公元前三世纪，阿基米德 构成 他声称，只有真正有智慧的人才能解开一个关于放牧牛群的谜题。 他的问题最终归结为一个涉及两个平方项之差的方程，可以写为 x2 – dy2 = 1. 这里， d 是一个整数——一个正数或负数——阿基米德正在寻找解决方案 x 和 y 也是整数。
这类方程，称为 Pell 方程，几千年来一直让数学家着迷。
在阿基米德之后几个世纪，印度数学家 Brahmagupta 和后来的数学家 Bhāskara II 提供了算法来找到这些方程的整数解。 在 1600 年代中期，法国数学家 Pierre de Fermat（他不知道这项工作）在某些情况下重新发现了这一点，即使在 d 被分配了一个相对较小的值，最小可能的整数解 x 和 y 可能是巨大的。 当他向竞争对手的数学家发送一系列挑战问题时，其中包括了等式 x2 - 61y2 = 1，其最小解有 10 位或 XNUMX 位。 （至于阿基米德，他的谜语本质上是求方程的整数解 x2 - 4,729,494y2 = 1. “要打印出最小的解决方案，需要 50 页，”说 彼得·科曼斯，密歇根大学的数学家。 “从某种意义上说，它是阿基米德的一个巨大的巨魔。”）
但是 Pell 方程的解可以做得更多。 例如，假设您想将一个无理数 $latex sqrt{2}$ 近似为整数的比率。 事实证明，求解 Pell 方程 x2 - 2y2 = 1 可以帮助您做到这一点：$latex sqrt{2}$（或更一般地说，$latex sqrt{d}$）可以通过将解决方案重写为形式的一部分来很好地近似 x/y.
也许更有趣的是，这些解决方案还告诉你一些关于特定数字系统的信息，数学家称之为环。 在这样的数字系统中，数学家可能会将 $latex sqrt{2}$ 与整数相邻。 环具有某些特性，数学家想要了解这些特性。 事实证明，佩尔方程可以帮助他们做到这一点。
所以“很多非常著名的数学家——几乎每个数学家在某个时期——实际上研究了这个方程，因为它很简单，”说 马克舒斯特曼，哈佛大学的数学家。 这些数学家包括费马、欧拉、拉格朗日和狄利克雷。 （约翰佩尔，不是那么多；这个方程被错误地以他的名字命名。）
现在科曼斯和 卡罗帕加诺，蒙特利尔康考迪亚大学的数学家， 证明了一个几十年前的猜想 与 Pell 方程有关，它量化了某种形式的方程具有整数解的频率。 为此，他们从另一个领域——群论——引入了思想，同时更好地理解了该领域一个关键但神秘的研究对象。 “他们使用了非常深刻而美丽的想法，”说 安德鲁·格兰维尔，蒙特利尔大学的数学家。 “他们真的做到了。”
破算术
在早期的1990中， 彼得史蒂文哈根荷兰莱顿大学的数学家，受到他看到的 Pell 方程和群论之间的一些联系的启发，对这些方程具有整数解的频率进行了猜想。 但“我没想到它会很快被证明，”他说——甚至在他的有生之年。 可用的技术似乎不足以解决这个问题。
他的猜想依赖于环的一个特定特征。 例如，在将 $latex sqrt{-5}$ 添加到整数的数字环中（数学家经常使用像 $latex sqrt{-5}$ 这样的“虚数”数字），有两种不同的方法将一个数拆分为其主要因数。 例如，数字 6 不仅可以写成 2 × 3，还可以写成 (1 + $latex sqrt{-5}$) × (1 – $latex sqrt{-5}$)。 结果，在这个环中，唯一的素数分解——算术的中心原则，在普通整数中实际上被认为是理所当然的——崩溃了。 这种情况发生的程度被编码在与该环关联的对象中，称为类组。
数学家试图深入了解他们感兴趣的数字系统的一种方法——例如，与整数相邻的 $latex sqrt{2}$——是计算和研究其类组。 然而，几乎很难确定阶级群体在所有这些不同数字系统中的行为方式的一般规则。
1980 年代，数学家 亨利·科恩 和 亨德里克·伦斯特拉 就这些规则应该是什么样子提出了一系列广泛的猜想。 这些“Cohen-Lenstra 启发式”可以告诉你很多关于类组的信息，这反过来应该揭示它们底层数字系统的属性。
只有一个问题。 虽然许多计算似乎支持 Cohen-Lenstra 启发式，但它们仍然是猜想，而不是证明。 “就定理而言，直到最近我们几乎一无所知，”说 亚历克斯·巴特尔，格拉斯哥大学的数学家。
有趣的是，一个班级群体的典型行为与佩尔方程的行为密不可分。 理解一个问题有助于理解另一个问题——以至于 Stevenhagen 的猜想“对于 Cohen-Lenstra 启发式算法取得的任何进展也是一个检验问题，”帕加诺说。
