介绍
无穷大的概念可能与数字本身一样古老,可以追溯到人们第一次意识到他们可以永远数下去的时候。 但是,即使我们有无穷大的符号并且可以在随意的谈话中提到这个概念,无穷大仍然非常神秘,即使对数学家来说也是如此。 在这一集中,Steven Strogatz 与他的数学家同事聊天 贾斯汀摩尔 康奈尔大学关于一个无穷大如何大于另一个无穷大(以及我们是否可以确定它们之间没有中间无穷大)。 他们还讨论了物理学家和数学家如何以不同方式使用无穷大,以及无穷大对于数学基础的重要性。
听着 苹果播客, Spotify, Google播客, 缝, TuneIn 或您最喜欢的播客应用程序,或者您可以 从中流式传输 广达.
成绩单
史蒂文·斯特罗加兹(Steven Strogatz) (00:03):我是 Steve Strogatz,这是 为什么的喜悦,来自的播客 广达杂志 这将带您进入当今数学和科学中一些最大的未解决问题。
(00:13) 在这一集中,我们将讨论无穷大。 没有人真正知道无限的概念从何而来,但它一定非常古老——与人们对可能永远存在的事物的希望和恐惧一样古老。 有的吓人,像无底洞,有的振奋人心,像无尽的爱。 在数学中,无穷大的概念可能与数字本身一样古老。 一旦人们意识到他们可以永远数下去——1、2、3 等等。 但是,尽管无限是一个非常古老的概念,它仍然非常神秘。 几千年来,人们一直对无穷大摸不着头脑,至少自古希腊的芝诺和亚里士多德以来是这样。
(00:57)但是今天数学家如何理解无穷大呢? 有不同大小的无穷大吗? 无穷大对数学家有用吗? 如果是这样,究竟如何? 而这一切与数学本身的基础有什么关系呢?
(01:14) 今天和我一起讨论无穷大的是康奈尔大学的数学教授贾斯汀摩尔。 他的研究兴趣包括集合论、数理逻辑和无限组合及其在其他数学领域的应用,例如拓扑、泛函分析和代数。 欢迎,贾斯汀。
贾斯汀摩尔 (01:33):嘿,史蒂夫。 感谢您的款待。
斯特罗加茨 (01:35):是的,我很高兴能和你交谈。 我应该说,也许为了全面披露,贾斯汀是我在康奈尔大学数学系的朋友和同事。 好的,那么我们开始思考数学家思考无穷大的问题。 实际上,也许在我们深入数学部分之前,让我们先谈谈现实世界,因为我们不会在那里待太久。 现在,我是对的,你曾经接受过物理世界的训练吗?
摩尔 (02:02): 是的,我读本科的时候是物理和数学双学位。 我有点厌倦了物理。 我开始喜欢物理,也对数学更感兴趣。 然后不知何故,通过它的过程,我对数学和物理更感兴趣了。
斯特罗加茨 (02:18):好的。 好吧,无限物理学呢? 它甚至有意义吗? 我们所知道的现实世界中有没有无限的东西?
摩尔 (02:26):你知道 该视频, 10的幂,那是由查尔斯和雷伊姆斯创造的? 基本上每 - 我认为是每 10 秒,你是 10 的次方。 好吧,起初,我认为 10 的幂更大。 你缩小。 然后每隔 10 秒,你就会缩小 10 的次方,从宇宙的最大尺度下降到亚原子粒子的最小尺度。 你知道,这是在我想说的 70 年代末或 80 年代初制作的。 而且我认为我们对某些事物的理解从那时起有了一点变化,但不是很大。 但我的意思是,关键是,有大约 40 个 10 的幂将最小长度尺度与最大长度尺度分开,也许你可以慷慨地投入几个额外的 10 次方,只是为了更好的衡量。 但可以公平地说,在物理学中没有任何东西可以测量大于,你知道的,10100 或10200 或类似的东西。
(03:22) 也许我们认为事物是连续的——连续运动或其他——也许这只是一种幻觉。 也许一切都是细粒度和有限的。 但事实是,物理学家肯定通过想象事物是平滑和连续的,并且认为无限是有道理的,从而对我们生活的世界有了很多发现。 当你进入他们还没有真正形式化事物的物理学部分时,数学家的很多问题都归结为物理学家以各种漫不经心的方式处理无穷大,并从无穷大中减去无穷大,也许不像数学家希望的那样对此负责。 我不认为这真的是一个有争议的声明。 我认为物理学家会——大多数物理学家可能会——我的意思是,好吧,也许你会知道得更多。 但我相信大多数物理学家会说这是一个相当正确的说法。
斯特罗加茨 (04:20):所以,就你自己的个人故事而言——我保证我不会讲得太深,以免让你难堪——但是是什么吸引你走向无限? 不知何故物理学对你来说太小了? 或者你只是喜欢数学的严谨性,或者......?
摩尔 (04:33):我的意思是,我认为在我对集合论特别感兴趣之前,我对数学整体感兴趣并远离物理学。 具有讽刺意味的是,这是因为我——好吧,如果你上物理课,在某些时候,你最终会很快地和松散地学习数学。 你要么同意,要么不同意。 我是那些对此不满意的人之一。
斯特罗加茨 (04:56):嗯。 我是一个很好的人,而且我还在这样做。 你知道,我的意思是,那些事情并没有让我太担心,尽管我确实尊重那种关心——纯数学家所拥有的知识完整性,你知道,担心这些事情。
(05:11):好吧,假设我只是,我不知道,就像一个好奇的少年,我什至不知道无限是什么。 你会说它是什么? 我应该认为它是一个很大的数字吗? 是某种符号吗? 是财产吗? 思考无限是什么的好方法是什么?
摩尔 (05:26):是的,我的意思是,我想它是——它可以是线末端的一个理想化点,好吗? 它可以是一个正式的符号。 你知道,你可以这样想……一个正式的符号,就像我们引入 -1 一样,对吧? 我记得当我还是个小孩的时候,老师们不愿意讲清楚谈论负数是否安全。 而且,对,事后看来这听起来很愚蠢,但在某种程度上,-1 是否存在于现实世界中? 但是你可以正式地操纵它,你可以在某种程度上正式地操纵无穷大,但你可能必须表现出更多的关注。 您还可以使用无穷大来量化某物的数量。 这在那里打开了更多的门,因为你可以谈论有无限的集合,其中一些比其他的更大。
斯特罗加茨 (06:15):好的。 好的。 所以你提到了“集合”这个词,我们今天肯定会谈论很多关于集合的内容。 我确实说过你的兴趣包括集合论。 你想再说一下你所说的集合是什么意思吗?
