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几何学中最古老、最简单的问题之一让数学家措手不及——而且这不是第一次了。
自古以来，艺术家和几何学家就想知道形状如何在没有间隙或重叠的情况下平铺整个平面。 然而，“直到最近才知道很多，”说 亚历克斯约瑟维奇，罗切斯特大学的数学家。
最明显的瓷砖重复：用正方形、三角形或六边形的副本覆盖地板很容易。 在 1960 年代，数学家发现了一组奇怪的瓷砖，它们可以完全覆盖平面，但只能以永不重复的方式覆盖。
“你想了解这种瓷砖的结构，”说 雷切尔格林菲尔德，新泽西州普林斯顿高等研究院的数学家。 “他们能有多疯狂？”
事实证明，这很疯狂。
第一个这样的非重复或非周期性图案依赖于一组 20,426 个不同的瓷砖。 数学家想知道他们是否可以降低这个数字。 到 1970 世纪 XNUMX 年代中期，罗杰·彭罗斯（Roger Penrose 获得2020年诺贝尔物理学奖 用于研究黑洞）证明了一组简单的只有两块瓷砖，被称为“风筝”和“飞镖”就足够了。
想出不重复的模式并不难。 可以调整许多重复或周期性的平铺以形成非重复的平铺。 比方说，考虑一个无限的正方形网格，像棋盘一样对齐。 如果您移动每一行，使其与其上方的行偏移不同的量，您将永远无法找到可以像图章一样剪切和粘贴以重新创建完整平铺的区域。
真正的诀窍是找到可以覆盖整个平面的瓷砖组——比如彭罗斯的——但只能以不重复的方式覆盖。
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Penrose 的两块瓷砖提出了一个问题：可能有一块形状巧妙的瓷砖符合要求吗？
令人惊讶的是，答案是肯定的——如果允许移动、旋转和反射瓷砖，如果瓷砖断开连接，意味着它有缝隙。 这些间隙由其他适当旋转、适当反射的图块副本填充，最终覆盖整个二维平面。 但是如果不允许旋转这个形状，就不可能把平面平铺的时候不留缝隙。
事实上， 几年前, 数学家 悉达多·巴塔查里亚 事实证明——无论你想出的图块设计多么复杂或微妙——如果你只能使用单个图块的移位或平移，那么就不可能设计出一个可以非周期性地覆盖整个平面的图块，但不定期。
数学家推测 Bhattacharya 的二维结果也适用于高维空间。 正如不存在非周期性二维瓦片一样，他们假设不存在合适的三维块（或更复杂的瓦片），等等在任意大的维度上。
这个假设被称为周期性平铺猜想。
在一个 上个月发布的预印本, 格林菲尔德，连同 陶ence 加利福尼亚大学洛杉矶分校的科学家最终解决了这个猜想——但不是以数学家预期的方式。 他们构建了一个可以非周期性填充高维空间但不能周期性填充的瓷砖，从而推翻了这个猜想。
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“那是一个惊喜。 我希望这个猜想在所有方面都是正确的，”说 米哈利斯·科伦扎基斯，克里特大学的数学家。 “但我想在足够高的维度上，直觉不会走得太远。”
奇怪的瓷砖不仅因为突破了几何上可能和不可能的界限而值得注意。 它还与几何以外的问题密切相关——包括关于逻辑本身极限的问题。
枢轴
2019 年，格林菲尔德以博士后研究员的身份来到加州大学洛杉矶分校，她和陶——两人都独立研究了另一个与平移拼接相关的问题——将目光投向了证明周期拼接猜想。
由于这个猜想在一维和二维中已经为人所知，他们试图在三个维度上证明它：证明如果你可以移动一个形状的副本来平铺整个三维空间，那么一定有一种方法可以定期平铺空间。
他们取得了一些进展，使用不同的技术在二维中重新证明了这个猜想——他们希望这些技术适用于三维情况。 但后来他们碰壁了。 “在某些时候，我们感到沮丧并说，'好吧，也许我们无法在更高维度上证明这个猜想是有原因的。 我们应该开始寻找反例，'”陶说。
他们梳理了其他非周期性结构的文献，从第一个开始：20,000 年出版的 1964 多块瓷砖的集合，可以通过翻译覆盖平面，但只是非周期性的。 然后，他们开始着手开发构建单个非周期性瓷砖的新技术。
