椭圆曲线在新的数字系统中揭示它们的秘密广达杂志

研究数学中许多复杂的进步都是由理解一些最简单的数字问题的愿望推动的。 素数在整数中是如何分布的？ 是否存在完美的立方体（例如 8 = 2³ 或 27 = 3³）可以写成另外两个立方之和？ 更一般地说，数学家可能想要解方程。 但通过修改方程本身通常是不可能做到这一点的。 相反，数学家找到了将解决方案与极其抽象的结构联系起来的方法，这些结构的复杂性编码了它们的秘密。

在过去的几十年里，数学领域最令人兴奋的研究方向之一就是遵循这种形式。 它涉及理解某些称为椭圆曲线的多项式方程与称为模形式的更深奥的对象之间的关系，1994 年安德鲁·怀尔斯 (Andrew Wiles) 使用它们证明了费马大定理，这是 20 世纪最著名的成果之一，从而在数学中崭露头角。数学。

今年一月， 安娜·卡拉阿尼 伦敦帝国理工学院和波恩大学 詹姆斯牛顿 牛津大学的研究人员在这一领域开辟了新的研究方向 当他们证明 怀尔斯在椭圆曲线和模形式之间建立的关系也适用于一些称为虚二次域的数学对象。

怀尔斯证明，当定义曲线所涉及的两个变量和两个系数都是有理数（可以写成分数）时，某些类型的椭圆曲线是模块化的——这意味着每条曲线都有一个特定的模块化形式。 在他的工作之后，数学家们努力在更广泛的背景下建立模块化。 2001 年，四位数学家证明所有椭圆曲线在有理数上都是模的（而怀尔斯只证明了某些曲线）。 2013 年，三位数学家包括 萨米尔·西克塞克 华威大学的证明椭圆曲线也是模的 在实二次域上  （这意味着变量和系数取自称为实二次域的数字系统）。

随着进展的不断推进，一个特定的目标仍然遥不可及：证明椭圆曲线在虚二次域上是模的。

二次域是有理数和实数之间的数学垫脚石，其中包括所有可能的小数，甚至是那些在小数点右侧具有无限模式且从不重复的小数。 （这包括所有无理数，例如 $latex sqrt{2}$ 或 $latex pi $。）

二次域选择某个整数（例如 5），并包含 $latex a + bsqrt{5}$ 形式的所有数字，其中 a 和 b 都是有理数。 如果所讨论的整数是正数，则所得二次域是实数的子集，因此称为实二次域。

那么在虚二次域（通过取负数的平方根形成的二次域）上定义的椭圆曲线呢？

这就是卡拉阿尼和牛顿要解决的问题。

数百年前，数学家以简单的方式定义了负数的平方根：他们给出了一个名字， i，到−1的平方根。 那么任何其他负数的平方根就是 i 乘以相应正数的平方根。 所以$latex sqrt{-5}=isqrt{5}$。 虚数在数学中起着至关重要的作用，因为对于许多问题来说，虚数比实数更容易处理。

但证明椭圆曲线在虚二次域上的模性长期以来仍然遥不可及，因为证明实二次域上的模性的技术不起作用。

卡莱阿尼和牛顿通过弄清楚如何将怀尔斯和其他人首创的证明模块化性的过程应用于假想二次域上的椭圆曲线，实现了模块化——对于所有假想二次域上大约一半的椭圆曲线。

“这就是卡拉阿尼和牛顿的出色工作发挥作用的地方。他们改进了怀尔斯的第二步，”说 钱德拉谢卡·卡雷 加州大学洛杉矶分校。

这项工作本身就是一项技术成就，它为在想象中的数学中一些最重要的问题上取得进展打开了大门。

媒人媒人

至少从古希腊人开始，数学家就一直关心多项式方程（变量的常数幂组合）的解。 这些方程有无穷无尽的变化，是通过调整变量的数量、这些变量的系数以及它们的幂来实现的。 $latex 3x^5+x^4−9x^3−4x^2+x−7=0$ 只是一个例子。

椭圆曲线是多项式方程，具有数学探究的最佳硬度。 有一个整齐的（并广泛传授) 求一个变量的二次多项式的解的公式，其中最高幂为 2，但对于最高幂为 5 或以上的多项式，没有这样的解的公式。 添加更多变量通常也会使事情变得更加复杂。 但椭圆曲线有两个变量，最高幂为 3，如 $latex (y^2=x^3+1)$，具有足够的挑战性来激发发明，但又不会太难而让人感到绝望。

