为了紧密地堆积球体，数学家随机抛出它们广达杂志

数学家喜欢将概念推广到更高的维度。有时这很容易。

如果你想有效地在二维空间中排列正方形，你可以像棋盘一样排列它们。为了将三维立方体挤压在一起，您可以像移动盒子一样将它们堆叠起来。数学家可以轻松扩展这些排列，将立方体包装在高维空间中以完美填充它。

包装球体要困难得多。数学家知道如何以最小化圆圈或足球之间的空白的方式将它们组合在一起。但在四个或更多维度中，最有效的包装方案完全是一个谜。 （尺寸 8 和 24 除外， 已于2016年解决.)

“听起来很简单，”说 朱利安·萨哈斯拉布德，剑桥大学数学家。 “可能有 20 种不同的方法来解决这个问题。这似乎就是发生的事情——有很多不同的想法。”

已知的 2、3、8 和 24 维最佳球堆积看起来像格子，充满图案和对称性。但在其他维度，最好的包装可能是完全混乱的。

“我认为，这是一个非常诱人的方面。它真的非常开放，”说 Akshay Venkatesh，高等研究院数学家。 “我们只是不知道。”

去年 12 月，Sahasrabudhe 和他的剑桥同事 马塞洛·坎波斯, 马修·詹森 伦敦国王学院和 马库斯·米歇尔伦 伊利诺伊大学芝加哥分校提供了 新配方 了解如何在所有任意高的维度上密集地堆积球体。这是 75 年来在一般球堆积问题上取得的第一个重大进展。

“这是一个美丽的数学作品，”说 赵宇飞，麻省理工学院数学家。 “有新的、突破性的想法。”

改善基线

在二维平面上排列圆的最紧密方式是六边形图案，将圆放置在每个六边形的角和中心。这样的网格占据了平面的 90% 以上。

1611年，物理学家约翰尼斯·开普勒想到了封装三维球体的最佳方法。对于基础层，他将球体排列成六边形，就像圆圈一样。

然后，他在第一层球体上放置了第二层球体，填补了空隙。但接下来需要做出选择。第三层可以直接位于第一层之上：

或者可以抵消：

在这两种情况下，该模式都会重复。在这两种情况下，球体填充的空间量完全相同：大约 74%。

1831 年，19 世纪最著名的数学家之一卡尔·弗里德里希·高斯 (Carl Friedrich Gauss) 证明，开普勒构型是最好的格子（重复的网格构型），但他无法排除某些不规则排列可以做得更好的可能性。 （在世纪之交最终被排除了。）

在更高的维度中，数学家们不知所措。然后，在 2016 年， 玛丽娜·维亚佐夫斯卡 利用八维空间特有的对称性的存在来证明 特定的格子是最优的。她还与合作者合作将证明扩展到 24 维。她 荣获 2022 年菲尔兹奖这项工作获得了数学界的最高奖。

“我喜欢[球体堆积]的原因是它是连接数学、计算机科学和物理学中许多不同领域的线索，”说 亨利·科恩是微软研究院的一名数学家，他与 Viazovska 一起研究了 24 维证明。

这些已知的最佳封装（一维、二维、三维、八维和 24 维）似乎不能推广到更高的维度。在更高的维度中，数学家不知道最佳排列将填充多少百分比的空间。相反，他们尝试近似它。

在任何维度，如果你从一个非常大的盒子开始，并连续用球填充它 - 将一个球粘在你找到足够大的开口的任何地方 - 那么球将至少占据盒子的 $latex frac{1}{2^d}$框，其中 d 是空间的维度。因此，在二维中，它们将至少填充 1/4 的空间，在三维中，它们将至少填充 1/8 的空间，依此类推。在相对较小的维度中，数学家通常知道特定的堆积比这个一般界限表现得更好。 （例如，开普勒的三维堆积填充了 74% 的空间 — 明显高于最小的 12.5%。）但是 $latex frac{1}{2^d}$ 基线很有用，因为它适用于所有维度。

“这是底线，”赵说。建立适用于任意维度的更好基线的进展缓慢。

1905 年，数学家赫尔曼·明可夫斯基 (Hermann Minkowski) 证明，在任意数量的维度上，都存在一个格子，通过在格子上的每个点放置一个球体，该格子可以容纳两倍于基线数量的球。

