Hình học đơn giản đằng sau bánh nướng xốp và diện tích bằng nhau

Gina, sinh viên hình học đã thức quá khuya đêm qua để làm bài tập về nhà trong khi xem Món nướng tuyệt vời của người Anh, vì vậy cuối cùng khi cô đi ngủ, đầu óc ngái ngủ của cô vẫn còn đầy những chiếc bánh nướng nhỏ và những chiếc la bàn. Điều này dẫn đến một giấc mơ khác thường nhất.

Gina nhận thấy mình là giám khảo của Great Brownie Bake Off tại Đại học Tưởng tượng, một ngôi trường nơi sinh viên học nhiều hình học nhưng rất ít số học. Các nhóm sinh viên Imaginary U được giao nhiệm vụ làm chiếc bánh hạnh nhân lớn nhất có thể và Gina sẽ quyết định đội chiến thắng.

Đội Alpha là đội về đích đầu tiên và họ tự hào giới thiệu chiếc bánh hạnh nhân hình chữ nhật của mình để ban giám khảo đánh giá. Gina rút thước ra và đo chiếc bánh hạnh nhân: Nó dài 16 inch và rộng 9 inch. Đội Beta nhanh chóng làm theo với chiếc bánh hạnh nhân hình vuông của họ, mỗi cạnh có kích thước 12 inch. Đó là khi rắc rối bắt đầu.

Đội trưởng của Đội Alpha nói: “Bánh hạnh nhân của chúng tôi dài hơn của bạn nhiều. “Của chúng tôi rõ ràng là lớn hơn, vì vậy chúng tôi là người chiến thắng!”

“Nhưng cạnh ngắn của hình chữ nhật của bạn ngắn hơn nhiều so với cạnh hình vuông của chúng tôi,” đại diện của Nhóm Beta cho biết. “Quảng trường của chúng tôi rõ ràng là lớn hơn. Chúng tôi đã giành chiến thắng!"

Gina thấy lạ khi tranh luận về điều này. “Diện tích của chiếc bánh hạnh nhân hình chữ nhật là 9 nhân 16, tức là 144 inch vuông,” cô ấy nói. “Diện tích của chiếc bánh hạnh nhân hình vuông là 12 nhân 12, cũng là 144 inch vuông. Những chiếc bánh hạnh nhân có cùng kích cỡ: Đó là một chiếc cà vạt.

Cả hai đội tỏ ra bối rối. “Tôi không hiểu ý của bạn về 'số lần',” một sinh viên chưa bao giờ được dạy phép nhân nói. “Tôi cũng vậy,” một người khác nói. Một người thứ ba nói, “Tôi đã từng nghe nói về việc các sinh viên tại trường Cao đẳng Complex College đo diện tích bằng cách sử dụng các con số, nhưng điều đó thậm chí có nghĩa là gì?” Đại học Tưởng tượng thực sự là một nơi kỳ lạ, ngay cả khi những giấc mơ trôi đi.

Gina phải làm gì? Làm thế nào cô ấy có thể thuyết phục các đội rằng bánh hạnh nhân của họ có cùng kích thước nếu họ không hiểu cách đo diện tích và nhân các số? May mắn thay, Gina đã có một ý tưởng thiên tài. “Đưa tôi một con dao,” cô nói.

Gina đo cạnh dài của chiếc bánh hạnh nhân hình chữ nhật dài 12 inch và cắt một đường song song với cạnh ngắn. Điều này biến hình chữ nhật lớn thành hai hình nhỏ hơn: một hình có kích thước 9 x 12 và hình kia có kích thước 9 x 4. Với ba lần cắt nhanh, cô ấy đã biến mảnh 9 nhân 4 thành ba mảnh 3 nhân 4 nhỏ hơn. Một chút sắp xếp lại đã dẫn đến những tiếng ooh và aah có thể nghe được từ đám đông: Gina đã biến hình chữ nhật thành một bản sao chính xác của hình vuông.

