1ICFO-Institut de Ciencies Fotoniques, Viện Khoa học và Công nghệ Barcelona, 08860 Castelldefels, Tây Ban Nha
2CFIS-Center de Formació Interdisciplinària Superior, UPC-Universitat Politècnica de Catalunya, 08028 Barcelona, Tây Ban Nha
3Univ Grenoble Alpes, CNRS, Grenoble INP, Institut Néel, 38000 Grenoble, Pháp
4ICREA-Institucio Catalana de Recerca i Estudis Avançats, Lluis Companys 23, 08010 Barcelona, Tây Ban Nha
Tìm bài báo này thú vị hay muốn thảo luận? Scite hoặc để lại nhận xét về SciRate.
Tóm tắt
Các cơ sở không thiên lệch lẫn nhau tương ứng với các cặp phép đo rất hữu ích trong lý thuyết thông tin lượng tử. Trong chiều tổng hợp nhỏ nhất, sáu, người ta biết rằng tồn tại từ ba đến bảy cơ sở không thiên vị lẫn nhau, với một phỏng đoán đã tồn tại hàng thập kỷ, được gọi là Phỏng đoán Zauner, cho rằng tồn tại nhiều nhất là ba. Ở đây, chúng ta giải quyết giả thuyết Zauner bằng số thông qua việc xây dựng các bất đẳng thức Bell cho mọi cặp số nguyên $n,d ge 2$ có thể bị vi phạm tối đa trong chiều $d$ khi và chỉ nếu $n$ MUB tồn tại trong chiều đó. Do đó, chúng tôi biến phỏng đoán của Zauner thành một bài toán tối ưu hóa mà chúng tôi giải quyết bằng ba phương pháp số: tối ưu hóa bập bênh, lập trình nửa xác định phi tuyến tính và kỹ thuật Monte Carlo. Cả ba phương pháp đều xác định chính xác các trường hợp đã biết ở các chiều thấp và đều cho thấy rằng không tồn tại bốn cơ sở không thiên vị lẫn nhau trong chiều sáu, và tất cả đều tìm ra các cơ sở giống nhau để tối ưu hóa về mặt số lượng bất đẳng thức Bell tương ứng. Hơn nữa, các bộ tối ưu hóa số này dường như trùng khớp với “bốn cơ sở xa nhất” trong chiều thứ sáu, được tìm thấy thông qua việc tối ưu hóa số lượng thước đo khoảng cách trong [P. Raynal, X. Lü, B.-G. Englert, {Phys. Mục sư A}, { 83} 062303 (2011)]. Cuối cùng, kết quả của Monte Carlo cho thấy có nhiều nhất ba MUB tồn tại ở chiều thứ mười.
Hình ảnh nổi bật: Sự khác biệt tương đối giữa giá trị của bất đẳng thức Bell giả sử rằng n MUB tồn tại trong chiều d và giá trị được tìm thấy bằng các phương pháp số của chúng tôi. Giá trị XNUMX có nghĩa là các phương thức tìm thấy n MUB trong thứ nguyên d, trong khi các giá trị khác XNUMX có nghĩa là các phương pháp không tìm thấy n MUB trong thứ nguyên d. Tất cả các trường hợp đã biết (thứ nguyên từ hai đến năm và thứ sáu với hai và ba MUB) đều được xác định chính xác bằng các con số. Trong chiều thứ sáu, không có phương pháp nào tìm thấy bốn MUB và tất cả các phương pháp đều hội tụ vào cùng một bộ bốn cơ sở.
Tóm tắt phổ biến
Mặc dù được sử dụng rộng rãi nhưng vẫn còn những câu hỏi mở liên quan đến cấu trúc của MUB. Nổi bật nhất, số lượng phép đo tối đa không thiên vị theo cặp (“số MUB”) không xác định được nếu thứ nguyên của hệ lượng tử là số tổng hợp. Đặc biệt, ở chiều thứ sáu chúng ta chỉ biết số lượng MUB là từ ba đến bảy. Một phỏng đoán mở lâu đời là của Zauner, nói rằng tồn tại không quá ba MUB trong chiều thứ sáu. Phỏng đoán kéo dài hàng thập kỷ này được hỗ trợ bởi một số bằng chứng bằng số, nhưng không có bằng chứng nào cho đến ngày nay.
