介绍
今年早些时候，三位数学家决定将柠檬制成柠檬水——并最终做出 重大进展 几个世纪以来，数学家们一直在思考这个问题。
三个人刚刚完成一个项目并考虑下一步，三月下旬，他们中的两个—— 莱文特山 哈佛大学和 阿里施尼德曼 耶路撒冷希伯来大学——分别但几乎同时签订了 Covid-19 合同。 很多人在这种情况下都会休息一下，但是第三个队员， 曼珠尔·巴尔加瓦 普林斯顿大学提出了相反的建议。 他建议，将他们每周的 Zoom 会议增加到每周三到四次，可能会分散他生病的合作者对他们症状的注意力。 三人决定，隔离可能是一个不受干扰地思考的机会。
在这些会议期间，他们考虑了数论中最古老的问题之一：有多少整数可以写成两个立方分数之和，或者，如数学家所说，有理数？ 例如，数字 6 可以写成 (17/21)3 + (37/21)3, 而 13 = (7/3)3+(2/3)3.
几十年来，数学家一直怀疑所有整数中有一半可以这样写。 就像奇数和偶数一样，这个属性似乎将整数分成两个相等的阵营：那些是两个立方体之和的，那些不是。
但是没有人能够证明这一点，甚至没有人能够对属于每个阵营的整数的比例给出任何界限。 就数学家所知，由有理立方之和组成的阵营可能小得几乎可以忽略不计——或者它可能包含几乎所有整数。 数学家 计算过 也就是说，如果 Birch 和 Swinnerton-Dyer 猜想是真的（正如人们普遍认为的那样），大约 59% 的数字高达 10 万是两个有理立方体的总和。 但这些数据充其量只能提供有关数字线其余部分可能如何表现的提示。
与奇数和偶数不同，“这两个阵营是微妙的，”说 巴里·马祖尔 哈佛大学。 没有测试可以确定哪些数字属于已知适用于所有数字的哪个阵营。 数学家已经提出了强有力的候选测试，但目前每个测试都有一些缺点——数学家要么不能证明测试总是会得出结论，要么不能证明结论是正确的。
Bhargava 说，理解立方之和以及更普遍的三次方程的困难一直是“数论学家反复出现的尴尬”。 他 获得菲尔兹奖 2014 年部分用于 他关于理性解决方案的工作 到称为椭圆曲线的三次方程，其中两个立方之和是一个特例。
现在，在 一篇论文 Alpöge、Bhargava 和 Shnidman 于 2 月下旬在网上发布，表明至少 21/9.5（约 5%）和最多 6/83（约 XNUMX%）的整数可以写成两个立方分数之和。
立方之和的问题不仅仅是好奇。 椭圆曲线具有非常复杂的结构，这使它们成为纯数学和应用数学许多领域的中心，特别是使密码学家能够构建强大的密码。 Birch 和 Swinnerton-Dyer 猜想是该领域的核心问题，作为克莱数学研究所的千年奖问题之一，悬赏 1 万美元。
这项新工作建立在 Bhargava 过去 20 年与合作者一起开发的一套工具的基础上，以 探索整个家庭 椭圆曲线。 理解两个立方体的总和意味着分析一个小得多的家庭，“家庭越小，问题就越难，”说 彼得·萨纳克 普林斯顿高等研究院。
Sarnak 补充说，这个特殊的家庭似乎“遥不可及”。 “我会说，'这看起来太难了，太难了。'”
相变
与似乎很丰富的立方分数之和相反，几乎没有任何整数是两个分数平方之和。 到 1600 年代初期，数学家 Albert Girard 和 Pierre de Fermat 想出了一个简单的测试来确定哪些整数是两个平方和：将您的数字分解为素数，然后检查余数为 3 的每个素数的指数当你将它除以 4 时。如果这些指数都是偶数，你的数字就是两个分数的平方和； 否则，它不是。 例如，490 分解为 21 ×51 ×72. 当您除以 3 时，这些因子中唯一具有 4 余数的是 7，并且 7 具有偶数指数。 因此，490 是两个平方的和（好奇的话，它等于 72 + 212).
