介绍
2009 年,巴黎天文台的两位天文学家宣布了一项惊人的发现。 在建立了我们太阳系的详细计算模型后,他们运行 数以千计的数值模拟,将行星的运动投射到未来数十亿年。 在大多数模拟中——水星的起点在不到 1 米的范围内变化——一切都按预期进行。 行星继续围绕太阳旋转,描绘出椭圆形的轨道,这些轨道看起来或多或少与人类历史上的轨道相同。
但大约有 1% 的时间,事情发生了变化——毫不夸张地说。 水星轨道的形状发生了显着变化。 它的椭圆轨迹逐渐变平,直到行星坠入太阳或与金星相撞。 有时,当它在太空中开辟新路径时,它的行为也会破坏其他行星的稳定:例如,火星可能会被逐出太阳系,或者它可能会撞向地球。 金星和地球可以在缓慢的宇宙舞蹈中多次交换轨道,然后最终相撞。
也许太阳系并没有人们曾经想象的那么稳定。
几个世纪以来,自从艾萨克·牛顿 (Isaac Newton) 制定了他的运动定律和万有引力定律以来,数学家和天文学家就一直在努力解决这个问题。 在只考虑太阳施加的引力的最简单的太阳系模型中,行星像发条一样永远遵循它们的椭圆轨道。 “这是一幅令人欣慰的画面,”他说 理查德·默克尔,明尼苏达大学的数学家。 “它会永远持续下去,我们早就不在了,但木星仍会绕着它转。”
但是一旦你考虑到行星之间的引力,一切都会变得更加复杂。 你不能再明确地计算出行星在很长一段时间内的位置和速度,而必须提出关于它们可能如何表现的定性问题。 行星相互吸引的影响是否会累积并打破发条?
详细的数值模拟,如巴黎天文台发布的那些 雅克拉斯卡尔 和 迈克尔·加斯蒂诺 在 2009 年,表明事情发生失控的可能性很小但确实存在。 但是这些模拟虽然很重要,但与数学证明并不相同。 它们不可能完全精确,正如模拟本身所显示的那样,在数十亿年的模拟过程中,一个小的不精确可能会导致截然不同的结果。 此外,它们没有对某些事件可能发生的原因提供根本解释。 “你想了解是什么数学机制导致了不稳定性,并证明它们确实存在,”说 马塞尔·瓜尔迪亚,巴塞罗那大学的数学家。
介绍
现在,在 三篇论文 那一起 超过 150 页, Guàrdia 和两位合作者首次证明,围绕太阳运行的行星模型不可避免地会出现不稳定性。
“结果真的非常壮观,”说 加布里埃拉平扎里,意大利帕多瓦大学数学物理学家。 “作者证明了一个定理,这是人们可以证明的最美丽的定理之一。” 它还可以帮助解释为什么我们的太阳系看起来像现在这样。
四页和一个新故事
几个世纪以前,行星之间的相互作用可能会产生长期影响就已经很清楚了。 考虑水星。 沿着椭圆路径绕太阳运行大约需要三个月。 但这条路径也在缓慢旋转——每 600 年旋转 200,000 度,每 XNUMX 年旋转一整圈。 这种被称为岁差的自转主要是金星、地球和木星对水星的拉力造成的。
但 18 世纪数学巨人如皮埃尔-西蒙拉普拉斯和约瑟夫-路易斯拉格朗日的研究表明,撇开岁差不谈,椭圆的大小和形状是稳定的。 直到 19 世纪末,这种直觉才开始转变,当时亨利·庞加莱发现,即使在只有三个物体的模型中(比如,一颗恒星被两个行星环绕),也不可能计算出牛顿方程的精确解。 “天体力学是一个微妙的东西,”说 拉斐尔·德拉拉夫,佐治亚理工学院的数学家。 稍微改变初始条件——例如,将一颗行星的假定位置移动一米,就像拉斯卡和加斯蒂诺在他们的模拟中所做的那样——在很长一段时间内,系统看起来可能会非常不同。
在三体问题中,Poincaré 发现了一系列可能的行为非常复杂,以至于起初他以为自己犯了一个错误。 一旦他接受了结果的真实性,就再也不可能认为太阳系的稳定性是理所当然的了。 但由于使用牛顿方程非常困难,因此不清楚太阳系的行为是否可能仅在小范围内复杂和混乱——例如,行星可能最终处于可预测范围内的不同位置——或者如果,正如 Guàrdia 和他的合作者最终将在他们自己的模型中证明的那样,轨道的大小和形状可能会发生很大变化,以至于行星可能会相互碰撞或飞向无穷远。