Trong công việc này, chúng tôi giải quyết phỏng đoán của Zauner thông qua tính phi định xứ của Bell. Tính phi định xứ của Bell liên quan đến hai nhà thí nghiệm không được phép giao tiếp nhưng có thể chia sẻ một số mối tương quan dưới dạng ngẫu nhiên cổ điển hoặc trạng thái lượng tử chung. Người ta đã chứng minh rằng việc chia sẻ tài nguyên lượng tử có thể dẫn đến dữ liệu thực nghiệm không thể giải thích được bằng vật lý cổ điển (chính xác hơn là bằng cái gọi là mô hình biến ẩn cục bộ). Đây được gọi là định lý Bell và nó đã được xác minh bằng thực nghiệm trong thập kỷ qua. Việc chứng minh tính phi cổ điển của dữ liệu thực nghiệm thường được thực hiện thông qua cái gọi là bất đẳng thức Bell, là hàm của xác suất kết quả đo lường xảy ra trong thử nghiệm. Dữ liệu cổ điển phải thỏa mãn các bất đẳng thức Bell, trong khi dữ liệu lượng tử có thể vi phạm chúng.
Gần đây, bất đẳng thức Bell đã được phát hiện là bị vi phạm tối đa nếu một trong các bên sử dụng một cặp phép đo MUB của một thứ nguyên nhất định. Trong công việc này, chúng tôi mở rộng những bất đẳng thức này sang những bất đẳng thức mới, bị vi phạm tối đa bởi một số phép đo MUB đã chọn trong một thứ nguyên nhất định. Hơn nữa, nếu thứ nguyên trong thử nghiệm là cố định, thì sự vi phạm tối đa sẽ đạt được nếu và chỉ khi các phép đo được sử dụng tương ứng với số MUB đã chọn trong thứ nguyên đã cho. Do đó, việc quyết định xem một số MUB đã chọn có tồn tại trong một thứ nguyên nhất định hay không tương đương với việc tìm ra sự vi phạm tối đa của bất đẳng thức Bell tương ứng trong thứ nguyên cố định này.
Mặc dù việc tìm vi phạm tối đa này nói chung là một vấn đề khó, nhưng chúng tôi sử dụng ba phương pháp số khác nhau để cố gắng tìm ra vi phạm tối đa của bất đẳng thức Bell trong một chiều cố định. Hai trong số các phương pháp này là các biến thể của kỹ thuật lập trình bán xác định, trong khi phương pháp thứ ba lấy cảm hứng từ vật lý thống kê và được gọi là ủ mô phỏng. Mặc dù tất cả các phương pháp này đều mang tính heuristic—nghĩa là không có gì đảm bảo rằng chúng sẽ tìm ra phương pháp tối ưu thực sự của bài toán—người ta có thể đánh giá hiệu suất của chúng bằng cách áp dụng chúng cho các bài toán tối ưu hóa mà mức tối ưu đã biết. Đặc biệt, chúng tôi thấy rằng cả ba phương pháp đều có thể xác định chính xác các phép đo MUB trong trường hợp chúng được biết là tồn tại. Hơn nữa, trong trường hợp chúng được biết là không tồn tại, cả ba phương pháp đều hội tụ về cùng một tập hợp các phép đo đạt độ chính xác bằng số. Sau đó, chúng tôi áp dụng các phương pháp của mình cho trường hợp chưa biết đầu tiên, tức là bốn MUB ở chiều thứ sáu. Không có phương pháp nào có thể xác định bốn MUB ở chiều thứ sáu, nhưng một lần nữa, tất cả chúng đều hội tụ về cùng một bộ bốn phép đo có độ chính xác bằng số. Hơn nữa, kỹ thuật ủ mô phỏng không tìm thấy bốn MUB ở chiều tổng hợp tiếp theo, chiều thứ mười. Do đó, mặc dù không thể đưa ra những tuyên bố chính xác do tính chất phỏng đoán trong các kỹ thuật của chúng tôi, nhưng kết quả của chúng tôi ủng hộ phỏng đoán của Zauner từ góc nhìn mới về tính phi định xứ của Bell.
► Dữ liệu BibTeX
► Tài liệu tham khảo
[1] ID Ivanovic. Mô tả hình học xác định trạng thái lượng tử. Tạp chí Vật lý A: Toán học và Đại cương, 14 (12): 3241–3245, 1981. doi: 10.1088 / 0305-4470 / 14/12/019.
https://doi.org/10.1088/0305-4470/14/12/019
[2] G. Brassard CH Bennett. Mật mã lượng tử: Phân phối khóa công khai và tung đồng xu. Kỷ yếu Hội nghị Quốc tế IEEE về Máy tính, Hệ thống và Xử lý Tín hiệu (IEEE, 1984), 175: 8, 1984. doi: 10.1016 / j.tcs.2011.08.039.
