介绍
想象一下,蜂窝状的六边形网格在您面前伸展。有些六边形是空的;其他的则由 6 英尺高的实心混凝土柱填充。结果是一个迷宫。半个多世纪以来,数学家们一直对这种随机生成的迷宫提出问题。最大的已清理路径网有多大?存在从网格的一个边缘到中心并再次返回的路径的可能性有多大?随着网格尺寸的增大,边缘添加越来越多的六边形,这些机会会如何变化?
如果有大量空白空间或大量混凝土,这些问题很容易回答。假设每个六边形都被随机分配其状态,独立于所有其他六边形,并且整个网格的概率是恒定的。比如说,每个六边形有 1% 的机会是空的。混凝土挤满了网格,中间只留下一小部分空气,使得找到通往边缘的路径的机会实际上为零。另一方面,如果每个六边形有 99% 的可能性是空的,那么只有少量的混凝土墙,点缀着大片的开放空间——不太像迷宫。在这种情况下,找到一条从中心到边缘的路径几乎是肯定的。
对于大网格,当概率达到 1/2 时,会出现非常突然的变化。正如冰在零摄氏度时融化成液态水一样,迷宫的特征在这个转变点(称为临界概率)发生巨大变化。低于临界概率,大部分网格将位于混凝土下方,而空路径总是会进入死胡同。超过临界概率时,大片土地将被闲置,而混凝土墙肯定会逐渐消失。如果你恰好停在临界概率处,具体和空虚将相互平衡,两者都无法主宰迷宫。
“在关键点,出现的是更高程度的对称性,”说 迈克尔·艾森曼,普林斯顿大学数学物理学家。 “这打开了通向庞大数学体系的大门。”它还具有实际应用范围,从防毒面具的设计到分析传染病如何传播或石油如何渗入岩石。
在一个 去年秋天发表的论文,四名研究人员最终计算出了在临界概率为 1/2 时找到迷宫路径的机会。
军备竞赛
作为2000年代中期在法国的博士生, 皮埃尔·诺林 详细研究了临界概率场景。他认为,随机迷宫是“一个非常漂亮的模型,也许是你能发明的最简单的模型之一。”诺林于 2008 年完成博士研究,接近尾声时,他对一个特别具有挑战性的问题着迷,这个问题是六边形网格在临界概率下的表现。假设您围绕中心点构建一个网格,使其近似于一个圆,然后从那里随机构建迷宫。诺林想要探索是否有机会找到一条从边缘到达中心并返回的开放路径,而无需自行返回。数学家称之为单色双臂路径,因为向内和向外的“臂”都位于开放路径上。 (有时,此类网格等同地被认为由两种不同的颜色组成,例如浅蓝色和深蓝色,而不是开放和封闭的单元格。)如果增加迷宫的大小,所需路径的长度也会增加,找到这样一条路径的机会就会越来越小。但是,当迷宫变得任意大时,几率会以多快的速度减少呢?