关于椭圆曲线的基本问题之一是是否存在有限或无限多个有理数对来求解它。 有些椭圆曲线有有限多个有理解，有些有无限多个，有些则根本没有。

“他们有这种有趣的中间行为，”卡拉阿尼说。

如果您收到一条随机椭圆曲线，则无法立即看出它属于哪个类别。 但可以通过将其与称为模块化形式的匹配对象配对来解码它，其属性揭示了答案。

给我一个模块化表格

模形式是分析中研究的函数，是微积分的高级形式。 他们是 非常对称 通常可以平移（向左或向右移动）而不会丢失其外观。 通过这种方式，它们与其他高度对称函数（例如正弦函数）具有共同的特征，尽管它们不太容易写下来或可视化。

每个模块化形式都带有系数。 你可以把它们写下来，产生一系列数字。 这些数字具有非常好的特性，而且看起来远不是随机的。 从 20 世纪初开始，它们就让数学家们感到困惑，当时数学天才斯里尼瓦桑·拉马努金 (Srinivasan Ramanujan) 开始意识到模形式的系数模式可以通过以下事实来解释：每个模形式都附加到第二种称为伽罗瓦表示的对象。 后来的工作证实了这种联系。

椭圆曲线也有伽罗瓦表示，在拉马努金的工作之后，伽罗瓦表示似乎可以在椭圆曲线和模形式之间插值：从一个开始，识别其伽罗瓦表示，找到另一个。

“你会想：椭圆曲线、几何对象有伽罗瓦表示，模形式有伽罗瓦表示——有匹配吗？” 西克塞克说道。

1950世纪1年代末，谷山丰和志村五郎提出，某些模形式与椭圆曲线之间存在完美的一对一匹配。 在接下来的十年里，罗伯特·朗兰兹（Robert Langlands）在他的建筑中建立了这个想法 广泛的朗兰兹计划，它已成为数学领域影响最深远、影响最深远的研究项目之一。

如果一对一对应关系成立，它将为数学家提供一套强大的工具来理解椭圆曲线的解。 例如，有一种与每个模块形式相关联的数值。 数学最重要的开放问题之一（证明它带有 百万美元奖金）——Birch 和 Swinnerton-Dyer 猜想——提出，如果该值为零，则与该模形式相关的椭圆曲线有无限多个有理解，如果它不为零，则椭圆曲线有有限多个有理解。

但在解决类似问题之前，数学家需要知道对应关系成立：给我一条椭圆曲线，我可以给你它匹配的模形式。 从怀尔斯到卡莱阿尼和牛顿，许多数学家在过去几十年里一直在努力证明这一点。

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在怀尔斯的工作之前，数学家已经成功地证明了对应关系的一个方向：在某些情况下，他们可以从模形式开始并找到其匹配的椭圆曲线。 但朝另一个方向前进——这就是数学家谈论椭圆曲线模块化时的意思——更困难，怀尔斯是第一个实现这一目标的人。

“早期人们知道如何在某些情况下从模块化形式转变为椭圆形，但怀尔斯推动了这种从椭圆形到模块化的向后方向，”哈尔说。

怀尔斯证明了某些系数为有理数的椭圆曲线的模块化。 这本身就足以通过矛盾证明费马大定理。 （怀尔斯证明，如果费马大定理是错误的，则意味着先前工作所建立的椭圆曲线的存在不存在。因此，费马大定理必须是正确的。）

当数学家扩展怀尔斯在椭圆曲线上的工作时，他们遵循了他用来证明其最初结果的相同方法。

在成功地将结果推广到有理数和有理二次域之后，明显的下一个扩展是虚数二次域。

“只有两件事可能发生：这个场要么是真实的，要么是想象的，”卡拉阿尼说。 “真实的案例已经了解了，自然就去想象的案例了。”

虚数二次域与有理数和实数具有相同的基本算术性质，但怀尔斯的方法几乎不能那么容易地移植到那里。有很多原因，但特别是，虚二次域上的模形式比有理数和实数域上的模形式对称性要差得多。这种相对缺乏对称性使得定义它们的伽罗瓦表示变得更加困难，而伽罗瓦表示是与椭圆曲线建立匹配的关键。

