Xác suất và lý thuyết số va chạm — trong một khoảnh khắc

Tham vọng của họ luôn cao. Khi Will Sawin và Melanie Matchett Wood lần đầu tiên bắt đầu làm việc cùng nhau vào mùa hè năm 2020, họ bắt đầu suy nghĩ lại về các thành phần chính của một số phỏng đoán hấp dẫn nhất trong lý thuyết số. Các chủ đề mà họ chú ý, các nhóm lớp, có liên quan mật thiết đến các câu hỏi cơ bản về cách hoạt động của số học khi các số được mở rộng ra ngoài các số nguyên. Đã nhìn thấy trong, tại Đại học Columbia, và Gỗ, tại Harvard, muốn đưa ra dự đoán về các cấu trúc thậm chí còn tổng quát và đáng sợ hơn về mặt toán học so với nhóm lớp.

Ngay cả trước khi họ hoàn thành công thức dự đoán của mình, vào tháng XNUMX, họ đã chứng minh một kết quả mới cho phép các nhà toán học áp dụng một trong những công cụ hữu ích nhất của lý thuyết xác suất không chỉ cho các nhóm lớp mà còn cho các tập hợp số, mạng và nhiều đối tượng toán học khác.

“Đây sẽ là bài báo nền tảng mà mọi người tìm đến khi họ bắt đầu nghĩ về những vấn đề này,” cho biết David Zureick-Brown, một nhà toán học tại Đại học Emory. “Không còn cảm giác như bạn phải phát minh ra mọi thứ từ đầu nữa.”

Đạo luật tập thể

Một nhóm lớp là một ví dụ về một tập hợp toán học có cấu trúc được gọi là một nhóm. Các nhóm bao gồm nhiều tập hợp quen thuộc, chẳng hạn như các số nguyên. Điều khiến các số nguyên trở thành một nhóm, thay vì chỉ là một tập hợp các số, là bạn có thể cộng các phần tử của nó lại với nhau và nhận được một số nguyên khác. Nói chung, một tập hợp là một nhóm nếu nó đi kèm với một số thao tác, chẳng hạn như phép cộng, kết hợp hai phần tử thành phần tử thứ ba theo cách thỏa mãn một số yêu cầu cơ bản. Chẳng hạn, nên có một phiên bản của số XNUMX, một phần tử không thay đổi bất kỳ phần tử nào khác.

Các số nguyên, mà các nhà toán học thường gọi là $latex mathbb{Z}$, là vô hạn. Nhưng rất nhiều nhóm có số phần tử hữu hạn. Chẳng hạn, để tạo một nhóm có bốn phần tử, hãy xét tập hợp {0, 1, 2, 3}. Thay vì thực hiện phép cộng thông thường, hãy chia tổng của hai số bất kỳ cho 4 và lấy phần còn lại. (Theo các quy tắc này, 2 + 2 = 0 và 2 + 3 = 1.) Nhóm này được gọi là $latex mathbb{Z}/4mathbb{Z}$.

Nói chung, nếu bạn muốn tạo một nhóm có $latex n$ phần tử, bạn có thể lấy các số từ XNUMX đến n – 1 và xét số dư khi chia cho n. Nhóm kết quả được gọi là $latex mathbb{Z}/nmathbb{Z}$, mặc dù đây không phải lúc nào cũng là nhóm duy nhất có n yếu tố.

Nhóm lớp xuất hiện khi các nhà lý thuyết số điều tra cấu trúc của các số bên ngoài các số nguyên. Để làm điều này, họ thêm các số mới vào các số nguyên, chẳng hạn như i (căn bậc hai của −1), $latex sqrt{5}$ hoặc thậm chí $latex sqrt{–5}$.

“Những điều mà chúng ta quen thuộc về những con số không còn đúng trong bối cảnh này nữa. Hoặc ít nhất, chúng không nhất thiết phải đúng”, ông nói. Jordan Ellenberg, một nhà toán học tại Đại học Wisconsin, Madison.

Cụ thể, bao thanh toán hoạt động khác nhau trong phần mở rộng của các số nguyên. Nếu bạn chỉ sử dụng các số nguyên, các số có thể được phân tích thành các số nguyên tố (các số chỉ có thể chia hết cho chính chúng và 1) theo một cách duy nhất. Ví dụ: 6 là 2 × 3 và nó không thể được phân tích thành các số nguyên tố khác. Thuộc tính này được gọi là phân tích thừa số duy nhất.

Nhưng nếu bạn thêm $latex sqrt{–5}$ vào hệ thống số của mình, bạn sẽ không còn phân tích thừa số duy nhất nữa. Bạn có thể phân tích 6 thành số nguyên tố theo hai cách khác nhau. Nó vẫn là 2 × 3, nhưng nó cũng là $latex (1 + sqrt{–5})$ × $latex (1 – sqrt{–5})$.

