艾萨克·牛顿并不以慷慨大方而著称，他对对手的蔑视也堪称传奇。 但是在给他的竞争对手戈特弗里德莱布尼茨的一封信中，现在被称为 后书信体, 牛顿给人的印象是怀旧且近乎友好。 在其中，他讲述了他学生时代的一个故事，当时他刚刚开始学习数学。 他讲述了他如何通过猜测和检查的过程，将曲线下面积与无限和等同起来的重大发现。 他在信中的推理非常迷人且易于理解，它让我想起了小孩子喜欢玩的模式猜测游戏。
这一切都始于年轻的牛顿读到约翰·沃利斯的 无限算术， 17 世纪数学的开创性著作。沃利斯提出了一种新颖的归纳方法来确定 pi 的值，而牛顿则想设计出类似的方法。他从寻找宽度可调的“圆弧段”面积的问题开始 $乳胶x$。这是单位圆下方的区域，由 $latex y=sqrt{1-x^2}$ 定义，位于水平轴从 0 到 $乳胶x$。 这里 $乳胶x$ 可以是从 0 到 1 的任意数字，1 是圆的半径。 单位圆的面积是 pi，牛顿很清楚，所以当 $乳胶x=1$，曲线下面积是单位圆的四分之一，$latexfrac{π}{4}$。 但对于其他值 $乳胶x$，一无所知。
如果牛顿能找到一种方法来确定每个可能值的曲线下面积 $乳胶x$, 这可能会给他一种前所未有的逼近圆周率的方法。 这原本是他的宏伟计划。 但在此过程中，他发现了更好的东西：一种用无限多的简单构建块替换复杂曲线的方法，这些构建块由 $乳胶x$.
牛顿的第一步是通过类比推理。 他没有直接针对圆形线段的面积，而是研究了由以下曲线界定的类似线段的面积：
$latex y_0=(1-x^2)^frac{0}{2}$,
$latex y_1=(1-x^2)^frac{1}{2}$,
$latex y_2=(1-x^2)^frac{2}{2}$,
$latex y_3=(1-x^2)^frac{3}{2}$,
$latex y_4=(1-x^2)^frac{4}{2}$,
$latex y_5=(1-x^2)^frac{5}{2}$,
$latex y_6=(1-x^2)^frac{6}{2}$.
牛顿知道，列表中曲线下的面积具有整数幂（如 $latex frac{0}{2}=0$ 和 $latex frac{2}{2} = 1$）很容易计算，因为它们在代数上简化。 例如，
$latex y_0=(1-x^2)^frac{0}{2}=(1-x^2)^0=1$.
同样，
但是对于圆的方程没有这样的简化可用 - $latex y_1 = sqrt {1-x^2}=(1-x^2)^frac{1}{2}$ - 或具有半幂的其他曲线。 当时，没有人知道如何找到它们下面的区域。
幸运的是，具有整数幂的曲线下的区域是直截了当的。 取曲线 $latex y_4=1-2x^2+x^4$。 当时对于此类函数的一个众所周知的规则允许牛顿（和其他任何人）快速找到面积：对于任何整数幂 $latex nge 0$，曲线下面积 $latex y=x^n$从的间隔 $乳胶 0$ 至 $乳胶x$ 由 $latex frac{x^{n+1}}{n+1}$ 给出。 （Wallis 用他的归纳法猜到了这条规则，而 Pierre de Fermat 最终证明了它。）有了这条规则，牛顿知道曲线 $latex y_4$ 下的面积是 $latex x-frac{2x^3}{3 } + frac{x^5}{5}$。
同样的规则允许他在上面的列表中找到具有整数幂的其他曲线下的面积。 让我们为曲线 $latex y_n = (1-x^2)^frac{n}{2}$ 下的面积写 $latex A_n$，其中 $latex n= 0, 1, 2, ...$ 。 应用规则产生
$乳胶A_0=x$
$latex A_1 = hspace{.295em}?$
$乳胶 A_2 = x -frac{1}{3}x^3$
$latex A_3 = hspace{.295em}?$
$乳胶 A_4 = x -frac{2}{3}x^3 + frac{1}{5}x^5$
$latex A_5 =hspace{.295em}？ $
$乳胶 A_6 = x -frac{3}{3}x^3 + frac{3}{5}x^5 – frac{1}{7}x^7$