在怀尔斯证明费马之后的许多年里，“虚二次场的情况仍然超出了可能的范围，”卡雷说。 但在过去的十年里，一系列的进步为卡拉阿尼和牛顿的工作铺平了道路。

给我一个戒指（或者更好的是，一个领域）

怀尔斯方法的第一步是在椭圆曲线和模形式之间建立近似匹配。 两者通过伽罗瓦表示法连接，伽罗瓦表示法被编码为一系列源自配对双方的唯一数字。

最终，您想要证明定义伽罗瓦表示的数字完全匹配，但在第一步中，足以证明它们之间存在一些一致的误差幅度。 例如，如果您可以添加或减去 3 的倍数以从每个数字得到其对应的数字，则可以证明一系列数字是匹配的。 从这个角度来看，(4, 7, 2) 与 (1, 4, 5) 或 (7, 10, 8) 匹配，但与 (2, 8, 3) 不匹配。 如果它们相差 5、11 或任何质数的倍数，您也可以说它们匹配（出于技术但重要的原因，误差幅度必须始终为质数）。 2019年 纸 by 帕特里克·艾伦、卡雷和 杰克·索恩 为问题提供了这种立足点。

“他们证明了定理，为你提供了起点，”牛顿说。

大约在 2019 年论文发表的同时，由 10 名数学家组成的小组正在努力将怀尔斯方法的其他步骤应用于虚二次域。 这项合作是在高级研究所度过的一周内开始的，合作者包括 2019 年论文的合著者艾伦和索恩，以及卡拉阿尼和牛顿。

该小组的第一个目标是确定来自模形式的伽罗瓦表示具有某种内部一致性。 这个属性——这是将它们与来自椭圆曲线的伽罗瓦表示相匹配的先决条件——被称为 局部-全局兼容性.

10人协作 设法做到了这一点 在某些特殊情况下，但不是大多数。 随着合作的结束，Caraiani 和 Newton 决定继续合作，看看是否可以做得更多。

“我们同时在伦敦，我们很高兴互相谈论那个 10 位作者项目中出现的事情，”Caraiani 说。 “我们知道症结所在，进一步发展的障碍是什么。”

一夜又一夜的黑暗中 

在他们开始独立工作后不久，卡拉亚尼和牛顿就制定了一项策略，超越他们与更大的团队一起开始的工作。 这看起来并没有明显的错误，但他们也不知道这是否真的有效。

“我们一开始就抱有乐观的想法，认为事情会成功，我们可以证明一些比这篇 10 位作者的论文更强的东西，最终我们做到了，”牛顿说。

Caraiani 和 Newton 针对这个想法研究了两年，到 2021 年底，他们的乐观态度得到了回报：他们改进了由 10 位作者组成的团队得出的本地-全局兼容性结果。 他们在长达 100 多页的期末论文的前半部分中描述了如何实现这一点。

“我们知道，一旦我们掌握了这个技术部分，模块化就会发挥作用，”Caraiani 说。

怀尔斯方法的第一步是建立一种近似模块化。 第二步是局部-全局兼容性结果。 第三步是利用他们的知识，即至少有少量曲线是模块化的，并利用它来证明许多曲线是模块化的。 由于所谓的模块化提升定理，这一举措是可能的。

“它允许你传播模块化，”牛顿说。 “如果你知道某事物的模块化，那么这种提升可以让你挽救许多其他事物的模块化。 你可以用某种很好的方式传播这种模块化特性。”

无与伦比的比赛

应用提升定理使卡拉阿尼和牛顿能够证明无限多个椭圆曲线的模性，但仍然存在一些他们无法得到的极端情况。 这些是少数具有独特性质的椭圆曲线族，使得它们无法使用提升定理。

但由于它们的数量太少，Caraiani 和牛顿可以手动攻击它们——逐一计算它们的伽罗瓦表示，以尝试建立匹配。

“在那里，我们在一些曲线上计算很多很多点，这很有趣，”Caraiani 说。

从某种程度上来说，这一努力是成功的。 Caraiani 和牛顿最终成功地证明了所有椭圆曲线在大约一半的虚二次域上都是模的，包括那些通过将有理数与−1、−2、−3 或−5 的平方根相结合而形成的域。 对于其他虚二次域，他们能够证明许多（但不是全部）椭圆曲线的模性。 （抵制者的模块化仍然是一个悬而未决的问题。）

他们的结果为研究数学家在有理数和实数上追求的虚二次域上的椭圆曲线的一些相同基本问题提供了基础。 这包括费马大定理的虚数版本（尽管在此之前需要奠定额外的基础）以及伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想的虚数版本。

但如果数学家在这两个领域取得进展，卡拉阿尼就不会参与其中——至少目前不会。 经过多年对椭圆曲线模块化的研究，她准备尝试其他东西。

“如果我在一个方向上取得了成果，我并不总是喜欢继续只朝那个方向努力，”她说。 “所以现在我把兴趣转向了更具几何风格的东西。”

更正： 2023 年 7 月 6 日
这篇文章本来是说最高指数为4或以上的多项式方程的解没有通式。 正确的数字是 5。文章已更正。