几十年前就回答了更简单的相关问题。从 1979 年开始计算 马塞尔·登·奈斯 估计你能找到从边缘到中心的一条路径或手臂的机会。 (将此与诺林的要求进行对比,即有一只手臂在里面,另一只手臂在外面。)Den Nijs 的工作预测,在六角形网格中找到一只手臂的机会与 $latex 1/n^{5/48}$ 成正比, 在哪里 n 是从中心到边缘的图块数量,或网格的半径。 2002年, 格雷戈里·劳勒, 奥德·施拉姆 和 温德林维尔纳 最后 证明 证明单臂预测是正确的。为了简洁地量化随着网格尺寸增大而递减的概率,研究人员使用分母的指数 5/48,即所谓的单臂指数。
诺林想要计算更难以捉摸的单色双臂指数。 1999年的数值模拟 显示它非常接近 0.3568,但数学家未能确定其确切值。
计算所谓的多色双臂指数要容易得多,它描述了从中心开始,您不仅可以找到一条通向周边的“开放”路径,而且还可以找到一条单独的“闭合”路径的机会。 (将封闭路径想象为穿过迷宫混凝土墙顶部的一条路径。)2001 年,斯坦尼斯拉夫·斯米尔诺夫 (Stanislav Smirnov) 和沃纳 (Werner) 证明 这个指数是 1/4。 (由于 1/4 远大于 5/48,因此 $latex 1/n^{1/4}$ 比 $latex 1/n^{5/48}$ 收缩得更快,如下所示 n 成长。因此,正如人们所预料的那样,多色双臂结构的机会比单臂的机会低得多。)
该计算在很大程度上依赖于有关图中簇形状的知识。想象一下,临界概率下的迷宫非常大——由数以百万计的六边形组成。现在找到一簇空六边形,并用粗黑色记号笔描出簇的边缘。这可能不会产生简单的圆形斑点。从数英里的空中,你会看到一条不断向后折返的蠕动曲线,通常看起来好像即将穿过自己,但从未完全承诺。
这是一种称为 SLE 曲线的曲线,由 Schramm 在 2000纸 重新定义了该领域。一位研究找到一条开放路径和一条封闭路径的机会的数学家知道,这些路径必须位于更大的开放和封闭位置簇内,这些簇最终沿着 SLE 曲线相交。然后,SLE 曲线的数学特性转化为有关迷宫内路径的宝贵信息。但如果数学家正在寻找同一类型的多条路径,SLE 曲线就会失去大部分有效性。
到 2007 年,诺林和他的合作者文森特·贝法拉 (Vincent Beffara) 创建的数值模拟显示单色双臂指数约为 0.35。这令人怀疑地接近 17/48——单臂指数 5/48 和多色双臂指数 1/4(或 12/48)的总和。 “17/48 真的很引人注目,”诺林说。他开始怀疑 17/48 是真正的答案——这意味着不同类型的指数之间存在简单的联系。你可以把它们加在一起。 “我们说,好吧,这太好了,不可能是假的;这一定是真的。”
介绍
有一段时间,诺林和贝法拉的猜想没有任何结果,尽管诺林将其发布在他的网站上供其他人使用。他于2017年移居香港,在香港城市大学担任教授,并继续研究这个问题。 2018 年,他在与 魏谦,当时是英国剑桥大学的博士后。钱正在连续而不是离散的背景下研究随机几何,特别关注 SLE 曲线。她正在进行一个使用 SLE 计算不同类型随机模型中的指数的项目,诺林开始怀疑她的专业知识也与单色双臂指数相关。两人很快就找到了一个看似简单的方程,其解可以给出指数,但该方程依赖于一个与网格边缘 SLE 曲线所包围的空间有关的中间量。诺林和钱无法确定这个数字。
“我做了很多计算,但我仍然无法计算出这个属性,”钱说。 “我没有成功,所以我就停了下来。”
“我们从未向任何人提及过它,因为我们不确定它是否有用,”诺林补充道。
骨干指数
单色双臂指数特别有趣,因为它还描述了网格的“骨干”:六边形的集合,连接到两个不同的臂,延伸到两个不重叠的臂:一个到迷宫的边缘,一个到迷宫的边缘。它的中心。当这些站点被着色时,它们会形成一个覆盖整个网格的网络,称为主干网。当研究人员模拟疾病或多孔岩层的传播时,支柱是微生物或石油可以流动的高速公路。诺林和钱寻求的指数揭示了主干的大小,被称为主干指数。