摩尔 (06:26):我想我……答案是肯定的和否定的。 所以我认为凭直觉行事并把它看作是一个未定义的概念并凭直觉使用它是可以的。 但它也被用作为数学提供基础的一种机制,当人们意识到我们需要有一些,为数学是什么做一些仔细的基础时。
斯特罗加茨 (06:49):嗯嗯。 那很有意思。 因为我——很喜欢,小时候,我们学会用手指数数,或者我们的父母可能会开始说话,然后他们可能会指着东西说,“1、2、3……”我们学会了声音——孩子们就像他们很小的时候那样,我知道,对吧? 我的意思是,如果您自己或亲戚有小孩。 所以有事情的那一面。 而且我认为大多数人会认为数字是数学的基础。 但是你是说,我想大多数数学家都会同意,有比数字更深的东西,就是集合的概念,对吧?
摩尔 (07:22):我认为“集合”的概念是作为一个基础概念出现的,因为它是如此基础和原始。 如果你是,如果你想用某种东西作为数学的结构,你想从它的基本属性看起来非常原始的东西开始,然后从那里开始。 然后这个想法是你然后使用集合来编码诸如计数之类的东西,以及诸如有理数和实数之类的东西,等等。 然后从那里开始,各种其他更复杂的数学结构,比如流形,或者,或者其他什么。
斯特罗加茨 (07:57):所以我记得,在 芝麻街 我以前和孩子们一起看的一集。 那是在电影里; 我想是的。 有一个角色正在为满屋子饥饿的企鹅点鱼。 他让企鹅们大声喊叫,然后他们说:“鱼,鱼,鱼,鱼,鱼,鱼。” 然后服务员对着厨房喊道:“鱼,鱼,鱼,鱼,鱼。” 然后其他人说,“不,你错了。” 还有人说,“嗯,你为什么不直接说他们点了六条鱼呢?” 但它指出,这种数字的想法是在鱼的这个集合之后出现的。 然后另一个角色很惊讶地说,“它对火花塞有用吗? 还有肉桂卷?”
摩尔 (08:42):我的意思是,我也认为,如果你有兴趣尝试理解,你能证明这一点吗? 或者你能证明吗? 并且您正在尝试为如何证明事物或其他任何事物建立规则,您希望基本原则尽可能简单。 因此,与其尝试写下算术如何运作的规则,不如先为更简单的事物写下更简单的规则,然后从这些更基本的构建块中构建算术。
斯特罗加茨 (09:08):好的。 那么,这也让我想起了“新数学”,在 60 年代小时候,我们曾经学习过交集、维恩图和并集,对吧? 这就是集合论的开端。 他们教我们的是——我不记得了——那是二年级或三年级; 我的父母不知道为什么。 但我猜,是你们这种类型的数学家,或者其他认为孩子应该在学习算术之前或同时学习集合的人。
摩尔 (09:33): 是的,人们研究的大部分内容都是集合论,我的意思是,如今无限集合实际上是如何工作的。 因为我们对无限集的直觉不如我们对有限集的直觉。 我认为这就是推动基金会发展的主要原因。 部分原因是我们想写下,好吧,我们相当确定无限集合和一般集合的属性是什么,然后尝试从那里发展无限集合的真实性?
斯特罗加茨 (10:03):好的,那我们为什么不举几个例子呢? 你能告诉我一些无限集合的例子吗?
摩尔 (10:08):嗯,就像自然数一样。 就像你说的——比如 1、2、3、4、5、6、7、8 等等——还有诸如有理数之类的东西。 你知道,分数就像两个相互重叠的自然数,或者可能是一个负分数。 但是还有像实数这样的东西,在那里——你知道,任何你能用小数表示的东西,包括像 pi 和 e.
斯特罗加茨 (10:28):嗯嗯。 所以他们可以在小数点后有无限多位。
摩尔 (10:32):是的,是的,无限多的数字。 他们不必重复。
斯特罗加茨 (10:35):嗯嗯。 形状、点或几何事物,而不仅仅是数字事物呢?
摩尔 (10:41):是的,你也可以谈论几何形状的集合。
斯特罗加茨 (10:45):好的,这是集合的一个很好的特性:我们可以通过集合统一或至少有一种共同的语言来讨论算术、几何……。
摩尔 (10:54):对。
斯特罗加茨 (10:55):我想我们可以讨论一组函数,如果我们正在上微积分课程的话。 你知道,就像连续函数集的集合,如果我们在微积分课程中。
摩尔 (11:04):当然。 是的。
斯特罗加茨 (11:05):或者随便什么。 是的,所以这为我们提供了数学所有不同部分的通用语言。
摩尔 (11:09):对。
斯特罗加茨 (11:10):而且——但就整个数学历史而言,这是一个相对较新的数学基础概念,你说呢?
摩尔 (11:16): 是的,我的意思是,我……好吧,我们所知道的现代数学大约有 100 到 150 年的历史。 但我通常把它联系起来——上世纪上半叶,实际上,我们开始看到我们今天所知道的数学的所有主要部分开始发展,并真正成为它们自己的独特学科。 大约在同一时间,[伯特兰]罗素发现了他的悖论,这激发了对某种严格的数学基础的需求。
斯特罗加茨 (11:49):嗯,嗯。 我们应该提到——是的。 所以伯特兰·罗素,我们现在谈论的,通常更广为人知的身份是哲学家或和平主义者,但他是一位相当强大的数学家和逻辑学家,对逻辑作为数学的一部分感兴趣。
摩尔: 是啊。
斯特罗加茨 (12:04):正如你所说,他是帮助集合论真正落地的人之一。 甚至在他之前,还有这位先生, 乔治康托尔,我们将在 1800 年代后期在德国谈论很多。
(12:17):好的,那么在数学中,比方说,数学家如何使用无穷大? 你提到它有多大帮助。 它在哪里使用?