等等。 牛顿的巧妙想法是填补空白，希望根据他在其他系列中看到的内容来猜测$latexA_1$（圆段未知区域的系列）。 一件事很清楚：每个 $latexA_n$ 都以 $latex x$ 开头。 这建议像这样修改公式：
$乳胶A_0=x$
$latex A_1 = xhspace{.247em}-hspace{.247em}?$
$乳胶 A_2 = x -frac{1}{3}x^3$
$latex A_3 = xhspace{.247em}-hspace{.247em}?$
$乳胶 A_4 = x -frac{2}{3}x^3 + frac{1}{5}x^5$
$latex A_5 = xhspace{.247em}-hspace{.247em}?$
$latex A_6 = x -frac{3}{3}x^3 + frac{3}{5}x^5 – frac{1}{7}x^7$。
然后，为了替换下一批问号，牛顿查看了 $latex x^3$ 项。 使用一点许可证，我们可以看到即使 $latexA_0$ 也有这些三次项之一，因为我们可以将其重写为 $latex A_0 = x-frac{0}{3}x^3$。 正如牛顿向莱布尼茨解释的那样，他观察到“第二个术语 $latex frac{0}{3}x^3, frac{1}{3}x^3, frac{2}{3}x^3, frac{ 3}{3}x^3$ 等，在算术级数中”（他指的是分子中的 0、1、2、3）。 怀疑这个算术级数也可能延伸到间隙中，牛顿猜测整个分子序列，无论是已知的还是未知的，都应该是由 $latex frac{1}{2} (0, frac{1}{2} }, 1, frac{3}{2}, 2, frac{5}{2}, 3 …)$ “因此是该系列的前两个术语”，他感兴趣的是——仍然未知的 $latex A_1$ , $latex A_3$ 和 $latex A_5$ — “应该是 $latex x-frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3), x-frac{1}{3} (frac {3}{2}x^3)、x-frac{1}{3}(frac{5}{2}x^3)$ 等”
因此，在这个阶段，模式向牛顿建议 $latex A_1$ 应该以
$latex A_1 = x-frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3) + …$。
这是一个好的开始，但他需要更多。 当他寻找其他模式时，牛顿注意到方程中的分母总是包含以递增顺序排列的奇数。 例如，看看 $latex A_6$，它的分母有 1、3、5 和 7。 同样的模式适用于 $latex A_4$ 和 $latex A_2$。 很简单。 这种模式显然存在于所有方程的所有分母中。
剩下的就是在分子中找到一个模式。 牛顿再次检查了 $latex A_2$、$latex A_4$ 和 $latex A_6$ 并发现了一些东西。 在 $latex A_2 = x-frac{1}{3}x^3$ 中，他看到 $latex x$ 乘以 1 和 $latexfrac {1}{1}x^3$ 项中的另一个 3（他忽略了它的暂时为负号）。 在 $latex A_4 = x-frac{2}{3}x^3 + frac{1}{5}x^5$，他看到了 1、2、1 的分子。而在 $latex A_6=x-frac{ 3}{3}x^3 + frac{3}{5}x^5 -frac{1}{7}x^7$ ，他看到了分子 1, 3, 3, 1。这些数字对于任何人来说都应该很熟悉谁曾经研究过帕斯卡三角形，这是一种三角形的数字排列，最简单的方法是通过将上面的数字相加来创建，从顶部的 1 开始。
牛顿没有引用帕斯卡，而是将这些分子称为“数字 11 的幂”。 例如，112 = 121，这是三角形中的第二行，而 113 = 1331，这是第三个。 如今，这些数字也称为二项式系数。 当你扩展像 ($latex a +b$) 这样的二项式的幂时，它们就会出现，如 $latex (a+b)^3 = 1a^3 + 3a^2b+3ab^2 +1b^3$。 有了这个模式，牛顿现在有了一种简单的方法来写出 $latex A_2、A_4、A_6$ 和所有其他偶数 AS.
