棘手的数学平铺简史 | 广达杂志

我们每天都会看到重复主题的例子。 这种对称性和规律性看起来很平常，几乎是看不见的，就像建筑墙壁上的砖墙或蜂窝中的六边形图案一样。 或者，如果我们有幸遇到像西班牙阿罕布拉宫优雅的瓷砖作品或MC埃舍尔的创意绘画，这些图案可以给我们启发和惊叹。

几个世纪以来，数学家们一直在研究这些重复的形状，从中获取令人着迷的见解和新颖的可能性。 数学之美可与设计本身之美相媲美。

最简单的瓷砖是由相同的多边形组成，其边长相等，角度相等，全边与全边相连。 但是，尽管这些“规则”多边形有无数个——每个边数对应一个——但只有三种规则的平铺，由三条、四条或六条边的形状组成——即三角形、正方形和六边形。

其他形状并不是为此而设计的。 正五边形（有五个边）的内角为 108 度。 这并不是均匀地分为 360 度，因此任何将正五边形组装成平铺的尝试都必然会产生无法填充的间隙； 我们说正五边形不能平铺平面。 超过六条边的正多边形的内角太大，三个多边形无法在一个点相交，因此它们也不能。

约翰内斯·开普勒对正多边形平铺的另一种看法来自约翰内斯·开普勒，他如今因其关于行星运动的发现而闻名。 1619 年，他表明，即使使用多个正多边形，也只能创建八种新的平铺图案，其中每个顶点周围的配置都是相同的。 （如果允许我们偏离这个限制，就会有更多的可能性。）

当我们允许不规则多边形时，事情会变得更有趣。 令人惊讶的是，每个三角形都可以平铺平面，更令人惊讶的是，每个四边形也可以。

另一方面，不可能用任何六边以上的凸多边形来平铺平面； 内角之和太大了。 因此只剩下五边形和六边形作为剩余的可能性。

卡尔·莱因哈特 (Karl Reinhardt) 在 1918 年的博士论文中证明，可以用无限多个凸六边形（没有凹痕的六边形）来平铺平面，他将其分为三个系列。

平铺平面的凸五边形更难以分类。 莱因哈特发现了五类这样的五边形； 50 年后，理查德·克什纳 (Richard Kershner) 又发现了三个。 然后在 1975 年，马丁·加德纳 (Martin Gardner) 写了一篇关于这个问题的文章 “科学美国人”，引起了专业和业余数学家的注意。 其中一位业余爱好者，一位名叫理查德·詹姆斯三世的计算机程序员，向加德纳发送了第九个家庭的例子，并问道：“你是否同意克什纳错过了这个家庭？” 他有。

家庭主妇马乔里·赖斯（Marjorie Rice）也阅读了加德纳的专栏，并开始在厨房的餐桌上思考这个问题。 她修修补补了两年多，发现 还有四个家庭 平铺五边形。

研究人员于 14 年发现了第 1985 个平铺五边形家族，三十年后，另一个团队通过计算机搜索发现了第 15 个家族。 没有人知道这一发现是否完成了这份名单，或者是否还有更多家庭仍在躲藏。 这个问题在 2017 年得到了解答，当时 Michael Rao 证明 所有凸平铺五边形——以及所有凸平铺多边形——都已被发现。

所有这些瓷砖都会重复。 也就是说，它们具有周期性对称性，这基本上意味着如果我们在一张纸上追踪平铺并沿特定方向滑动该纸，它将再次与平铺完全对齐。

其他类型的对称性也是可能的。 例如，镜像对称意味着如果我们围绕一条固定线翻转描图纸，我们的图案就会对齐。 旋转对称意味着如果我们旋转纸张，它们就会对齐。 我们可以组合动作来获得滑动反射对称性，就像滑动纸张然后将其翻转一样。

1891 年，俄罗斯晶体学家 Evgraf Fedorov 证明，这些对称性只有 17 种组合方式。 由于这一限制适用于平面上的所有周期性装饰，因此它们被广泛称为 17 个“壁纸组”。

