一个古老的猜想落空，使球体变得更加复杂广达杂志

六月初，当数学家们降落在伦敦希思罗机场时，人们议论纷纷。 他们的目的地是牛津大学和 会议 为了纪念 65 岁生日 迈克尔霍普金斯哈佛大学数学家，曾担任许多与会者的导师。

霍普金斯在 1980 世纪 XNUMX 年代末因对七个猜想的研究而闻名 道格·拉芙内尔 罗切斯特大学十年前就制定了这一计划。 它们与确定两个看似不同的形状或空间何时实际上相同的技术有关。 霍普金斯和他的合作者证明了拉芙内尔的所有猜想，除了一个，这个问题有一个富有启发性但神秘的名字，称为望远镜猜想。

当时，霍普金斯停止了对拉芙内尔猜想的研究。 几十年后，望远镜猜想似乎几乎不可能解决。

“你无法触及这样的定理，”霍普金斯说。

但当数学家们抵达伦敦时，有传言称这是由四位与麻省理工学院有联系的数学家组成的小组完成的，其中三人在研究生院时得到了霍普金斯的建议。 四人中最小的一位是研究生，名叫 伊山·利维，原定于周二（会议第二天）发表演讲，这似乎是可能宣布证据的时候。

“我听说这件事即将发生，但我不知道到底会发生什么，”说 维斯娜·斯托亚诺斯卡出席会议的伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校数学家。

很快就证实了谣言的真实性。 从周二开始，在接下来的三天里，利维和他的合著者—— 罗伯特·伯克伦德, 杰里米·哈恩 和 托默·施兰克 — 向大约 200 名数学家解释了他们如何证明望远镜猜想是错误的，使其成为拉芙内尔最初的猜想中唯一一个不正确的猜想。

望远镜猜想的反驳具有广泛的含义，但最简单和最深刻的含义之一是：这意味着在非常高的维度（想象一个 100 维的球体）中，不同形状的宇宙比数学家们预料到了。

绘制地图

为了对形状或拓扑空间进行分类，数学家区分重要的差异和不重要的差异。 同伦理论是做出这些区分的一个视角。 它认为球和鸡蛋本质上是相同的拓扑空间，因为你可以将其中一个弯曲或拉伸到另一个中，而不会撕裂任何一个。 同样，同伦理论认为球和内管是根本不同的，因为你必须在球上撕开一个洞才能将其变形为内管。

同伦对于拓扑空间分类非常有用——创建所有可能形状的图表。 这对于理解数学家关心的其他事情也很重要：空间之间的映射。 如果有两个拓扑空间，探测它们属性的一种方法是寻找将一个空间上的点转换或映射到另一个空间上的点的函数 - 输入空间 A 上的点，获取空间 B 上的点作为输出，然后对 A 上的所有点执行此操作。

要了解这些地图的工作原理以及它们为何阐明所涉及空间的属性，请从圆圈开始。 现在将其映射到二维球体上，即球的表面。 有无数种方法可以做到这一点。 例如，如果您将球体想象为地球表面，则可以将圆放置在任意纬度线上。 从同伦论的角度来看，它们都是等价的，或者说同伦的，因为它们都可以缩小到北极或南极的一点。

接下来，将圆映射到内管（单孔圆环）的二维表面上。 同样，有无数种方法可以做到这一点，而且大多数都是同伦的。 但不是全部。 您可以在圆环周围水平或垂直放置一个圆，但两者都不能平滑地变形为另一个。 这是将圆映射到圆环上的两种（多种）方法，而将其映射到球体上只有一种方法，反映了两个空间之间的根本区别：圆环有一个孔，而球体没有。

我们很容易计算出从圆映射到二维球体或圆环的方式。 它们是熟悉的空间，很容易想象。 但当涉及高维空间时，计算地图就困难得多。

尺寸差异

如果两个球体具有相同的维度，则它们之间总是有无限多个贴图。 如果您映射的空间比您映射到的空间维度更低（如我们将一维圆映射到二维球体的示例），则始终只有一张贴图。

部分出于这个原因，当您映射的空间的维度高于您映射到的空间的维度时（例如将七维球体映射到三维球体时），计算地图是最有趣的。 在这种情况下，地图的数量总是有限的。

哈恩说：“当源尺寸较大时，球体之间的地图通常会更有趣。”

此外，地图的数量仅取决于维度数的差异（一旦维度与差异相比足够大）。 也就是说，从 73 维球体到 53 维球体的映射数量与从 225 维球体到 205 维球体的映射数量相同，因为在这两种情况下，维度差异为20.