摩尔 (12:27):是的,所以,在微积分课上,它是进行某些计算的有用符号。 谈论当输入变得非常大时函数的行为。 你可以谈论无穷大的极限,或者当一个数字趋于零或无穷大或类似的东西时的数量比率。 这是我提到的第一种意义上的无穷大概念,您将无穷大视为直线末端的理想化点。
(12:53) 但你也可以谈论它——你知道,你可以,你可以谈论计算某个集合或集合的元素数量,并跟踪它有多少个元素,或者,如果它有无限多个元素,试图区分不同大小的无穷大。 我的意思是,每个人都理解——或假装理解——有限和无限之间的区别。 我认为 康托尔的非凡发现 是你可以,对于一个无限集,你可以做进一步的区分。 您可以区分它是所谓的可数,然后是所谓的不可数。 或者甚至只是在一般情况下,不可数基数比不同不可数基数之间的区别更高。
斯特罗加茨 (13:34):好吧,我们去那里吧。 因为这是,这真的把我们带入了我们主题的核心。 我想第一次听到“可数”这个词的普通人可能会认为它的字面意思是可数的,比如有 10 的东西。你知道,如果桌子上有 10 个火花塞,我可以数出它们——1、2、3 , 最多 10。但是你和其他数学家使用 countable 来表示与此略有不同的东西。
摩尔 (13:56): 这只是意味着你可以为集合中的每个元素分配一个自然数,这样自然数就不会被使用两次。
斯特罗加茨 (13:56):所以有些东西可以是可数的和无限的。
摩尔 (13:57):无限。 所以自然数显然是可数的,因为它们在数自己。 但可能不太明显的是,包括自然数负数在内的整数是可数的。
斯特罗加茨 (14:18):让我们谈谈这个。 因此,如果一个人以前没有考虑过这一点,那就很有趣了。 因为就像——所以你说过,你要考虑所有的数字,所有的正整数,所有的负整数和零。
摩尔 (14:29):是的。
斯特罗加茨 (14:30):你可能做错了。 就像如果你从零开始向右数,然后你数到 0、1、2、3,你就再也回不去负数了。 那么你将无法计算所有整数。
摩尔 (14:41):是的。
斯特罗加茨: 但是你应该怎么做呢?
摩尔: 你可以做的是,你可以数数,你知道,0、1、-1,然后是 2、-2、3、-3、4、-4、5、-5。 如果您以这种方式列出它们,那么您最终会列出所有内容。
斯特罗加茨 (14:55):美丽。 所以这个曲折的论点,你在积极和消极之间来回跳跃,是一种很好的、有组织的、系统的方式来表明,如果你想到任何整数,最终它会出现在列表上。
摩尔: 是的。 是的。
斯特罗加茨(15:07):太好了。 好吧,所以整数是可数的。 Cantor 还发现了其他一些可数的东西——我不知道他是否感到惊讶,但我们中的很多人在第一次了解它时都会感到惊讶。 像,像什么?
摩尔 (15:21):是的,我认为两个令人惊讶的好例子是——首先,理性。 所以两个整数的所有分数的集合都是可数的。 当您考虑时,这实际上很容易看出来,因为您可以列出所有分母为 1 的分数——或者分子和分母的绝对值最多为 1。然后,最多 2,最多 3,最多 4 . 并且在每个阶段,只有有限多个分子和分母的数量级至少为n的分数。 然后你可以用这种方式耗尽所有的理性。
斯特罗加茨 (15:55):就像,如果我选择数字 n 为 3,你是说我可以有一个像 1/2 或 2/1,或 0/3 这样的数字,因为分子加分母相加到 3?
摩尔 (16:06):是的。 另一个有点令人惊讶的是,如果你用拉丁字母表或任何你喜欢的字母表来写下你能写下的单词数量。 至多有可数个有限的单词,或来自这个字母表的有限符号串。 如果你想所有的词或所有的句子,所有的文学作品,如果你愿意——
斯特罗加茨: 哦。
摩尔 (16:30): - 任何不仅现在存在而且可能在未来某个时间存在的东西。 你知道,你把无限多的猴子放在打字机前,看看它们在有限的时间内能产生什么输出。 这只是一个可数集。
斯特罗加茨 (16:44):哇。 那么所有可能的书籍,比方说,用我们知道的所有可能语言的拉丁文?
摩尔 (16:50):用所有可能的语言。 是的。 我的意思是,如果你愿意,你可以有一个可数的字母表。 那不会使任何东西变大。
斯特罗加茨 (16:56):如此可数似乎是一个非常大的无穷大。 但是 -
摩尔 (16:59):是的。 首先令人惊讶的是,那些看起来比自然数大的集合实际上与自然数大小相同。 他们是可数的。 但还有另一个惊喜,那就是实数,即十进制数的集合,是不可数的。
斯特罗加茨 (17:13):所以有一个值得注意的点,你一直在提到可以有不可数的集合。 我想,也许最简单的例子是:想象一条在两个方向上都延伸到无穷大的线。 就像一条无限长的直线。 我们称之为真正的线路。 那是不可数的。
摩尔 (17:32):对。 如果你,如果你递给我一个列表,一个据称包含那条线上所有元素的列表,有一个叫做对角线参数的过程,它允许你产生一个在线上但不在你的列表上的新点。 这就是康托尔的著名发现。
斯特罗加茨 (17:49):那是一个非常惊人的发现,我当时猜对吧? 现在你可以突然谈论两个无限集并比较它们。
摩尔 (17:58):是的,是的。 可数和不可数之间的区别在数学中非常有用。 基本上,可数集,你仍然可以谈论无限长度的总和。 这是在标准课程结束时——第二学期微积分课程结束时教授的内容。 然而不可数集合的求和意义不大,或者至少你必须以更微妙的方式定义它们。 也就是说,更像是积分或类似的东西。
斯特罗加茨 (18:30):好的,现在我们有了可数的区别,比如整数——1、2、3、4、5——和不可数的,比如线上的点。 还有另一个问题,我认为如果我们能花一些时间解决这个问题会很好。 称为连续统假说。 你能告诉我们那是什么吗?
摩尔 (18:50):是的。 所以 Cantor 想知道:是否有,是否有介于两者之间的东西? 你可以——你知道,自然数位于实数中,而且自然数是可数的。 实数是不可数的,比自然数大。 是否有一组实数大于自然数,但小于-
斯特罗加茨 (19:10):在这种计数意义上更小。
摩尔 (19:12): — 比线小? 在那条线上,在数轴上,是否有一组点大于自然数,大于有理数,但小于整条线本身? 不存在这样的中间集的断言称为连续统假设。 这就是希尔伯特的第一个问题,即连续统假设是真命题还是假命题。
斯特罗加茨 (19:35): 嗯嗯,所以希尔伯特是这方面的伟大数学家——也许晚了一点,但也不晚了。 在这一年——大概是 1900 年左右,我想——他宣布或列出了他认为是未来 20 世纪数学家需要研究的一些最大问题。 我认为这是他清单上的第一个问题?
