Tô màu theo số tiết lộ các mẫu số học trong phân số

Một năm sau khi anh ấy bắt đầu bằng Tiến sĩ. trong toán học tại Đại học McGill, Matt Bowen đã có một vấn đề. Anh ấy nói: “Tôi đã tham gia các kỳ thi đủ điều kiện của mình và đã hoàn thành rất tệ với chúng. Bowen chắc chắn rằng điểm số của anh ấy không phản ánh kỹ năng toán học của anh ấy và anh ấy quyết tâm chứng minh điều đó. Mùa thu năm ngoái anh ấy đã làm, khi anh ấy và cố vấn của mình, Marcin Sabok, đăng một tiến bộ lớn trong lĩnh vực được gọi là lý thuyết Ramsey.

Trong gần một thế kỷ, các nhà lý thuyết Ramsey đã thu thập bằng chứng cho thấy cấu trúc toán học vẫn tồn tại trong những hoàn cảnh thù địch. Chúng có thể chia nhỏ các tập hợp số lớn như số nguyên hoặc phân số hoặc chia nhỏ các kết nối giữa các điểm trên mạng. Sau đó, họ tìm cách chứng minh rằng một số cấu trúc nhất định là không thể tránh khỏi, ngay cả khi bạn cố gắng tránh tạo ra chúng bằng cách phá vỡ hoặc cắt một cách khéo léo.

Khi các nhà lý thuyết Ramsey nói về việc tách một tập hợp số, họ thường sử dụng ngôn ngữ tô màu. Chọn một số màu: đỏ, xanh dương và vàng chẳng hạn. Bây giờ hãy gán một màu cho mọi số trong bộ sưu tập. Ngay cả khi bạn làm điều này một cách ngẫu nhiên hoặc hỗn loạn, một số mẫu chắc chắn sẽ xuất hiện miễn là bạn chỉ sử dụng một số lượng hữu hạn các màu khác nhau, ngay cả khi số lượng đó rất lớn. Các nhà lý thuyết Ramsey cố gắng tìm ra các mẫu này, tìm kiếm các tập hợp số có cấu trúc “đơn sắc”, nghĩa là các phần tử của chúng đều được gán cùng một màu.

Kết quả tô màu đầu tiên có từ cuối thế kỷ 19. Đến năm 1916, Issai Schur đã chứng minh rằng dù bạn tô màu các số nguyên dương (còn gọi là số tự nhiên) như thế nào thì vẫn luôn có một cặp số x và y như vậy mà x, y, và tổng của chúng x+y đều có cùng màu. Trong suốt thế kỷ 20, các nhà toán học tiếp tục nghiên cứu các bài toán tô màu. Năm 1974, Neil Hindman mở rộng kết quả của Schur để bao gồm một tập hợp con vô hạn của các số nguyên. Giống như định lý của Schur, định lý của Hindman được áp dụng bất kể các số tự nhiên được tô màu như thế nào (với số bút chì màu hữu hạn). Các số nguyên này trong tập hợp của Hindman không chỉ có cùng màu, mà nếu bạn tính tổng bất kỳ tập hợp nào của chúng, kết quả cũng sẽ có màu đó. Các tập hợp như vậy giống với các số chẵn ở chỗ, giống như bất kỳ tổng các số chẵn nào luôn luôn là số chẵn, do đó, tổng của bất kỳ số nào trong một trong các tập hợp của Hindman cũng sẽ được chứa trong tập hợp đó.

“Định lý Hindman là một phần toán học tuyệt vời,” Sabok nói. “Đó là một câu chuyện mà chúng ta có thể làm thành một bộ phim.”

Nhưng Hindman nghĩ rằng nhiều hơn là có thể. Ông tin rằng bạn có thể tìm thấy một tập hợp đơn sắc lớn tùy ý (nhưng hữu hạn) không chỉ chứa tổng các phần tử mà còn chứa các tích. “Tôi đã khẳng định trong nhiều thập kỷ rằng đó là sự thật,” anh ấy nói và nói thêm: “Tôi không khẳng định rằng tôi có thể chứng minh điều đó.”

Giả thuyết của Hindman

Nếu bạn từ bỏ tổng và chỉ muốn đảm bảo rằng các tích có cùng màu, bạn có thể dễ dàng áp dụng định lý Hindman bằng cách sử dụng phép lũy thừa để chuyển tổng thành tích (giống như quy tắc trượt).

Tuy nhiên, vật lộn với tổng và tích đồng thời khó khăn hơn nhiều. “Rất khó để bắt hai người đó nói chuyện với nhau,” anh nói Joel Moreira, một nhà toán học tại Đại học Warwick. “Hiểu mối quan hệ của phép cộng và phép nhân — theo một cách nào đó, đây gần như là cơ sở của tất cả lý thuyết số.”

Ngay cả một phiên bản đơn giản hơn mà Hindman đề xuất lần đầu tiên vào những năm 1970 cũng tỏ ra khó khăn. Ông phỏng đoán rằng bất kỳ cách tô màu nào của các số tự nhiên đều phải chứa một tập đơn sắc có dạng {x, y, xy, x+y} — hai số x và y, cũng như tổng và tích của chúng. “Mọi người đã không thực sự đạt được bất kỳ tiến bộ nào về vấn đề này trong nhiều thập kỷ,” Bowen nói. “Và rồi đột nhiên, vào khoảng năm 2010, mọi người bắt đầu chứng minh ngày càng nhiều thứ về nó.”

