介绍
几个世纪以来，数学家一直试图理解和模拟流体的运动。 描述涟漪如何使池塘表面起皱的方程式也有助于研究人员预测天气、设计更好的飞机以及描述血液如何流经循环系统。 当用正确的数学语言编写时，这些方程式看似简单。 然而，它们的解决方案非常复杂，即使是关于它们的基本问题也很难理解。
莱昂哈德·欧拉 (Leonhard Euler) 在 250 多年前制定的这些方程式中，也许最古老、最著名的方程式描述了一种理想的、不可压缩的流体的流动：一种没有粘性或内摩擦的流体，无法被迫缩小体积。 “几乎所有的非线性流体方程都是从欧拉方程推导出来的，”说 塔雷克·埃尔金迪，杜克大学数学家。 “他们是第一批，你可以说。”
然而，关于欧拉方程还有很多未知之处——包括它们是否始终是理想流体流动的准确模型。 流体动力学的核心问题之一是弄清楚方程是否失败，输出无意义的值，使它们无法预测流体的未来状态。
长期以来，数学家一直怀疑存在导致方程式崩溃的初始条件。 但他们无法证明这一点。
In 预印本 上个月在线发布，一对数学家表明，欧拉方程的特定版本有时确实会失败。 这个证明标志着一个重大突破——虽然它没有完全解决方程的更一般版本的问题，但它提供了这样一个解决方案最终触手可及的希望。 “这是一个惊人的结果，”说 特里斯坦·巴克马斯特，马里兰大学的数学家，没有参与这项工作。 “文献中没有此类结果。”
只有一个问题。
长达 177 页的证明——长达十年的研究计划的结果——大量使用了计算机。 这可以说使其他数学家难以验证它。 （事实上 ，他们仍在这样做，尽管许多专家认为新工作将被证明是正确的。）这也迫使他们考虑关于“证明”是什么以及它将是什么的哲学问题这意味着如果解决这些重要问题的唯一可行方法是在计算机的帮助下。
目击野兽
原则上，如果您知道流体中每个粒子的位置和速度，欧拉方程应该能够预测流体在所有时间的演化方式。 但数学家想知道事实是否如此。 也许在某些情况下，方程式会按预期进行，在任何给定时刻产生流体状态的精确值，只是其中一个值突然飙升至无穷大。 在这一点上，据说欧拉方程会产生“奇点”——或者更戏剧性地“爆炸”。
一旦达到奇点，方程式将无法再计算流体的流量。 但是“就在几年前，人们能够做的事情与[证明爆炸]相去甚远，”说 查理费弗曼，普林斯顿大学数学家。
如果您尝试对具有粘性的流体建模（几乎所有现实世界的流体都是如此），它会变得更加复杂。 克莱数学研究所将颁发百万美元的千禧年奖，等待任何能够证明纳维-斯托克斯方程是否会出现类似故障的人，纳维-斯托克斯方程是欧拉方程的一种推广，用于解释粘性。
2013年， 托马斯·侯，加州理工学院的数学家，和 郭洛，现在在香港恒生大学，提出了欧拉方程将导致奇点的场景。 他们对圆柱体中的流体进行了计算机模拟，圆柱体的上半部分顺时针旋转，而下半部分逆时针旋转。 当他们运行模拟时，更复杂的电流开始上下移动。 反过来，这导致沿相反流动相遇的圆柱体边界出现奇怪的行为。 流体的涡度——一种旋转的量度——增长得如此之快，以至于它似乎随时会爆炸。
侯和罗的工作具有启发性，但不是真正的证据。 那是因为计算机不可能计算出无穷大的值。 它可以非常接近奇点，但实际上无法到达奇点——这意味着解可能非常准确，但它仍然是一个近似值。 如果没有数学证明的支持，涡量的值可能只会因为模拟的某些伪像而增加到无穷大。 在再次消退之前，解决方案可能会增长到巨大的数量。
这种逆转以前发生过：模拟表明方程中的一个值爆炸了，只有更复杂的计算方法才能显示出其他情况。 “这些问题非常微妙，以至于道路上到处都是以前模拟的残骸，”费弗曼说。 事实上，侯在这个领域就是这样开始的：他早期的几个结果反驳了假想奇点的形成。
尽管如此，当他和罗公布他们的解决方案时，大多数数学家认为这很可能是一个真正的奇点。 “非常细致，非常精确，”他说 弗拉基米尔·斯韦拉克，明尼苏达大学的数学家。 “他们真的竭尽全力证明这是一个真实的场景。” Elgindi、Sverak 等人的后续工作 只是坚定了那个信念.
