Giới thiệu
Lý thuyết nút bắt đầu như một nỗ lực để hiểu cấu tạo cơ bản của vũ trụ. Vào năm 1867, khi các nhà khoa học đang ráo riết cố gắng tìm ra thứ gì có thể giải thích cho tất cả các loại vật chất khác nhau, nhà toán học và vật lý người Scotland Peter Guthrie Tait đã cho người bạn và đồng hương của mình là Sir William Thomson thiết bị tạo ra các vòng khói của ông. Thomson - sau này trở thành Lãnh chúa Kelvin (tên gọi của thang đo nhiệt độ) - bị quyến rũ bởi hình dạng hấp dẫn của những chiếc nhẫn, sự ổn định và tương tác của chúng. Nguồn cảm hứng của ông đã dẫn ông đến một hướng đáng ngạc nhiên: Có lẽ, ông nghĩ, giống như các vòng khói là xoáy trong không khí, các nguyên tử là các vòng xoáy thắt nút trong ête phát sáng, một môi trường vô hình mà qua đó, các nhà vật lý tin rằng, ánh sáng truyền qua.
Mặc dù bây giờ ý tưởng thời Victoria này nghe có vẻ nực cười, nhưng đó không phải là một cuộc điều tra phù phiếm. Lý thuyết xoáy này có rất nhiều điều để khuyến nghị: Sự đa dạng tuyệt đối của các nút thắt, mỗi nút hơi khác nhau, dường như phản ánh các tính chất khác nhau của nhiều nguyên tố hóa học. Tính ổn định của các vòng xoáy cũng có thể cung cấp tính lâu dài mà các nguyên tử yêu cầu.
Lý thuyết xoáy đã thu hút được sức hút trong cộng đồng khoa học và truyền cảm hứng cho Tait bắt đầu lập bảng tất cả các nút, tạo ra thứ mà ông hy vọng sẽ tương đương với một bảng các nguyên tố. Tất nhiên, nguyên tử không phải là nút thắt, và không có ête. Vào cuối những năm 1880, Thomson dần dần từ bỏ lý thuyết xoáy của mình, nhưng sau đó Tait bị quyến rũ bởi sự thanh lịch toán học của các nút thắt của mình, và ông tiếp tục dự án lập bảng của mình. Trong quá trình này, ông đã thiết lập lĩnh vực toán học của lý thuyết nút.
Tất cả chúng ta đều quen thuộc với các nút thắt - chúng giữ cho giày trên chân chúng ta, thuyền được cố định vào bến, và những người leo núi khỏi những tảng đá bên dưới. Nhưng những nút thắt đó không chính xác là những gì mà các nhà toán học (bao gồm cả Tait) sẽ gọi là nút thắt. Mặc dù dây nối bị rối có thể bị thắt nút, nhưng bạn luôn có thể tháo dây ra. Để có được một nút toán học, bạn phải cắm các đầu dây còn lại với nhau để tạo thành một vòng kín.
Bởi vì các sợi của một nút mềm dẻo như dây, các nhà toán học xem lý thuyết nút như một trường con của cấu trúc liên kết, nghiên cứu về các hình dạng dễ uốn. Đôi khi có thể gỡ một nút thắt để nó trở thành một vòng tròn đơn giản, mà chúng ta gọi là “cái không đẹp”. Nhưng thông thường, việc gỡ một nút thắt là không thể.
Các nút thắt cũng có thể kết hợp để tạo thành các nút thắt mới. Ví dụ, kết hợp một nút đơn giản được gọi là hình tam giác với hình ảnh phản chiếu của nó sẽ tạo ra một nút hình vuông. (Và nếu bạn nối hai nút hình tam giác giống nhau, bạn sẽ tạo ra một nút bà già.)
Sử dụng thuật ngữ của thế giới các con số, các nhà toán học nói rằng hình tam giác là một nút nguyên tố, nút vuông là hỗn hợp và, giống như số 1, ẩn số cũng không. Sự tương tự này càng được ủng hộ vào năm 1949 khi Horst Schubert chứng minh rằng mọi nút đều là số nguyên tố hoặc có thể được phân tách duy nhất thành các nút nguyên tố.