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他们从改变环境开始。 假设您想平铺二维空间。 不要试图平铺一个连续的平面，考虑一个二维格子，一个排列在网格中的无限点阵列。 您现在可以将图块定义为该网格上的一组有限点； 如果你有一个合适的平铺，那么你可以通过复制有限的点集并将它们四处滑动来恰好覆盖格子中的每个点一次。
证明高维格子的“离散”周期性拼接猜想与证明该猜想的连续版本略有不同，因为拼接在格子中是可能的，但在连续空间中是不可能的。 但它们是相关的。 Greenfeld 和 Tao 计划提出一个离散的反例来证明他们随后可以修改以在连续情况下也适用的猜想。
在2021的夏天， 他们接近了，在一个非常高维的空间中找到两个瓦片。 瓷砖可以填充它们所在的空间，但只是不定期的。 “这还不够，”格林菲尔德说。 “二非常接近，但两块瓷砖比一块瓷砖更不牢固。” 他们还需要一年半的时间才能为周期性平铺猜想组装一个真正的反例。
瓷砖三明治
他们从创建一种新语言开始，将他们的问题重写为一种特殊的方程式。 这个方程式中的未知“变量”——他们需要解决的问题——代表了平铺高维空间的所有可能方式。 “但很难用一个方程式来描述事物，”陶说。 “有时你需要多个方程来描述一个非常复杂的空间集合。”
因此，格林菲尔德和陶重新构建了他们试图解决的问题。 他们意识到，他们可以改为设计一个方程组，其中每个方程都会对其解编码不同的约束。 这让他们可以将问题分解为一个关于许多不同瓷砖的问题——在本例中，所有瓷砖都使用同一组翻译覆盖给定空间。
例如，在二维空间中，您可以通过向上、向下、向左或向右滑动一个正方形来平铺平面，一次一个单位。 但是其他形状也可以使用完全相同的一组偏移来平铺平面：例如，一个正方形的右边缘添加了一个凸起，左边缘被移除，就像拼图块一样。
如果你拿一个正方形、一块拼图和其他使用同一组移位的图块，然后将它们像三明治中的冷切肉一样堆叠在一起，你可以构建一个使用单组平移覆盖三维的图块空间。 Greenfeld 和 Tao 需要在更多维度上做到这一点。
“因为无论如何我们都是在高维度上工作，所以增加一个维度并没有真正伤害到我们，”Tao 说。 相反，它为他们提供了获得良好解决方案所需的额外灵活性。
数学家们试图扭转这种三明治构建过程，将他们的单方程、高维平铺问题重写为一系列较低维度的平铺方程。 这些方程式后来决定了高维瓷砖结构的样子。
Greenfeld 和 Tao 将他们的方程式系统视为一个计算机程序：每一行代码或方程式都是一个命令，这些命令组合起来可以生成一个实现特定目标的程序。 “逻辑电路是由非常基本的对象组成的，这些与门和或门等等，每一个都不是很有趣，”陶说。 “但你可以将它们堆叠在一起，你可以制作一个可以绘制正弦波或在互联网上通信的电路。”
“所以我们开始将我们的问题视为一种编程问题，”他继续说道。 他们的每个命令都是他们最终平铺需要满足的不同属性，因此整个程序将保证符合所有标准的任何平铺必须是非周期性的。
那么，问题就变成了他们需要在所有这些平铺方程中编码什么样的属性才能实现这一点。 例如，三明治的一层中的一块瓷砖的形状可能只允许某些类型的运动。 数学家们必须仔细地建立他们的约束列表——这样它就不会严格到排除任何解决方案，而是限制到足以排除所有周期性解决方案。
“这里的游戏是构建正确的约束级别，”格林菲尔德说，“以编码正确的谜题。”
无限数独
Greenfeld 和 Tao 希望用他们的平铺方程来解决的难题是一个具有无限行数和大量但有限列数的网格。 数学家们试图用特定的数字序列填充每一行和对角线，这些数字序列对应于他们可以用平铺方程描述的约束类型：他们将其比作一个巨大的数独谜题。 然后两人发现了非周期性的序列——这意味着相关的平铺方程组的解也是非周期性的。 “这个难题基本上只有一种解决方案，而且这件有趣的事情几乎是周期性的，但并不完全是周期性的，”陶说。 “那花了很多时间才找到。”
