Giới thiệu
Trong nhiều thế kỷ, các nhà toán học đã tìm cách hiểu và mô hình hóa chuyển động của chất lỏng. Các phương trình mô tả cách các gợn sóng tạo thành bề mặt ao cũng giúp các nhà nghiên cứu dự đoán thời tiết, thiết kế máy bay tốt hơn và mô tả đặc điểm cách máu chảy qua hệ tuần hoàn. Những phương trình này có vẻ đơn giản khi được viết bằng ngôn ngữ toán học phù hợp. Tuy nhiên, các giải pháp của họ phức tạp đến mức việc hiểu được ngay cả những câu hỏi cơ bản về chúng cũng có thể cực kỳ khó khăn.
Có lẽ phương trình lâu đời nhất và nổi bật nhất trong số này, được Leonhard Euler xây dựng cách đây hơn 250 năm, mô tả dòng chảy của một chất lỏng lý tưởng, không nén được: một chất lỏng không có độ nhớt, hay ma sát trong, không thể bị ép vào một thể tích nhỏ hơn. “Hầu hết tất cả các phương trình chất lỏng phi tuyến đều bắt nguồn từ phương trình Euler,” nói Tarek Elgindi, một nhà toán học tại Đại học Duke. “Có thể nói họ là những người đầu tiên.”
Tuy nhiên, vẫn còn nhiều điều chưa biết về các phương trình Euler - bao gồm cả việc liệu chúng có phải là mô hình chính xác của dòng chất lỏng lý tưởng hay không. Một trong những vấn đề trọng tâm trong động lực học chất lỏng là tìm hiểu xem liệu các phương trình có bao giờ thất bại hay không, đưa ra những giá trị vô nghĩa khiến chúng không thể dự đoán được trạng thái tương lai của chất lỏng.
Các nhà toán học từ lâu đã nghi ngờ rằng có tồn tại những điều kiện ban đầu khiến các phương trình bị phá vỡ. Nhưng họ chưa chứng minh được điều đó.
In một bản in trước được đăng trực tuyến vào tháng trước, một cặp nhà toán học đã chỉ ra rằng một phiên bản cụ thể của phương trình Euler thực sự đôi khi thất bại. Bằng chứng đánh dấu một bước đột phá lớn - và mặc dù nó không giải quyết được hoàn toàn vấn đề đối với phiên bản tổng quát hơn của các phương trình, nhưng nó mang lại hy vọng rằng giải pháp như vậy cuối cùng cũng nằm trong tầm tay. “Đó là một kết quả tuyệt vời,” nói Tristan Buckmaster, một nhà toán học tại Đại học Maryland, người không tham gia vào công việc này. “Không có kết quả thuộc loại này trong văn học.”
Chỉ có một cách bắt.
Bằng chứng dài 177 trang - kết quả của một chương trình nghiên cứu kéo dài hàng thập kỷ - sử dụng máy tính một cách đáng kể. Điều này được cho là gây khó khăn cho các nhà toán học khác trong việc xác minh nó. (Trên thực tế, họ vẫn đang trong quá trình làm việc đó, mặc dù nhiều chuyên gia tin rằng công trình mới hóa ra sẽ đúng.) Nó cũng buộc họ phải suy nghĩ về những câu hỏi triết học về “bằng chứng” là gì và nó sẽ như thế nào. có nghĩa là nếu cách khả thi duy nhất để giải quyết những câu hỏi quan trọng như vậy trong tương lai là nhờ sự trợ giúp của máy tính.
Nhìn thấy Quái Vật
Về nguyên tắc, nếu bạn biết vị trí và vận tốc của từng hạt trong chất lỏng, thì phương trình Euler sẽ có thể dự đoán chất lỏng sẽ tiến hóa như thế nào trong mọi thời gian. Nhưng các nhà toán học muốn biết liệu điều đó có thực sự đúng hay không. Có lẽ trong một số trường hợp, các phương trình sẽ diễn ra như mong đợi, tạo ra các giá trị chính xác cho trạng thái của chất lỏng tại bất kỳ thời điểm nào, chỉ khi một trong các giá trị đó đột ngột tăng vọt đến vô cùng. Vào thời điểm đó, các phương trình Euler được cho là sẽ tạo ra một “điểm kỳ dị” - hay kịch tính hơn là “nổ tung”.
