新的证明解决了棘手的几何问题广达杂志

1917 年，日本数学家挂谷宗一 (Sōichi Kakeya) 提出了乍一看不过是一个有趣的几何练习。 将一根无限细、一英寸长的针放在平坦的表面上，然后旋转它，使其依次指向各个方向。 针可以扫过的最小面积是多少？

如果你简单地围绕它的中心旋转它，你就会得到一个圆圈。 但可以用创造性的方式来改变方向，这样你就可以开辟出更小的空间。 此后，数学家提出了这个问题的一个相关版本，称为挂谷猜想。 在尝试解决这个问题的过程中，他们发现了与调和分析、数论甚至物理学的惊人联系。

“不知何故，这种指向许多不同方向的线的几何形状在数学的很大一部分中无处不在，”说 乔纳森·希克曼 爱丁堡大学的。

但这也是数学家们仍未完全理解的事情。 在过去的几年里，他们证明了挂谷猜想的各种变体 在更简单的设置中，但在正常的三维空间中这个问题仍然没有解决。 有一段时间，该版本的猜想似乎所有进展都停滞了，尽管它有许多数学后果。

现在，可以说，两位数学家已经取得了重大进展。 他们的新证明 击倒一个主要障碍 这种情况已经存在了几十年——重新燃起了人们最终看到解决方案的希望。

什么是小交易？

挂谷对平面中每个方向都包含长度为 1 的线段的集合感兴趣。 这样的集合有很多例子，最简单的是直径为 1 的圆盘。挂谷想知道最小的这样的集合会是什么样子。

他提出了一个边稍微凹陷的三角形，称为三角肌，它的面积是圆盘的一半。 然而事实证明，我们还可以做得更好。

1919 年，就在挂谷提出问题几年后，俄罗斯数学家艾布拉姆·贝西科维奇表明，如果你以一种非常特殊的方式排列你的针，你可以构造一个看起来有刺的集合，它的面积是任意小的。 （由于第一次世界大战和俄国革命，他的结果在很多年内都没有传到数学界的其他地方。）

要了解其工作原理，请取一个三角形并将其沿其底部分成更薄的三角形块。 然后滑动这些碎片，使它们尽可能重叠，但突出的方向略有不同。 通过一遍又一遍地重复这个过程——将你的三角形细分成越来越薄的碎片，并小心地在空间中重新排列它们——你可以让你的集合尽可能小。 在无限极限中，您可以获得一个在数学上没有面积的集合，但矛盾的是，它仍然可以容纳指向任何方向的针。

“这有点令人惊讶和违反直觉，”说 张瑞祥 加州大学伯克利分校。 “这是一个非常病态的场景。”

这个结果可以推广到更高的维度：可以构造一个具有任意小体积的集合，其中包含指向每个方向的单位线段 n维空间。

贝西科维奇似乎彻底解决了挂谷的问题。 但几十年后，数学家开始研究这个问题的另一个版本，他们用不同的尺寸概念代替面积（或体积，在高维情况下）。

为了理解这个问题的重新构建，首先将挂屋集中的每个线段加粗一点——就好像你使用的是一根实际的针，而不是理想化的针。 在平面上，你的集合将由极薄的矩形组成； 在三维空间中，您将拥有一组极细的管子。

这些肥大的集合总是有一定的面积​​（或体积，但我们现在将坚持二维的情况）。 当你改变针的宽度时，这个区域也会改变。 1970世纪1年代，数学家罗伊·戴维斯（Roy Davies，上个月去世）表明，如果总面积发生微小变化，每根针的宽度必然会发生巨大变化。 例如，如果您希望 Besicovitch 的加厚版本的面积为 10/0.000045 平方英寸，则每根针的厚度需要约为 XNUMX 英寸： e ^{- 10} 准确地说，是一英寸。 但如果你想让总面积为 1/100 平方英寸——小 10 倍——针就必须是 e ^{- 100} 一英寸厚。 （在到达其他数字之前，小数点后面有 XNUMX 个零。）

