介绍
最近十月的一个早晨,罗布·柯比(Rob Kirby)站在一屋子数学家面前,告诉他们不要因为他过去做事的方式而感到束缚。
过去半个世纪以来 柯比85 岁,一直是低维拓扑学和可变形形状研究的核心人物。除了重要的研究贡献外,他还在 1978 年发表了 第一版 这份清单后来被称为“柯比清单”,其中包含 80 个未解决的问题,这些问题帮助制定了该领域未来几十年的研究议程。二十年后,即 1997 年,他出版了第二本同样具有影响力的书 列表版本.
柯比正在演讲的几十位数学家聚集在 美国数学研究所 (AIM)在帕萨迪纳创建了该列表的第三个版本。并不是说之前列出的所有问题都已得到解决——大多数都没有——但许多问题已经过时了。虽然数学是永恒的,但这个领域是由追随时尚的人们实践的,许多旧问题不再被认为是有趣的。
“我们认为有些子领域很有声望,而另一些子领域却没有人关心。”说 玛姬·米勒(Maggie Miller) 德克萨斯大学奥斯汀分校的教授,该名单的 14 位编辑之一。
此次会议的构思是 丹尼尔鲁伯曼 布兰代斯大学的教授,1980 世纪 XNUMX 年代初曾是柯比的学生, 伊南克·拜库尔 马萨诸塞大学博士,鲁伯曼手下的博士后研究员。他们希望这份清单由困难而重要的问题组成。
“这应该是一个足够有趣的问题,如果解决方案出现,它将有可能改变这个领域,”米勒说。 Baykur补充道:“也许一小部分可以在未来两到三年内得到解决。”
介绍
自柯比发表第一份列表以来的半个世纪里,数学家决定什么是重要的的方式本身已经发生了变化。即使个人猜想的真假是客观事实的问题,对它们的重要性进行排名也是一个主观的社会过程。在当今全球互联的世界中,这个过程看起来与 1970 世纪 XNUMX 年代有很大不同。新榜单的故事就是这些变化的故事。
列表的开头
柯比自己的职业生涯始于一份问题清单。 1963 年,作为芝加哥大学的研究生,他参加了在西雅图举行的一次会议,会上数学家 约翰·米尔诺 列出了拓扑中七个最重要的开放问题。最后一个问题是环空猜想,它指出两个适当定义的球体之间的空间始终呈环空的形状,即两个同心圆之间的区域。
对于圆形和正常的三维球来说确实如此,但在更高的维度中——涉及五维或六维或任意数量的球体对——令人惊讶的事情会发生。 1969 年,当柯比在加州大学洛杉矶分校担任助理教授时,在考虑到一些限制(球体在特定数学意义上必须是光滑的)的情况下,证明了该理论对于五维及更高维度是正确的。
根据这一结果,加州大学洛杉矶分校直接晋升他为正教授,并将薪水翻倍。两年后,他获得了著名的 奥斯瓦尔德·维勃伦奖 在几何中。柯比将职业生涯早期的成功部分归功于米尔诺清单的存在,该清单为他提供了比他在研究生院从周围的人那里得到的更多种类的项目可供选择。
“对于那些喜欢解决问题但不一定想做顾问告诉他们做的事情的人来说,问题清单很有价值,”他说。
1976 年 1978 月,柯比在斯坦福大学举行的美国数学学会会议上开始整理他的第一个问题清单。在接下来的两年里,他通过电话、信件以及在参加的会议上与数学家的非正式交谈建立了这份清单,并于 XNUMX 年将其作为扩展期刊文章发表。
介绍
正如米勒所说,“他只是给他认识的每个人都打了电话。”
该列表包含大约 80 个问题,分为五个章节。前四章讨论一维结、二维表面以及三维和四维流形(像球体表面这样的空间,局部看起来平坦,但可以具有更复杂的全局结构)。第五章是杂项问题。尽管柯比广泛征求意见才整理出这份清单,但最终的产品毫无疑问是他的。
柯比说:“我更具包容性,而不是排他性。”但他补充道,“我几乎是最终的仲裁者。”
第二份名单
1970 世纪 10 年代末是创建拓扑问题列表的好时机。在本世纪初,这个领域规模很小,但在接下来的十年里,它出现了爆炸式增长。 1981年 迈克尔·弗里德曼 解决了庞加莱猜想的四维版本 不朽的证据 这需要数年时间才能消化。 (该猜想询问类似球体的数学对象是否一定是球体。弗里德曼证明,答案是肯定的。)一年后,威廉·瑟斯顿发表了几何化猜想,该猜想将一些拓扑结构分类为几何类别。该猜想将分析(微积分的高级形式)工具直接带入拓扑。同年 西蒙·唐纳森 通过他在四维流形方面的工作,将微分几何(结合了微积分和几何)引入了该领域。