然后,在 1964 年,数学家弗拉基米尔·阿诺德 (Vladimir Arnold) 写了一篇 四页纸 这为构建问题建立了正确的语言。 他找到了动力系统中的关键变量可能发生巨大变化的具体原因。 首先,他编造了一个人为的例子,一个钟摆和转子的奇怪组合,与你在自然界中遇到的任何东西都不相似。 在这个玩具模型中,他证明,如果有足够的时间,通常保持不变的某些量可能会发生很大变化。
阿诺德随后推测大多数动力系统都应该表现出这种不稳定性。 就太阳系而言,这可能意味着某些行星的轨道形状或偏心率可能会在数十亿年内发生变化。
但是,尽管数学家和物理学家最终在证明普遍存在不稳定性方面取得了很大进展,但他们仍在努力证明它适用于天体模型。 这是因为太阳的引力作用非常强大,以至于即使考虑到行星施加的额外力,发条行星模型的许多特征仍然存在。 (在这种情况下,牛顿力学给出了如此好的现实近似,以至于这些模型不需要考虑广义相对论的影响。)这种内在的稳定性使得不稳定性难以检测。
在拉普拉斯、拉格朗日和其他人所做的计算中保持如此稳定的参数真的会发生显着变化吗? “你必须应对极其微弱的不稳定性,”他说 洛朗·尼德曼 巴黎萨克莱大学。 通常的方法不会抓住它。
数值模拟提供了希望,即寻找这样的证据不会白费。 并且有初步的证据。 例如,2016 年,de la Llave 和两位同事 证明不稳定性 在一个由太阳、行星和彗星组成的简化天体力学模型中,假设彗星没有质量,因此对行星没有引力影响。 此设置称为“受限” n-身体问题。
新论文解决了一个真正的问题 n-body problem——表明在一个行星系统中会出现不稳定性,在这个系统中,三个小天体围绕着一个大得多的太阳旋转。 尽管轨道的大小和形状可能会长时间围绕固定值振荡,但它们最终会发生巨大变化。
这是预料之中的——人们普遍认为在这种模型中稳定性和不稳定性并存——但数学家是第一个证明这一点的人。
终极不稳定
和...一起 雅克·费约兹 巴黎多芬大学的 Guàrdia 于 2016 年首次尝试证明三体问题(一个太阳,两个行星)的不稳定性。尽管他们能够证明 混沌动力学出现 按照庞加莱的风格,他们无法证明这种混乱的行为对应于大而长期的变化。
安德鲁·克拉克,一名在 Guàrdia 手下学习的博士后,于 2020 年 XNUMX 月加入了他们,他们决定再解决这个问题,这次又增加了一颗行星。 在他们的模型中,三颗行星围绕太阳旋转,彼此之间的距离越来越大。 至关重要的是,最内层的行星开始以相对于第二和第三行星的显着倾斜轨道运行,因此它的路径实际上与它们的路径形成直角。
这种倾向使数学家能够找到导致不稳定的初始条件。
他们展示了导致第二颗行星几乎所有可能的偏心率的轨迹的存在:随着时间的推移,它的椭圆有可能变平,直到它看起来几乎像一条直线。 与此同时,第二颗和第三颗行星的轨道,从同一平面开始,最终也可能相互垂直。 第二颗行星甚至可以翻转整整 180 度,因此虽然所有行星最初可能都围绕太阳顺时针旋转,但第二颗行星最终逆时针旋转。 “想象一下,你向前看一百万年,而火星正朝着相反的方向前进,”说 理查德·蒙哥马利 加州大学圣克鲁斯分校。 “那会很奇怪。”
“即使在这种简单的环境中,你也无法避免非常狂野的轨道,”尼德曼说。
即便如此,轨道的大小仍然保持稳定。 这是因为在这个模型中,行星绕太阳运动的速度比它们的轨道进动所需的时间要快得多——这使得数学家可以掩盖与行星运动相关的“快速”变量。 “如果你真正感兴趣的是一千年来发生的事情,那么考虑每年发生的事情是乏味的,”Moeckel 说。 每个椭圆大小的振荡(根据其长半径或半长轴测量)平均。
这并不奇怪。 “常识表明倾角和偏心率应该比半长轴更不稳定,”Guàrdia 说。 但后来他和他的同事们意识到,如果他们将第三颗行星放置在离太阳更远的地方,他们可能会给他们的模型增加更多的不稳定性。
这个新系统和控制它的方程式更加复杂,数学家们不确定他们是否能够得到任何结果。 但“忽视太多了,”克拉克说。 “如果有机会显示半长轴可能漂移,那么我的意思是,你必须追求它。”