但是一个证据是难以捉摸的。 “你已经看到了野兽，”费弗曼说。 “那你试着抓住它。” 这意味着侯和罗精心模拟的近似解，在特定的数学意义上，非常非常接近方程的精确解。
现在，在第一次目击之后九年，侯和他以前的研究生 陈家杰 终于成功地证明了附近奇点的存在。
向自相似土地的转移
Hou，后来 Chen 加入，利用了这样一个事实，即经过更仔细的分析，2013 年的近似解似乎有一个特殊的结构。 随着方程式随着时间的推移而演变，解显示出所谓的自相似模式：它后来的形状看起来很像它之前的形状，只是以特定的方式重新缩放。
因此，数学家们无需尝试研究奇点本身。 相反，他们可以通过关注更早的时间点来间接研究它。 通过以正确的速度放大解决方案的那部分——根据解决方案的自相似结构确定——他们可以模拟以后会发生什么，包括在奇点本身。
他们花了几年时间才找到与 2013 年爆炸场景的自相似类比。 （今年早些时候，包括 Buckmaster 在内的另一组数学家使用不同的方法来 找到相似的近似解. 他们目前正在使用该解决方案来开发奇点形成的独立证据。）
有了一个近似的自相似解，Hou 和 Chen 需要证明附近存在一个精确解。 在数学上，这等同于证明他们的近似自相似解是稳定的——即使你稍微扰动它然后从这些扰动值开始演化方程，也没有办法逃脱周围的一个小邻域近似解。 “这就像一个黑洞，”侯说。 “如果你从附近的个人资料开始，你就会被吸进去。”
但制定总体战略只是迈向解决方案的第一步。 “挑剔的细节很重要，”费弗曼说。 随着侯和陈在接下来的几年里研究这些细节，他们发现他们不得不再次依赖计算机——但这次是以一种全新的方式。
混合方法
他们面临的第一个挑战是弄清楚他们必须证明的确切陈述。 他们想表明，如果他们采用接近近似解的任何一组值并将其代入方程式，输出将不会偏离太远。 但是输入“接近”近似解意味着什么？ 他们必须在数学陈述中对此进行具体说明——但在这种情况下，有很多方法可以定义距离的概念。 为了使他们的证明有效，他们需要选择正确的证明。
“它必须测量不同的物理效应，”说 拉斐尔·德拉拉夫，佐治亚理工学院的数学家。 “所以需要根据对问题的深刻理解来选择它。”
一旦他们找到了描述“接近度”的正确方法，Hou 和 Chen 就必须证明这个陈述，这归结为一个复杂的不等式，涉及重新缩放的方程和近似解中的项。 数学家必须确保所有这些项的值平衡到非常小的值：如果一个值最终变大，则其他值必须为负或保持在可控范围内。
“如果你做的东西太大或太小，整个东西就会崩溃，”说 哈维尔·戈麦斯-塞拉诺，布朗大学的数学家。 “所以这是非常、非常小心、精细的工作。”
“这是一场非常激烈的战斗，”埃尔金迪补充道。
为了在所有这些不同的条件下获得他们需要的严格界限，侯和陈将不平等分为两个主要部分。 他们可以手工处理第一部分，所采用的技术可以追溯到 18 世纪，当时法国数学家加斯帕德·蒙日 (Gaspard Monge) 寻求一种最佳的运输土壤的方式来为拿破仑的军队建造防御工事。 Fefferman 说：“以前有人做过这样的事情，但我发现 [Hou 和 Chen] 将它用于此，这让我很吃惊。”
这就剩下了不平等的第二部分。 解决它需要计算机的帮助。 对于初学者来说，需要进行如此多的计算，并且需要如此高的精度，以至于“你必须用铅笔和纸做的工作量将是惊人的，”de la Llave 说。 为了平衡各种项，数学家必须执行一系列优化问题，这些问题对计算机来说相对容易，但对人类来说却非常耗时。 一些值还取决于近似解的数量； 由于这是使用计算机计算的，因此使用计算机执行这些额外计算更为直接。