“很难描述进展有多快。这是数学史上最伟大的时期之一,一场又一场革命,”鲁伯曼说。
所有这些活动的结果是,柯比的清单在几年之内就几乎过时了。但建立问题清单并不是柯比的主要工作。直到 1993 年夏天在佐治亚大学举行的一次会议上,他才决定彻底修改这份名单。
柯比开始在会议上收集问题,并通过电子邮件继续工作,当他整理第一个列表时,电子邮件并不常用。结果,这份名单变得越来越庞大。最终列表包含 415 个问题,并于 1997 年作为一本书出版。第三个列表开始后,第二个项目被追溯称为 K2,就像柯比列表的第二个版本一样,也是对第二个列表的认可。 - 世界上最高的山。扩展的格式有助于巩固第二版列表作为试金石和记分卡的地位。解决柯比问题引起了年轻数学家的注意。
“如果你正在为某人写一封推荐信,并且他们已经解决了柯比问题,你就会在信中提到这一点,”说 约翰·鲍德温波士顿学院的一位数学家参加了研讨会并正在帮助编辑该列表。
阿鲁尼玛·雷参加研讨会的德国波恩马克斯·普朗克数学研究所的一位小组组长表示,2011 年她通过资格考试后,她的博士生导师做的第一件事就是给她一份 K2 列表的副本,“了解人们感兴趣的重大问题。”
当然,关于什么是重要的决定取决于房间里做出这些决定的人。柯比名单反映了一种源自柯比社会政治世界观的教学哲学。他将自己描述为古典自由主义者,并引用了 19 世纪英国哲学家约翰·斯图尔特·密尔 (John Stuart Mill) 对其思想的重要影响。
“古典自由主义者确实相信自由、言论自由和政府的宽松政策,所以这就是我的观点,”他说。 “在某种程度上,这与不告诉我的学生该做什么是一致的。这有点让他们自由发挥。”
柯比将这些信念融入到他思考和谈论数学界的方式中。 2021 年,他与加州其他 1,000 多名数学和科学专业人士共同签署了一份 公开信 批评该州提议采用新的 K-12 数学课程,该课程将使社会正义考虑成为该州教授该科目的方式的核心。加州提案已通过 数学界的强烈批评 除其他外,限制高级课程的可用性,以及不再强调微积分预科课程,转而支持“数据科学”。
介绍
柯比历来对数学中是否存在结构性偏见持怀疑态度,包括该领域的性别失衡。 1970世纪10年代,大约30%的数学家是女性;据一家机构称,如今近 XNUMX% 的人 2020报告 由国际科学理事会。
In 他在 1990 世纪 XNUMX 年代写的一篇文章,并已提交在 美国数学学会的通知 但从未发表过,柯比指出,这些惨淡的数字并不是该领域任何偏见的结果。柯比写道:“在我看来,数学领域女性人数较少并不是因为男性的歧视,也不是女性天生的自卑,而是因为一个简单的事实,即选择进入数学领域的男性多于女性。”
对于许多数学家来说,很少有女性进入这个领域的事实绝非一个简单的事实。 “有证据表明,这里存在反馈效应:由于女教授太少,女学生无法通过数学看到清晰的职业道路,因此她们决定不攻读博士学位。” 四位著名女数学家写道 在2022年 泰晤士报高等教育增刊。 正如国际科学理事会的报告所述,在分析了数十万篇已发表数学论文的数据集后,“各种结构性和系统性因素肯定以不同于男性的方式影响了女性数学家的职业生涯。”
柯比的观点在低维拓扑界众所周知。我问柯比,他是否认为这会让女性更难参与像最近他在会议上扮演重要角色的场合。他说他不知道,因为除了一位数学家之外,没有人向他提出过这个问题。
马克斯·普朗克研究所性别平等官员雷说:“我不认为这影响了会议的感觉。我确实认为这塑造了人们对数学领域的看法,但我认为总的来说,我们确实将数学与数学家分开。”
共同努力
正如 K1 之后一样,低维拓扑在 K2 发布后迅速发展。一项重大发展是塞伯格-维滕理论的阐述,该理论利用物理学的思想来区分四维流形。到 2000 年代末,星之卡比列表已准备好再次更新。
