数学家对“疯狂”穿越四个维度感到惊叹广达杂志

拓扑学研究的中心对象是称为流形的空间，当你放大它们时，它们看起来是平坦的。例如，球体的表面是一个二维流形。拓扑学家非常了解这种二维流形。他们还开发了一些工具，让他们能够理解三维流形以及五维或更多维的流形。

但在四个维度中，“一切都变得有点疯狂，”说 山姆休斯，牛津大学博士后研究员。工具停止工作；出现异国情调的行为。作为 汤姆·莫罗卡 麻省理工学院的解释说：“有足够的空间来产生有趣的现象，但又没有足够的空间让它们崩溃。”

1990 世纪 XNUMX 年代初，Mrowka 和 彼得·克朗海默 哈佛大学的研究人员正在研究如何将二维表面嵌入到四维流形中。他们开发了新技术来表征这些表面，使他们能够获得对四维流形的其他难以接近的结构的重要见解。他们的发现表明，一大类表面的成员都以相对简单的方式切开其父流形，而基本属性保持不变。但没有人能证明这总是正确的。

2月，与 丹尼尔鲁伯曼 休斯布兰迪斯大学 构造了一系列反例 ——“疯狂的”二维表面，以数学家认为不可能的方式剖析其母流形。反例表明，四维流形比数学家在前几十年意识到的更加多样化。 “这确实是一篇漂亮的论文，”姆罗卡说。 “我只是一直看着它。那里有很多好吃的小东西。”

制作清单

去年年底，鲁伯曼 帮助组织 该会议创建了低维拓扑中最重要的开放问题的新列表。在准备过程中，他查看了 1997 年以来未解决的重要拓扑问题的列表。其中包括 Kronheimer 根据他与 Mrowka 的工作提出的一个问题。 “它就在那里，我认为它有点被遗忘了，”鲁伯曼说。现在他想他可以回答这个问题了。

要理解这个问题，首先考虑两个关键思想是有帮助的：单连通流形和基本群。

简单连接的流形是没有任何孔穿过的空间。在一维中，无限长的线是简单连接的，但圆不是。在二维中，无限平面和球体表面是简单连接的，但甜甜圈的表面却不是。

数学家通过将循环放在流形上并考虑它们如何变形来严格区分。如果任何环都可以收缩到一点，那么流形就是简单连接的。例如，在平面或球体表面上，这是可能的——想象一下拉紧一根绳子。但如果那根绳子绕了一圈，它就不能收缩。类似地，在甜甜圈的表面上，围绕或穿过中心孔的环不能变形为单个点。甜甜圈本身会妨碍。

数学家通过计算“基本群”来对并非简单连接的空间进行分类，“基本群”的结构反映了循环如何收缩。简单连接的流形有一个只有一个元素的“平凡”基本群。但有洞的流形有更复杂的基本群。

单连通的四维流形仍然很奇怪。为了理解它们，数学家思考嵌入其中的二维表面会发生什么。

以此类推，想象一下将一圈绳子平放在一张纸上。你无能为力。但把它提升到三维空间，你就可以把它打成复杂的结。操纵弦（一维流形）的方式阐明了它所嵌入的空间的性质。

同样，在更复杂的四维世界中，二维表面“在许多方面都是整个业务的关键”，鲁伯曼说。 “曲面告诉你的关于四维流形的信息比你想象的要多得多。”曲面可让您区分流形：如果曲面可以存在于一个流形内，但不能位于另一个流形内，则您知道流形是不同的。曲面可用于从旧流形中构建新流形。

表面也有相应的基本基团。它们的补集也是如此——当你把表面拿走时，流形中剩下的部分。例如，从二维流形（例如球体或甜甜圈的表面）中移除赤道，就会得到两个不相连的半球。但如果你去掉一个垂直的环而不是水平的环，甜甜圈的表面仍然是一个整体。同样，根据如何从四维流形中切出曲面，您可以获得不同类型的补集。

早在 1990 世纪 XNUMX 年代，Mrowka 和 Kronheimer 研究了从四维流形中切除二维表面时会发生什么。如果流形本身是单连通的，那么曲面必须满足什么条件才能保证它们的补集也必须是单连通的？

克朗海默和姆罗卡知道某些类型的表面可能具有并非简单连接的互补面。但他们的工作似乎表明，另一类广泛的表面必须始终具有简单连接的补集。

近三十年来，没有人能找到该类曲面的补集不是简单连通的例子。但在 2023 年秋天，在遇到这个问题后，鲁伯曼认为他可以。他没有从四维流形开始并切出一个表面，而是从具有必要属性的二维表面开始，并围绕它构建了流形。

首先，他将表面肥厚成一个四维的斑点。这个四维的斑点有一个三维的边界，就像球这样的三维物体有一个二维的边界一样。鲁伯曼想要将一个精心选择的四维流形附加到边界的另一侧，这将作为曲面的补集。如果这个策略奏效，那么这个流形将有一个复杂的基本群，但所有事物加在一起的基本群将是微不足道的。因此，新构造的四维流形将是简单连接的。

但为了能够以正确的方式将所有内容粘合在一起，他必须证明新添加的基本群满足各种性质。 “我不知道该怎么做，”鲁伯曼说。

然后在一月份，群理论家休斯在布兰迪斯发表了演讲。鲁伯曼就在观众席中。他意识到休斯可能拥有他正在寻找的缺失部分。第二天，两人见面，几个小时内，他们就想出了所需的主要想法。休斯说，鲁伯曼所缺少的“是群理论学家已经计算了 70、80 年的东西”。 “我们一直都在这么做。”到周末时，他们已经完成了证明。

“我知道一些事情，他也知道一些事情，我们两个人都知道，我们知道的足够多了，”鲁伯曼说。

由于群论在证明中的使用方式，“这有点不寻常，”说 玛姬·米勒（Maggie Miller） 德克萨斯大学奥斯汀分校。 “它的写法与大多数四维拓扑学家所接受的有点不同。”

结果是四维拓扑变得多么复杂的又一个例子。 “表面嵌入比我们想象的更有趣，”休斯说。这使得对流形进行分类变得更加困难，并且更难以证明关于流形的其他类型的结果。

尽管如此，三月份， 伊南·拜库尔 马萨诸塞大学阿默斯特分校的教授去年与鲁伯曼一起组织了名单制定会议， 公布了解决方案 另一个涉及 1997 年列表中简单连通的四维流形的问题。

看来拓扑学家正在打扫房子。