合并领域，数学家在老问题上走得更远广达杂志

计划的改变发生在一次公路旅行中。去年四月一个美好的一天，数学家们 雷切尔格林菲尔德 和 莎拉·佩鲁斯 从他们的母校新泽西州普林斯顿高等研究院出发，前往纽约州罗彻斯特，两人定于第二天在那里进行演讲。

近两年来，他们一直在研究谐波分析中的一个重要猜想，该领域研究如何将复杂信号分解为其分量频率。与第三位合作者一起， 玛丽娜·伊利奥普鲁，他们正在研究该问题的一个版本，其中分量频率表示为平面上的点，这些点之间的距离与整数相关。三位研究人员试图证明这些点不能太多，但到目前为止，他们所有的技术都还不够。

他们似乎在旋转。然后 Peluse 产生了一个想法：如果他们放弃调和分析问题（当然是暂时的），并将注意力转向任意两点之间的距离恰好为整数的点集，会怎样？这样的集合可以有什么可能的结构？自古以来，数学家就一直在尝试理解整数距离集。例如，毕达哥拉斯三元组（例如 3、4 和 5）表示三个顶点均相距整数距离的直角三角形。

“在车里，我猜是因为雷切尔被困在我身边，所以我才提起这件事，”现为密歇根大学教授的佩卢斯说。解决整数距离问题的想法让格林菲尔德兴奋不已。

在他们意识到这一点之前，他们已经开始改变方向，而不是一次，而是两次。

“我们实际上不再关注我们要去的地方，也没有离开高速公路，”佩卢斯说。 “大约一个小时后，我们就注意到了，我们正朝着与罗切斯特相反的方向行驶，因为我们对数学感到非常兴奋。”

1945 年，诺曼·安宁 (Norman Anning) 和保罗·埃尔多斯 (Paul Erdős) 证明 平面上相距整数距离的无限点集必须位于一条直线上。对于有限的点集，可能性会更加多样化。数学家构建了位于一条直线或一个圆上的大型集合，有时在主阻力之外有三到四个额外的点。 （点本身不必具有整数坐标 - 问题在于它们之间的距离。）

没有人提出任何其他配置的大量点，但没有人证明其他配置是不可能的。自 Anning 和 Erdős 得出结果以来的近 80 年间，这个课题几乎没有取得任何进展——直到现在。

格林菲尔德、伊利奥普卢和佩卢斯 证明 大整数距离集中的所有点（可能除了少数稀疏的离群点）必须位于一条直线或圆上。 “如果你想要一个大集合，其中所有成对距离都是整数，那么圆和直线是唯一的参与者，”说 约瑟夫·索莱莫西 不列颠哥伦比亚大学的。他称他们的结果是“奇妙的解决方案”。

新方法使用了来自三个不同数学领域的思想和技术：组合学、数论和代数几何。这种不同领域的结合“可能是一个真正的心理突破”，他说 陶ence，加州大学洛杉矶分校的数学家。

亚历克斯约瑟维奇罗切斯特大学的教授也同意这一观点。 “他们为一系列非常广泛的问题奠定了非常坚实的基础，”他说。 “在我看来，毫无疑问这将会找到更深入的应用。”

简单性的极限

在一个平面内，很容易选择一组无限的点，这些点的距离都是整数——只需取你最喜欢的线，想象一条叠加在它上面的数轴，并使用与整数相对应的部分或全部点。但这是在平面上构造无限整数距离集的唯一方法，正如 Anning 和 Erdős 在 1945 年意识到的那样。一旦只有三个点并不全部在同一条线上，您的配置就会变得如此受限，以至于不可能添加无限多个点。

原因归结为简单的几何形状。想象一下从两个点 A 和 B 开始，它们相距整数距离。 如果您想添加第三个点 C，该点与 A 和 B 的距离均为整数，但不位于通过它们的直线上，则平面上的大多数点都不起作用。唯一可行的点位于称为双曲线的特殊曲线上，该曲线在 A 和 B 之间相交。如果 A 和 B 相距 4 个单位，则恰好有 XNUMX 个这样的双曲线。 （双曲线通常有两个不同的部分，因此例如下图中的两条红色曲线形成一条双曲线。）

一旦您选择了 C（在本例中为 A 的 3 个单位和 B 的 5 个单位），您几乎没有任何选择来添加更多点。您可以添加的任何点都必须位于 A 和 B 之间的双曲线之一上，或者位于穿过它们的直线上。但它也必须位于 A 和 C 之间的双曲线之一以及 B 和 C 之间的双曲线之一（或相应的直线）上——换句话说，新点只能放置在三个双曲线或直线相交的地方（尽管并非每个交叉点都有效）。这些双曲线和直线的数量是有限的，并且两条双曲线（或直线）最多可以在四个点处相交。所以你最终只能选择有限的多个交点——你不能构建一个无限的集合。