Các nhóm lớp được tạo từ các phần mở rộng như vậy cho các số nguyên. Wood nói: “Các nhóm lớp cực kỳ quan trọng. “Và vì vậy, thật tự nhiên khi tự hỏi: Họ thường như thế nào?”

Kích thước của nhóm lớp được liên kết với bất kỳ phần mở rộng nào của các số nguyên là phong vũ biểu cho biết mức độ phân tích thừa số duy nhất bị phá vỡ. Mặc dù các nhà toán học đã chứng minh rằng các nhóm lớp luôn hữu hạn, việc tìm ra cấu trúc và kích thước của chúng rất phức tạp. Đó là lý do tại sao vào năm 1984, Henri Cohen và Hendrik Lenstra mạo hiểm một số dự đoán. Phỏng đoán của họ, bây giờ được gọi là kinh nghiệm Cohen-Lenstra, liên quan đến tất cả các nhóm lớp xuất hiện khi bạn thêm căn bậc hai mới vào số nguyên. Nếu tất cả các nhóm lớp đó được tập hợp lại với nhau, Cohen và Lenstra sẽ gợi ý câu trả lời cho các câu hỏi như: Bao nhiêu phần trăm trong số chúng chứa nhóm $latex mathbb{Z}/3mathbb{Z}$? Hay $latex mathbb{Z}/7mathbb{Z}$? Hoặc một số loại nhóm hữu hạn đã biết khác?

Cohen và Lenstra đã thúc giục các nhà lý thuyết số xem xét không chỉ các ví dụ riêng lẻ về các nhóm giai cấp, mà cả các số liệu thống kê làm cơ sở cho các nhóm giai cấp như một tổng thể. Những dự đoán của họ đã khai thác tầm nhìn về toán học như một vũ trụ với các mẫu được khám phá ở mọi cấp độ.

Gần 40 năm sau, các heuristic Cohen-Lenstra được nhiều người tin là đúng, mặc dù chưa ai chứng minh được chúng. Nigel Boston, giáo sư danh dự tại Đại học Wisconsin, Madison, cho biết tác động của chúng đối với toán học là có thể cảm nhận được. “Những gì đã được phát hiện là trang web tuyệt vời này,” ông nói. “Có một cơ sở hạ tầng khổng lồ theo cách chúng ta nghĩ rằng thế giới được kết hợp với nhau.”

Trò chơi duy nhất trong thị trấn

Không thể giải quyết vấn đề một cách trực tiếp, các nhà toán học đã nghĩ ra những bài toán dễ xử lý hơn mà họ hy vọng sẽ làm sáng tỏ tình hình. Từ công trình đó, một tập hợp các đại lượng hữu ích xuất hiện mà các nhà toán học bắt đầu gọi là khoảnh khắc, theo một thuật ngữ được sử dụng trong lý thuyết xác suất.

Trong xác suất, các khoảnh khắc có thể giúp bạn tìm ra các phân phối đằng sau các số ngẫu nhiên. Ví dụ: hãy xem xét sự phân bố của nhiệt độ cao hàng ngày vào ngày 1 tháng 1 ở Thành phố New York — khả năng là vào ngày 10 tháng 40 năm sau, nhiệt độ sẽ là 70 độ F, hoặc 120 độ, hoặc 1 hoặc XNUMX. Tất cả những gì bạn phải làm là với dữ liệu trong quá khứ: lịch sử của mức cao hàng ngày vào ngày XNUMX tháng XNUMX hàng năm kể từ khi bắt đầu lịch sử được ghi lại.

Nếu bạn tính trung bình của những nhiệt độ này, bạn sẽ học được một chút, nhưng không phải tất cả. Nhiệt độ cao trung bình 40 độ không cho bạn biết khả năng nhiệt độ sẽ cao hơn 50 độ hoặc dưới 20 độ.

Nhưng điều này sẽ thay đổi nếu bạn được cung cấp thêm thông tin. Cụ thể, bạn có thể tìm hiểu giá trị trung bình của bình phương nhiệt độ, một đại lượng được gọi là thời điểm phân bố thứ hai. (Mức trung bình là khoảnh khắc đầu tiên.) Hoặc bạn có thể tìm hiểu mức trung bình của các khối lập phương, được gọi là khoảnh khắc thứ ba, hoặc mức trung bình của các lũy thừa thứ tư - khoảnh khắc thứ tư.

Đến những năm 1920, các nhà toán học đã phát hiện ra rằng nếu các khoảnh khắc trong chuỗi này phát triển đủ chậm, thì việc biết tất cả các khoảnh khắc cho phép bạn suy luận rằng chỉ một phân phối khả dĩ có những khoảnh khắc đó. (Mặc dù điều này không nhất thiết cho phép bạn trực tiếp tính toán phân phối đó.)