摩尔 (19:58):是的,这是第一个问题。
斯特罗加茨 (20:00):哇。 所以考虑这个很重要。 你说康托尔称之为假设。 他以为会变成真的。
摩尔:是的。
斯特罗加茨 (20:07):他已经知道这两者之间没有无限夹心
摩尔 (20:11):是的。 事实是,它经受住了寻找反例的考验。 我的意思是,如果你开始查看所有的实数集,你可以写下描述或可以通过某种方式构造的线的子集。 他试过这个。 他证明了,我的意思是,好吧,他证明了没有反例。 早期甚至有定理说这种或那种类型的集合不可能是反例。
斯特罗加茨 (20:40):太棒了。 让我确保我明白了。 我从未听过这样的说法:从某种意义上说,仅仅因为其中一些是可以描述的这一事实就使它们不够好。
摩尔 (20:49):例如,一个封闭的集合有它的所有极限点。 Cantor 证明这不可能是反例。 它要么是可数的,要么与实数具有相同的大小。
斯特罗加茨 (21:00): 所以如果有反例的话,那一定是不可描述的。
摩尔 (21:04):是的,它必须很复杂。
斯特罗加茨 (21:06):哇。 但当然,有可能存在,只是它会是一些非常奇怪的事情。
摩尔 (21:12):是的。 所以这让我们回到了这个基本问题上。 你知道,大约在那个时候,他们开始尝试将数学公理形式化。 后来的某个时候,大约在 1930 年代,[库尔特] 哥德尔证明,实际上任何一种你可能拥有的可理解的公理系统,只要达到对自然数进行形式化算术的适度目标,都必然是不完整的。 有些陈述你无法从这个公理系统中证明,你也无法使用标准的有限证明从公理中反驳它们。
(21:52) 我认为这非常令人震惊。 因为它告诉你,在某种意义上,以某种算法试图解决你所有的数学问题并产生某种算法基础的目标,某种完整的数学基础是注定的。 或者至少必须受一些更高的直觉的支配,而不仅仅是——我不知道——当时可用的东西。
(22:16) 哥德尔证明了什么——他后来证明的一件事是,你无法证明或反驳的陈述之一是你的公理系统首先是一致的。 它不会导致任何矛盾。 该陈述可以编码为某种关于数论的陈述,关于自然数的算术,但不是以一种特别自然的方式。 如果你去和系里的一位数论家交谈,他们不会认为这是一个问题或数论的陈述,尽管从技术上讲是这样。 所以它是——哥德尔时代遗留下来的一个问题是连续统假设——或者是否存在其他一些自然数学陈述,它基于我们正在研究的公理系统是不可判定的。
斯特罗加茨 (23:02):所以有这个公理的概念。 我们或许应该试着记住它们的样子。 因为如果我们做非常仔细的数学计算,我们必须制定一些定义,还有一些我们接受的东西——我不知道为什么我不想说“我们认为是理所当然的”,但我们接受作为基岩。
摩尔 (23:19):是的,是的。 所以,我的意思是,这是希腊人所做的事情,也就是说,你知道——形式化几何学的成就之一——是,而不是试图定义几何学是什么,而是将其视为:你是打算写下一些未定义的术语,然后写下支配这些未定义术语行为方式的规则或公理。 对他们来说,这就像一个点和一条线。 当一个点在一条线上时,这些都是未定义的概念。 当一个点位于一条线上的其他两个点之间时,这些都是未定义的概念。 然后你写下一组支配这些概念如何运作的公理。 如果你做对了,那么每个人都会同意这些属性显然对这些东西是正确的。 因此,这些公理是不证自明的真理。
(23:19) 所以对于几何学,你知道,有一个著名的平行假设,你无法从其他假设中推导出来。 当发现您实际上可以构建满足所有公理但不满足平行假设的几何模型时,这在某种程度上是革命性的。 因此,平行假设不能从其他公理证明。 所以从某种意义上说,哥德尔所做的是开发一种方法来做到这一点,但是是在数学模型的层次上,或者至少是我们拥有的数学公理系统的模型。
斯特罗加茨 (24:45):啊哈,这是一种有趣的说法。 所以,就像,我们有欧几里得几何,然后我们也有这些更新奇的非欧几里得几何,爱因斯坦在广义相对论中使用了这些几何,但它们也被用于其他地方。 它们在逻辑上与欧几里德几何一样好。 但是现在不只是谈论几何,你说它有点像我们可以拥有传统的——好吧,我不确定这些词是什么。 什么是欧几里德几何的类比? 有传统数学吗?
摩尔 (25:16):这是一个悬而未决的问题。 我的意思是,我的意思是——我认为这在一定程度上是一个哲学问题。 也许这是一个社会学问题,因为这是一个关于什么是数学的问题,对吧? 回到那个基本问题。 而且我认为我们拥有 100 多年前开发的 ZFC 公理的公理是我们普遍认为这些是真的公理,或者这些公理是“集合”应该具有的属性,但它们'不完整。
斯特罗加茨 (25:44):好吧,等等,让我们打开所有这些。 听起来很好。 那么 ZFC,我们为什么不从它开始呢? 那是一些人和事物的名字。
摩尔 (25:51):是的,是的。 “策梅洛-弗兰克尔集合论”与所谓的“选择公理”。 是的。
斯特罗加茨 (25:55):好的。 因此,这些是被广泛接受的游戏规则。
摩尔 (25:59):是的,这是一个公理列表——它相当长,但没那么长。 比如,如果你有两个集合,那么有一个集合将它们都作为它们的元素。 配对公理,你可以取一组集合的并集,这就是一个集合。 等等。
斯特罗加茨 (26:15):好的。 所以有 ZFC 做集合论的方法,你说,在某个时间提出,人们喜欢它,但后来你说它不完整?
摩尔 (26:26):是的。 所以这是你可以写的东西。 列出公理的计算机算法。 这是一组无限的公理。 但是除了两种公理簇之外,它是有限的。 如果您不注意,您实际上会认为这些其他公理簇中的每一个都是单个公理。 但它们实际上是一个无限的公理家族。 你可以生成一个计算机程序来吐出所有的公理。 我们倾向于认为 ZFC 是一致的,因为我们没有发现任何矛盾。 如果您相信这一点,那么根据哥德尔不完备性定理,ZFC 将无法证明它是一致的。
(27:03) 所以有一些陈述,例如 ZFC 的一致性,ZFC 无法证明。 这是一个有趣的观点。 因为我们再次相信 ZFC 是一致的。 这就是,我的意思是,我的意思是……大多数数学家,他们将要工作的原因之一是基于 CFC 是一致的信念。 正确的? 但我们认为这是真实的陈述。 但这不是ZFC本身就足以证明的东西。
斯特罗加茨 (27:27):我只是在想。 一路上,我们一直在提到哥德尔。 我不知道我们说过他是谁。 你想简单地告诉我们吗?
摩尔 (27:34) 是的,他是。 我的意思是,他是一位革命性的逻辑学家。 这一点,不完备性定理是他的主要成就之一。 他的另一项主要成就是表明无法使用 ZFC 公理来推翻连续统假设。
斯特罗加茨 (27:49):有些人认为他是自亚里士多德以来最伟大的逻辑学家。 爱因斯坦是他在高等研究院的朋友和同事,他说他喜欢有幸能和他一起走路去工作 库尔特·哥德尔. 我的意思是,他与爱因斯坦处于同一个知识联盟。 如果你还没有听说过他,我建议你看一本关于他的书,叫做 理性边缘之旅. 一本关于哥德尔生平的好书。 但是好吧,他是,对,所以他是 20 世纪中叶、20 世纪初的逻辑学家。 你说他证明了这一点——好吧,再说一遍关于连续统假设?
