Vào thế kỷ thứ ba trước Công nguyên, Archimedes đặt ra một câu đố về chăn gia súc mà anh ta tuyên bố, chỉ một người thực sự khôn ngoan mới có thể giải được. Vấn đề của anh ấy cuối cùng được rút gọn thành một phương trình liên quan đến sự khác biệt giữa hai số hạng bình phương, có thể được viết là x2 – dy2 = 1. Ở đây, d là một số nguyên — một số đếm dương hoặc âm — và Archimedes đang tìm kiếm các giải pháp trong đó cả hai x và y cũng là số nguyên.
Loại phương trình này, được gọi là phương trình Pell, đã mê hoặc các nhà toán học trong hàng thiên niên kỷ kể từ đó.
Vài thế kỷ sau Archimedes, nhà toán học Ấn Độ Brahmagupta, và sau đó là nhà toán học Bhāskara II, đã đưa ra các thuật toán để tìm nghiệm nguyên cho các phương trình này. Vào giữa những năm 1600, nhà toán học người Pháp Pierre de Fermat (người không biết về công trình đó) đã khám phá lại điều đó trong một số trường hợp, ngay cả khi d được gán một giá trị tương đối nhỏ, các giải pháp số nguyên nhỏ nhất có thể cho x và y có thể là đồ sộ. Khi ông gửi một loạt bài toán thách thức cho các nhà toán học đối thủ, họ đưa vào phương trình x2 - 61y2 = 1 mà nghiệm nhỏ nhất có chín hoặc 10 chữ số. (Đối với Archimedes, câu đố của ông về cơ bản yêu cầu các nghiệm nguyên cho phương trình x2 - 4,729,494y2 = 1. “Để in ra lời giải nhỏ nhất, phải mất 50 trang,” nói Peter Koymans, một nhà toán học tại Đại học Michigan. “Theo một nghĩa nào đó, đó là một trò chơi khăm khổng lồ của Archimedes.”)
Nhưng các giải pháp cho các phương trình Pell có thể làm được nhiều hơn thế. Ví dụ: giả sử bạn muốn tính gần đúng $latex sqrt{2}$, một số vô tỷ, dưới dạng tỷ lệ giữa các số nguyên. Hóa ra việc giải phương trình Pell x2 - 2y2 = 1 có thể giúp bạn làm điều đó: $latex sqrt{2}$ (hoặc, tổng quát hơn, $latex sqrt{d}$) có thể được tính gần đúng bằng cách viết lại lời giải dưới dạng một phân số x/y.
Có lẽ thậm chí còn hấp dẫn hơn, những giải pháp đó cũng cho bạn biết điều gì đó về các hệ thống số cụ thể, mà các nhà toán học gọi là vành. Trong một hệ thống số như vậy, các nhà toán học có thể nối $latex sqrt{2}$ với các số nguyên. Nhẫn có những tính chất nhất định và các nhà toán học muốn hiểu những tính chất đó. Phương trình Pell, hóa ra, có thể giúp họ làm như vậy.
Và vì vậy “rất nhiều nhà toán học rất nổi tiếng — hầu hết mọi nhà toán học trong một khoảng thời gian nào đó — đã thực sự nghiên cứu phương trình này vì nó đơn giản như thế nào,” cho biết Mark Shusterman, một nhà toán học tại Đại học Harvard. Những nhà toán học đó bao gồm Fermat, Euler, Lagrange và Dirichlet. (John Pell, không nhiều lắm; phương trình đã được đặt tên nhầm theo tên ông.)
