两名学生揭开了一个广为人知的数学猜想 | 广达杂志

Summer Haag 和 Clyde Kertzer 对他们的夏季研究项目寄予厚望。 让整个数学子领域措手不及并不是其中之一。

今年五月，哈格即将完成科罗拉多大学博尔德分校研究生一年级的课程，科泽是该校的本科生。 两人都盼望着下课休息一下。 海格计划探索新的徒步旅行和登山路线。 科泽是博尔德人，他想踢足球并准备研究生申请。 但作为有抱负的研究数学家，他们也申请了数学家组的半日制暑期研究项目 凯瑟琳斯坦奇.

斯坦奇是一位数论学家，她将自己描述为“数学家”青蛙”——在跳到另一个问题之前深入研究一个问题的复杂性的人。 她说，她对“看似简单但结构丰富的问题​​”感兴趣。 她的项目经常通过使用计算机生成大型数据集来解决数论中难以捉摸的开放问题。

Haag 和 Kertzer 在 Haag 23 岁生日那天开始了这个项目，他们对阿波罗圆堆积进行了为期一周的入门读物——这是一项古老的研究，研究圆如何和谐地挤成一个更大的圆。

想象一下排列三枚硬币，使每枚硬币都接触其他硬币。 您始终可以在它们周围画一个圆圈，从外部接触所有三个。 然后你可以开始问问题：那个大圆圈的大小与三枚硬币的大小有何关系？ 三枚硬币之间的间隙适合多大的圆圈？ 如果你开始画一些圆圈来填充圆圈之间越来越小的间隙——创建一种称为包装的分形图案——这些圆圈的大小如何相互关联？

数学家没有考虑这些圆的直径，而是使用一种称为曲率的度量——半径的倒数。 因此，半径为 2 的圆的曲率为 1/2，半径为 1/3 的圆的曲率为 3。圆越小，曲率越大。

文艺复兴时期的数学家证明，如果前四个圆的曲率是整数，则包装中所有后续圆的曲率都保证是整数。 这本身就很了不起。 但数学家们把这个问题更进一步，提出了当圆越来越小、曲率越来越大时会出现哪些整数的问题。

2010年， 埃琳娜·福克斯，现任加州大学戴维斯分校的数论学家， 证明 曲率遵循特定的关系，迫使它们进入某些数值范围。 不久之后，数学家们开始相信，不仅曲率必须落入一个或另一个桶中，而且还必须使用每个桶中的每一个可能的数字。 这个想法后来被称为局部-全局猜想。

“很多作品都引用了它，就好像它已经是事实一样，”科泽说。 “我们对此进行了讨论，就好像它会在不久的将来的某个时候得到证明。”

詹姆斯·里卡兹博尔德的一位数学家与斯坦奇和学生们一起工作，编写了代码来检查圆形包装的任何所需排列。 因此，当 Haag 和 Kertzer 于 15 月 XNUMX 日加入该小组时，他们认为自己可以为可靠的本地到全球规则的启动创建很酷的情节。

斯坦奇于六月初飞往法国参加一个会议。 当她于 12 月 XNUMX 日返回时，团队聚集在图表周围，这些图表展示了一些桶似乎缺少某些数字。

“我们没有调查这种现象，”里卡兹说。 “我并不是想验证这是否属实。 我知道这是真的——我只是假设这是真的。 然后突然间，我们面临的数据表明事实并非如此。”

到了周末，团队确信这个猜想是错误的。 他们期望出现的数字却没有出现。 他们提出了证明，并于 6 月 XNUMX 日 贴出自己的工作 访问科学预印本网站 arxiv.org。

福克斯记得证明证明到位后不久就与斯坦奇进行了交谈。 “你对局部到全球的猜想有多相信？” 斯坦奇问道。 福克斯回应说她当然相信。 “然后她向我展示了所有这些数据，我说，‘天哪，这太神奇了，’”福克斯说。 “我的意思是，我真的相信局部到全球的猜想是正确的。”

“一旦你看到它，你就会说‘啊哈！ 当然！’”说 彼得·萨纳克，普林斯顿大学高等研究院的数学家， 早期观察 帮助推动了本地-全球猜想。

“这是一个奇妙的见解，”补充道 亚历克斯·康托罗维奇 罗格斯大学的。 “20 年前，当人们第一次开始玩这个游戏时，我们都在后悔我们没有找到它。”