Một khi chúng chạm vào điểm kỳ dị đó, các phương trình sẽ không thể tính được dòng chảy của chất lỏng nữa. Nhưng “kể từ vài năm trước, những gì mọi người có thể làm đã rất, rất xa so với [chứng tỏ sự bùng nổ],” nói. Charlie Fefferman, một nhà toán học tại Đại học Princeton.
Nó thậm chí còn phức tạp hơn nếu bạn đang cố gắng mô hình hóa một chất lỏng có độ nhớt (như hầu hết các chất lỏng trong thế giới thực đều làm). Giải thưởng Thiên niên kỷ trị giá một triệu đô la từ Viện Toán học Clay đang chờ đợi bất kỳ ai có thể chứng minh liệu những sai sót tương tự có xảy ra trong các phương trình Navier-Stokes hay không, một dạng tổng quát hóa của các phương trình Euler tính đến độ nhớt.
Trong 2013, Thomas Hou, một nhà toán học tại Viện Công nghệ California, và Quách Lạc, hiện tại Đại học Hang Seng của Hồng Kông, đã đề xuất một kịch bản trong đó các phương trình Euler sẽ dẫn đến một điểm kỳ dị. Họ đã phát triển một mô phỏng máy tính về chất lỏng trong một hình trụ có nửa trên quay theo chiều kim đồng hồ trong khi nửa dưới quay ngược chiều kim đồng hồ. Khi họ chạy mô phỏng, những dòng điện phức tạp hơn bắt đầu di chuyển lên xuống. Điều đó lại dẫn đến hành vi kỳ lạ dọc theo ranh giới của hình trụ nơi các dòng chảy đối lập gặp nhau. Độ xoáy của chất lỏng - thước đo độ quay - tăng nhanh đến mức dường như nó sắp nổ tung.
Công việc của Hou và Luo mang tính gợi ý nhưng không phải là bằng chứng xác thực. Đó là bởi vì máy tính không thể tính được những giá trị vô hạn. Nó có thể tiến rất gần đến việc nhìn thấy một điểm kỳ dị, nhưng thực tế nó không thể chạm tới điểm đó - nghĩa là nghiệm có thể rất chính xác, nhưng nó vẫn chỉ là xấp xỉ. Nếu không có sự hỗ trợ của bằng chứng toán học, giá trị của độ xoáy dường như chỉ tăng lên vô cùng do một số tạo tác của mô phỏng. Thay vào đó, các giải pháp có thể phát triển đến số lượng khổng lồ trước khi lại giảm xuống.
Sự đảo ngược như vậy đã từng xảy ra trước đây: Một mô phỏng sẽ chỉ ra rằng một giá trị trong các phương trình đã tăng lên, chỉ để các phương pháp tính toán phức tạp hơn chứng minh điều ngược lại. Fefferman nói: “Những vấn đề này phức tạp đến mức con đường rải đầy đống đổ nát của các mô phỏng trước đó”. Trên thực tế, đó là cách Hou bắt đầu nghiên cứu lĩnh vực này: Một số kết quả trước đó của ông đã bác bỏ sự hình thành các điểm kỳ dị giả thuyết.
Tuy nhiên, khi ông và Luo công bố nghiệm của họ, hầu hết các nhà toán học đều cho rằng đó rất có thể là một điểm kỳ dị thực sự. “Nó rất tỉ mỉ, rất chính xác,” nói Vladimir Sverak, một nhà toán học tại Đại học Minnesota. “Họ thực sự đã nỗ lực rất nhiều để chứng minh rằng đây là một kịch bản có thật.” Công việc tiếp theo của Elgindi, Sverak và những người khác chỉ củng cố niềm tin đó.
Nhưng một bằng chứng là khó nắm bắt. “Bạn đã nhìn thấy con quái vật,” Fefferman nói. “Vậy thì cậu hãy cố gắng nắm bắt nó.” Điều đó có nghĩa là chứng tỏ rằng nghiệm gần đúng mà Hou và Luo đã mô phỏng cẩn thận, theo nghĩa toán học cụ thể, rất, rất gần với nghiệm chính xác của các phương trình.