骨干之后的不只是诺林和钱。 孙鑫当时在宾夕法尼亚大学的他也一直在尝试计算骨干指数。在过去的几年里,Sun 和包括纽约大学的 Nina Holden 在内的合作者找到了一种使用随机分形表面来研究 SLE 曲线的方法。这些蔓延的弯曲表面具有延伸成长卷须的扇形边缘。有些地点距离邻近地点只有很短的路程,而另一些地点则需要长达数月的旅程。在某些地方,这些影响太过极端,无法想象。霍尔顿说,“实际上不可能完全准确地绘制它”。 “你必须把表面拉伸很多。”
2022年夏天,孙征招来研究生二年级庄子杰加入临界概率随机迷宫的研究。他们考虑了随机迷宫,其中六边形位于随机分形表面上,而不是平面上。由于机会决定了表面拉伸和压缩的位置和程度,因此表面具有独特的属性。 (这些特性也使得这些表面对于研究二维宇宙中量子引力模型的物理学家很有用,并给它们起了个名字:刘维尔量子引力表面。)例如,如果你用剪刀剪到这样一个表面,两半并不相互依赖。 “这种独立性确实极大地简化了事情,”说 斯科特·谢菲尔德 麻省理工学院的。当事情是随机的时,你对它们的了解就会减少,但这可能意味着需要繁琐解释的信息也会减少。
孙和庄首先尝试确定存在一条开放路径将网格中心周围的小圆连接到更大的周围圆的概率。在他们回答了这个问题后,孙提出了更进一步的目标:计算有两条路径连接嵌套圆的可能性,这将为他们提供一种计算骨干指数的方法。然而很快,他们就遇到了困难。 “我们尝试了这种方法几个月,但计算似乎不太容易,”庄在一封电子邮件中写道。
介绍
与此同时,诺林和钱虽然没有成功地找到指数的值,但他们在其他方面取得了进展。钱女士辞去法国国家科学研究中心的职务,加入诺林,担任香港城市大学教授。 (他们也结婚了。)2021 年夏天,她看到了孙和他的合作者的几篇论文,引起了她的兴趣,因此随着大流行病旅行限制的解除,她计划在 2022 年 XNUMX 月访问普林斯顿高等研究院新泽西州,Sun 在那里度过了这一年。
事实证明这是一次有益的访问。当钱描述她和诺林发现的方程时,孙开始认为它可能适合他和庄在刘维尔量子引力表面上覆盖迷宫的技术。 “这有点巧合,”孙说。 “一个人有一把锁,一个人有一把钥匙。”
庄有些疑惑。 “我们没有预测,我们甚至不知道这个公式是否会有一个好的解决方案,”他在描述当时的情况时说道。孙和庄在接下来的几个月里使用他们的刘维尔量子引力技术(关键)来解开几年前诺林和钱的方程中难以捉摸的量——锁。
经过四个月的工作,孙和庄打开了隐喻的锁。孙向庄、钱和诺林发送了一封电子邮件,宣布:“好消息:骨干指数的精确公式。”他发现,答案是一个中等复杂的平方根和三角正弦函数的表达式。这与之前的估计相符,是从 0.3566668 开始的一连串数字。
四人将他们的工作变成了一篇书面论文,不断完善论证,直到一方诺林和钱,另一方孙和庄的想法结合起来,创造了一个证明,孙的博士生导师谢菲尔德称之为“一个美丽的”。宝石。” “证明策略绝对令人惊讶且非常原创,但当你看到它时,它也会感觉有点自然,”霍尔顿说。
诺林对 2011 年他对指数恰好是 17/48 的怀疑感到遗憾。 “我们误导了这个领域相当长一段时间。我对此并不感到非常自豪。”主干指数与它的多色表兄弟有显着的不同。它不仅是非理性的,而且是超越的,这意味着像 $latex pi$ 和 e,它不能写成简单多项式方程的解。
“证据并没有真正解释这个公式的来源,”他说。 “我们一直在向物理学家展示它,我们真的很期待他们的见解。”
主干指数的超越性引起了该领域其他人的注意。陈·扎克伯格生物中心 (Chan Zuckerberg Biohub) 的格雷戈里·胡贝尔 (Gregory Huber) 是 后续文章 关于骨干指数,他说他认为这个结果是统计力学中“第一次看到新大陆”。他写道,尽管将 SLE 曲线和刘维尔量子引力相结合是非常技术性的,但所得出的清晰而简单的数值答案“令人惊讶地简单而优雅”。
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