Bây giờ Koymans và Carlo Pagano, một nhà toán học tại Đại học Concordia ở Montreal, đã đã chứng minh một phỏng đoán hàng chục năm tuổi liên quan đến phương trình Pell, một phương trình định lượng tần suất một dạng nhất định của phương trình có nghiệm nguyên. Để làm như vậy, họ đã nhập các ý tưởng từ một lĩnh vực khác - lý thuyết nhóm - đồng thời hiểu rõ hơn về một đối tượng nghiên cứu quan trọng nhưng bí ẩn trong lĩnh vực đó. “Họ đã sử dụng những ý tưởng thực sự sâu sắc và đẹp đẽ,” nói Andrew Granville, một nhà toán học tại Đại học Montreal. "Họ thực sự đóng đinh nó."
số học bị hỏng
Trong những 1990 đầu tiên, Peter Stevenhagen, một nhà toán học tại Đại học Leiden ở Hà Lan, đã lấy cảm hứng từ một số mối liên hệ mà ông nhìn thấy giữa các phương trình Pell và lý thuyết nhóm để đưa ra phỏng đoán về tần suất các phương trình này có nghiệm nguyên. Nhưng “Tôi không mong đợi điều đó sẽ sớm được chứng minh,” anh ấy nói - hoặc thậm chí trong suốt cuộc đời của anh ấy. Các kỹ thuật sẵn có dường như không đủ mạnh để giải quyết vấn đề.
Phỏng đoán của ông phụ thuộc vào một tính năng cụ thể của nhẫn. Trong vòng các số, ví dụ, $latex sqrt{-5}$ đã được thêm vào các số nguyên (các nhà toán học thường làm việc với các số “ảo” như $latex sqrt{-5}$), có hai cách khác nhau để chia một số thành các thừa số nguyên tố của nó. Ví dụ: số 6 có thể được viết không chỉ là 2 × 3 mà còn có thể là (1 + $latex sqrt{-5}$) × (1 – $latex sqrt{-5}$). Kết quả là, trong vòng này, phép phân tích thừa số nguyên tố duy nhất — một nguyên lý trung tâm của số học, một nguyên lý thực tế được coi là hiển nhiên trong các số nguyên thông thường — bị phá vỡ. Phạm vi mà điều này xảy ra được mã hóa trong một đối tượng liên kết với vòng đó, được gọi là nhóm lớp.
Một cách mà các nhà toán học cố gắng hiểu sâu hơn về một hệ thống số mà họ quan tâm — chẳng hạn như $latex sqrt{2}$ liền kề với các số nguyên — là tính toán và nghiên cứu nhóm lớp của nó. Tuy nhiên, gần như cực kỳ khó để xác định các quy tắc chung về cách các nhóm lớp hành xử trên tất cả các hệ thống số khác nhau này.
Vào những năm 1980, các nhà toán học Henri Cohen và Hendrik Lenstra đưa ra một loạt các phỏng đoán về những quy tắc đó sẽ như thế nào. Những “phương pháp phỏng đoán Cohen-Lenstra” này có thể cho bạn biết nhiều điều về các nhóm lớp, từ đó sẽ tiết lộ các thuộc tính của hệ thống số cơ bản của chúng.
chỉ có một vấn đề. Mặc dù rất nhiều tính toán dường như hỗ trợ cho phương pháp phỏng đoán Cohen-Lenstra, nhưng chúng vẫn chỉ là phỏng đoán, không phải bằng chứng. “Về các định lý, cho đến rất gần đây chúng ta hầu như không biết gì cả,” nói Alex Bartel, một nhà toán học tại Đại học Glasgow.
Thú vị thay, hành vi điển hình của một nhóm lớp gắn bó chặt chẽ với hành vi của các phương trình Pell. Hiểu một vấn đề giúp hiểu được vấn đề kia — nhiều đến mức phỏng đoán của Stevenhagen “cũng là một vấn đề thử nghiệm đối với bất kỳ tiến bộ nào đạt được trên phương pháp phỏng đoán Cohen-Lenstra,” Pagano nói.