下一个重大改进出现在 1947 年，当时英国数学家克劳德·安布罗斯·罗杰斯 (Claude Ambrose Rogers) 提出了一个更好的格子。明可夫斯基对基线的改进是恒定因子，而罗杰斯的方案是对基线的“渐近”改进，这意味着随着维数的增加，打包效率的差异也会增加。在 50 个维度中，罗杰斯可以堆积的球体数量是基线的 50 倍左右，但在 1,000 个维度中，他的堆积效果大约好 1,000 倍。

在过去的 75 年里，一些结果在罗杰斯的包装上得到了恒定倍数的改进，但到目前为止，没有人能够找到另一种在所有维度上都有效的渐近改进。

连接点

坎波斯、詹森、米歇伦和萨哈斯拉布德在疫情爆发初期就开始合作，每天在 Zoom 上开会几个小时——尽管一开始并不是讨论这个问题。他们在去年秋天第一次见面之前共同撰写了三篇论文，当时詹森和米歇尔来到剑桥进行了为期一个月的访问。就在那时，他们将目光投向了球堆积问题。

“在那段时间我们开始并基本上完成了球堆积问题，”米歇伦说。 “这绝对是非常快的，在某些方面，这有点令人惊讶。”

数学家使用图来解决这个问题，图是由边（线）连接的顶点（点）的集合。图经常用于组合数学和概率论，这是作者的主要研究领域。几乎所有关于球体堆积密度的下限都来自对晶格结构的研究。但最近的论文使用图论来创建高度无序的堆积——这是一种非常不同的方法。

“当我们第一次开始谈论它时，它似乎有点令人生畏，”萨哈斯拉布德说。 “我们意识到我们可以将其建模为图表。然后我们开始更有宾至如归的感觉。”

为了创建包装，他们首先在空间中随机散布点。这些点最终将成为填料中球体的中心。然后，他们画一条线连接任意两个距离太近的点——以这两点为中心的球体会重叠。

他们想要从这张图中提取一个独立的集合，这是一个顶点的集合，其中没有两个顶点通过边连接，如下图红色所示。如果他们在一组独立的点上绘制球体，这些球就不会重叠。它们会形成球状堆积。

创建稀疏独立集很容易 - 只需从图中相距较远的区域获取一些顶点即可。但为了制造一个致密的球体堆积（包含尽可能多的球），他们需要一个非常大的独立组。他们的挑战是使用原始图中的大部分顶点提取一个独立的集合。

为此，他们使用了一种称为 Rödl nibble 的技术，其中迭代地删除（或“nibbles”）图表的各个部分。

“这是一种超级有影响力的技术，”萨哈斯拉布德说。 “这可以追溯到 80 年代，但在过去 10 到 15 年里，人们确实一直在努力研究它。”

他们首先遍历图中的每个顶点。每一次，他们（打个比方）都会抛一枚硬币，硬币的重量偏向反面。如果翻转的结果是反面，他们就什么也不做。如果正面朝上，他们就会删除该顶点并将其添加到新图中。

这个蚕食过程使用原始图表的相对较小的部分创建了一个独立的集合。但这个独立的集合还不够大。因此，他们重复了这个过程，从原始图中蚕食更多部分并将它们添加到新图中。最终，他们得到了一大堆独立的原始图，这正是他们想要的。

这一进展是证明的最后一个要素。凭借他们的大型独立集，他们在更高维度上创建了已知最密集的球体堆积，并首次对罗杰斯边界进行渐近改进。佐治亚理工学院的理论计算机科学家威尔·珀金斯 (Will Perkins) 表示：“这篇新论文让我感到惊讶的是，它是一个多么美好、简单的想法。”

虽然新结果是一个显着的改进，但这并不是最终的答案。没有人知道新的球体堆积与最佳球体堆积有多接近。

2010 年，物理学家 弗朗切斯科·赞波尼 和 乔治·帕里西 理论上，最好的“无定形”或无序球体堆积的密度将是最近突破的两倍。因此，数学家可能已经接近球体无序排列紧密程度的极限。但以规则模式堆积的球体可能会更加致密。

在秩序与混乱之间的长期斗争中，新的球体排列为无序赢得了一分。但数学家们仍然不确定有序还是无序会胜出。

“在这种情况下，我认为这是一个真正的谜，”帕金斯说。