Một cách khác để tạo ra các nút thắt mới là đan xen hai hoặc nhiều nút thắt vào nhau, tạo thành một liên kết. Những chiếc nhẫn Borromean, được đặt tên như vậy vì chúng xuất hiện trên quốc huy của Ngôi nhà Borromeo ở Ý, là một ví dụ đơn giản.
Thomson và Tate không phải là những người đầu tiên xem các nút theo cách toán học. Ngay từ năm 1794, Carl Friedrich Gauss đã viết về và vẽ các ví dụ về các nút thắt trong sổ tay cá nhân của mình. Và sinh viên Johann Listing của Gauss đã viết về các nút thắt trong chuyên khảo năm 1847 của mình Cấu trúc liên kết của Vorstudien zur (“Nghiên cứu sơ bộ về cấu trúc liên kết”) - cũng là nguồn gốc của thuật ngữ cấu trúc liên kết.
Nhưng Tait là học giả đầu tiên nghiên cứu về điều đã trở thành vấn đề cơ bản trong lý thuyết nút thắt: phân loại và lập bảng của tất cả các nút thắt có thể có. Qua nhiều năm làm việc miệt mài chỉ sử dụng trực giác hình học của mình, ông đã tìm ra và phân loại tất cả các nút thắt nguyên tố mà khi được chiếu lên một mặt phẳng, có nhiều nhất là bảy điểm giao nhau.
Vào cuối thế kỷ 19, Tait biết được rằng hai người khác - Rev. Thomas Kirkman và nhà toán học người Mỹ Charles Little - cũng đang nghiên cứu vấn đề này. Với những nỗ lực tổng hợp của mình, họ đã phân loại tất cả các nút thắt chính có tới 10 điểm giao cắt và nhiều trong số đó có 11 điểm giao cắt. Thật ngạc nhiên, bảng của họ có tới 10 đã hoàn thành: Họ không bỏ sót bất kỳ nút thắt nào.
Điều đáng chú ý là Tait, Kirkman và Little đã đạt được rất nhiều thành tựu mà không cần đến các định lý và kỹ thuật sẽ được khám phá trong những năm tới. Nhưng một điều có lợi cho họ là thực tế là hầu hết các nút thắt nhỏ đều "xen kẽ", có nghĩa là chúng có hình chiếu trong đó các đường giao nhau thể hiện một mô hình nhất quán trên dưới trên dưới.
Các nút thắt xen kẽ có các đặc tính giúp chúng dễ phân loại hơn các nút thắt không thay đổi. Ví dụ, việc tìm số đường cắt tối thiểu cho bất kỳ hình chiếu nào của một nút là rất khó. Nhưng Tait, người trong nhiều năm nhầm tưởng rằng tất cả các nút đều xen kẽ, đã phỏng đoán một cách để biết liệu bạn có tìm thấy con số tối thiểu đó hay không: Nếu một hình chiếu xen kẽ không có giao cắt nào có thể được gỡ bỏ bằng cách lật qua một phần của nút, thì nó phải là hình chiếu với số lượng đường giao nhau tối thiểu.
Điều này và hai phỏng đoán khác của Tait về các nút thắt xen kẽ cuối cùng đã trở thành sự thật. Tuy nhiên, những phỏng đoán nổi tiếng này đã không được chứng minh cho đến cuối những năm 1980 và đầu những năm 90 bằng cách sử dụng một công cụ toán học được phát triển vào năm 1984 bởi Vaughan Jones, người đã giành được Huy chương Fields cho công trình của mình trong lý thuyết nút.
Thật không may, các nút thắt xen kẽ chỉ đưa bạn đi xa. Một khi chúng ta đi vào các nút với tám điểm giao cắt trở lên, số lượng nút thắt không thay đổi sẽ tăng lên nhanh chóng, khiến các kỹ thuật của Tait trở nên ít hữu dụng hơn.
Bảng ban đầu của tất cả 10 nút giao nhau đã hoàn thành, nhưng Tait, Kirkman và Little đã đếm được gấp đôi. Mãi cho đến những năm 1970, Kenneth Perko, một luật sư đã nghiên cứu lý thuyết nút thắt tại Princeton, nhận thấy rằng hai trong số các nút thắt là hình ảnh phản chiếu của nhau. Bây giờ chúng được gọi là cặp Perko để vinh danh ông.