Công việc mới liên quan đến phương trình Pell âm, trong đó x2 – dy2 được đặt bằng −1 thay vì 1. Ngược lại với phương trình Pell ban đầu, luôn có vô số nghiệm nguyên cho bất kỳ d, không phải tất cả các giá trị của d trong phương trình Pell phủ định mang lại một phương trình có thể giải được. Lấy x2 - 3y2 = −1: Dù bạn có nhìn xa đến đâu trên trục số, bạn cũng sẽ không bao giờ tìm được nghiệm, mặc dù x2 - 3y2 = 1 có vô số nghiệm.
Trên thực tế, có rất nhiều giá trị của d mà phương trình Pell âm không thể giải được: Dựa trên các quy tắc đã biết về mối quan hệ của các số nhất định với nhau, d không thể là bội số của 3, 7, 11, 15, v.v.
Nhưng ngay cả khi bạn tránh những giá trị đó của d và chỉ xét các phương trình Pell âm còn lại, không phải lúc nào cũng tìm được nghiệm. Trong tập hợp nhỏ hơn các giá trị có thể có của d, tỷ lệ nào thực sự hoạt động?
Năm 1993, Stevenhagen đề xuất một công thức đưa ra câu trả lời chính xác cho câu hỏi đó. Trong số các giá trị cho d có thể hoạt động (nghĩa là các giá trị không phải là bội số của 3, 7, v.v.), ông dự đoán rằng khoảng 58% sẽ dẫn đến phương trình Pell âm với nghiệm nguyên.
Dự đoán của Stevenhagen đặc biệt được thúc đẩy bởi mối liên hệ giữa phương trình Pell phủ định và phương pháp phỏng đoán Cohen-Lenstra về các nhóm lớp - một liên kết mà Koymans và Pagano đã khai thác khi, 30 năm sau, cuối cùng họ đã chứng minh được ông đúng.
Một khẩu pháo tốt hơn
Vào năm 2010, Koymans và Pagano vẫn còn là sinh viên đại học — chưa quen thuộc với phỏng đoán của Stevenhagen — khi một bài báo ra đời đạt được một số tiến bộ đầu tiên về vấn đề này sau nhiều năm.
Trong tác phẩm đó, đó là công bố trên Biên niên sử của Toán học, các nhà toán học Étienne Fouvry và Jürgen Klüners cho thấy tỷ lệ các giá trị của d điều đó sẽ hiệu quả đối với phương trình Pell âm nằm trong một phạm vi nhất định. Để làm được điều đó, họ đã xử lý hành vi của một số thành phần thuộc các nhóm lớp có liên quan. Nhưng họ cần hiểu biết về nhiều yếu tố hơn nữa để đưa ra ước tính chính xác hơn nhiều của Stevenhagen là 58%. Thật không may, những yếu tố đó vẫn không thể hiểu được: các phương pháp mới lạ vẫn cần thiết để hiểu cấu trúc của chúng. Tiến bộ hơn nữa dường như không thể.
Sau đó, vào năm 2017, khi Koymans và Pagano cùng học cao học tại Đại học Leiden, một tờ giấy xuất hiện điều đó đã thay đổi mọi thứ. Koymans nói: “Khi tôi nhìn thấy điều này, tôi ngay lập tức nhận ra rằng đó là một kết quả rất, rất ấn tượng. “Giống như, OK, bây giờ tôi có một khẩu súng thần công để giải quyết vấn đề này và hy vọng rằng tôi có thể đạt được tiến bộ.” (Vào thời điểm đó, Stevenhagen và Lenstra cũng là giáo sư tại Leiden, điều này đã giúp khơi dậy mối quan tâm của Koymans và Pagano đối với vấn đề này.)
Bài báo là của một sinh viên tốt nghiệp tại Harvard, Alexander Smith (hiện là đồng nghiệp của Clay tại Stanford). Koymans và Pagano không đơn độc ca ngợi tác phẩm này như một bước đột phá. “Những ý tưởng thật tuyệt vời,” Granville nói. “Nhà cách mạng.”