Bây giờ, chín năm sau lần nhìn thấy đầu tiên đó, Hou và cựu sinh viên tốt nghiệp của mình Jiajie Chen cuối cùng đã thành công trong việc chứng minh sự tồn tại của điểm kỳ dị gần đó.
Việc di chuyển đến vùng đất tương tự
Hou, sau đó được Chen tham gia, đã lợi dụng thực tế là, khi phân tích kỹ hơn, lời giải gần đúng từ năm 2013 dường như có một cấu trúc đặc biệt. Khi các phương trình phát triển theo thời gian, lời giải hiển thị cái được gọi là mô hình tự tương tự: Hình dạng của nó sau này trông rất giống hình dạng trước đó, chỉ được điều chỉnh lại theo một cách cụ thể.
Kết quả là, các nhà toán học không cần phải cố gắng quan sát bản thân điểm kỳ dị. Thay vào đó, họ có thể nghiên cứu nó một cách gián tiếp bằng cách tập trung vào một thời điểm sớm hơn. Bằng cách phóng to phần đó của giải pháp ở mức phù hợp - được xác định dựa trên cấu trúc tự tương tự của giải pháp - họ có thể lập mô hình những gì sẽ xảy ra sau này, bao gồm cả ở chính điểm kỳ dị.
Phải mất vài năm họ mới tìm được một kịch bản tương tự với kịch bản nổ tung năm 2013. (Đầu năm nay, một nhóm các nhà toán học khác, trong đó có Buckmaster, đã sử dụng các phương pháp khác nhau để tìm một giải pháp gần đúng tương tự. Họ hiện đang sử dụng giải pháp đó để phát triển một bằng chứng độc lập về sự hình thành điểm kỳ dị.)
Với một giải pháp gần đúng tương tự trong tay, Hou và Chen cần chỉ ra rằng một giải pháp chính xác tồn tại ở gần đó. Về mặt toán học, điều này tương đương với việc chứng minh rằng nghiệm gần đúng tự tương tự của chúng là ổn định - rằng ngay cả khi bạn làm nhiễu loạn nó một chút và sau đó phát triển các phương trình bắt đầu từ các giá trị nhiễu loạn đó, sẽ không có cách nào thoát khỏi một lân cận nhỏ xung quanh giải pháp gần đúng. “Nó giống như một lỗ đen,” Hou nói. “Nếu bạn bắt đầu với một hồ sơ gần đó, bạn sẽ bị cuốn hút.”
Nhưng có được một chiến lược chung chỉ là một bước hướng tới giải pháp. “Những chi tiết phức tạp rất quan trọng,” Fefferman nói. Khi Hou và Chen dành nhiều năm tiếp theo để nghiên cứu những chi tiết đó, họ nhận ra rằng họ lại phải dựa vào máy tính một lần nữa - nhưng lần này theo một cách hoàn toàn mới.
Một cách tiếp cận lai
Một trong những thách thức đầu tiên của họ là tìm ra mệnh đề chính xác mà họ phải chứng minh. Họ muốn chứng tỏ rằng nếu họ lấy bất kỳ tập hợp giá trị nào gần với nghiệm gần đúng của mình và thay nó vào các phương trình, thì kết quả đầu ra sẽ không thể đi xa được. Nhưng việc đầu vào “gần” với lời giải gần đúng có nghĩa là gì? Họ phải xác định điều này trong một phát biểu toán học - nhưng có nhiều cách để định nghĩa khái niệm khoảng cách trong bối cảnh này. Để bằng chứng của họ có hiệu quả, họ cần phải chọn cái đúng.
“Nó phải đo lường các tác động vật lý khác nhau,” nói Rafa de la Llave, một nhà toán học tại Viện Công nghệ Georgia. “Vì vậy, nó cần được lựa chọn bằng sự hiểu biết sâu sắc về vấn đề.”
Một khi họ đã có cách đúng để mô tả “sự gần gũi”, Hou và Chen phải chứng minh tuyên bố, dẫn đến một bất đẳng thức phức tạp liên quan đến các số hạng từ cả phương trình tỷ lệ lại và nghiệm gần đúng. Các nhà toán học phải đảm bảo rằng giá trị của tất cả các số hạng đó cân bằng với một giá trị rất nhỏ: Nếu một giá trị lớn thì các giá trị khác phải âm hoặc được giữ trong tầm kiểm soát.