Trong thế kỷ qua, các nhà toán học đã tìm ra nhiều cách thông minh để xác định xem các nút thắt có thực sự khác nhau hay không. Về cơ bản, ý tưởng là xác định một bất biến - một thuộc tính, số lượng hoặc thực thể đại số được liên kết với nút thắt và thường có thể được tính toán một cách đơn giản. (Các thuộc tính này có các tên như khả năng tô màu, số cầu hoặc ghi.) Được trang bị các nhãn này, các nhà toán học giờ đây có thể dễ dàng so sánh hai nút: Nếu chúng khác nhau về bất kỳ thuộc tính nhất định nào, thì chúng không giống nhau. Tuy nhiên, không có thuộc tính nào trong số này được các nhà toán học gọi là bất biến hoàn toàn, nghĩa là hai nút thắt khác nhau có thể có cùng một tính chất.
Vì tất cả sự phức tạp này, có thể không có gì ngạc nhiên khi việc lập bảng các nút thắt vẫn đang tiếp tục. Gần đây nhất, vào năm 2020, Benjamin Burton phân loại tất cả các nút chính lên đến 19 lần giao nhau (trong đó gần 300 triệu).
Lý thuyết nút thắt truyền thống chỉ có ý nghĩa trong không gian ba chiều: Trong hai chiều, chỉ có điều không thể có và ở bốn chiều, khoảng trống phụ cho phép các nút thắt tự tháo gỡ, vì vậy mọi nút thắt đều giống như điều không thể.
Tuy nhiên, trong không gian bốn chiều, chúng ta có thể thắt nút các quả cầu. Để hiểu điều này có nghĩa là gì, hãy tưởng tượng cắt một quả cầu bình thường theo những khoảng thời gian đều đặn. Làm như vậy tạo ra các vòng tròn, giống như các đường vĩ độ. Tuy nhiên, nếu chúng ta có thêm một chiều, chúng ta có thể thắt nút hình cầu để các lát cắt, bây giờ là ba chiều chứ không phải hai, có thể là thắt nút.
Ý tưởng này là một trong những kết quả lớn nhất gần đây trong lý thuyết nút thắt. Năm 2018, Lisa Piccirillo, sinh viên mới tốt nghiệp giải quyết một câu hỏi 50 tuổi về một nút thắt 11 giao nhau lần đầu tiên được phát hiện bởi John Conway. Câu hỏi liên quan đến một thuộc tính gọi là tính chất cắt. Như chúng ta đã thấy, khi chúng ta cắt một quả cầu thắt nút theo bốn chiều, chúng ta thu được một nút hoặc liên kết trong ba chiều. Đôi khi chúng ta có thể có được một nút thắt nhất định từ một quả cầu được thắt nút trơn tru đẹp mắt, nhưng đối với các nút thắt khác, quả cầu phải được thắt nút và nhăn lại như một mảnh giấy vụn. Về bản chất, Piccirillo đã chứng minh rằng nút thắt của Conway thuộc loại thứ hai. Trong biệt ngữ kỹ thuật, cô ấy đã chứng minh rằng nó không phải là “lát cắt trơn tru”.
Lý thuyết nút thắt đã xoay quanh toàn cảnh toán học qua nhiều thế kỷ. Nó bắt đầu như một lĩnh vực toán học ứng dụng, với việc Thomson cố gắng sử dụng các nút thắt để hiểu cấu tạo của vật chất. Khi ý tưởng đó lụi tàn, nó trở thành một lĩnh vực toán học thuần túy, một nhánh của lĩnh vực tôpô hấp dẫn và vẫn chưa thực tế. Nhưng trong những năm gần đây, lý thuyết nút một lần nữa trở thành một lĩnh vực ứng dụng của toán học, khi các nhà khoa học sử dụng ý tưởng từ lý thuyết nút để nghiên cứu động lực học chất lỏng, điện động lực học, các phân tử thắt nút như DNA và như thế. May mắn thay, trong khi các nhà khoa học bận rộn nghiên cứu những thứ khác, các nhà toán học đang xây dựng danh mục các nút thắt và các công cụ để gỡ rối bí mật của họ.