在结果留下的废墟中，这项工作暴露了数论中其他猜想基础上的裂缝。 数学家们不得不想知道，下一个被广泛持有的信念可能会被推翻。

环岛历史

阿波罗圆填料得名于其可能的创始人佩尔加的阿波罗尼乌斯。 大约2,200年前，希腊几何学家写了一本书，名为 切线 关于如何构造一个与任何其他三个圆相切的圆。 这本书已经随着时间的流逝而遗失了。 但大约 500 年后，希腊数学家亚历山大的帕普斯整理了一份纲要，该纲要在拜占庭帝国崩溃后幸存下来。

仅使用 Pappus 的描述 切线，文艺复兴时期的数学家试图追溯最初的工作。 到 1643 年，勒内·笛卡尔发现了任意四个彼此相切的圆的曲率之间的简单关系。 笛卡尔断言所有曲率平方之和等于曲率之和平方的一半。 这意味着，给定三个圆，可以计算第四个相切圆的半径。 例如，如果您有三个曲率分别为 11、14 和 15 的圆，则可以将这些数字代入笛卡尔方程并计算适合它们的圆的曲率：86。

1936年，诺贝尔奖获得者放射化学家 弗雷德里克索迪 当他用笛卡尔的关系建造包装时，注意到了一些奇怪的事情。 随着圆变得越来越小，曲率越来越大，他期望得到带有平方根或无限小数的粗糙数字。 相反，所有曲率都是整数。 这是笛卡尔方程的一个相当简单的结果，但数百年来没有人注意到。 这启发了索迪 发表一首诗 在科学杂志上 自然，开头是：

也许是为了亲吻双唇
不涉及三角学。
当四个圆圈接吻时，情况并非如此
其他三个各一个。

可能与必然

一旦确定存在充满整数的包装，数学家就试图找到这些整数的模式。

2010 年，福克斯和 凯瑟琳·桑登 着手建立 来自2003的论文。 两人观察到，如果将给定包装中的每个曲率除以 24，就会出现一条规则。 例如，一些填料仅具有余数为0、1、4、9、12或16的曲率。 其他人只留下 3、6、7、10、15、18、19 或 22 的余数。有六种不同的可能组。

当数学家检查不同类别的填料时，他们开始注意到，对于足够小的圆（曲率较大的圆），似乎每个类别中的每个可能的数字都出现在该类型的填料中。 这个想法后来被称为局部-全局猜想。 富克斯说，证明这一点成为“我这些小数学家的梦想之一”。 “就像，也许多年后的某个时候我就能解决这个问题。”

2012 年，康托罗维奇和让·布尔干（Jean Bourgain） 在2018死了）证明了 几乎每个数字 猜想所预言的确实发生了。 但“几乎全部”并不意味着“全部”。 例如，完全平方数非常罕见，以至于从数学上来说，“几乎所有”整数都不是完全平方数，尽管 25 和 49 都是完全平方数。 康托罗维奇说，数学家们认为，在康托罗维奇和布尔干的论文之后仍然可能存在的罕见反例实际上并不存在，主要是因为两三个研究最深入的圆形堆积似乎很好地遵循了局部全局猜想。

加大力度

今年夏天，当哈格和科泽在博尔德开始工作时，里卡兹在斯坦奇办公室的黑板上写下了一些想法。 “我们有一份完整的清单，”里卡兹说。 他们有四五个起点可以进行实验。 “你可以直接玩一下，看看会发生什么。”

一个想法是计算包含两个任意曲率 A 和 B 的所有可能的圆形封装。Rickards 编写了一个程序，该程序输出一种分类帐，该分类帐报告当 A 托管时向各​​方显示哪些整数。

基于这个程序，Haag 编写了一个 Python 脚本，可以同时绘制大量模拟图。 这就像一个乘法表：Haag 根据除以 24 时的余数来选择要包含哪些行和列。出现在阿波罗排列中的数字对会得到白色像素； 那些没有黑色像素的。

哈格仔细研究了数十个图——六个组中每组中的每一对余数都有一个。

它们看起来和预期的一模一样：白色的墙，上面布满了较小整数的黑色斑点。 “我们预计黑点会逐渐消失，”斯坦奇说。 里卡兹补充道，“我想也许有可能证明它们会逐渐消失。” 他推测，通过查看将多种包装综合在一起的图表，该团队将能够证明当他们单独查看任何一种包装时不可能得到的结果。