“如果你告诉我你想要的面积有多小，那么我就必须要求一根细得令人难以置信的针，”说 查尔斯·费弗曼 普林斯顿大学。

数学家使用称为明可夫斯基维数的量来测量挂谷集的“大小”，该量与普通维数（定义为描述空间所需的独立方向的数量）相关，但并不完全相同。

这是考虑闵可夫斯基维度的一种方法：拿起你的装置，用小球覆盖它，每个小球的直径是你喜欢的单位的百万分之一。 如果您的集合是长度为 1 的线段，则至少需要 1 万个球才能覆盖它。 如果你的集合是面积为 1 的平方，那么你将需要更多很多：一百万平方，或一万亿平方。 对于体积为 1 的球体，大约为 1 万立方（五亿），依此类推。 闵可夫斯基维数就是该指数的值。 它测量随着每个球的直径变小，您需要覆盖一组球的数量增加的速度。 线段的维度为 1，正方形的维度为 2，立方体的维度为 3。

这些尺寸是熟悉的。 但使用 Minkowski 的定义，可以构造一个维度为 2.7 的集合。 虽然这样的集合并没有填满三维空间，但在某种意义上它比二维表面“更大”。

当您用给定直径的球覆盖一组球时，您将近似该组的增肥版本的体积。 该装置的体积随着针的尺寸减小得越慢，则需要覆盖它的球就越多。 因此，您可以重写戴维斯的结果（该结果指出平面上挂谷集的面积缓慢减小），以表明该集的明可夫斯基维数必须为 2。挂谷猜想将这一主张推广到更高的维度：挂谷集必须总是与其所在的空间具有相同的维度。

这个简单的陈述却出人意料地难以证明。

猜想之塔

直到费弗曼提出 一个惊人的发现 1971年，这个猜想被视为一种好奇。

当时他正在研究一个完全不同的问题。 他想了解傅里叶变换，这是一种强大的工具，可以让数学家通过将函数写成正弦波之和来研究函数。 想象一个音符，它由许多重叠的频率组成。 （这就是为什么钢琴上的中音 C 听起来与小提琴上的中音 C 不同。）傅里叶变换允许数学家计算特定音符的组成频率。 同样的原理也适用于像人类语音这样复杂的声音。

数学家还想知道，如果只给出无限多个组成频率中的一些，他们是否可以重建原始函数。 他们非常了解如何在一维上做到这一点。 但在更高的维度中，他们可以对使用哪些频率和忽略哪些频率做出不同的选择。 令他的同事惊讶的是，费弗曼证明，当依靠一种特别众所周知的选择频率的方式时，你可能无法重建你的功能。

他的证明取决于通过修改 Besicovitch 的 Kakeya 集构造一个函数。 这后来激发了数学家对傅立叶变换高维行为的猜想层次。 如今，该层次结构甚至包括有关物理学中重要偏微分方程（例如薛定谔方程）行为的猜想。 层次结构中的每一个猜想都会自动暗示其下面的猜想。

挂谷猜想就位于这座塔的底部。 如果为假，则层次结构中较高的语句也是如此。 另一方面，证明它是正确的并不会立即意味着位于其之上的猜想的真实性，但它可能提供攻击它们的工具和见解。

“挂谷猜想的奇妙之处在于，它不仅仅是一个有趣的问题；它也是一个有趣的问题。” 这是一个真正的理论瓶颈，”希克曼说。 “我们不理解偏微分方程和傅立叶分析中的很多现象，因为我们不理解这些挂谷集。”

孵化计划

费弗曼的证明——以及随后发现的与数论、组合学和其他领域的联系——重新激发了顶级数学家对挂谷问题的兴趣。

1995 年，Thomas Wolff 证明了 3D 空间中 Kakeya 集的 Minkowski 维数必须至少为 2.5。 事实证明，这个下限很难提高。 然后，在 1999 年，数学家 网队卡茨, 伊莎贝拉·沃巴 和 陶ence 成功击败了它。 他们的新界限：2.500000001。 尽管改进很小，但它克服了巨大的理论障碍。 他们的论文是 发表在 数学年鉴，该领域最负盛名的期刊。

卡茨和陶后来希望应用该工作中的一些想法以不同的方式攻击 3D Kakeya 猜想。 他们假设任何反例都必须具有三个特定的属性，并且这些属性的共存必然导致矛盾。 如果他们能证明这一点，那就意味着挂谷猜想在三维空间中是正确的。

