng trở nên hiếm khi các số ngày càng lớn đến mức tập hợp tất cả các số nguyên tố không chứa phân số dương của các số nguyên, hay nói cách khác, không có mật độ dương . Thay vào đó, các số nguyên tố được cho là có mật độ bằng không.
Szemerédi đang tìm kiếm các ví dụ về cái gọi là cấp số cộng, hoặc chuỗi các số cách đều nhau. Ví dụ: hãy tưởng tượng bạn có một dãy số vô hạn như các số chính phương: {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, …}. Các hình vuông hoàn hảo có một cấp số cộng có độ dài ba ẩn trong một số số hạng đầu tiên: {1, 25, 49}. Mỗi số trong cấp số này nhiều hơn số trước của nó là 24.
Szemerédi đã chứng minh rằng bất kỳ tập hợp nào bao gồm một phần dương của các số nguyên phải chứa các cấp số cộng dài tùy ý. Kết quả là một bước ngoặt trong lĩnh vực toán học gọi là tổ hợp phụ gia.
Bằng chứng của Szémeredi, mặc dù xuất sắc, gần như không thể theo dõi được. “Cho đến ngày nay, tôi nghĩ có lẽ chỉ có ba hoặc bốn người thực sự hiểu chứng minh của [Szemerédi],” nói Terence tao, một nhà toán học tại Đại học California, Los Angeles.
Vì vậy, lập luận dễ hiểu hơn của Furstenberg được hoan nghênh. Để viết nó, Furstenberg đã dựa vào các phương pháp từ lĩnh vực toán học của riêng mình, các hệ động lực. Một hệ động lực là bất kỳ quá trình nào thay đổi theo thời gian. Điều này có thể đơn giản như một quả bóng bi-a lăn quanh bàn bi-a. Tất cả những gì bạn cần là một cách để biểu diễn hệ thống của bạn về mặt toán học và một quy tắc về cách hệ thống phát triển. Ví dụ, một quả bóng có thể được mô tả bằng vị trí và vận tốc của nó. Hệ thống đó tiến triển theo một cách quy định theo thời gian, tuân theo các định luật vật lý cổ điển.
Furstenberg quan tâm nhất đến thứ gọi là lý thuyết ergodic. Thay vì xem xét trạng thái của một hệ thống tại bất kỳ thời điểm nào, các nhà lý thuyết ergodic nghiên cứu số liệu thống kê trong thời gian dài. Đối với một quả bóng bi-a, điều đó có thể có nghĩa là tìm hiểu xem liệu quả bóng có kết thúc ở một số vị trí trên bàn nhiều hơn những vị trí khác do cách nó có xu hướng bật ra khỏi tường hay không.
Ý tưởng chính của Furstenberg là xem các tập hợp số nguyên không phải là các đối tượng cố định mà là các trạng thái nhất thời trong một hệ động lực. Nó có vẻ giống như một sự thay đổi nhỏ trong quan điểm, nhưng nó cho phép anh ta sử dụng các công cụ từ lý thuyết ergodic để chứng minh kết quả trong tổ hợp. Vào thời điểm đó, Furstenberg không biết rằng những ý tưởng của mình sẽ có một cuộc sống riêng. “Chỉ là, tôi muốn có thêm bằng chứng này,” anh nói. Nhưng những người khác đã nhìn thấy lời hứa về mối liên hệ giữa lý thuyết ergodic và tổ hợp. Tao nói: “Cả một thế hệ các nhà lý thuyết công thái học bắt đầu lao vào tổ hợp và giải quyết tất cả những vấn đề này, và ngược lại.
Trong vài năm qua, bốn nhà toán học — Bryna Kra, Joel Moreira, Florian Richter và Donald Robertson — đã phát triển các kỹ thuật của Furstenberg để tìm không chỉ các cấp số dài tùy ý trong bất kỳ tập hợp nào chứa phân số dương của các số nguyên, mà cả các phiên bản vô hạn của cấu trúc được gọi là tập hợp.
“Tổng hợp ít cụ thể hơn nhiều so với cấp số nhân; Robertson nói. “Nhưng nó thú vị hơn và tinh tế hơn, bởi vì các tập hợp là các cấu hình vô hạn, trong khi các cấp số là hữu hạn.”
Nếu Furstenberg xây dựng cầu nối giữa lý thuyết ergodic và tổ hợp, thì Kra, Moreira, Richter và Robertson đã mở rộng nó thành “đường cao tốc sáu làn xe,” Tao nói.