一旦人们熟悉了对称图案的这种分类，几乎不可能看到周期性设计，无论多么复杂，而不将其视为一个需要解码的谜题：它到底在哪里以及如何重复？ 那些对称性在哪里？

当然，并非每个瓷砖设计都是周期性的。 将瓷砖放置在平面上是可能的，而且通常很容易，这样最终的设计就不会重复。 在我们的六边形、正方形和三角形示例中，您只需将单个六边形及其周围的多边形旋转 30 度即可实现此目的。 由此产生的平铺不再具有平移对称性。

1961年，逻辑学家王浩猜想，如果一组形状平铺平面，那么这些形状一定能够周期性地平铺平面。 仅仅几年后，他的研究生 Robert Berger 发现了一组超过 20,000 块瓷砖铺满了平面，但只是非周期性地铺砌，从而证明了他的错误。 这种图块集称为非周期性的。

尽管伯杰和其他人能够显着减小这些非周期集合的大小，但在 1970 世纪 XNUMX 年代中期，罗杰·彭罗斯 (Roger Penrose) 通过发现他自己的非常小的非周期瓦片集合而引起了全世界的关注。 最小的组只需要两块瓷砖。

这些形状和图案让数学家、科学家和公众着迷。 但他们确实提出了一个明显的下一个问题：是否存在单一的非周期性瓦片？ 现在，瓷砖理论的最终目标是找到这样一种“爱因斯坦”瓷砖——它不是以物理学家的名字命名的，而是以德语短语“一块石头”命名的。

2010 年，约书亚·索科拉尔 (Joshua Socolar) 和琼·泰勒 (Joan Taylor) 非常接近发现爱因斯坦。 他们的方法的问题在于 他们的瓷砖必须被断开; 这就像用夏威夷州这样的形状平铺平面，一个由不同区域组成的单一实体，而不是像加利福尼亚州那样用相连的形状平铺。 越来越多的数学家怀疑，如果爱因斯坦确实存在，那么它一定是几何学上非常复杂的东西。

2023年XNUMX月，一位业余爱好者再次震惊世界。 一位名叫大卫·史密斯（David Smith）的退休印刷技术员和数学爱好者不仅发现了非周期性单瓦片，而且发现了 无限的家庭 这些难以捉摸的爱因斯坦。 他邀请了克雷格·卡普兰、柴姆·古德曼-斯特劳斯和约瑟夫·塞缪尔·迈尔斯——计算机科学、数学和平铺理论方面的专家——他们一起提出了一个几何上简单的爱因斯坦模型，称为帽子平铺（互联网认为它看起来像一件 T 恤） ）。

反应迅速而积极。 发现者在会议上发表讲话并在网上发表演讲。 数学艺术家抓住了这个机会，寻找创造性的方法，根据这些新的几何有趣的瓷砖来产生类似埃舍尔的设计。 帽子瓷砖甚至出现在一个深夜电视节目的独白中。

但仍有改进的空间。 要用帽子平铺平面，您必须将大约七分之一的瓷砖翻转过来。 想要用帽子瓷砖铺设浴室的房主必须购买两种类型的瓷砖：标准瓷砖及其镜像。 这真的有必要吗？

甚至在帽子瓷砖的兴奋平息之前，团队又发布了另一项声明。 史密斯在无限的非周期性单块家族中发现了一种他称之为“幽灵”的东西，它可以在不需要反射副本的情况下平铺平面。 真正的爱因斯坦终于出现了。

我们现在正处于对瓷砖和镶嵌的数学探索的复兴之中。 它依赖于业余爱好者的重要贡献，激发了数学艺术家的创造力，并利用计算机的力量推动知识的边界向前发展。 从中，我们对对称、几何和设计的本质有了新的见解。

更正： 2023 年 10 月 30 日
这篇文章的原始版本指出，不可能用任何六边以上的多边形来平铺平面。 仅当多边形是凸多边形时，这才是正确的。

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