“Nếu bạn làm một cái gì đó quá lớn hoặc quá nhỏ một chút, mọi thứ sẽ bị hỏng,” ông nói. Javier Gómez-Serrano, một nhà toán học tại Đại học Brown. “Vì vậy, đây là công việc rất, rất cẩn thận và tinh tế.”
Elgindi nói thêm: “Đó là một cuộc chiến thực sự khốc liệt.
Để có được giới hạn chặt chẽ mà họ cần cho tất cả các số hạng khác nhau này, Hou và Chen đã chia bất đẳng thức thành hai phần chính. Họ có thể xử lý phần đầu tiên bằng tay, với các kỹ thuật trong đó có một kỹ thuật có từ thế kỷ 18, khi nhà toán học người Pháp Gaspard Monge tìm kiếm một cách tối ưu để vận chuyển đất để xây dựng công sự cho quân đội của Napoléon. “Những việc như thế này đã từng được thực hiện trước đây, nhưng tôi thấy thật ngạc nhiên khi [Hou và Chen] đã sử dụng nó cho việc này,” Fefferman nói.
Điều đó để lại phần thứ hai của bất đẳng thức. Giải quyết nó sẽ cần sự trợ giúp của máy tính. Đầu tiên, có rất nhiều phép tính cần được thực hiện và yêu cầu độ chính xác cao đến mức “khối lượng công việc bạn phải làm với bút chì và giấy sẽ rất đáng kinh ngạc,” de la Llave nói. Để cân bằng các số hạng khác nhau, các nhà toán học đã phải thực hiện một loạt bài toán tối ưu hóa tương đối dễ đối với máy tính nhưng lại cực kỳ tốn thời gian đối với con người. Một số giá trị còn phụ thuộc vào các đại lượng từ nghiệm gần đúng; vì nó được tính toán bằng máy tính nên việc sử dụng máy tính để thực hiện các phép tính bổ sung này sẽ đơn giản hơn.
Gómez-Serrano cho biết: “Nếu bạn cố gắng thực hiện một số ước tính này theo cách thủ công, có thể đến một lúc nào đó bạn sẽ đánh giá quá cao và sau đó bạn thua cuộc”. “Các con số quá nhỏ và chặt chẽ… và biên độ cực kỳ mỏng.”
Nhưng vì máy tính không thể thao tác với vô số chữ số nên chắc chắn sẽ xảy ra những lỗi nhỏ. Hou và Chen phải theo dõi cẩn thận những lỗi đó để đảm bảo chúng không ảnh hưởng đến phần còn lại của hành động cân bằng.
Cuối cùng, họ đã có thể tìm ra giới hạn cho tất cả các số hạng, hoàn thành chứng minh: Các phương trình quả thực đã tạo ra một điểm kỳ dị.
Chứng minh bằng máy tính
Vẫn còn bỏ ngỏ liệu các phương trình phức tạp hơn – phương trình Euler không có ranh giới hình trụ và phương trình Navier-Stokes – có thể phát triển một điểm kỳ dị hay không. “Nhưng ít nhất [tác phẩm này] mang lại cho tôi hy vọng,” Hou nói. “Tôi nhìn thấy một con đường phía trước, một con đường thậm chí có thể giải quyết được toàn bộ vấn đề Thiên niên kỷ.”
Trong khi đó, Buckmaster và Gómez-Serrano đang nghiên cứu một bằng chứng có sự hỗ trợ của máy tính - một bằng chứng mà họ hy vọng sẽ tổng quát hơn và do đó có khả năng giải quyết không chỉ vấn đề mà Hou và Chen đã giải quyết mà còn giải quyết được nhiều vấn đề khác.
Những nỗ lực này đánh dấu một xu hướng ngày càng tăng trong lĩnh vực động lực học chất lỏng: việc sử dụng máy tính để giải quyết các vấn đề quan trọng.
“Trong một số lĩnh vực khác nhau của toán học, điều này xảy ra ngày càng thường xuyên hơn,” ông nói. Susan Friedlander, một nhà toán học tại Đại học Nam California.