Smith đã cố gắng hiểu các tính chất của nghiệm của các phương trình được gọi là đường cong elliptic. Khi làm như vậy, anh ấy đã tìm ra một phần cụ thể của kinh nghiệm Cohen-Lenstra. Nó không chỉ là bước quan trọng đầu tiên trong việc củng cố những phỏng đoán rộng hơn đó thành sự thật toán học, mà nó còn liên quan chính xác đến phần nhóm lớp mà Koymans và Pagano cần hiểu trong công trình của họ về phỏng đoán của Stevenhagen. (Phần này bao gồm các yếu tố mà Fouvry và Klüners đã nghiên cứu trong kết quả một phần của họ, nhưng nó cũng vượt xa họ.)
Tuy nhiên, Koymans và Pagano không thể sử dụng phương pháp của Smith ngay lập tức. (Nếu điều đó có thể xảy ra, chính Smith có lẽ đã làm như vậy.) Bằng chứng của Smith là về các nhóm lớp được liên kết với các vòng số bên phải (những lớp trong đó $latex sqrt{d}$ liền kề với các số nguyên) — nhưng ông đã xem xét tất cả các giá trị nguyên của d. Mặt khác, Koymans và Pagano chỉ nghĩ về một tập con nhỏ của những giá trị đó của d. Do đó, họ cần đánh giá hành vi trung bình của một nhóm nhỏ hơn nhiều trong các nhóm lớp.
Những nhóm lớp đó về cơ bản chiếm 0% trong số các nhóm lớp của Smith - nghĩa là Smith có thể ném chúng đi khi anh ấy đang viết bằng chứng của mình. Chúng hoàn toàn không đóng góp vào hành vi bình thường mà anh ấy đang nghiên cứu.
Và khi Koymans và Pagano cố gắng áp dụng các kỹ thuật của mình cho chỉ những nhóm lớp mà họ quan tâm, các phương pháp đó đã bị phá sản ngay lập tức. Cặp đôi sẽ cần thực hiện những thay đổi đáng kể để chúng hoạt động. Hơn nữa, họ không chỉ mô tả đặc điểm của một nhóm lớp, mà là sự khác biệt có thể tồn tại giữa hai nhóm lớp khác nhau (làm như vậy sẽ là một phần chính trong bằng chứng của họ về phỏng đoán của Stevenhagen) - điều này cũng sẽ yêu cầu một số công cụ khác nhau.
Vì vậy, Koymans và Pagano bắt đầu xem xét kỹ lưỡng hơn bài báo của Smith với hy vọng xác định chính xác nơi mọi thứ bắt đầu đi chệch hướng. Đó là một công việc khó khăn, tốn nhiều công sức, không chỉ vì tài liệu quá phức tạp mà còn vì Smith vẫn đang hoàn thiện bản in trước của mình vào thời điểm đó, thực hiện những chỉnh sửa và làm rõ cần thiết. (Anh ấy đã đăng phiên bản mới của bài báo của mình trực tuyến vào tháng trước.)
Trong suốt một năm, Koymans và Pagano đã cùng nhau học chứng minh, từng dòng một. Họ gặp nhau hàng ngày, thảo luận về một phần nhất định trong bữa trưa trước khi dành vài giờ bên bảng đen, giúp nhau tìm ra những ý tưởng liên quan. Nếu một trong số họ tự mình tiến bộ, anh ấy sẽ nhắn tin cho người kia để cập nhật cho anh ấy. Shusterman nhớ lại đôi khi nhìn thấy họ làm việc thâu đêm. Koymans cho biết, bất chấp (hoặc có lẽ vì) những thách thức mà nó kéo theo, “rất vui khi được làm cùng nhau.