B + C Phỏng đoán
Định lý Szemerédi lần đầu tiên được đề xuất nhưng không được chứng minh vào năm 1936 bởi hai nhà toán học. Một trong số họ là nhà toán học Hungary nổi tiếng với việc phỏng đoán: Paul Erdős. Năm 2016, khi Moreira đang làm luận án tiến sĩ tại Đại học bang Ohio, anh tình cờ gặp một phỏng đoán khác mà Erdős đã đưa ra về các cấu trúc được gọi là sumsets.
Một tập hợp tổng được tạo từ hai tập hợp khác; gọi những cái đó B và C. Tổng hợp, được viết là B + C, được xây dựng bằng cách cộng tất cả các cặp số có thể với nhau, lấy một số từ B và người khác từ C. Erdős phỏng đoán rằng với mọi tập hợp A chứa phân số nguyên dương, tồn tại các tập hợp vô hạn khác B và C tổng của nó được chứa trong A. Trong bài báo mà Moreira đang đọc, các tác giả đã chứng minh phỏng đoán của Erdős khi A chứa một phần lớn các số nguyên. Nhưng đối với các tập hợp mật độ dương nhỏ hơn, kết quả vẫn chưa được biết. “Ngay sau khi tôi đọc tuyên bố, tôi đã nghĩ đó là một câu hỏi thực sự hay, bởi vì nó rất đơn giản,” Moreira nói. “Hoặc là sai, hoặc là không khó. Điều đó tất nhiên là sai. Nó không sai cũng không dễ dàng.”
Moreira đã đưa Richter và Robertson, những người bạn từ thời đại học của anh ấy, tham gia vào dự án. Robertson, hiện đang theo học tại Đại học Manchester, tốt nghiệp trước Moreira một năm và Richter chậm hơn vài năm. Cả ba đều thành thạo trong việc áp dụng các kỹ thuật lý thuyết ergodic vào tổ hợp. Nhưng vấn đề này đặt ra những thách thức mới.
“Hầu như không có tiền lệ cho việc tìm kiếm các tập hợp vô hạn bên trong một tập hợp có mật độ dương,” cho biết Daniel Glasscock, một nhà toán học tại Đại học Massachusetts, Lowell, người đã học cao học với Moreira, Richter và Robertson.
Có lẽ vì lý do đó, bài toán tổng hợp tỏ ra khó giải quyết. Moreira nói: “Chúng tôi buộc phải ép buộc, một chút, lý thuyết công thái học được thông qua. Những nỗ lực của họ cuối cùng đã được đền đáp, và trong những gì Marcin Sabok của Đại học McGill được gọi là “thành tích đáng kinh ngạc”, họ đã thành công trong việc chứng minh phỏng đoán của Erdős vào năm 2018. Bằng chứng của họ sau đó công bố trên Biên niên sử của Toán học, một trong những tạp chí toán học uy tín nhất.
Bằng chứng mới
Bài báo đó để ngỏ hai câu hỏi lớn. Một trong số đó là một phỏng đoán tổng hợp khác của Erdős' được gọi là B + B + t phỏng đoán.
Moreira, Richter và Robertson cũng đã đưa ra một câu hỏi của riêng họ: Nếu bạn có một tập mật độ dương A, bạn có thể tìm thấy ba bộ vô hạn — B, C và bây giờ D - Ở đâu B + C + D là bên trong A? Còn bốn bộ vô hạn thì sao? Năm?
Sau khi họ đưa ra phiên bản nhiều bộ, các nhà toán học đã bị mắc kẹt trong một thời gian. Có vẻ như các kỹ thuật mà họ sử dụng cho phỏng đoán hai tập hợp đã đạt đến giới hạn của chúng.
Richter nói: “Chúng tôi không thể tìm thấy một công thức cải cách động nào cho vấn đề này. Ông nói, cách tiếp cận của họ “thất bại ngay từ đầu.”
Hai năm trôi qua trước khi họ thấy tiến bộ thực sự. Lúc này, Richter đang là nghiên cứu sinh sau tiến sĩ tại Đại học Northwestern, nơi Bryna Kra là một giáo sư. Vào năm 2020, do đại dịch Covid-19 khiến họ không thể gặp mặt trực tiếp, Kra và Richter thấy mình đang thảo luận về vấn đề tổng hợp qua Zoom.
“Cuối cùng, chúng tôi đã nghĩ ra một số biến thể khác mà chúng tôi hiểu,” Kra nói.
Kra và Richter bắt đầu nói chuyện với Moreira và Robertson hàng tuần, xem xét lại bằng chứng năm 2018.