接下来，为了将他的结果外推到半次方和奇数下标（最终得到他想要的级数，$latex A_1$），牛顿需要将帕斯卡三角形扩展到一个奇妙的新机制：在行之间的中间。 为了进行外推，他推导出了帕斯卡三角形任何给定行（$latex m$ 行）中二项式系数的通用公式，然后大胆地代入 $latex m= frac{1}{2}$。 令人惊讶的是，它奏效了。 这给了他寻找单位圆的系列中的分子 $latexA_1$。
用牛顿自己的话来说，这里是他对莱布尼茨的总结，他总结了他在论证的这个阶段之前归纳地注意到的模式：
我开始反思，分母1、3、5、7等是算术级数，所以只有分子的数值系数还需要研究。 但在交替给定的区域中，这些是数字 11 的幂数……即第一个“1”； 然后是'1, 1'； 第三，'1、2、1'； 第四个'1, 3, 3, 1'; 第五，'1, 4, 6, 4, 1' 等等，所以我开始询问如何从前两个给定的数字中推导出系列中的剩余数字，我发现将 $latex m$ 放在第二个数字，其余的将通过这个系列的项的不断乘法产生，
$latex frac{m-0}{1} 次 frac{m-1}{2} 次 frac {m-2}{3} 次 frac{m-3}{4} 次 frac {m-4}{5 }$ 等。
…因此，我将这条规则应用于在系列之间插入系列，因为对于圆，第二项是 $latex frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3)$，我把 $latex m=frac{1}{2}$，产生的条款是
$latex frac {1}{2} 次 frac{frac{1}{2}-1}{2}$ 或 $latex -frac{1}{8}$，
$latex -frac{1}{8} 次 frac{frac{1}{2}-2}{3}$ 或 $latex + frac{1}{16}$,
$latex frac{1}{16} 次 frac{frac{1}{2}-3}{4}$ 或 $latex – frac {5}{128}$,所以到无穷大。 从那里我开始明白我想要的圆形部分的面积是
$latex x-frac{frac{1}{2}x^3}{3}-frac{frac{1}{8}x^5}{5}-frac{frac{1}{16}x^7}{7}-frac{frac{5}{128}x^9}{9}$ etc.
最后，通过代入 $latex x=1$，牛顿可以得到 $latexfrac{π}{4}$ 的无限和。 这是一个重要的发现，但事实证明，有更好的方法可以通过无限和来近似 pi，正如牛顿本人在最初尝试这种类型的无限和（现在称为幂级数）后很快发现的那样。 最终他计算出圆周率的前 15 位数字。
回到圆弧的问题，牛顿意识到圆本身的方程（不仅仅是它下面的区域）也可以用幂级数来表示。 他需要做的就是省略分母，并在上面显示的幂级数中将 $latex x$ 的幂减 1。 因此他被引导猜测
为了测试这个结果是否有意义，牛顿将其乘以它自己：“它变成了 $latex 1-x^2$，其余的项随着级数的延续而消失到无穷大。”
从细节退一步，我们在这里看到了一些关于解决问题的教训。 如果一个问题太难了，就改变它。 如果它看起来太具体，请概括它。 牛顿两者都做了，并得到了比他最初寻求的更重要和更强大的结果。
牛顿并没有固执地盯着四分之一圆。 他看着一个更一般的形状，任何宽度为 $latex x$ 的圆形部分。 他没有坚持 $latex x=1$，而是允许 $latex x$ 从 0 到 1 自由运行。这揭示了他的系列中系数的二项式特征——帕斯卡三角形中数字的意外出现及其推广——这让牛顿看到沃利斯和其他人错过的模式。 看到这些模式后，牛顿获得了更广泛和更普遍地发展幂级数理论所需的洞察力。
在他后来的工作中，牛顿的幂级数给了他一把用于微积分的瑞士军刀。 有了它们，他可以做积分，求代数方程的根，计算正弦、余弦和对数的值。 正如他所说，“在他们的帮助下，我几乎可以说，分析可以解决所有问题。”
寓意：改变问题不是作弊。 很有创意。 它可能是更伟大事物的关键。