“问题是,自 1990 世纪 XNUMX 年代以来,这个领域变得更大,变得更大,”Baykur 说。
这次创建新列表的动力来自鲁伯曼和拜库尔。他们在 2013 年左右开始收集问题。但在他们的其他义务和大流行之间,直到 2023 年 XNUMX 月,他们才设法召集了一群拓扑学家亲自会面。他们希望列表的第三个版本更多地是共同努力的成果。
“最初的列表很棒,我很高兴它在那里,但这种新格式值得称赞,因为它使它更加开放,”雷说。
2022 年底,Kirby 与 Baykur 和 Ruberman 一起成为会议的联合组织者。他们邀请了来自低维拓扑主要领域的专家——与柯比在列表的早期版本中使用的相同的五章结构相对应——但试图避免邀请太多专家,以至于没有人与其他人有任何共同点。
拜库尔和鲁伯曼负责大部分组织工作,而柯比则承担了更多的名义角色。
“这有点像罗布的孩子,你知道,就像他在情感上负责一样。但丹尼和伊南克负责所有的后勤工作,”米勒说。
30 月 3 日星期一,该小组开始研究 K3 列表(之所以这样称呼,是因为显而易见的原因,并且也参考了 KXNUMX 曲面,KXNUMX 曲面是拓扑中的重要对象)。
该列表反映了自 K2 以来低维拓扑的发展方式。 1990 世纪 3 年代初,Andreas Floer 的工作提出了对三维流形进行排序的新方法。到那个十年末,这些方法已经发展成为一个完整的研究领域,Heegaard Floer 同调性,并且在该领域内现在有许多不同的方法来区分流形。这些方法应该都是一致的,但目前还不确定它们是否一致,KXNUMX 将包含旨在解决问题的问题。
介绍
柯比在数学家们每天早上聚集的主报告厅扎营,大部分时间都避开了头脑风暴会议。周二早上 戴夫·加拜 普林斯顿大学的教授向全组做了关于舍恩弗利斯猜想和庞加莱猜想之间联系的讲座,这可以说是光滑四维拓扑中两个最重要的开放问题。
Schoenflies 猜想与 Kirby 在 1960 世纪 XNUMX 年代研究的环空猜想具有相似的风格。它预测,如果两个球体在一维上存在差异(例如圆与球的表面),并且将低维球体(圆)嵌入到高维球体(球的表面)中,则前者总是将后者切成相当于两个球的大小。当你在地球上蚀刻一个圆(就像形成赤道)时,这显然是正确的,但与环空猜想一样,在更高的维度中,它的正确性不太明显。
随后卡比找到了加拜,两人就加拜谈话的含义聊了几个小时。在本周的其他时间里,柯比还花时间向他在数学社区的广泛网络发送电子邮件,寻求对该列表的贡献。
“在某些方面,这与他在之前的名单中所做的非常相似,”鲁伯曼说。 “他不太愿意走进房间。 [他]会向人们发送电子邮件,说:‘研讨会上有人这么说,你对此有何看法?’”
作战室
在会议的最后两天,拜库尔和鲁伯曼要求与会者写下他们整理的问题。这感觉就像一个作战室,数学家们在回家之前匆忙写下他们解决的问题的摘要。
“这真的就像你在大学时的感觉,第二天你就要交作业,班上的每个人都在一个房间里,而且现在是凌晨 2 点,”米勒说。
周四早上,数学家们编制列表的共享文档几乎是空的,但随着数十名数学家同时编辑,文件数量迅速增加。到周五,问题清单已超过 250 页。与卡比之前的两次努力相比,这次旋风经历几乎无法辨认。
“这让我感觉自己老了,因为当我参加乔戈里峰时,我花了两到三年的时间。我会和一个人坐下来,我们一起写下问题,”柯比说。 “在 K2 中,我只遇到了少量问题。”
经过未参加帕萨迪纳会议的拓扑学家的修改和补充,Baykur 和 Ruberman 希望在今年年底之前发布约 400 个问题的列表。 Baykur、Ruberman 和其他编辑仍在争论更新列表的频率。他们可以通过保持在线版本最新来延长 K3 的保质期,但他们看到这样做的缺点。 Baykur 说,前两个列表“是历史文献,了解他们如何看待 1970 世纪 1990 年代和 XNUMX 年代的事物以及他们如何思考数学,信息量非常大。我想要一份类似的当代文献。”
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