Kra cho biết: “Những gì chúng tôi phải làm là suy nghĩ lại từng bước của bằng chứng, bắt đầu bằng việc dịch nó thành một hệ thống động lực.
Hữu ích cho sự nghiệp của họ là một năm 2019 giấy bởi một nhà toán học người Pháp tên là Máy chủ Bernard. Người dẫn chương trình đã chứng minh lại kết quả của Moreira, Richter và Robertson và đã tìm ra cách làm cho lý thuyết ergodic trở nên hiệu quả. Theo ý kiến của Moreira, Host “đã thấy cách viết bằng chứng của chúng tôi theo cách mà lẽ ra nó phải được viết.”
Với những cải tiến của Host trong tay, Kra, Moreira, Richter và Robertson tiếp tục điều chỉnh bằng chứng của họ, cố gắng rút ra lập luận đơn giản nhất, tao nhã nhất có thể. “Tôi đoán là chúng tôi chỉ mổ xẻ nó nhiều lần để thực sự thấy: Mấu chốt của vấn đề là gì?” Richter nói. “Cuối cùng, chúng tôi đã có một bằng chứng có rất ít điểm tương đồng với bằng chứng ban đầu.”
Bằng chứng mà họ đạt được, giống như của Furstenberg, đã xem các tập hợp số nguyên vô hạn như các dấu thời gian trong một hệ động lực. Tuy nhiên, hệ động lực học này được hình dung tốt hơn khi các điểm nhảy xung quanh trong không gian.
Đây là hình ảnh sơ bộ về cách thức hoạt động của nó: Bắt đầu bằng cách đứng ở một góc của căn phòng kín, gọi nó là Góc 0. Bạn được trang bị một danh sách các thời điểm A. Bộ đó, A, là một tập hợp các số nguyên mật độ dương.
Bạn cũng được trang bị một quy tắc để di chuyển quanh phòng. Mỗi giây, bạn di chuyển đến một vị trí mới, dựa trên vị trí bạn vừa đứng. Quy tắc chính xác mà bạn tuân theo sẽ được thiết kế để phù hợp với khoảng thời gian của bạn A — bất cứ khi nào có dấu thời gian A, bạn sẽ thấy mình đang ở trong một khu vực đặc biệt của căn phòng.
Ví dụ, nói A bao gồm tất cả các số chia hết cho 4 và cứ sau mỗi giây, bạn di chuyển theo chiều kim đồng hồ đến góc tiếp theo của căn phòng. Sau một giây, bạn di chuyển đến Góc 1; sau hai giây, Góc 2, v.v. Sau đó, cứ sau bốn bước — nghĩa là mỗi lần trong A - bạn sẽ trở lại Góc 0 ban đầu.
Quá trình này diễn ra mãi mãi. Đi từ góc này sang góc khác theo vòng tròn theo chiều kim đồng hồ, bạn sẽ ghé thăm từng góc vô hạn lần. Một điểm mà bạn tiến gần đến vô số lần được gọi là điểm tích lũy.
Kra, Moreira, Richter và Robertson đã chứng minh rằng bạn có thể khéo léo chọn một trong những điểm này để tìm số tiền của mình B + C. Trong ví dụ về góc, lấy Góc 1. Bạn đến đó vào các thời điểm 1, 5, 9 và 13 — thời gian giống như 4n + 1 cho một số nguyên n. Để cho B là tập hợp của những thời điểm đó.
Bây giờ hãy tưởng tượng rằng thay vì bắt đầu ở Góc 0, bạn bắt đầu ở Góc 1. Điều này có nghĩa là tại các thời điểm chia hết cho 4, bạn sẽ thấy mình quay lại Góc 1 và bạn sẽ đến Góc 0 ba bước sau: đôi khi 3, 7, 11 hoặc bất kỳ số nào ở dạng 4n + 3. Gọi tập hợp các thời điểm đó C.
Bây giờ, hãy bắt đầu lại quá trình của bạn từ Góc 0. Lần này, hãy xem điều gì sẽ xảy ra nếu bạn lấy một số từ B và một số từ C — nói, 13 từ B và 3 từ C - và thêm chúng lên.