https: / / doi.org/ 10.1016 / j.tcs.2011.08.039
[3] Artur K. Ekert. Mật mã lượng tử dựa trên định lý Bell. Vật lý. Rev. Lett., 67:661–663, 1991. doi:10.1103/PhysRevLett.67.661.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.67.661
[4] Dagmar Bruß. Nghe trộm tối ưu trong mật mã lượng tử với sáu trạng thái. Thể chất. Rev. Lett., 81: 3018–3021, 1998. doi: 10.1103 / PhysRevLett.81.3018.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.81.3018
[5] Armin Tavakoli, Alley Hameedi, Breno Marques và Mohamed Bourennane. Mã truy cập ngẫu nhiên lượng tử sử dụng các hệ thống $ d $ -level duy nhất. Thể chất. Rev. Lett., 114: 170502, 2015. doi: 10.1103 / PhysRevLett.114.170502.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.114.170502
[6] Máté Farkas và Jędrzej Kaniewski. Tự kiểm tra các cơ sở không thiên vị lẫn nhau trong kịch bản chuẩn bị và đo lường. Thể chất. Rev. A, 99: 032316, 2019. doi: 10.1103 / PhysRevA.99.032316.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.99.032316
[7] H. Bechmann-Pasquinucci và N. Gisin. Bất đẳng thức Bell cho qunits với các phép đo nhị phân. Thông tin lượng tử. Tính toán., 3 (2): 157–164, 2003. doi: 10.26421 / QIC3.2-6.
https: / â € trận / â € doi.org/â $$$ 10.26421 / â € QIC3.2-6
[8] Jędrzej Kaniewski, Ivan Šupić, Jordi Tura, Flavio Baccari, Alexia Salavrakos và Remigiusz Augusiak. Tính phi định vị tối đa khỏi sự vướng víu cực đại và các cơ sở không thiên vị lẫn nhau, và tự kiểm tra các hệ thống lượng tử hai qutrit. Quantum, 3: 198, 2019. doi: 10.22331 / q-2019-10-24-198.
https://doi.org/10.22331/q-2019-10-24-198
[9] Armin Tavakoli, Máté Farkas, Denis Rosset, Jean-Daniel Bancal và Jędrzej Kaniewski. Các cơ sở không thiên vị lẫn nhau và các phép đo hoàn chỉnh thông tin đối xứng trong các thí nghiệm Bell. Science Advances, 7 (7): eabc3847, 2021. doi: 10.1126 / sciadv.abc3847.
https: / / doi.org/ 10.1126 / sciadv.abc3847
[10] Thomas Durt, Berthold-Georg Englert, Ingemar Bengtsson và Karol Życzkowski. Trên cơ sở không thiên vị lẫn nhau. Tạp chí Quốc tế về Thông tin Lượng tử, 08 (04): 535–640, 2010. doi: 10.1142 / S0219749910006502.
https: / / doi.org/ 10.1142 / S0219749910006502
[11] William K Wootters và Brian D Fields. Xác định trạng thái tối ưu bằng các phép đo không thiên vị lẫn nhau. Biên niên sử Vật lý, 191 (2): 363–381, 1989. doi: 10.1016 / 0003-4916 (89) 90322-9.
https://doi.org/10.1016/0003-4916(89)90322-9
[12] Paweł Wocjan và Thomas Beth. Xây dựng mới các căn cứ không thiên vị lẫn nhau theo kích thước hình vuông. Thông tin lượng tử. Comput., 5 (2): 93–101, 2005. doi: 10.26421 / QIC5.2-1.
https: / â € trận / â € doi.org/â $$$ 10.26421 / â € QIC5.2-1
[13] Mihály Weiner. Khoảng cách cho số lượng tối đa các cơ sở không thiên vị lẫn nhau. Proc. Amer. Môn Toán. Soc., 141: 1963–1969, 2013. doi: 10.1090 / S0002-9939-2013-11487-5.
https://doi.org/10.1090/S0002-9939-2013-11487-5
[14] Gerhard Zauner. Quantendesigns: Grundzüge einer nichtkommutativen Designtheorie. Luận án Tiến sĩ, 1999.
[15] P. Oscar Boykin, Meera Sitharam, Phạm Hữu Tiệp, và Pawel Wocjan. Các cơ sở không thiên vị lẫn nhau và sự phân hủy trực giao của đại số Lie. Thông tin lượng tử. Comput., 7 (4): 371–382, 2007. doi: 10.26421 / QIC7.4-6.
https: / â € trận / â € doi.org/â $$$ 10.26421 / â € QIC7.4-6
[16] Stephen Brierley và Stefan Weigert. Xây dựng các cơ sở không thiên vị lẫn nhau trong không gian thứ sáu. Thể chất. Rev. A, 79: 052316, 2009. doi: 10.1103 / PhysRevA.79.052316.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.79.052316
[17] Philippe Jaming, Máté Matolcsi, Péter Móra, Ferenc Szöllősi và Mihály Weiner. Một bài toán Pauli tổng quát và một họ vô hạn bộ ba MUB theo chiều 6. Tạp chí Vật lý A: Toán học và Lý thuyết, 42 (24): 245305, tháng 2009 năm 10.1088. doi: 1751 / 8113-42 / 24/245305 / XNUMX.