当要理解一组有限的整数距离点实际上是什么样子时，双曲线方法很快就会变得笨拙。当你添加点时，你必须应对越来越多的双曲线。例如，当你的集合只有 10 个点时，添加第 11 个点将创建 10 个新的双曲线族 - 新点和集合中已有的每个点之间的所有双曲线族。 “你不能添加很多点，因为你会迷失在所有这些双曲线和交叉点中，”格林菲尔德说。

因此，数学家们一直在寻找更易于管理的原则来构造大量不在一条直线上的整数距离点。但他们只能想出一种方法：将你的观点放在一个圆圈上。如果你想要一个整数距离，比如一万亿个点，有多种方法可以在半径为 1 的圆上得到一万亿个点，这些点之间的距离都是分数。然后你可以使圆膨胀，直到所有分数距离变成整数。你想要的点越多，你就越需要扩大圆圈。

多年来，数学家们只提出了一些稍微奇特的例子。他们可以构造大的整数距离集，其中除了四个点之外的所有点都位于一条直线上，或者除了三个点之外的所有点都位于一个圆上。许多数学家怀疑这是唯一一个并非所有点都在直线或圆上的大整数距离集。如果他们能够证明所谓的邦别里-朗猜想，他们就会肯定知道这一点。但数学家们对于这个猜想是否成立存在分歧。

自 1945 年 Anning 和 Erdős 的工作以来，数学家在理解整数距离集方面几乎没有取得任何进展。随着时间的推移，整数距离问题似乎加入了组合学、数论和几何中的一系列其他问题，这些问题很容易表述，但似乎无法解决。 “这是衡量我们的数学有多么可悲的一个标准，”陶说。

在某种程度上，整数距离问题是其早期成功的受害者。双曲线证明以其巧妙的简单性，象征着埃尔多斯（Erdős）所信奉的哲学，埃尔多斯是一位极具影响力的数学家，经常谈到“这本书”——一本想象中的数学中最优雅证明的书。约塞维奇说，埃尔多斯提倡的简单文化在组合几何领域取得了“巨大的成果”。但它也可能导致盲点——在本例中，涉及引入代数几何方法的价值。

Iosevich 说：“我认为你不会发现在过去 50 年中得到证明的（代数几何）结果在技术上不那么复杂且混乱。” “然而，有时事情就需要这样。”

回想起来，整数距离问题正在等待数学家们，他们愿意考虑比双曲线更难以驾驭的曲线，然后利用代数几何和数论中的深奥工具来驯服它们。 “这需要人们具有足够广度的知识和兴趣，”约瑟维奇说。

他说，大多数数学家都满足于在整个职业生涯中在数学的某个角落使用一些工具。但约塞维奇说，格林菲尔德、伊利奥普卢和佩卢斯都是无所畏惧的探险家。 “他们将数学视为一个连贯的整体。”

使问题复杂化

2021 年夏天，格林菲尔德决定是时候尝试解决她从研究生院以来一直在思考的谐波分析问题了。经典谐波分析是现实世界中信号处理的基础，它是将信号分解为不同频率和相位的正弦波。这个过程之所以有效，是因为可以制作无限的正弦波列表，这些正弦波组合起来后可以捕获任何信号的所有特征，而没有任何冗余。

不过，研究人员通常希望研究比一维信号更复杂的东西。例如，他们可能想要分解飞机上磁盘上的信号。但磁盘只能容纳有限的兼容正弦波集合——太少，无法捕获磁盘上所有可能信号的行为。那么问题就变成了：这个有限集合有多大？

在这样的集合中，正弦的频率可以表示为平面上的点，这些点似乎不利于直线和圆的聚集：您永远找不到三个点都靠近同一条线，或者四个点都靠近到同一个圈子。格林菲尔德希望利用这种厌恶来证明这些频率组只能包含几个点。

在波恩大学 2021 年的一次会议上，格林菲尔德参加了一场关于“行列式方法”的演讲，这是一种来自数论的技术，可用于估计曲线上可以有多少特定类型的整数点。她意识到，这个工具可能正是她所需要的。格林菲尔德招募了伊利奥普卢和佩卢斯，他们也出席了会议。 “我们开始一起学习这种方法，”格林菲尔德说。