摩尔 (28:23):在任何集合论模型中,他构建了一个满足连续统假设的较小集合论模型。 所以这表明你不能在集合论的公理内反驳连续统假设。 从一个集合论模型,如果你有一个,那么我可以产生一个新的,它满足连续统假设。
斯特罗加茨 (28:43):我明白了。 所以可能会有集合论的版本,有点小的版本,但仍然足以做算术,我认为。
摩尔:是的。
斯特罗加茨 (28:51):但是其中,好吧,连续统假设是正确的,就像 Cantor 猜测的那样。
摩尔:是的。
斯特罗加茨 (28:56):然后。 但是——这个故事有一个很大的“但是”。
摩尔 (28:59):是的。 那么多年以后, [保罗]科恩 开发了一种称为强制的技术,使他能够扩大集合论的模型。 用这个,他证明了你无法证明连续统假设。 除了他的技术还可以用来证明你无法反驳。 这个,是的,这种叫做强制的技术真的非常强大。 强制和在集合论模型中构建较小模型的技术。 这些是我们从旧的集合论模型中构建新的集合论模型的两种工具。
摩尔 (29:32):回到几何类比。 我的意思是,即使是双曲平面的这些模型,它们是非欧几里德几何模型——它们本身也是从欧几里得平面或其子集开始,然后构建几何模型,比如那里的点和线。 这些点只是这个磁盘上的普通点。 线条中有圆圈,原始几何中的某些圆圈。 我想说的是,这是你在数学方面所做的一件富有成果的事情。 你经常从一些满足你的公理系统的结构开始,比如一个满足你的几何公理的几何体,然后你以某种方式操纵它并产生一个新的东西,它可能满足一组不同的公理。 这就是 Cohen 和 Gödel 所做的,他们正在采用集合论公理的模型——因此,在某种意义上,是一个数学模型——并使用各种技术对其进行操纵以产生新模型,这些模型满足连续统假设为真,或者连续统假设为假。
斯特罗加茨 (30:36):所以这对我来说真的很神奇,而且我敢肯定,对很多人来说,你知道……就像,柏拉图有这样的哲学,即那里有某些理想的形式和真理——也许我们可以在地球上看不到它们,但在某些柏拉图式的领域中,它们的真实存在。
摩尔: 是啊。
斯特罗加茨 (30:57):你会觉得实数存在,无论人类是否考虑过它们,连续统假设要么对实数成立,要么不成立。 但你是在告诉我吗?
摩尔 (31:09):嗯,我的意思是,是的,对此有不同的思想流派。 我的意思是,你不能——你可以把它看作,我认为这个东西在这个名字下,那个通用的多元宇宙观点,你没有什么可以说的了。 只有所有这些集合论模型。 而我们能做的最好的事情就是尝试了解每个人的真实情况并在他们之间移动。 这是一种非常非柏拉图式的事物观,一种形式主义的事物观。 您可能还认为存在一些可能更喜欢的集合论模型。 也就是说,你知道,我们生活的现实,以及所有这些其他模型,它们都是公理的模型,但它们并不是我们真正试图用公理描述的东西。 我认为与几何的类比有点说明性,对吧? 我的意思是,您可以生成许多不同的几何模型。 但我们仍然生活在一个具有几何学的物理世界中,也许这就是我们最关心的几何学。
斯特罗加茨 (32:03):我明白了。 因此,以同样的方式,我们可以给欧几里德几何一些优先地位,因为它是我们习惯的。 这是一个已经存在很长时间的方法,因为它是最简单和最明显的方法,但我们仍然认为这些其他方法很好,并且它们在有用和有趣的领域都有自己的领域。
摩尔 (32:20):但也许值得指出的一点是,即使是我们对——好吧,首先,我不确定我们是否生活在欧几里德几何中。 但是,有一个问题。 但是,即使是我们对物理世界的理解,通过理解所有这些其他几何,这种对其他几何模型的自由探索,也得到了极大的丰富。 集合论也是如此。 我认为,即使在未来,我们就什么是集合论的新公理达成了一些共识,如果没有事先进行的所有这些探索,到达那个目的地肯定是不可能的。
斯特罗加茨 (33:00):证明或反驳连续统假设意味着什么? 对于每个营地? 有什么危险?
摩尔 (33:08):是的,那是——好吧,所以我认为持这种“所有世界”观点的阵营只会说这是一个毫无意义的问题。 Cohen 和 Gödel 以及他们构建大量集合论模型的技术是讨论的结束。 你知道,我们可能会产生很多新的集合论模型,但我们永远不会对连续统假设是对还是错给出最终答案。 那些认为该陈述存在某种真或假观点的人,可能会尝试提出一些新的公理,并可能会提出一些启发式的理由来解释为什么这个公理应该是真的——要么是启发式的,要么是实用的理由为什么这是真的。 然后一旦你争辩说这个公理应该被接受,它以某种方式封装了我们对数学或集合的一些直觉,那么如果这个公理也在某种形式的词义上证明或反驳了连续统假设,那么你会认为CH 是真还是假。
斯特罗加茨 (34:12):这就是我们现在所处的位置。 现在真的有这两个阵营。
摩尔 (34:16):是的,在某种程度上。 自从基于公理证明连续统假设是不可判定的以来已经很久了,我认为大多数数学家已经习惯了这样一个事实,即也许这是你能说的最多的事实。 而且我认为,如果数学家作为一个整体能够团结在某种新的启发式理论周围,那将是令人惊奇的,你知道,每个人都同意应该是正确的。 也许那永远不会发生。 也许,也许社区里面有太多不同的观点。 公平地说,我认为 ZFC 是数学的真公理集,这在某种程度上是一种共识,但不是普遍的观点。 肯定有人认为任何无限的东西都不存在。 谈论它没有任何意义,我们不应该谈论它。
斯特罗加茨 (35:05):嗯,这是一个历史悠久的传统。 我的意思是,那是——亚里士多德告诉我们要注意无穷大。 在整个数学史上,人们甚至像 [卡尔·弗里德里希] 高斯 我们对完全无限这个概念非常小心,这就是康托尔为我们打开的这个蠕虫罐头。 但我不知道那是蠕虫。 好像是——你知道,这有什么害处? 就是我们放飞想象力,发现了很多有趣的东西。
(35:30) 但我确实有一个问题。 作为一个不是集合论的人,我不想以不礼貌的方式提问。 但这听起来可能有点不礼貌,你知道我要去哪里,对吧? 比如,这对我有什么影响? 其余的数学是否感受到集合论中发生的振动? 或者我们对你们所做的事情有点绝缘?