Gómez-Serrano 说：“如果你尝试手动进行其中一些估算，你可能会在某个时候高估，然后你就输了。” “数字又小又紧……而且利润非常薄。”
但是由于计算机无法操纵无限多的数字，所以不可避免地会出现微小的错误。 Hou 和 Chen 必须仔细追踪这些错误，以确保它们不会干扰其余的平衡操作。
最终，他们找到了所有项的界限，完成了证明：方程确实产生了一个奇点。
电脑打样
更复杂的方程——不存在圆柱边界的欧拉方程和纳维-斯托克斯方程——是否能产生奇点，这仍然是一个悬而未决的问题。 “但[这项工作]至少给了我希望，”侯说。 “我看到了一条前进的道路，一种甚至可能最终解决整个千年问题的方法。”
与此同时，Buckmaster 和 Gómez-Serrano 正在研究他们自己的计算机辅助证明——他们希望这个证明更通用，因此不仅能够解决 Hou 和 Chen 解决的问题，还能解决许多其他问题。
这些努力标志着流体动力学领域日益增长的趋势：使用计算机解决重要问题。
“在许多不同的数学领域，它发生得越来越频繁，”说 苏珊弗里德兰德，南加州大学数学家。
但在流体力学中，计算机辅助证明仍然是一种相对较新的技术。 事实上，当谈到关于奇点形成的陈述时，侯和陈的证明是同类中的第一个：以前的计算机辅助证明只能解决该地区的玩具问题。
这样的证据与其说是“品味问题”，不如说是有争议的 彼得康斯坦丁 普林斯顿大学。 数学家普遍认为证明必须使其他数学家相信某些推理是正确的。 但是，许多人认为，它还应该提高他们对特定陈述为何为真的理解，而不是简单地提供其正确性的验证。 “我们是从根本上学到了新东西，还是只知道问题的答案？” 埃尔金迪说。 “如果你将数学视为一门艺术，那么这在美学上就不那么令人愉悦了。”
“电脑可以提供帮助。 太棒了。 它给了我洞察力。 但这并没有让我完全理解，”康斯坦丁补充道。 “理解来自我们。”
就埃尔金迪而言，他仍然希望完全手工计算出另一种爆破证明。 “总的来说，我很高兴它的存在，”他谈到侯和陈的工作时说。 “但我认为它更多的是一种动力，试图以一种不太依赖计算机的方式来做这件事。”
其他数学家将计算机视为一种重要的新工具，可以解决以前难以解决的问题。 “现在的工作不再只是纸笔，”陈说。 “你可以选择使用更强大的东西。”
根据他和其他人（包括 Elgindi，尽管他个人更喜欢手写证明）的说法，解决流体动力学中的大问题（即涉及越来越复杂的方程式的问题）的唯一方法很可能是依赖大量依赖计算机辅助。 “在我看来，如果在不大量使用计算机辅助证明的情况下尝试这样做，就像将一只或两只手绑在背后一样，”费弗曼说。
如果情况确实如此，并且“你别无选择，”埃尔金迪说，“那么人们……比如我，会说这是次优的，应该保持沉默。” 这也意味着更多的数学家需要开始学习编写计算机辅助证明所需的技能——侯和陈的工作有望激发这一点。 “我认为有很多人只是在等待有人解决这样的问题，然后才将自己的时间投入到这种方法中，”巴克马斯特说。
也就是说，当涉及到关于数学家应该在多大程度上依赖计算机的辩论时，“这并不是说你需要选边站，”Gómez-Serrano 说。 “[Hou 和 Chen] 的证明没有分析就无法工作，而没有计算机的帮助，证明也无法工作。 ……我认为价值在于人们会说两种语言。”
有了这个，de la Llave 说，“镇上有一个新游戏。”