Bây giờ cả hai đội phải đồng ý rằng bánh hạnh nhân của họ có cùng kích cỡ. Bằng cách mổ xẻ một cái và sắp xếp lại để tạo thành cái còn lại, Gina đã chỉ ra rằng hai chiếc bánh hạnh nhân chiếm tổng diện tích như nhau. Các phép chia như thế này đã được sử dụng trong hình học hàng nghìn năm để chỉ ra rằng các hình có cùng kích thước và có nhiều kết quả đáng chú ý về phép chia và sự tương đương. Thậm chí ngày nay các nhà toán học vẫn sử dụng phép giải tích và sắp xếp lại để hiểu đầy đủ khi một số hình nhất định tương đương nhau, dẫn đến một số kết quả đáng ngạc nhiên gần đây.

Bạn có thể đã từng thấy những phân tích hình học trong lớp toán khi khai triển công thức tính diện tích cho các hình cơ bản. Ví dụ, bạn có thể nhớ rằng diện tích của một hình bình hành bằng độ dài của đáy nhân với chiều cao của nó: Điều này là do hình bình hành có thể được chia nhỏ và sắp xếp lại thành một hình chữ nhật.

Sự mổ xẻ này cho thấy rằng diện tích của hình bình hành bằng diện tích của một hình chữ nhật có cùng đáy và chiều cao, mà bất kỳ ai không theo học tại Đại học Tưởng tượng đều biết, là tích của hai số đó.

Nói về Imaginary U, Great Brownie Bake Off vừa mới nóng lên. Đội Gamma tiếp cận với một chiếc bánh hạnh nhân hình tam giác lớn. “Đây là người chiến thắng,” họ mạnh dạn tuyên bố. “Cả hai bên của chúng ta đều dài hơn nhiều so với những bên khác.”

Gina đo các bên. “Cái này cũng có cùng diện tích!” cô kêu lên. “Đây là một hình tam giác vuông, và các cạnh có kích thước là 18 và 16, vậy diện tích là…” Gina dừng lại một lúc, nhận thấy vẻ bối rối trên khuôn mặt của mọi người. "Ồ, đừng bận tâm. Chỉ cần đưa cho tôi con dao.

Gina khéo léo cắt từ điểm giữa của cạnh huyền đến điểm giữa của cạnh dài hơn, sau đó xoay hình tam giác mới tạo thành để nó tạo thành một hình chữ nhật hoàn hảo khi lồng vào miếng lớn hơn.

“Đó chính xác là bánh hạnh nhân của chúng tôi!” Đội Alpha kêu lên. Chắc chắn rồi, hình chữ nhật thu được là 9 x 16: chính xác bằng kích thước của chúng.

Đội Beta đã có những nghi ngờ của họ. “Nhưng hình tam giác này so với hình vuông của chúng ta như thế nào?” trưởng nhóm của họ hỏi.

Gina đã sẵn sàng cho điều đó. “Chúng ta đã biết hình chữ nhật và hình vuông có cùng kích thước, do đó, theo tính bắc cầu, hình tam giác và hình vuông có cùng kích thước.” Tính bắc cầu là một trong những tính chất quan trọng nhất của đẳng thức: Nó nói rằng nếu a = b và b = cthì a = c. Gina tiếp tục, “Nếu diện tích của chiếc bánh hạnh nhân thứ nhất bằng diện tích của chiếc bánh hạnh nhân thứ hai và diện tích của chiếc bánh hạnh nhân thứ hai bằng diện tích của chiếc bánh thứ ba, thì chiếc bánh hạnh nhân thứ nhất và thứ ba cũng phải có diện tích bằng nhau.”

Nhưng Gina có quá nhiều niềm vui với việc mổ xẻ để dừng lại ở đó. “Hoặc chúng ta có thể thực hiện thêm một vài vết cắt nữa.”

Đầu tiên Gina xoay hình chữ nhật mà trước đây là hình tam giác. Sau đó, cô ấy cắt nó theo đúng mẫu mà cô ấy đã sử dụng trên hình chữ nhật của Đội Alpha.

Sau đó, cô ấy chỉ ra cách có thể biến hình tam giác mới này của Đội Gamma thành hình vuông của Đội Beta, chính xác như cách cô ấy đã làm với hình chữ nhật của Đội Alpha.

Trong tình huống này, chúng ta nói rằng hình tam giác và hình vuông là “cặp kéo bằng nhau”: Bạn có thể tưởng tượng việc sử dụng kéo để cắt một hình thành nhiều mảnh hữu hạn, sau đó có thể sắp xếp lại để tạo thành hình kia. Trong trường hợp hình tam giác và hình vuông, bánh hạnh nhân cho thấy chính xác cách thức hoạt động của sự đồng dạng kéo này.