摩尔 (35:49):这是个好问题。 我认为大多数数学家从来没有遇到过在 ZFC 中通常的数学公理系统中既不可证明也不可反驳的陈述。 集合论学家必须在一定程度上找到对此的解释。 有一个集合论模型,它大于哥德尔的原始模型但小于所有集合的宇宙,称为实体基础模型,即 [罗伯特]索洛维 大约在科恩的工作时期被发现。 非凡的发现是这个模型——它的真实性不受强迫的影响。 因此,从本质上讲,如果你能说出在那个模型中什么是真的什么是假的,那么它在很大程度上不受独立现象的影响。
(36:35) 问题是集合论的这个模型不满足选择公理。 所以选择的公理是——这是另一个问题。 但是选择公理与其他公理不同的原因之一是它不是建设性的。 所有其他公理都告诉你,你所描述的某个集合实际上是一个集合。 这就是公理的工作原理。 但是选择公理告诉你,给定一组非空的集合,你可以从每个集合中选择一些东西——因此选择——但它没有告诉你将如何进行选择。 这是一个公理,一方面,它允许我们构建各种奇怪的、自相矛盾的东西。 你知道,我猜,在大约 100 年前,就像不可测量的集合,不管那是什么。 有一个著名的球体分解, 巴拿赫-塔斯基悖论, 那 -
斯特罗加茨 (37:29):哦,这很有趣。
摩尔 (37:32): — 你可以将球体切割成有限多块,然后将它们重新组合成两个与原始球体尺寸相同的球体。 现在这很荒谬的原因是你应该能够为每个 - 你知道的,原始球体分配一个质量,然后为所有这些你可以切割成的部分分配一个质量,以及那些应该加起来等于原来的质量。 然后当你重新排列它们时,这个过程不应该改变质量。 但不知何故,当你重新组装它们时,你的质量是开始时的两倍。 现在,该论证的要点 — 问题在于,选择公理允许您对球体进行切割非常糟糕,以至于您无法为您拥有的这些部分分配质量。
(38:11) 现在,这种自相矛盾的行为导致人们认为选择公理可能在某种程度上是有问题的。 也许是,它会导致数学本身出现某种悖论。 因此,不应接受选择公理。 哥德尔在证明你无法反驳连续统假设的同时证明的一件事是,假设选择公理也是安全的。 也就是说,如果没有选择公理的 ZFC 公理是一致的,那么带有选择公理的 ZFC 公理集也是一致的。 它可能会给你带来很多奇怪的、奇异的东西,但从基础的角度来看,它不会污染水。
(38:51) 一段时间后,发现了这个叫做 Zorn 引理的东西,结果证明它等同于选择公理。 这对于发展许多不同的数学分支来说确实是非常有成果的。 如果你是一名高年级本科生,或者如果你是一名数学研究生,你就会了解它。 它在某种程度上只是数学研究生学位所需学习的一部分。 由于这种极端的实用性,我们最近才接受它。 我认为大多数数学家都不愿意在没有选择公理的情况下工作,因为在许多情况下他们可能在甚至不知道的情况下使用它。
(39:31) 所以我认为这也是我们如何解决连续统假设的一个例子。 就是我们在未来发现了一些对进一步发展数学非常有用的公理,我们只是认为这个公理在一定程度上是正确的。 这就是 Zorn 引理所发生的事情。 有了选择公理,它并不是最初被认为是真的东西。 事实上,最初人们对它持怀疑态度。
斯特罗加茨 (39:56):但让我看看我是否可以,因为它确实……我们现在一直在谈论选择公理:它与连续统假设的关系。 有没有一种简洁的方式来说明那是什么?
摩尔 (40:06):你知道,选择公理和连续统假设有一种奇怪的关系,因为它们......好吧,连续统假设,从集合论的角度来看,它允许你构建很多奇异的东西. 它允许你做一个无限长的,甚至是不可数长的构造,在那里你以一种非常可控的方式,一种算法方式来做每件事。 并构建一些奇怪的对象,在此过程中您一直保持着很多控制权。 在没有选择公理的情况下,连续统假设,正如我最初所说的,没有中间的规则集,这与选择公理为真不同。 原因是,例如,在没有选择公理的情况下,你可以谈论更强大的连续统假设。 就像,这个数字线的每个子集,实数线,要么是可数的,要么有一个 Cantor 集的副本存在于其中。 就像,有一种点树,位于集合内部的点二叉树。 这是一种非常具体的说法,它与实数具有相同的大小。
斯特罗加茨 (41:14):所以对于集合论之外的数学领域的其他人来说,在连续统假设出现的那一刻,我们是否应该因为——似乎是——一种不确定的状态而失眠? 我们被告知它在集合论的标准模型中是不可判定的。 你知道,这重要吗? 它会影响其他数学吗?
摩尔 (41:35):答案大多是否定的。 但它并不完全为人所知。 连续统假说。 这是真的 索洛威模型,例如:每个实数集要么是可数的,要么其中有一个封闭的实数集是不可数的并且没有孤立的点。 但是有些陈述出现在数学中,问题自然出现,在其他领域有点有机地出现,结果证明它们依赖于连续统假设或其他独立于 ZFC 公理的东西。 这方面的一个例子是称为中值极限的东西,它是一种在概率和概率的某些部分上很有用的设备,用于限制事物并仍然保持事物是可测量的。 中值限制是您可以使用连续统假设构建的东西,但它们不是您可以在 ZFC 中构建的东西。
斯特罗加茨 (42:27):这让我很开心,我不得不说。 我的意思是,我想相信数学是一张大网。 而且,就像有一句老话,“没有人是一座孤岛”,不管是谁说的,我不知道。 但无论如何,我不希望数学的任何部分成为一座孤岛。 所以我不愿意认为集合论是某种东西——我的意思是,没有人会说它是,但即使是包含连续统假设的部分,我也不希望它与伟大的大陆分离。 听起来好像不是。
摩尔 (42:52):对。 如果您采用希尔伯特空间,并查看有界算子和紧算子,这些是在数学中研究过的对象的代数。 你可以取他们的商。 研究所谓的自同构群是数学家可能会问的问题。 事实上, 布朗、道格拉斯和菲尔莫尔 在 1970 年代问过这个问题。 并且众所周知,连续统假设的真假与该代数是否存在非常复杂的自同构有关。 你知道,这是你将在研究生阶段教授的功能分析课程中的标准对象。 这些是该对象的一些非常非常基本的属性。
(43:34) 但重点是,从表面上看,这不是集合论中的问题。 不同的集合论学家对为什么这个主题很重要有不同的看法。 但对我来说,这就是这个主题的原因——它的重要性。 它发挥着独特的作用,当您提出基于公理的可能无法确定的问题时,它能够让您知道。 因为你不想研究这个你无法决定的问题,年复一年,年复一年。 如果有人可以告诉你,“好吧,你永远不会真正想出解决这个问题的方法,因为你既不能证明也不能反驳它,”对吧? 这是一件好事。
斯特罗加茨 (44:13):好的。 好吧,贾斯汀,对我来说这是一个非常令人振奋的信息,那就是约翰多恩! 这就是我要找的名字,约翰·多恩。 让我们用现代的方式来说:没有人是一座孤岛。 没有数学的部分也是如此。 在作为量子理论基础的泛函分析中,即使是集合论外围看似最深奥的事物,在概率上仍然与数学中非常实际的部分相关联。 所以,这对我来说是个新闻,我只想感谢你启发我们。 这很有趣。 谢谢。
摩尔 (44:46): 谢谢你邀请我。
报幕员 (44:46):探索更多的数学奥秘 广达 书 素数阴谋,由麻省理工学院出版社出版,现在可在 Amazon.com, 巴诺书店,或您当地的书店。 此外,请务必将此播客告诉您的朋友,并给我们正面评价或关注您收听的地方。 它可以帮助人们找到 为什么的喜悦.