“Điều đó thực sự không trực quan,” Wood nói. “Nếu bạn nghĩ về một phân phối liên tục, nó có một số hình dạng. Có cảm giác như nó có nhiều thứ hơn là chỉ có thể nắm bắt được trong một dãy số.”

Các nhà toán học quan tâm đến heuristic Cohen-Lenstra đã phát hiện ra rằng, giống như những khoảnh khắc trong lý thuyết xác suất có thể được sử dụng để đạt được phân bố xác suất, những khoảnh khắc được xác định theo một cách cụ thể cho các nhóm lớp có thể là một thấu kính mà qua đó chúng ta có thể thấy kích thước và cấu trúc của chúng. . Jacob Tsimerman, một nhà toán học tại Đại học Toronto, cho biết ông không thể tưởng tượng làm thế nào có thể tính toán trực tiếp sự phân bổ quy mô nhóm lớp học. Anh ấy nói, sử dụng những khoảnh khắc “còn hơn cả dễ dàng. Đây là trò chơi duy nhất trong thị trấn.”

Khoảnh khắc kỳ diệu này

Trong khi mỗi thời điểm xác suất được liên kết với một số nguyên — lũy thừa thứ ba, lũy thừa thứ tư, v.v. — thì các đại lượng mới do các nhà lý thuyết số đưa ra, mỗi đại lượng tương ứng với một nhóm. Những khoảnh khắc mới này phụ thuộc vào thực tế là bạn thường có thể giảm một nhóm thành một nhóm nhỏ hơn bằng cách thu gọn các phần tử khác nhau lại với nhau.

Để tính thời điểm được liên kết với một nhóm G, lấy tất cả các nhóm lớp có thể — một nhóm cho mỗi căn bậc hai mới mà bạn thêm vào các số nguyên. Đối với mỗi nhóm lớp, hãy đếm số cách khác nhau mà bạn có thể thu gọn nó thành G. Sau đó, lấy trung bình cộng của những con số đó. Quá trình này có vẻ phức tạp, nhưng nó dễ thực hiện hơn nhiều so với phân phối thực tế đằng sau các dự đoán của Cohen và Lenstra. Mặc dù bản thân các phương pháp phỏng đoán Cohen-Lenstra rất phức tạp để phát biểu, nhưng các thời điểm phân phối mà chúng dự đoán đều bằng 1.

“Điều đó khiến bạn nghĩ, ồ, có lẽ những khoảnh khắc là cách tự nhiên để tiếp cận nó,” Ellenberg nói. “Việc chứng minh một thứ gì đó bằng 1 có vẻ đáng tin hơn là chứng minh nó bằng một tích vô hạn điên rồ nào đó.”

Khi các nhà toán học nghiên cứu sự phân phối trên các nhóm, (nhóm lớp hoặc cách khác), họ kết thúc với một phương trình cho mỗi nhóm G, với các xác suất hiện đại diện, chẳng hạn như tỷ lệ các nhóm lớp trông giống như $latex mathbb{Z}/3mathbb{Z}$. Với vô số phương trình và vô số nhóm lớp có thể, thật khó để giải các xác suất. Không rõ ràng rằng nó thậm chí còn có ý nghĩa để làm như vậy.

Wood nói: “Khi bạn có số tiền vô hạn, mọi thứ có thể trở nên sai lầm.

Tuy nhiên, các nhà toán học, vẫn không thể tìm ra những con đường khác để nghiên cứu các bản phân phối, tiếp tục quay lại bài toán thứ hai. Trong tác phẩm đăng trên tạp chí Biên niên sử của Toán học vào năm 2016, Ellenberg, cùng với Akshay Venkatesh và Craig Westerland, khoảnh khắc đã qua sử dụng để nghiên cứu số liệu thống kê của các nhóm lớp trong một bối cảnh hơi khác so với Cohen và Lenstra đã xem xét. ý tưởng này là tái sử dụng một số thời gian. Nhưng mỗi khi các nhà nghiên cứu sử dụng các khoảnh khắc, họ sẽ dựa vào những điểm kỳ quặc của vấn đề cụ thể của họ để chứng minh rằng tập hợp vô hạn các phương trình có nghiệm. Điều đó có nghĩa là kỹ thuật của họ không thể chuyển nhượng được. Nhà toán học tiếp theo cần sử dụng khoảnh khắc sẽ phải giải lại bài toán khoảnh khắc.