Lưu ý rằng mô hình hoạt động theo cả hai hướng: Nó có thể được sử dụng để biến hình tam giác thành hình vuông hoặc hình vuông thành hình tam giác. Nói cách khác, phép đồng dạng của hình kéo là đối xứng: Nếu hình A là hình kéo đồng dạng với hình B, thì hình B cũng là hình kéo đồng dạng với hình A.

Trên thực tế, lập luận trên liên quan đến hình tam giác, hình chữ nhật và hình vuông cho thấy sự đồng dạng của hình kéo cũng có tính chất bắc cầu. Vì tam giác là hình vuông bằng kéo và hình chữ nhật là hình vuông bằng kéo nên tam giác là hình vuông bằng hình vuông. Bằng chứng là ở các mẫu: Chỉ cần phủ chúng lên hình dạng trung gian, như đã làm với hình chữ nhật ở trên.

Nếu bạn cắt hình tam giác thành các mảnh tạo thành hình chữ nhật, sau đó cắt hình chữ nhật thành các mảnh tạo thành hình vuông, các mảnh thu được có thể được sử dụng để tạo thành bất kỳ hình nào trong ba hình.

Thực tế là sự đồng dạng của hình kéo có tính bắc cầu là cốt lõi của một kết quả tuyệt vời: Nếu hai đa giác có cùng diện tích, thì chúng là hình đồng dạng hình kéo. Điều này có nghĩa là, với hai đa giác bất kỳ có cùng diện tích, bạn luôn có thể cắt một đa giác thành một số mảnh hữu hạn và sắp xếp lại chúng để tạo thành mảnh kia.

Việc chứng minh định lý đáng chú ý này cũng rất đơn giản. Đầu tiên, cắt từng đa giác thành các hình tam giác.

Thứ hai, biến mỗi hình tam giác thành hình chữ nhật, tương tự như cách Gina sắp xếp lại chiếc bánh hạnh nhân hình tam giác.

Bây giờ đến phần kỹ thuật phức tạp: Biến mỗi hình chữ nhật thành một hình chữ nhật mới có chiều rộng một đơn vị.

Để làm điều này, bắt đầu cắt các mảnh từ hình chữ nhật rộng một đơn vị.

Nếu bạn có thể cắt hình chữ nhật thành nhiều mảnh có chiều rộng bằng 1, thì bạn đã hoàn thành: Chỉ cần xếp chồng chúng lên nhau. Nếu không, hãy ngừng chặt khi mảnh cuối cùng rộng từ 1 đến 2 đơn vị và xếp các mảnh còn lại chồng lên nhau.

Đừng lo lắng nếu bản thân hình chữ nhật có chiều rộng nhỏ hơn 1 đơn vị: Chỉ cần cắt nó làm đôi và sử dụng hai mảnh để tạo một hình chữ nhật mới dài gấp đôi và dày gấp đôi. Lặp lại nếu cần cho đến khi bạn có hình chữ nhật rộng từ 1 đến 2 đơn vị.

Bây giờ hãy tưởng tượng rằng hình chữ nhật cuối cùng này có chiều cao h và chiều rộng w, với 1 w < 2. Ta sẽ cắt hình chữ nhật đó và sắp xếp lại thành hình chữ nhật có chiều rộng và chiều cao bằng 1 h × w. Để làm điều này, phủ lớp h × w hình chữ nhật với mong muốn hw × 1 hình chữ nhật như thế này.

Sau đó cắt từ góc này sang góc khác dọc theo đường chấm và cắt bỏ hình tam giác nhỏ ở phía dưới bên phải theo cạnh phải của hw × 1 hình chữ nhật.

Điều này cắt giảm h × w hình chữ nhật thành ba mảnh có thể được sắp xếp lại thành một hw × 1 hình chữ nhật. (Việc biện minh cho phần mổ xẻ cuối cùng này đòi hỏi một số lập luận thông minh liên quan đến các tam giác đồng dạng. Xem các bài tập dưới đây để biết chi tiết.)