他们无法一路走来，但确实取得了一些进展。 特别是，他们（与其他数学家一起）表明任何反例都必须具有这三个属性中的两个。 它必须是“平面的”，这意味着每当线段相交于一点时，这些线段也几乎位于同一平面上。 它还必须是“颗粒状的”，这要求附近交叉点的平面具有类似的方向。

这就剩下第三个财产了。 在“粘性”集合中，指向几乎相同方向的线段也必须在空间中彼此靠近。 卡茨和陶无法证明所有反例都必须具有粘性。 但直观上，粘性集似乎是强制线段之间大量重叠的最佳方式，从而使集尽可能小——这正是创建反例所需的。 如果有人能够证明粘性挂谷集的明可夫斯基维数小于 3，那么就会反驳 3D 挂谷猜想。 “听起来‘粘性’是最令人担忧的情况，”说 拉里·古斯（Larry Guth） 麻省理工学院。

这不再是一个担忧。

症结所在

2014 年——卡茨和陶试图证明挂谷猜想十多年后——陶 发布了他们的方法概要 在他的博客上，让其他数学家有机会亲自尝试。

2021年， 王红，纽约大学数学家，以及 约书亚·扎尔 不列颠哥伦比亚大学的教授决定继续陶和卡茨的工作。

他们首先假设存在一个明可夫斯基维数小于 3 的粘性反例。他们从之前的工作中知道，这样的反例必须是平坦且颗粒状的。 “所以我们正处在陶哲轩和篮网队卡茨所考虑的那种世界中，”扎尔说。 现在他们需要证明平面、粒状和粘性特性相互抵消并导致矛盾，这意味着这个反例实际上不可能存在。

然而，为了解决这个矛盾，王和扎尔将注意力转向了卡茨和陶没有预料到的方向——一个被称为投影理论的领域。

他们首先更详细地分析了粘性反例的结构。 如果考虑该集合的理想化版本，它有无数条指向每个方向的线段。 但在这个问题中，请记住，您正在处理这些线段的增肥版本——一堆针。 这些针中的每一个都可以包含许多理想化的线段，这意味着您可以使用有限数量的针对整个无限集进行编码。 根据针的粗细，你的增肥组看起来可能会非常不同。

如果套装是粘性的，那么无论针有多粗，它看起来或多或少都是一样的。

Wang 和 Zahl 利用这一特性表明，随着针变得越来越细，针组变得越来越扁平。 扎尔说，通过这个过程，他们可以“提取出一个更加病态的物体”——这似乎具有不可能的品质。

这就是他们接下来展示的。 他们证明，这个病态的物体必须以两种方式看待，这两种方式都会导致矛盾。 要么你能够将它投影到二维空间中，使其在许多方向上变得更小——王和她的同事们刚刚做到了这一点 被证明是不可能的。 或者，在第二种情况下，该组中的针将根据一种非常特定的功能进行组织，扎尔和他的合作者最近证明了这一点 不可能存在，因为这会导致其他类型的没有意义的预测。

王和扎尔现在有了矛盾——这意味着挂谷猜想不存在粘性反例。 （他们不仅证明了闵可夫斯基维数，还证明了一个称为豪斯多夫维数的相关量。）“结果排除了这一整类反例，”扎尔说——数学家认为最有可能反驳的集合的确切类型的猜想。

这项新工作“有力地支持了挂谷猜想的正确性”，他说 巴勃罗·施梅尔金 不列颠哥伦比亚大学的。 虽然它仅适用于三维情况，但它的一些技术可能在更高维度中有用。 在花了数年时间在其他数字系统的猜想上取得进展后，数学家们对回到问题的原始实数领域感到兴奋。

“他们彻底解决了这个案子，真是太了不起了，”张说。 “在现实环境中，这种情况极其罕见。” 如果有人能证明反例一定是粘性的，那么新的结果将暗示三个维度的完整猜想。 建立在其之上的猜想层次将保持安全，其基础稳定。

“不知何故，投影理论中的这两个不同的问题，从表面上看彼此没有太大关系，但却很好地结合在一起，准确地给出了 Kakeya 所需要的东西，”扎尔说。