绝大多数数字都未能通过偶数指数测试。 如果你随机选择一个整数，它是两个分数平方和的概率基本上为零。 数学家认为，两个分数之和的四次方、五次方或任何大于三的次方也是如此。 只有立方体的总和才会突然变得丰富。
数学家习惯于三次方程式的表现与所有其他幂次方程式不同。 在由两个变量构成的方程中（如两个立方之和方程），最高指数为 1 或 2 的方程很容易理解——通常它们要么没有有理解，要么有无穷多，而且通常很容易理解告诉哪个。 同时，最高指数为 4 或更高的方程通常有 只有有限的洒水 的合理解决方案。
相比之下，三次方程可以有有限多个解、无限多个解或根本没有解。 这些方程代表了指数低于 3 和高于 XNUMX 之间的一种相变，显示了在这些其他设置中从未见过的现象。 “立方体在各个方面都是不同的，”马祖尔说。
与指数较低的方程不同，立方体非常难以理解。 没有找到甚至计算已证明始终有效的立方体有理解的总体方法。
“即使我们拥有所有的计算能力，如果你给我一条系数非常大的椭圆曲线，我也不一定知道它有多少个有理解，”说 何伟，Bhargava 的前学生，现在是 目前是客座教授 在高等研究院。
在二立方和问题中，涉及的分数可能非常庞大：例如，数字 2,803 是两个分母均为 40 位的分数立方之和。 Bhargava 说，一旦我们看到数以百万计的数字，许多分数“所涉及的数字将超过这个世界上所有纸张所能容纳的数字。”
映射矩阵
因为椭圆曲线是如此难以控制，数论学家寻找方法将它们与更容易处理的对象联系起来。 今年 2 月，当 Alpöge 和 Shnidman 与 Covid 抗争时，他们和 Bhargava 在 Bhargava 之前与 Ho 完成的工作的基础上发现，只要立方和方程有有理解，就有一种方法可以构建至少一个特殊的 2 × 2 × 2 × 2 矩阵 — 更熟悉的二维矩阵的四维模拟。 “我们开始制定计划来计算这些 2 × 2 × 2 × XNUMX 矩阵，”三人写道。
为此，该团队借鉴了两个已经研究了一个多世纪的经典主题。 一个是“数字几何”，涉及如何计算不同几何形状内的格点。 在过去的 20 年里，这个主题在椭圆曲线领域得到了复兴，这在很大程度上要归功于 Bhargava 及其合作者的工作。
另一种技术称为圆法，起源于 20 世纪初印度传奇数学家 Srinivasa Ramanujan 和他的长期合作者 GH Hardy 的工作。 “这是将圆方法与这些数字几何技术相结合的第一个主要应用，”Ho 说。 “那部分非常酷。”
使用这些方法，三人组能够证明，对于至少 1/6 的整数，不存在 2 × 2 × 2 × 2 矩阵。 这意味着对于这些数字，立方和方程没有有理解。 因此，不超过 5/6 的整数，即大约 83%，可以是两个分数的立方之和。
在相反的方向上，他们发现所有整数中至少有 5/12 恰好有一个匹配矩阵。 很容易得出这些数字是两个立方体之和的结论，但这并不会自动得出结论。 每个作为两个立方体之和的数字都有一个矩阵，但这并不一定意味着反之亦然：每个带有矩阵的数字都是两个立方体的和。
Alpöge、Bhargava 和 Shnidman 需要椭圆曲线研究人员称之为逆定理的东西——获取有关三次方程的信息并使用它来构建有理解的东西。 逆定理构成了椭圆曲线理论的一个蓬勃发展的子领域，因此三人求助于该子领域的两位专家—— 阿谢布伦加莱 得克萨斯大学奥斯汀分校和普林斯顿大学。 Burungale 和 Skinner 能够证明，至少在某些时候，如果一个整数有一个关联矩阵，那么这个数字一定是两个有理立方体的总和。 他们的定理基本上证明了 Birch 和 Swinnerton-Dyer 猜想的相关部分，在论文中作为一个三页的附录出现，Sarnak 称其本身就很了不起。
Burungale 和 Skinner 并没有用一个矩阵来证明每个整数的定理——他们必须施加一个技术条件，将 5/12 的子集削减到 2/21，即所有整数的约 9.5%。 但 Bhargava 乐观地认为，Burungale 和 Skinner 或他们所在领域的其他研究人员将在不久的将来达到剩下的 5/12（总共约 41%）。 “他们的技术正在稳步增强，”Bhargava 说。
证明完整的猜想——恰好一半的整数是两个立方体的总和——最终需要处理具有多个关联矩阵的数字集。 Bhargava 称之为“非常模糊”的这组数字包括两个立方体之和的数字和不是两个立方体之和的数字。 他说，处理这些数字需要全新的想法。
目前，研究人员很高兴终于解决了大部分整数的问题，并渴望进一步探索证明中的技术。 “这是一件美妙的事情：你可以很容易地解释结果，但这些工具非常、非常处于数论的前沿，”Sarnak 说。