当斯坦奇不在时，哈格最终绘制了每一对剩余的数字——大约 120 个。这并不奇怪。 然后她就变大了。

Haag 一直在绘制 1,000 个整数如何相互作用的图。 （该图比听起来要大，因为它涉及 1 万个可能的对。）然后她将刻度盘转动到 10,000 乘以 10,000。 在一张图中，规则的行和列的黑点拒绝溶解。 它看起来与局部-全球猜想的预测完全不同。

斯坦奇回来后，团队在周一开会。 海格展示了她的图表，他们都把注意力集中在带有奇怪点的那张图表上。 “这只是一种持续的模式，”哈格说。 “就在那时，凯特说，‘如果本地-全球猜想不成立怎么办？’”

“这看起来像一个模式。 它必须继续下去。 所以局部-全球猜想一定是错误的。”斯坦奇回忆道。 “詹姆斯更加持怀疑态度。”

“我的第一个想法是我的代码中一定存在错误，”里卡兹说。 “我的意思是，这是我能想到的唯一合理的事情。”

半天之内，里卡兹就回心转意了。 该模式排除了第一个数字的形式为 8 × (3n ±1)² 第二个是任意平方的 24 倍。 这意味着 24 和 8 永远不会出现在同一个包装中。 您期望出现的数字并没有出现。

“我有点头晕。 真正让你惊讶的事情并不常见，”斯坦奇说。 “但这就是玩弄数据的魔力。”

七月论文 概述了他们观察到的模式无限期持续下去的严格证明，从而反驳了这一猜想。 这个证明取决于一个有数百年历史的原理，称为二次互易，涉及两个素数的平方。 斯坦奇的团队发现了互惠原理如何适用于圆形包装。 它解释了为什么某些曲率不能彼此相切。 该规则称为障碍，在整个包装中传播。 “这只是一个全新的事情，”说 杰弗里·拉加里亚斯是密歇根大学的数学家，也是 2003 年圆形包装论文的合著者。 “他们巧妙地发现了它，”萨纳克说。 “如果这些数字确实出现，就会违反互惠原则。”

辐射

数论中的许多其他猜想现在可能受到质疑。 与局部-全局猜想一样，它们很难证明，但已被证明适用于几乎所有情况，并且通常被认为是正确的。

例如，福克斯研究马尔可夫三元组，即满足方程的数字集 x² + y² + z² = 3XYZ。 她和其他人已经证明，某些类型的解对于大于 10 的素数是相关的³⁹²。 每个人都相信这种模式应该无限延续。 但鉴于新的结果，福克斯让自己感到一丝怀疑。 “也许我错过了一些东西，”她说。 “也许每个人都错过了一些东西。”

“现在我们有了一个错误的例子，问题是：其他例子也是错误的吗？” 里卡兹说道。

还有 Zaremba 的猜想。 它表示具有任何分母的分数都可以表示为仅使用 1 到 5 之间的数字的连分数。2014 年，Kontorovich 和 Bourgain 证明 Zaremba 猜想几乎适用于所有数字。 但圆形排列的意外结果削弱了人们对 Zaremba 猜想的信心。

如果包装问题是即将发生的事情的预兆，那么计算数据可能是解决问题的工具。

“当新的数学仅仅通过纯粹观察数据而诞生时，我总是觉得很有趣，”福克斯说。 “如果没有它，真的很难想象[他们]会偶然发现这一点。”

斯坦奇补充说，如果没有低风险的夏季项目，这一切都不会发生。 “机缘巧合和有趣的探索态度在发现中都发挥着巨大的作用，”她说。

“这纯粹是巧合，”哈格说。 “如果我做得不够大，我们就不会注意到它。” 这项工作预示着数论的未来。 “你可以通过直觉、通过证明来了解数学，”斯坦奇说。 “你非常相信这一点，因为你花了很多时间思考它。 但你不能与数据争论。”

编者按: 亚历克斯·康托罗维奇是以下组织的成员 广达杂志的科学顾问委员会。 他因这个故事接受了采访，但没有为该故事的制作做出其他贡献。