Cuối cùng, đặt hình chữ nhật cuối cùng này lên trên cùng của ngăn xếp và bạn đã biến thành công đa giác này — thật ra là bất kỳ đa giác nào — thành một hình chữ nhật có chiều rộng 1.

Bây giờ nếu diện tích của đa giác ban đầu là A, thì chiều cao của hình chữ nhật này phải là A, nên mọi đa giác có diện tích A cái kéo có bằng với hình chữ nhật có chiều rộng và chiều cao bằng 1 không A. Điều đó có nghĩa là nếu hai đa giác có diện tích A, thì chúng là hai cái kéo đồng dạng với cùng một hình chữ nhật, do đó, theo tính bắc cầu, chúng là những cái kéo đồng dạng với nhau. Điều này cho thấy rằng mọi đa giác có diện tích A cái kéo có đồng dạng với mọi đa giác khác có diện tích không A.

Nhưng ngay cả kết quả mạnh mẽ này cũng không đủ để hoàn thành xuất sắc việc đánh giá Brownie Bake Off của Đại học Tưởng tượng. Vẫn còn một mục nhập, và không ai ngạc nhiên về những gì Team Pi xuất hiện.

Khoảnh khắc Gina nhìn thấy vòng tròn đó đang đến, cô tỉnh dậy khỏi giấc mơ với mồ hôi lạnh. Cô biết rằng không thể cắt một hình tròn thành nhiều mảnh hữu hạn và sắp xếp lại chúng để tạo thành một hình vuông, hình chữ nhật hoặc bất kỳ hình đa giác nào. Năm 1964, các nhà toán học Lester Dubins, Morris Hirsch và Jack Karush đã chứng minh rằng một đường tròn không phải là hình kéo đồng dạng với bất kỳ đa giác nào. Giấc mơ của Gina đã biến thành cơn ác mộng hình học.

Nhưng dường như họ luôn làm như vậy, các nhà toán học đã biến trở ngại này thành toán học mới. Vào năm 1990, Miklós Laczkovich đã chứng minh rằng có thể cắt một hình tròn và sắp xếp lại nó thành một hình vuông, miễn là bạn có thể sử dụng những mảnh vô cùng nhỏ, vô cùng rời rạc, có răng cưa vô cùng mà một chiếc kéo không thể tạo ra được.

Bất ngờ và thú vị như kết quả của Laczkovich, nó chỉ chứng minh rằng sự phân hủy như vậy là có thể về mặt lý thuyết. Nó không giải thích làm thế nào để xây dựng các mảnh, chỉ rằng chúng có thể tồn tại. Đó là nơi Andras Máthé, Oleg Pikhurko và Jonathan Noel tham gia: Đầu năm 2022, họ đăng một bài báo trong đó chúng phù hợp với thành tích của Laczkovich, nhưng với những phần có thể hình dung được.

Thật không may, bạn sẽ không thể sử dụng kết quả của họ để giải quyết bất kỳ vụ nướng bánh hạnh nhân nào. Một mình cái kéo không thể tạo ra 10²⁰⁰ các mảnh cần thiết trong quá trình phân hủy của chúng. Nhưng đó là một bước tiến nữa trong việc trả lời một loạt câu hỏi bắt đầu từ khi Archimedes lần đầu tiên phát minh ra, hoặc khám phá ra, $latex pi$. Và nó giúp chúng ta tiến tới việc phát minh, hoặc khám phá, toán học mới mà các thế hệ trước không thể mơ tới.

Các bài tập

1. Giải thích làm thế nào chúng ta biết rằng trong công thức tính diện tích của hình bình hành, tam giác mà chúng ta cắt bỏ hoàn toàn phù hợp với không gian ở phía bên kia của hình bình hành.

2. Giải thích tại sao bất kỳ tam giác nào cũng có thể chia được thành hình chữ nhật.

Đối với bài tập 3 và 4, hãy xem sơ đồ được sử dụng để chỉ ra rằng một h × w hình chữ nhật là kéo đồng dạng với một hw × 1 hình chữ nhật, với các điểm được dán nhãn.

3. Giải thích tại sao $latex Triangle$ XYQ tương tự như $latextriangle$ A.B.X.. Điều này làm cho chiều dài của QY?

4. Giải thích tại sao $latex Triangle$ PCX đồng dạng với $latex Triangle$ AZQ.