但尽管付出了很多努力，他们似乎还是无法让行列式方法达到他们的目的，到了 2023 年春天，他们感到灰心丧气。约瑟维奇邀请格林菲尔德和佩卢斯开车前往罗切斯特参观。 “所以我们想，‘好吧，我们去罗切斯特，和亚历克斯交谈会让我们重新焕发活力，’”佩卢斯说。但事实证明，他们在抵达罗切斯特时已经重新焕发了活力，这要归功于他们在宾夕法尼亚州萨斯奎哈纳河上计划外绕行时对整数距离设置的令人振奋的讨论。

他们来得太晚了，无法与约瑟维奇共进晚餐，但他们发现他拿着一袋袋外卖在酒店大堂等着。他原谅了他们的迟到——第二天早上，当他们告诉他他们解决整数距离组的计划时，他更加原谅了他们。 “他非常兴奋，”佩卢斯回忆道。 “从情感上来说，这是一个巨大的推动。”

与双曲线方法一样，Greenfeld、Iliopoulou 和 Peluse 试图通过识别点必须位于的曲线族来控制整数距离集的结构。一旦有多个点，双曲线方法就开始变得过于复杂，但格林菲尔德、伊利奥普卢和佩卢斯通过将整个配置移动到更高维度的空间，弄清楚了如何同时考虑多个点。

要了解其工作原理，假设您从整数距离集中的“参考”点 A 开始。集合中的每个其他点都是距 A 的整数距离。这些点位于一个平面中，但您可以通过将第三个坐标固定到每个点上，将平面撞入三维空间，其值是距 A 的距离。例如，假设 A 是点 (1, 3)。那么距 A 4 个单位的点 (7, 5) 就变成了三维空间中的点 (4, 7, 5)。此过程将平面转换为三维空间中的圆锥体，其尖端位于 A，现在标记为 (1, 3, 0)。整数距离点成为三维空间中位于圆锥体上且位于某个格子上的点。

类似地，如果选择两个参考点 A 和 B，则可以将平面中的点转换为四维空间中的点 - 只需给每个点两个新坐标，其值是其到 A 和 B 的距离。此过程将平面转换形成四维空间中的弯曲表面。您可以通过这种方式不断添加更多参考点。对于每个新的参考点，维度都会增加一，并且平面会映射到更加摆动的表面（或者，正如数学家所说，更高阶的表面）。

有了这个框架，研究人员就使用了数论中的行列式方法。行列式是数字，通常与矩阵相关，它捕获点集合的许多几何属性 - 例如，特定的行列式可以测量由三个点形成的三角形的面积。行列式方法提供了一种使用行列式来估计同时位于摆动表面和晶格上的点的数量的方法——这正是格林菲尔德、伊利奥普卢和佩卢斯正在处理的情况。

研究人员使用基于行列式方法的一系列工作表明，当他们将整数距离设置到适当高的维度时，这些点必须全部位于少量特殊曲线上。当这些曲线在平面上的阴影不是直线或圆时，它们不能包含许多格点，而格点是整数距离集中点的唯一候选点。这意味着集合中可以偏离主线或圆的点的数量是有限的——研究人员表明，它必须小于集合直径的一个非常缓慢增长的函数。

它们的界限没有达到“偏离直线四点或偏离圆三点”猜想的标准，许多数学家认为这对于大整数距离集是正确的。即便如此，结果表明“猜想的本质是正确的”，斯坦福大学的雅各布·福克斯说。数学家表示，要全面证明这一猜想可能需要再次注入新的想法。

Iosevich 表示，该团队的高维编码方案“极其稳健”。 “不仅有原则上的应用，还有我已经在考虑的应用。”

格林菲尔德、伊利奥普卢和佩卢斯希望其中一项应用能够解决他们最初的调和分析问题，三人现在又回到了这个问题。格林菲尔德说，他们在整数距离集上的结果“可能是迈向这一目标的垫脚石”。

Iosevich 预测，研究人员发起的组合数学与代数几何的综合不会因整数距离集或调和分析中的相关问题而停止。 “我相信我们所看到的是概念上的突破，”他说。 “这向两个领域的人们传达了一个信息：这是一次非常富有成效的互动。”

陶说，它还传达了一个信息，即有时使问题变得更加复杂的价值。他指出，数学家通常会追求相反的方向。 “但这就是一个例子，说明让问题复杂化实际上是正确的举动。”

他说，这一进步改变了他对高阶曲线的看法。 “有时他们可以成为你的朋友，而不是你的敌人。”