斯特罗加茨 (45:12): 为什么的喜悦 是一个播客 广达杂志,一份由西蒙斯基金会支持的独立编辑出版物。 西蒙斯基金会的资助决定对本播客或本播客中的主题、嘉宾或其他编辑决定没有影响 广达杂志. 为什么的喜悦 由 Susan Valot 和 Polly Stryker 制作。 我们的编辑是 John Rennie 和 Thomas Lin,由 Matt Carlstrom、Annie Melcher 和 Zach Savitsky 提供支持。 我们的主题音乐由 Richie Johnson 作曲,播客的名字由林心如起。 插曲艺术由 Peter Greenwood 设计,我们的徽标由 Jaki King 设计。 特别感谢康奈尔广播工作室的 Burt Odom-Reed。 我是你的主持人 Steve Strogatz。 如果您对我们有任何问题或意见,请发送电子邮件至 感谢您的收听。
- SEO 支持的内容和 PR 分发。 今天得到放大。
- 柏拉图区块链。 Web3 元宇宙智能。 知识放大。 访问这里。
- 与 Adryenn Ashley 一起铸造未来。 访问这里。
- Sumber: https://www.quantamagazine.org/how-can-some-infinities-be-bigger-than-others-20230419/
- :具有
- :是
- ][p
- $UP
- 1
- 10
- 100
- 11
- 28
- 39
- 7
- 8
- a
- Able
- 关于
- 关于它
- 绝对
- AC
- 接受
- 成就
- 成就
- 通
- 高级
- 影响
- 后
- 算法
- 算法
- 从算法上
- 所有类型
- 允许
- 沿
- 字母
- 已经
- 尽管
- 惊人
- 量
- 分析
- 古
- 和
- 公布
- 另一个
- 回答
- 任何
- 应用
- Apple
- 应用领域
- 保健
- 争论
- 论点
- 围绕
- 抵达
- 艺术
- AS
- 律师
- At
- 关注我们
- 可使用
- 背部
- 坏
- 基地
- 基于
- 基本包
- 基本上
- BE
- 美丽
- 因为
- 成为
- 成为
- 很
- before
- 开始
- 作为
- 相信
- 伯克利
- 伯特兰
- 最佳
- 更好
- 之间
- 超越
- 大
- 大
- 最大
- 位
- 吹氣梢
- 书
- 书籍
- 分支机构
- 简要地
- 带来
- 播放
- 建立
- 建筑物
- 烧毁
- by
- 计算
- 呼叫
- 被称为
- 呼叫
- 剑桥
- 营
- CAN
- 不能
- 关心
- 小心
- 卡尔
- 例
- 随便
- 摔角
- 世纪
- 一定
- 当然
- 更改
- 字符
- 查尔斯
- 选择
- 界
- 程
- 清除
- 关闭
- 同事
- 采集
- 收藏
- 如何
- 舒适
- 未来
- 注释
- 相当常见
- 社体的一部分
- 比较
- 完成
- 完成
- 复杂
- 由
- 一台
- 概念
- 概念
- 共识
- 考虑
- 一贯
- 建设
- 施工
- 建设性的
- 包含
- 大陆
- 连续
- 连续
- 控制
- 受控
- 争议
- 谈话
- 可以
- Counter
- 套餐
- 创建
- 好奇
- 切
- 切割
- 一年中的
- 决定
- 决定
- 深
- 更深
- 学位
- 问题类型
- 依赖的
- 描述
- 描述
- 目的地
- 开发
- 发达
- 发展
- 设备
- 图
- DID
- 不同
- 数字
- 尺寸
- 泄露
- 通过各种方式找到
- 发现
- 发现
- 发现
- 讨论
- 讨论
- 讨论
- 不同
- 区分
- 不会
- 做
- 域名
- 别
- 注定
- 门
- 翻番
- 向下
- 驾驶
- 每
- 早
- 地球
- 最简单的
- 边缘
- 社论
- 或
- element
- 分子
- 邮箱地址
- 无穷
- 更多
- 丰富
- 完全
- 本质上
- 甚至
- 终于
- 所有的
- 每个人
- 一切
- 进化
- 究竟
- 例子
- 例子
- 除
- 例外
- 兴奋
- 展览
- 存在
- 异国情调
- 解释
- 勘探
- 探索
- 特快
- 额外
- 极端
- 布
- 面部彩妆
- 失败
- 公平
- 相当
- 信仰
- 家庭
- 著名
- 著名
- 高效率
- 喜爱
- 恐惧
- 专栏
- 同伴
- 少数
- 字段
- 最后
- 找到最适合您的地方
- 姓氏:
- 第一次
- 鱼
- 遵循
- 针对
- 永远
- 正式
- 正式地
- 形式
- 基金会
- Foundations
- 分数
- Free
- 朋友
- 朋友
- 止
- ,
- 开玩笑
- 功能
- 实用
- 功能
- 资金
- 进一步
- 未来
- 游戏
- 其他咨询
- 通常
- 生成
- 代
- 慷慨
- 德国
- 得到
- 越来越
- 给
- 特定
- 给
- 给予
- Go
- 目标
- GOES
- 去
- 非常好
- 谷歌
- 经验
- 毕业
- 授予
- 大
- 最大的
- 非常
- 希腊
- 格林伍德
- 团队
- 猜
- 宾客
- 手
- 发生
- 发生
- 事件
- 快乐
- 有
- 有
- he
- 元首
- 听说
- 听力
- 胸襟
- 帮助
- 有帮助
- 帮助
- 此处
- 更高
- 事后
- 历史
- 希望
- 主持人
- 创新中心
- HTTPS
- 人
- 饥饿
- i
- 主意
- 理想
- 错觉
- 想象力
- 重要性
- 重要
- in
- 其他
- 包括
- 包含
- 独立
- 独立
- 无限
- 无限
- 影响
- 影响