Nhưng trong cơ học chất lỏng, việc chứng minh có sự trợ giúp của máy tính vẫn là một kỹ thuật tương đối mới. Trên thực tế, khi đưa ra các tuyên bố về sự hình thành điểm kỳ dị, chứng minh của Hou và Chen là chứng minh đầu tiên thuộc loại này: Các chứng minh có sự trợ giúp của máy tính trước đây chỉ có thể giải quyết các vấn đề về đồ chơi trong lĩnh vực này.
Những bằng chứng như vậy không gây nhiều tranh cãi vì “vấn đề về sở thích”, nói Peter Constantin của Đại học Princeton. Các nhà toán học thường đồng ý rằng một bằng chứng phải thuyết phục được các nhà toán học khác rằng một số lý luận là đúng. Tuy nhiên, nhiều người cho rằng nó cũng sẽ nâng cao hiểu biết của họ về lý do tại sao một tuyên bố cụ thể là đúng, thay vì chỉ đơn giản là cung cấp sự xác nhận rằng nó đúng. “Chúng ta có học được điều gì mới về cơ bản không, hay chúng ta chỉ biết câu trả lời cho câu hỏi?” Elgindi nói. “Nếu bạn xem toán học như một môn nghệ thuật thì điều này không hề mang tính thẩm mỹ.”
“Một chiếc máy tính có thể giúp ích. Rất tuyệt vời. Nó mang lại cho tôi cái nhìn sâu sắc. Nhưng nó không mang lại cho tôi sự hiểu biết đầy đủ,” Constantin nói thêm. “Sự hiểu biết đến từ chúng tôi.”
Về phần mình, Elgindi vẫn hy vọng có thể tìm ra một bằng chứng thay thế về vụ nổ hoàn toàn bằng tay. “Nói chung tôi rất vui vì điều này tồn tại,” anh nói về công việc của Hou và Chen. “Nhưng tôi coi đó là động lực để cố gắng làm điều đó theo cách ít phụ thuộc vào máy tính hơn”.
Các nhà toán học khác xem máy tính như một công cụ mới quan trọng giúp giải quyết các vấn đề nan giải trước đây. Chen nói: “Bây giờ công việc không còn chỉ là giấy và bút chì nữa. “Bạn có thể lựa chọn sử dụng thứ gì đó mạnh mẽ hơn.”
Theo ông và những người khác (kể cả Elgindi, mặc dù ông thích viết chứng minh bằng tay), rất có thể cách duy nhất để giải các bài toán lớn trong động lực học chất lỏng - tức là các bài toán liên quan đến các phương trình ngày càng phức tạp - có thể là dựa vào phụ thuộc rất nhiều vào sự hỗ trợ của máy tính. Fefferman nói: “Đối với tôi, có vẻ như việc cố gắng làm điều này mà không sử dụng nhiều các bằng chứng có sự hỗ trợ của máy tính cũng giống như trói một hoặc có thể cả hai tay sau lưng bạn”.
Nếu trường hợp đó xảy ra và “bạn không có lựa chọn nào khác,” Elgindi nói, “thì những người… chẳng hạn như tôi, người sẽ nói rằng điều này là chưa tối ưu, nên im lặng.” Điều đó cũng có nghĩa là sẽ có nhiều nhà toán học hơn cần phải bắt đầu học các kỹ năng cần thiết để viết các chứng minh có sự hỗ trợ của máy tính - điều mà công trình của Hou và Chen hy vọng sẽ truyền cảm hứng. Buckmaster nói: “Tôi nghĩ có rất nhiều người chỉ đơn giản chờ đợi ai đó giải quyết vấn đề như vậy trước khi đầu tư bất kỳ thời gian nào của họ vào phương pháp này”.
Điều đó có nghĩa là, khi nói đến các cuộc tranh luận về mức độ mà các nhà toán học nên dựa vào máy tính, “không phải là bạn cần phải chọn một bên,” Gómez-Serrano nói. “Bằng chứng của [Hou và Chen] sẽ không có tác dụng nếu không có sự phân tích, và bằng chứng sẽ không có tác dụng nếu không có sự hỗ trợ của máy tính. … Tôi nghĩ giá trị là mọi người có thể nói được hai ngôn ngữ.”
Cùng với đó, de la Llave nói, “có một trò chơi mới trong thị trấn.”