“这种事情，你研究的函数几乎是周期性的，但不是完全周期性的，这在数学中已经存在了，”说 伊莎贝拉·沃巴，不列颠哥伦比亚大学数学家。 “但这是使用这种结构的一种非常不同的方式。”
正如 Iosevich 所说，格林菲尔德和陶“创造了一个完全基本的对象，并将其提升到一个看起来更复杂的情况。”
在这样做的过程中，他们构建了一个高维非周期性瓷砖——首先是在离散环境中，然后是在连续环境中。 他们的瓷砖非常复杂，充满曲折和孔洞，几乎不能铺满空间。 “这是一块讨厌的瓷砖，”陶说。 “我们并没有试图让这块瓷砖变得漂亮。” 他和格林菲尔德没有计算它所处空间的维度； 他们只知道它很大，可能和 $latex2^{{100}^{100}}$ 一样大（或者，大致是 3 后面跟着 199 个零）。 “我们的证明是建设性的，所以一切都是明确的和可计算的，”格林菲尔德说。 “但因为它远非最佳，我们只是没有检查它。”
事实上，数学家们认为他们可以在更低的维度中找到非周期性的瓦片。 这是因为他们建造的一些更技术性的部分涉及在概念上“非常接近二维”的特殊空间中工作，格林菲尔德说。 她认为他们不会找到 4D 瓷砖，但她说 XNUMXD 瓷砖存在是可行的。
因此，Iosevich 说，他们不仅反驳了周期性平铺猜想：“他们以最丢人的方式做到了这一点。”
进军不完整
这项工作标志着一种构建非周期性拼贴的新方法——Greenfeld 和 Tao 现在认为这种方法可以用来反驳其他与拼贴相关的猜想。 反过来，这可能会让数学家在可能出现复杂性的边界上更进一步。 “似乎确实存在一种新兴的原则，即高维几何只是令人讨厌，”陶说。 “病态可能会出现，我们从两个和三个维度获得的直觉可能会产生误导。”
这项工作不仅涉及人类直觉的边界问题，还涉及数学推理的边界问题。 在 1930 年代，数学家库尔特·哥德尔表明，任何足以发展基本算术的逻辑系统都是不完整的：有些陈述可以 既没有证明也没有反驳 在那个系统内。 事实证明，数学充满了“不可判定”的陈述。
同样，它也充满了计算上不可判定的问题——任何算法都无法在有限时间内解决的问题。 数学家在 1960 年代发现关于平铺的问题也可能是不可判定的。 也就是说，对于某些形状集，您可以证明不可能在有限时间内弄清楚它们是否平铺给定空间。 （原则上，这样做的唯一方法是考虑所有可能的方法将瓷砖彼此相邻放置，直到时间结束。）
“这是一个非常简单的问题，但仍然超出了数学的范围，”说 理查德·凯尼恩，耶鲁大学数学家。 “这不是某个数学理论无法确定或不完整的情况的第一个例子，但它确实是最接地气的例子。”
去年，Greenfeld 和 Tao 发现关于成对的高维瓷砖的一般性陈述是不可判定的：他们证明，没有人能够弄清楚某些成对的瓷砖是否可以完全覆盖它们所居住的空间（无论是周期性的或不定期）。
关于单个图块的陈述也可以是不可判定的吗？ 自 1960 年代以来人们就知道，如果周期性拼贴猜想是正确的，那么始终可以确定任何给定的拼贴是否可以覆盖平面。
但反之则不一定成立。 仅仅因为存在非周期性图块，并不意味着存在不可判定的图块。
这就是 Greenfeld 和 Tao 接下来想要弄清楚的，使用他们为最近的结果开发的一些技术。 “我们认为，我们创造的语言应该能够创造一个无法判定的谜题，这是非常合理的，”Tao 说。 “所以可能有一些瓷砖我们永远无法证明它是瓷砖空间还是不瓷砖空间。”
为了证明一个陈述是不可判定的，数学家通常证明它等价于另一个已知不可判定的问题。 因此，如果这个拼贴问题也被证明是不可判定的，它可以作为证明其他上下文中不可判定性的另一种工具——这些上下文远远超出了如何拼贴空间的问题。
不过与此同时，Greenfeld 和 Tao 的结果可以作为某种警告。 “数学家喜欢漂亮、干净的陈述，”Iosevich 说。 “但是不要相信你听到的一切。 ……不幸的是，并不是所有有趣的数学陈述都需要漂亮，并且它们需要按照我们希望的方式计算出来。”