Khi bắt đầu hợp tác, Sawin và Wood cũng đã lên kế hoạch đi theo con đường này. Họ sẽ sử dụng các khoảnh khắc để đưa ra dự đoán về cách phân phối các phiên bản phức tạp hơn của các nhóm lớp. Nhưng khoảng một năm trong dự án của họ, họ tập trung vào chính vấn đề hiện tại.

Bị lạc hướng

Các đồng nghiệp mô tả Sawin và Wood đam mê công việc của họ một cách khác thường. “Cả hai đều rất thông minh. Nhưng có rất nhiều người thông minh,” Zureick-Brown nói. “Họ chỉ có thái độ tích cực đối với việc làm toán.”

Ban đầu, Sawin và Wood muốn sử dụng các khoảnh khắc để mở rộng các dự đoán của Cohen-Lenstra sang các bối cảnh mới. Nhưng họ nhanh chóng trở nên không hài lòng với lập luận vấn đề thứ hai của họ. Sawin nhớ lại: “Chúng tôi có nhu cầu viết đi viết lại những lập luận tương tự. Hơn nữa, anh ấy nói thêm, ngôn ngữ toán học mà họ đang sử dụng “dường như không đi vào trọng tâm của những gì lập luận đang làm…Các ý tưởng đã có, nhưng chúng tôi chưa tìm ra cách phù hợp để diễn đạt chúng.”

Sawin và Wood đào sâu hơn vào bằng chứng của họ, cố gắng tìm ra điều gì thực sự nằm bên dưới tất cả. Họ đã kết thúc với một bằng chứng giải quyết vấn đề thời điểm không chỉ cho ứng dụng cụ thể của họ, mà còn cho bất kỳ phân phối nhóm nào — và cho tất cả các loại cấu trúc toán học khác.

Họ chia vấn đề thành các bước nhỏ, có thể quản lý được. Thay vì cố gắng giải quyết toàn bộ phân bố xác suất trong một lượt, họ chỉ tập trung vào một khoảnh khắc nhỏ.

Ví dụ: để giải quyết vấn đề thời điểm cho phân phối xác suất trên các nhóm, mỗi thời điểm sẽ được liên kết với một nhóm G. Lúc đầu, Sawin và Wood sẽ xem xét một hệ phương trình chỉ bao gồm các khoảnh khắc cho một danh sách nhóm hạn chế.. Sau đó, họ sẽ từ từ thêm các nhóm vào danh sách, xem xét nhiều khoảnh khắc hơn mỗi lần. Bằng cách dần dần làm cho vấn đề trở nên phức tạp hơn, họ đã biến từng bước thành một vấn đề có thể giải quyết được. Từng chút một, họ xây dựng nên một giải pháp đầy đủ cho vấn đề thời điểm.

Wood giải thích: “Danh sách cố định đó giống như chiếc kính mà bạn đeo vào, và bạn càng sẵn sàng xem xét nhiều nhóm thì chiếc kính của bạn càng tốt.

Cuối cùng, khi họ phủi sạch những chi tiết không liên quan cuối cùng, họ thấy mình có một cuộc tranh luận có sức lan tỏa xuyên suốt toán học. Kết quả của họ có tác dụng đối với các nhóm lớp, đối với các nhóm liên quan đến các hình dạng hình học, đối với mạng lưới các dấu chấm và đường kẻ, cũng như đối với các tập hợp khác có độ phức tạp toán học cao hơn. Trong tất cả các tình huống này, Sawin và Wood đã tìm ra một công thức lấy một tập hợp các khoảnh khắc và đưa ra phân phối có các khoảnh khắc đó (miễn là các khoảnh khắc không phát triển quá nhanh, trong số các yêu cầu khác).

“Nó rất giống phong cách của Melanie,” Ellenberg nói. “Giống như, 'Hãy chứng minh một định lý rất tổng quát xử lý nhiều trường hợp khác nhau một cách thống nhất và tao nhã.'”

Sawin và Wood hiện đang quay trở lại mục tiêu ban đầu của họ. Đầu tháng XNUMX, họ chia sẻ Một bài báo mới điều đó đúng sai dự đoán Cohen-Lenstra được thực hiện vào cuối những năm 1980 bởi Cohen và đồng nghiệp Jacques Martinet. Ngoài ra, họ vẫn còn nhiều kết quả hơn trong hàng đợi của mình, với kế hoạch mở rộng phương pháp phỏng đoán sang nhiều tình huống mới hơn nữa. “Tôi không biết liệu dự án này có bao giờ kết thúc hay không,” Sawin nói.

Tsimerman nói: Vấn đề thời điểm mà Sawin và Wood giải quyết là “một cái gai sau gáy đối với rất nhiều câu hỏi khác nhau”. “Tôi nghĩ rằng rất nhiều nhà toán học sẽ thở phào nhẹ nhõm.”