Cuối cùng, họ đã xác định được nơi họ cần thử một cách tiếp cận mới. Lúc đầu, họ chỉ có thể thực hiện những cải tiến khiêm tốn. Cùng với các nhà toán học Stephanie Chan và Djordjo Milovic, họ đã tìm ra cách xử lý một số yếu tố bổ sung trong nhóm lớp, điều này cho phép họ đạt được giới hạn tốt hơn so với Fouvry và Klüners. Nhưng những phần quan trọng trong cấu trúc của nhóm giai cấp vẫn lảng tránh họ.
Một vấn đề lớn mà họ phải giải quyết — một vấn đề mà phương pháp của Smith không còn hiệu quả trong bối cảnh mới này — là đảm bảo rằng họ đang thực sự phân tích hành vi “trung bình” cho các nhóm lớp dưới dạng giá trị của d ngày càng lớn hơn. Để thiết lập mức độ ngẫu nhiên phù hợp, Koymans và Pagano đã chứng minh một bộ quy tắc phức tạp, được gọi là quy luật tương hỗ. Cuối cùng, điều đó cho phép họ giành được quyền kiểm soát cần thiết đối với sự khác biệt giữa hai nhóm lớp.
Bước tiến đó, cùng với những bước tiến khác, cuối cùng đã cho phép họ hoàn thành chứng minh cho phỏng đoán của Stevenhagen vào đầu năm nay. “Thật ngạc nhiên là họ có thể giải quyết nó hoàn toàn,” Chan nói. “Trước đây, chúng tôi đã có tất cả những vấn đề này.”
Những gì họ đã làm “làm tôi ngạc nhiên,” Smith nói. “Koymans và Pagano đã giữ lại ngôn ngữ cũ của tôi và chỉ sử dụng nó để đẩy ngày càng xa hơn theo hướng mà tôi hầu như không hiểu nữa.”
Công cụ sắc nét nhất
Kể từ thời điểm ông giới thiệu nó cách đây XNUMX năm, chứng minh của Smith về một phần của heuristic Cohen-Lenstra đã được coi là một cách để mở ra cánh cửa cho một loạt các vấn đề khác, bao gồm các câu hỏi về đường cong elip và các cấu trúc đáng quan tâm khác. (Trong bài báo của mình, Koymans và Pagano liệt kê khoảng một tá phỏng đoán mà họ hy vọng sẽ sử dụng các phương pháp của mình. Nhiều phỏng đoán không liên quan gì đến phương trình Pell âm hoặc thậm chí là các nhóm lớp.)
“Rất nhiều đối tượng có cấu trúc không giống với các loại nhóm đại số này,” Granville nói. Nhưng nhiều rào cản tương tự mà Koymans và Pagano phải đối mặt cũng xuất hiện trong những bối cảnh khác này. Công trình mới về phương trình Pell âm đã giúp phá bỏ những rào cản này. “Alexander Smith đã cho chúng tôi biết cách chế tạo những chiếc cưa và búa này, nhưng bây giờ chúng tôi phải làm cho chúng sắc bén nhất có thể, đập mạnh nhất có thể và linh hoạt nhất có thể với các tình huống khác nhau,” Bartel nói. “Một trong những điều mà bài báo này làm là đi rất nhiều theo hướng đó.”
Tất cả công việc này, trong khi đó, đã tinh chỉnh sự hiểu biết của các nhà toán học về chỉ một khía cạnh của các nhóm lớp. Phần còn lại của các phỏng đoán Cohen-Lenstra vẫn nằm ngoài tầm với, ít nhất là vào lúc này. Nhưng bài báo của Koymans và Pagano “là một dấu hiệu cho thấy các kỹ thuật chúng tôi có để tấn công các vấn đề trong Cohen-Lenstra đang phát triển,” Smith nói.
Bản thân Lenstra cũng lạc quan tương tự. Anh ấy đã viết trong một email rằng đó là "hoàn toàn ngoạn mục". “Nó thực sự mở ra một chương mới trong một nhánh của lý thuyết số cũng lâu đời như chính lý thuyết số.”