Bowen đã biết về {x, y, xy, x+y} vấn đề vào năm 2016, học kỳ thứ hai của anh ấy ở trường đại học, khi một trong những giáo sư của anh ấy tại Đại học Carnegie Mellon mô tả vấn đề trong lớp. Bowen bị ấn tượng bởi sự đơn giản của nó. “Đó là một trong những điều thú vị giống như, tôi không biết nhiều về toán, nhưng tôi có thể hiểu được điều này,” anh ấy nói.

Năm 2017, Moreira chứng minh việc này bạn có thể luôn luôn tìm một tập hợp đơn sắc chứa ba trong số bốn phần tử mong muốn: x, xyvà x + y. Trong khi đó, Bowen bắt đầu tình cờ mày mò câu hỏi trong năm cuối cấp. “Tôi thực sự không thể giải quyết vấn đề,” anh nói. “Nhưng tôi sẽ quay lại với nó sau mỗi sáu tháng hoặc lâu hơn.” Sau khi thể hiện kém cỏi bằng Tiến sĩ của mình. kỳ thi vòng loại vào năm 2020, anh ấy đã nỗ lực gấp đôi. Vài ngày sau, anh ấy đã chứng minh được {x, y, xy, x+y} phỏng đoán cho trường hợp hai màu, kết quả mà Ron Graham đã chứng minh từ những năm 1970 với sự trợ giúp của máy tính.

Với thành công đó, Bowen đã làm việc với Sabok để mở rộng kết quả cho bất kỳ số lượng màu nào. Nhưng họ nhanh chóng bị vướng vào các chi tiết kỹ thuật. Sabok cho biết: “Sự phức tạp của vấn đề hoàn toàn vượt khỏi tầm kiểm soát khi số lượng màu sắc lớn. Trong 18 tháng, họ đã cố gắng tự giải thoát nhưng không mấy may mắn. “Trong suốt một năm rưỡi qua, chúng tôi đã có khoảng một triệu bằng chứng sai,” Sabok nói.

Một khó khăn đặc biệt đã cản trở hai nhà toán học tiến bộ. Nếu bạn chọn ngẫu nhiên hai số nguyên, có thể bạn sẽ không thể chia chúng. Phép chia chỉ hoạt động trong trường hợp hiếm hoi khi số đầu tiên là bội số của số thứ hai. Điều này hóa ra là vô cùng hạn chế. Với nhận thức đó, Bowen và Sabok xoay quanh việc chứng minh {x, y, xy, x+y} thay vào đó hãy phỏng đoán trong các số hữu tỷ (như các nhà toán học gọi là phân số). Ở đó, số có thể được chia với sự từ bỏ.

Bằng chứng của Bowen và Sabok là tao nhã nhất khi tất cả các màu liên quan xuất hiện thường xuyên trong các số hữu tỷ. Màu sắc có thể xuất hiện “thường xuyên” theo nhiều cách khác nhau. Mỗi người có thể bao gồm các phần lớn của dòng số. Hoặc nó có thể có nghĩa là bạn không thể di chuyển quá xa dọc theo dãy số mà không nhìn thấy mọi màu sắc. Tuy nhiên, thông thường, màu sắc không tuân theo các quy tắc như vậy. Trong những trường hợp đó, bạn có thể tập trung vào các vùng nhỏ trong các số hữu tỷ nơi màu sắc xuất hiện thường xuyên hơn, Sabok giải thích. “Đây là nơi phần lớn công việc đến,” anh nói.

Vào tháng 2022 năm XNUMX, Bowen và Sabok đã đăng một bằng chứng rằng nếu bạn tô các số hữu tỉ bằng nhiều màu hữu hạn, thì sẽ có một tập hợp có dạng {x, y, xy, x+y} có tất cả các phần tử có cùng màu. “Đó là một bằng chứng cực kỳ thông minh,” nói lãnh đạo imre của Đại học Cambridge. “Nó sử dụng các kết quả đã biết. Nhưng nó kết hợp chúng theo một cách hoàn toàn xuất sắc, rất độc đáo và rất sáng tạo.”

Rất nhiều câu hỏi vẫn còn. Có thể một số thứ ba z được thêm vào bộ sưu tập, cùng với các khoản tiền và sản phẩm tiếp theo? Thỏa mãn những dự đoán táo bạo nhất của Hindman có nghĩa là thêm một số thứ tư, thứ năm và cuối cùng là nhiều số mới tùy ý vào dãy số. Nó cũng đòi hỏi phải chuyển từ số hữu tỉ sang số tự nhiên và tìm ra cách giải quyết bài toán hóc búa về phép chia đã cản trở nỗ lực của Bowen và Sabok.

Leader tin rằng với việc Moreira, Bowen và Sabok đều đang giải quyết vấn đề, thì bằng chứng đó có thể không còn xa nữa. Anh ấy nói: “Những người đó có vẻ đặc biệt xuất sắc trong việc tìm ra những cách mới để làm mọi việc. “Vì vậy, tôi hơi lạc quan rằng họ hoặc một số đồng nghiệp của họ có thể tìm thấy nó.”

Sabok thận trọng hơn trong các dự đoán của mình. Nhưng anh ấy không loại trừ bất cứ điều gì. Ông nói: “Một trong những nét hấp dẫn của toán học là trước khi bạn có được bằng chứng, thì mọi thứ đều có thể xảy ra.