- 原来
- 输入
- 例
- 代替
- 研究所
- 积分
- 诚信
- 知识分子
- 有兴趣
- 有趣
- 利益
- 介绍
- 讽刺地
- 岛
- 孤立
- 问题
- IT
- 它的
- 本身
- John
- 约翰逊
- 加盟
- 贾斯汀
- 保持
- 保持
- 小子
- 孩子们
- 类
- 国王
- 知道
- 会心
- 已知
- 语言
- 语言
- 大
- 在很大程度上
- 大
- 最大
- 名:
- 晚了
- 拉丁语
- 铅
- 联盟
- 学习用品
- 知道
- 学习
- 导致
- 引理
- 长度
- 让
- Level
- 生活
- 喜欢
- 极限
- 范围
- Line
- 线
- 链接
- 清单
- 听力
- 文学
- 小
- 生活
- 生活
- 本地
- 商标
- 长
- 看
- 看起来像
- 寻找
- 失去
- 占地
- 爱
- 爱
- 制成
- 杂志
- 维护
- 主要
- 使
- 制作
- 男子
- 操纵
- 许多
- 很多人
- 质量
- 群众
- 数学
- 数学的
- 数学
- 问题
- 有意义的
- 手段
- 衡量
- 机制
- 提到
- 的话
- 方法
- 中
- 可能
- 麻省理工学院简介
- 模型
- 模型
- 现代
- 时刻
- 更多
- 最先进的
- 运动
- 移动
- 电影
- 多元宇宙
- 音乐
- 神秘
- 姓名
- 名称
- 自然
- 一定
- 需求
- 负
- 也不
- 全新
- 消息
- 概念
- 数
- 数字
- 对象
- 对象
- 明显
- of
- 经常
- 老
- on
- 一
- 打开
- 打开
- 打开
- 运营商
- 普通
- 有机地
- 举办
- 原版的
- 本来
- 其他名称
- 其它
- 我们的
- 学校以外
- 超过
- 最划算
- 己
- 配对
- 悖论
- 并行
- 父母
- 部分
- 尤其
- 部分
- 保罗
- 付款
- 企鹅
- 员工
- 人的
- 也许
- 人
- 个人
- 彼得
- 现象
- philosophy
- 的
- 物理
- 件
- 地方
- 地方
- 柏拉图
- 柏拉图数据智能
- 柏拉图数据
- 请
- 加
- 播客
- 播客
- 点
- 观点
- 点
- 积极
- 可能
- 可能
- 功率
- 强大
- 权力
- 务实
- 首选
- express
- 漂亮
- 总理
- 原始
- 原则
- 大概
- 市场问题
- 问题
- 过程
- 生产
- 生成
- 教授
- 曲目
- 承诺
- 样张
- 财产
- 建议
- 保护
- 可证明的
- 证明
- 证明
- 证明
- 提供
- 出版物
- 出版
- 放
- 量子杂志
- 量子
- 题
- 有疑问吗?
- 团结
- 宁
- 合理的
- RAY
- 上游
- 真实
- 真实的世界
- 现实
- 实现
- 境界
- 原因
- 原因
- 建议
- 有关
- 关系
- 关系
- 相对
- 亲属
- 遗迹
- 卓越
- 纪念
- 重复
- 必须
- 研究
- 尊重
- REST的
- 检讨
- 革命的
- 严格
- ROBERT
- 角色
- 卷
- 卷
- Room
- 定位、竞价/采购和分析/优化数字媒体采购,但算法只不过是解决问题的操作和规则。
- 安全
- 说
- 同
- 满意
- 说
- 鳞片
- 学区情况
- 科学
- 其次
- 秒
- 似乎
- 选择
- 感
- 分开
- 集
- 套数
- 解决
- 安定
- 几个
- 形状
- 应该
- 显示
- 如图
- 作品
- 侧
- 签署
- 简易
- 自
- 单
- SIX
- 尺寸
- 尺寸
- 怀疑论
- 睡觉
- 小
- 小
- So
- 固体
- 方案,
- 一些
- 有人
- 东西
- 有些
- 某处
- 太空
- 火花
- 特别
- 特别是
- 花
- Spotify
- 阶段
- 股权
- 标准
- 开始
- 开始
- 开始
- 说
- 个人陈述
- 声明
- Status
- Steve (史蒂夫)
- 仍
- 故事
- 直
- 强烈
- 强
- 结构体
- 学生
- 研究
- 工作室
- 学习
- 留学
- 主题
- 成功
- 这样
- 足够
- 支持
- 一定
- 惊
- 感到惊讶
- 奇怪
- Susan
- 符号
- 系统
- 表
- 采取
- 需要
- 服用
- 谈论
- 说
- 教师
- 教诲
- 技术
- 青少年
- 告诉
- 条款
- test
- 谢谢
- 这
- 未来
- 线
- 世界
- 其
- 他们
- 主题
- 他们自己
- 那里。
- 因此
- 博曼
- 事
- 事
- 思维
- 第三
- 思想
- 数千
- 通过
- 始终
- 次
- 至
- 今晚
- 也有
- 工具
- Topics
- 完全
- 跟踪时
- 传统
- 传统
- 熟练
- 治疗
- 异常
- true
- 真相
- 转
- 转身
- 两次
- 未定义
- 下
- 理解
- 理解
- 理解
- 工会
- 工会
- 独特
- 普遍
- 宇宙
- 大学
- us
- 使用
- 用过的
- 平时
- 效用
- 折扣值
- 各个
- 查看
- 观点
- 等待
- 步行
- 希望
- 了解
- 水
- 方法..
- 方法
- 卷筒纸
- 网页
- 欢迎进入
- 井
- 什么是
- 什么是
- 是否
- 这
- WHO
- 谁
- 全
- 广泛
- 将
- 愿意
- 中
- 也完全不需要
- Word
- 话
- 工作
- 加工
- 合作
- 世界
- 蠕虫
- 担心
- 价值
- 将
- 写
- 写作
- 错误
- 年
- 年
- 完全
- 您一站式解决方案
- 你自己
- 和风网
- 零
- 放大