Điều này sẽ mất 13 + 3 = 16 giây. Vì 16 là bội số của 4 nên nó nằm trong A. Nhưng bạn cũng có thể dự đoán rằng 13 + 3 sẽ chia hết cho 4, và do đó trong A, mà không thực sự cộng 13 và 3 lại với nhau. Chỉ cần làm theo những gì xảy ra trong hệ thống động lực học khi bạn đợi 13 + 3 giây: Đầu tiên, 13 giây trôi qua. Tại thời điểm đó, bạn thấy mình đang ở Góc 1. Sau đó, bắt đầu từ Góc 1, bạn di chuyển thêm ba bước nữa, điều này sẽ đưa bạn trở lại Góc 0. Vì bạn đã bắt đầu từ Góc 0 và kết thúc ở đó, nên bạn phải đợi một bội số của bốn giây, nghĩa là tổng thời gian là một số trong tập hợp ban đầu A.
Để lập luận này hoạt động, nhóm đã phải xử lý nhiều chi tiết toán học phức tạp. Ví dụ, trong hầu hết các trường hợp, bạn có vô số điểm có sẵn để di chuyển đến, không chỉ bốn góc. Điều đó có nghĩa là bạn sẽ không thực sự quay lại một điểm nhiều lần; bạn sẽ chỉ đến gần nó vô số lần. Điều đó đã đưa ra những biến chứng toán học mới cho lập luận. Nhưng một khi họ tìm ra cách thức hoạt động của quy trình, họ biết rằng họ có thể giải quyết những câu hỏi khó hơn mà họ đang theo đuổi.
Richter, hiện đang làm việc tại Viện Công nghệ Liên bang Thụy Sĩ Lausanne, cho biết: “Chúng tôi đã đưa ra bằng chứng này ở đây và ngay lập tức rõ ràng về cách khái quát hóa nó. Chẳng hạn, để chứng minh phiên bản nhiều tập hợp của phỏng đoán, các nhà nghiên cứu chỉ cần thêm một điểm tích lũy vào đường dẫn. Đối số tổng thể là như nhau, chỉ với một lớp phức tạp mới.
Rèn ra tất cả các kỹ thuật không phải là dễ dàng. Sau khi họ ổn định với thiết lập động lực học của mình, Kra, Moreira, Richter và Robertson đã mất hơn một năm để tìm ra bằng chứng cho những phỏng đoán khó hơn. Vào tháng XNUMX năm nay, nhóm cuối cùng đã đăng hai bài báo. Một chứng minh phiên bản nhiều tập hợp của phỏng đoán sumset. Cai khac đã chứng minh B + B + t phiên bản của phỏng đoán, đòi hỏi tập hợp thứ hai C bằng tập đầu tiên B, dịch chuyển bởi một số hằng số, t.
Bước tiếp theo
Mặc dù các bài báo tháng XNUMX giải quyết hai câu hỏi về các tập hợp, Kra, Moreira, Richter và Robertson đã hình dung ra một tương lai lâu dài cho hướng nghiên cứu của họ. Moreira, hiện đang làm việc tại Đại học Warwick, cho biết: “Như với tất cả những gì Erdős yêu cầu, anh ấy chỉ muốn chúng tôi đặt chân vào cửa. “Nhưng bây giờ chúng ta cần mở cửa và khám phá xem còn gì ở đó nữa.”
Trong bài báo mới của họ, bốn nhà toán học đã đưa ra một số hướng khám phá khả thi, dưới dạng những câu hỏi chưa được trả lời. Người ta dựa vào thực tế là, mặc dù bất kỳ tập mật độ dương nào A chứa một tổng vô hạn B + C, nó không nhất thiết phải chứa hai thành phần B và C. Khi nào bạn có thể nhấn mạnh rằng B và C cũng phải được chứa bên trong A? Các tác giả cũng thách thức các nhà toán học xem liệu họ có thể tìm thấy một dãy vô hạn các tập hợp vô hạn có tổng được chứa trong A.
Một câu hỏi mở khác trong lĩnh vực này đã được trả lời bởi Matt Bowen, một sinh viên tốt nghiệp của Sabok's tại Đại học McGill. Vào tháng XNUMX, ông đăng một bằng chứng rằng nếu bạn chỉ định mỗi số nguyên một trong vài màu, bạn có thể tìm thấy một tập hợp tổng B + C và một sản phẩm của bộ BC chỉ trong một trong các màu.
Vẫn chưa biết chính xác tác phẩm mới của Kra, Moreira, Richter và Robertson sẽ dẫn đến đâu. Nhưng Tao, ít nhất, lạc quan về những kỹ thuật mới mà nhóm đã phát triển. Ông nói: “Những gì họ đạt được bằng phương pháp của mình “thực sự khá tuyệt vời”. “Có những câu hỏi khác liên quan đến các tập hợp vô hạn mà trước đây được coi là vô vọng, giờ đây đã có thể đạt được.”