拉斯卡尔曾领导过许多关于太阳系不稳定性的数值研究,他说,如果你将这种太阳系叠加在我们自己的太阳系上,你可能会看到第一颗行星正对着太阳,第二颗行星是地球所在的位置。是,第三颗行星一直在奥尔特云,在我们太阳系的外围。 (因此,他补充说,这代表了一种“非常极端的情况”——他不一定希望在我们自己的银河系中找到这种情况。)
行星离太阳的距离越大,完成轨道运行所需的时间就越长。 在这种情况下,第三颗行星距离太远,两颗内行星的进动速度更快。 不再可能对最后一颗行星的运动进行平均——拉格朗日和拉普拉斯在他们对太阳系稳定性的描述中没有考虑到这种情况。 “这将彻底改变方程式的结构,”说 阿兰·陈西纳,也是巴黎天文台的数学家。 现在有更多变数需要担心。
Clarke、Fejoz 和 Guàrdia 证明了轨道可以增长到任意大。 “他们最终增加了轨道的大小,而不仅仅是形状或类似的东西,”Moeckel 说。 “这是最终的不稳定性。”
尽管这些变化积累得非常缓慢,但它们发生的速度仍然比人们预期的要快——这表明在一个现实的行星系统中,变化可能会积累数亿年,而不是数十亿年。
介绍
这些结果可能解释了为什么我们太阳系中的行星的轨道几乎都位于同一平面上。 它表明,像大倾角这样简单的事情在多个方面都可能成为大量不稳定的来源。 Chenciner 说:“如果你从相互倾向很大的情况开始,那么你会‘很快’地摧毁这个系统。” “它会在数百、数千个世纪前被摧毁。”
高维公路
这些证明需要巧妙结合几何、分析和动力学的技术——并回归基本定义。
数学家将他们的行星系统的每个配置(行星的位置和速度)表示为高维空间中的一个点。 他们的目标是通过空间显示“高速公路”的存在,这些高速公路对应于第二颗行星的偏心率或第三颗行星的半长轴的巨大变化。
为此,他们首先必须用坐标表示每个点,这些坐标非常深奥和复杂,几乎没有人听说过它们,更不用说尝试使用它们了。 (这些坐标是在 1980 年代初由比利时天文学家 André Deprit 发现的,后来被遗忘,后来由 Pinzari 在 2009 年撰写博士论文时独立发现。此后它们几乎没有被使用过。)
通过使用 Deprit 坐标来描述行星配置的高维空间,数学家对其结构有了更深入的了解。 “这就是证明之美的一部分:设法处理这个 18 维几何,”Fejoz 说。
Fejoz、Clarke 和 Guàrdia 发现了穿越该空间几个特殊区域的高速公路。 然后,他们利用新发现的几何理解来证明高速公路对应于行星轨道大小和形状的不稳定动力学。
“当我完成博士学位时。 30 年前,”尼德曼说,“我们与这些结果相去甚远。”
Chenciner 说:“这是一个如此复杂的系统,你会觉得任何没有明确禁止的事情都应该发生。” “但通常很难证明这一点。”
数学家现在希望使用 Clarke、Fejoz 和 Guàrdia 的技术来证明看起来更像我们太阳系的模型的不稳定性。 随着天文学家发现越来越多的系外行星围绕其他恒星运行,展示出广泛的配置,这些结果变得特别有意义。 “这就像一个开放的实验室,”说 玛丽安·纪迪亚,叶史瓦大学的数学家。 “在纸面上了解行星系统会发生哪些类型的演化,并将其与你能够观察到的进行比较——这非常令人兴奋。 它提供了很多关于我们宇宙物理学的信息,以及我们的数学能够通过相对简单的模型捕捉到多少信息。”
为了进行这样的比较,Fejoz 一直在与几位天文学家讨论如何识别与他和他的同事开发的模型相似,甚至有些相似的太阳系外系统。 包括 Gidea 在内的其他研究人员表示,这项工作可能有助于为人造卫星设计有效的轨道,或者有助于弄清楚如何通过粒子加速器高速移动粒子。 正如 Pinzari 所说,“天体力学的研究仍然非常活跃。”
最终目标是证明我们太阳系的不稳定性。 “我在半夜醒来想着它,”克拉克说。 “我会说那将是真正的梦想,但那将是一场噩梦,不是吗? 因为我们会被搞砸。”
更正: 2023 年 5 月 16 日
这篇文章经过修改以反映 Marcel Guàrdia 是巴塞罗那大学的教授。 他于 2022 年夏天从加泰罗尼亚理工大学转学。
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