数学家想知道任何维度不同的空间之间的映射数量。 他们已经成功地计算出几乎所有尺寸差异最大为 100 的地图数量：当差异为 24 时，球体之间有 20 个地图，当差异为 3,144,960 时，球体之间有 23 个地图。

但计算任何大于 100 的差异的地图数量都会耗尽现代计算能力。 与此同时，数学家还没有在地图数量中发现足够的模式来进一步推断。 他们的目标是填写一张表格，指定任何尺寸差异的地图数量，但这个目标感觉非常遥远。

76 岁的拉弗内尔说：“我不希望在我的孙辈有生之年能彻底解决这个问题。”

望远镜猜想对地图数量如何随着维度差异的增加而增长进行了预测。 实际上，它预测该数字将缓慢增长。 如果这是真的，那么填写该表的问题就会变得容易一些。

怀疑变成难以置信

望远镜猜想以一种不可思议的方式得名。

这是因为在非常高的维度中，在较低维度中形成的几何直觉常常会崩溃，并且很难计算球体之间的地图。 但在提出他的猜想时，拉芙内尔明白你不必这样做。 您可以对球体和称为望远镜的物体之间的地图进行更简单的代理计数，而不是计算球体之间的地图。

望远镜涉及一系列封闭的高维曲线的副本，每一条都是前一条曲线的缩小版本。 这一系列曲线类似于实际可折叠望远镜的联锁管。 “当你描述这个望远镜时，它听起来很奇怪，但它实际上是一个比球体本身更容易处理的物体，”拉弗内尔说。

但是，球体仍然可以通过多种不同的方式映射到望远镜上，而挑战在于知道这些地图何时真正不同。

要确定两个空间是否同伦，需要进行称为不变量的数学测试，这是基于空间属性的计算。 如果计算为每个空间产生不同的值，那么从同伦的角度来看，您就知道它们是唯一的。

不变量有很多种，有些可以感知其他不变量看不到的差异。 望远镜猜想预测一个名为 Morava 的不变量 E-理论（及其对称性）可以完美区分球体和望远镜之间的所有地图直至同伦 - 也就是说，如果 Morava E-理论说地图是不同的，它们是不同的，如果它说它们是相同的，那么它们就是相同的。

但到了 1989 年，罗芙奥开始怀疑这是真的。 他的怀疑源于他进行的计算，该计算似乎与猜想不一致。 但直到当年 XNUMX 月，当他在伯克利时，一场大地震袭击了湾区，这些疑虑才变成了彻底的难以置信。

“我在地震发生后一两天内就得出了这个结论，所以我喜欢认为发生了一些让我认为这不是真的的事情，”拉弗内尔说。

反驳望远镜猜想需要找到一个更强大的不变量，可以看到摩拉瓦的东西 E——理论上不能。 几十年来，似乎没有这样的不变量可用，这使得这个猜想完全遥不可及。 但近年来的进展改变了这一点——伯克伦德、哈恩、利维和施兰克充分利用了这一点。

爆炸性的异域风情

他们的证明依赖于一组称为代数的工具 K-理论，由亚历山大·格洛腾迪克 (Alexander Grothendieck) 在 1950 世纪 XNUMX 年代创立，并在过去十年中迅速发展。 它在数学领域有着广泛的应用，包括在几何领域，它能够增强不变量。

四位作者使用代数 K-作为小工具的理论：他们输入摩拉瓦 E-理论，他们的输出是一个新的不变量，他们称之为代数 K-摩拉瓦不动点理论 E-理论。 然后，他们将这个新的不变量应用于从球体到望远镜的地图，并证明它可以看到摩拉瓦的地图 E——理论上不能。

这不仅仅是这个新的不变量看到了更多的地图。 它看到更多，甚至无限多。 还有更多，可以公平地说是摩拉瓦 E-当谈到识别从球体到望远镜的地图时，理论仅仅触及表面。

从球体到望远镜的无限多的地图意味着球体本身之间的无限多的地图。 对于任何维度的差异，此类地图的数量都是有限的，但新的证据表明，数量会快速且无情地增长。

如此多的地图指向了一个令人不安的几何现实：有如此多的球体。

1956 年，约翰·米尔诺 (John Milnor) 发现了第一个所谓“奇异”球体的例子。 这些空间从同伦的角度可以变形为实际的球体，但在某种精确意义上又不同于球体。 奇异球体在一维、二维或三维中根本不存在，也没有人在七维（米尔诺第一次发现它们的维度）以下发现过它们的例子。 但随着维度的增长，奇异球体的数量呈爆炸式增长。 16,256 维有 15 个，523,264 维有 19 个。

然而，尽管这些数字如此之大，望远镜猜想的反驳意味着还有更多、更多。 反驳意味着球体之间的地图比拉芙内尔提出猜想时预期的要多，而获得更多地图的唯一方法就是拥有更多种类的球体之间进行映射。

数学和科学的进步有不同类型。 一种是给混乱带来秩序。 但另一种说法则通过消除不真实的充满希望的假设而加剧了混乱。 望远镜猜想的反证就是如此。 它加深了几何学的复杂性，并增加了在任何人完全理解球体之间的地图之前许多代孙辈来来去去的可能性。

“这个主题的每一项重大进展似乎都告诉我们答案比我们之前想象的要复杂得多，”拉弗内尔说。