https://doi.org/10.1088/1751-8113/42/24/245305
[18] Gary McConnell, Harry Spencer và Afaq Tahir. Bằng chứng ủng hộ và chống lại giả thuyết MUB của Zauner trong $mathbb{C}^6$. 2021. doi:10.48550/arXiv.2103.08703.
https: / / doi.org/ 10.48550 / arXiv.2103.08703
[19] Sander Gribling và Sven Polak. Cơ sở không thiên vị lẫn nhau: tối ưu hóa đa thức và tính đối xứng. 2021. doi: 10.48550 / arXiv.2111.05698.
https: / / doi.org/ 10.48550 / arXiv.2111.05698
[20] Ingemar Bengtsson, Wojciech Bruzda, Åsa Ericsson, Jan-Åke Larsson, Wojciech Tadej và Karol Życzkowski. Căn cứ không thiên vị lẫn nhau và ma trận Hadamard bậc sáu. Tạp chí Toán học Vật lý, 48 (5): 052106, 2007. doi: 10.1063 / 1.2716990.
https: / / doi.org/ 10.1063 / 1.2716990
[21] Philippe Raynal, Xin Lü và Berthold-Georg Englert. Căn cứ không thiên vị lẫn nhau trong sáu chiều không gian: Bốn căn cứ xa nhất. Thể chất. Rev. A, 83: 062303, 2011. doi: 10.1103 / PhysRevA.83.062303.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.83.062303
[22] Edgar A. Aguilar, Jakub J. Borkała, Piotr Mironowicz và Marcin Pawłowski. Kết nối giữa các cơ sở không thiên vị lẫn nhau và mã truy cập ngẫu nhiên lượng tử. Thể chất. Rev. Lett., 121: 050501, 2018. doi: 10.1103 / PhysRevLett.121.050501.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.121.050501
[23] Nicolas Brunner, Daniel Cavalcanti, Stefano Pironio, Valerio Scarani và Stephanie Wehner. Chuông bất định vị. Sửa đổi Rev. Phys., 86: 419–478, 2014. doi: 10.1103 / RevModPhys.86.419.
https: / / doi.org/ 10.1103 / RevModPhys.86.419
[24] MOSEK ApS. MOSEK Fusion API cho C ++ 9.2.49, 2021. URL: https: / / docs.mosek.com/ 9.2 / cxxfusion / index.html.
https: / / docs.mosek.com/ 9.2 / cxxfusion / index.html
[25] Hiroshi Yamashita, Hiroshi Yabe và Kouhei Harada. Một phương pháp điểm bên trong nguyên thủy-kép cho lập trình vô hạn phi tuyến. Lập trình toán học, 135 (1): 89–121, 2012. doi: 10.1007 / s10107-011-0449-z.
https: / / doi.org/ 10.1007 / s10107-011-0449-z
[26] Stephen Boyd và Lieven Vandenberghe. Tối ưu hoá trực quan. Nhà xuất bản Đại học Cambridge, 2004. doi: 10.1017 / CBO9780511804441.
https: / / doi.org/ 10.1017 / CBO9780511804441
[27] S. Kirkpatrick, CD Gelatt và MP Vecchi. Tối ưu hóa bằng cách ủ mô phỏng. Science, 220 (4598): 671–680, 1983. doi: 10.1126 / science.220.4598.671.
https: / / doi.org/ 10.1126 / khoa học.220.4598.671
[28] Nicholas Metropolis, Arianna W. Rosenbluth, Marshall N. Rosenbluth, Augusta H. Teller và Edward Teller. Phương trình tính toán trạng thái bằng máy tính toán nhanh. Tạp chí Vật lý Hóa học, 21 (6): 1087–1092, 1953. doi: 10.1063 / 1.1699114.
https: / / doi.org/ 10.1063 / 1.1699114
[29] Miguel Navascués, Stefano Pironio và Antonio Acín. Giới hạn tập hợp các tương quan lượng tử. Thể chất. Rev. Lett., 98: 010401, 2007. doi: 10.1103 / PhysRevLett.98.010401.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.98.010401
Trích dẫn
Bài viết này được xuất bản trong Lượng tử dưới Creative Commons Ghi công 4.0 Quốc tế (CC BY 4.0) giấy phép. Bản quyền vẫn thuộc về chủ sở hữu bản quyền gốc như các tác giả hoặc tổ chức của họ.