新工作涉及负 Pell 方程，其中 x2 – dy2 设置为等于 -1 而不是 1。与原始 Pell 方程相反，对于任何 d, 不是所有的值 d 在负 Pell 方程中产生一个可以求解的方程。 拿 x2 - 3y2 = -1：无论你在数轴上看多远，你永远找不到解决方案，即使 x2 - 3y2 = 1 有无穷多个解。
其实有很多价值观 d 无法求解负 Pell 方程的问题：基于关于某些数字如何相互关联的已知规则， d 不能是 3、7、11、15 等的倍数。
但即使你避免这些价值观 d 并且只考虑剩余的负 Pell 方程，仍然不能总是找到解。 在较小的一组可能值中 d, 什么比例实际上有效？
1993 年，史蒂文哈根提出了一个公式，可以准确回答这个问题。 的值 d 可能有效（即，值不是 3、7 等的倍数），他预测大约 58% 会产生具有整数解的负 Pell 方程。
Stevenhagen 的猜测主要是受到负 Pell 方程和 Cohen-Lenstra 启发式对类群之间的联系的推动——Koymans 和 Pagano 在 30 年后最终证明他的正确性时利用了这种联系。
更好的大炮
2010 年，Koymans 和 Pagano 还是本科生——还不熟悉 Stevenhagen 的猜想——当时发表的一篇论文在该问题上取得了多年来的一些初步进展。
在那项工作中， 发表在 数学年鉴, 数学家 艾蒂安·福弗里 和 于尔根·克鲁纳斯 表明值的比例 d 适用于负 Pell 方程的值落在一定范围内。 为此，他们掌握了相关类组的某些元素的行为。 但他们需要了解更多元素，才能了解史蒂文哈根更精确的 58% 估计。 不幸的是，这些元素仍然难以理解：仍然需要新的方法来理解它们的结构。 进一步的进展似乎是不可能的。
然后，在 2017 年，当科曼斯和帕加诺一起在莱顿大学读研究生时， 出现了一篇论文 这改变了一切。 “当我看到这一点时，我立即意识到这是一个非常非常令人印象深刻的结果，”科曼斯说。 “就像，好吧，现在我有一个大炮可以解决这个问题，并希望我能取得进展。” （当时，史蒂文哈根和伦斯特拉也是莱顿的教授，这有助于激发科曼斯和帕加诺对这个问题的兴趣。）
这篇论文是哈佛的一名研究生写的， 亚历山大·史密斯 （现在是斯坦福大学的克莱研究员）。 Koymans 和 Pagano 并不是唯一一个将这项工作称为突破的人。 “这些想法太棒了，”格兰维尔说。 “革命者。”
史密斯一直试图理解称为椭圆曲线的方程的解的性质。 在这样做的过程中，他制定了 Cohen-Lenstra 启发式的特定部分。 这不仅是巩固这些更广泛的猜想为数学事实的第一个重要步骤，而且它恰好涉及科曼斯和帕加诺在他们关于史蒂文哈根猜想的工作中需要理解的类组的一部分。 （这篇文章包括了 Fouvry 和 Klüners 在他们的部分结果中研究过的元素，但也远远超出了他们的范围。）
然而，科曼斯和帕加诺不能简单地立即使用史密斯的方法。 （如果可能的话，史密斯本人可能会这样做。）史密斯的证明是关于与正确数环相关的类群（其中 $latex sqrt{d}$ 与整数相邻）——但他考虑了所有的整数值 d. 另一方面，Koymans 和 Pagano 只考虑了这些价值观的一小部分 d. 因此，他们需要评估一小部分班级群体的平均行为。
这些类组基本上构成了 Smith 类组的 0%——这意味着 Smith 在写他的证明时可以把它们扔掉。 他们根本没有对他正在研究的平均行为做出贡献。
当科伊曼斯和帕加诺试图将他的技术应用于他们关心的班级群体时，这些方法立即失效了。 这对搭档需要做出重大改变才能让它们发挥作用。 此外，他们不仅仅是描述一个阶级群体，而是两个不同阶级群体之间可能存在的差异（这样做将是他们证明史蒂文哈根猜想的主要部分）——这也需要一些不同的工具。
所以科曼斯和帕加诺开始更仔细地梳理史密斯的论文，希望能准确找出事情开始偏离轨道的地方。 这是一项艰巨而艰苦的工作，不仅因为材料如此复杂，还因为史密斯当时仍在完善他的预印本，进行必要的更正和澄清。 （他发布了 他论文的新版本 上个月上线。）
整整一年，Koymans 和 Pagano 一起逐行学习了这个证明。 他们每天见面，午餐时讨论特定的部分，然后在黑板上花费几个小时，帮助彼此完成相关的想法。 如果其中一个人自己取得了进展，他会给另一个人发短信通知他。 舒斯特曼回忆起有时看到他们工作到深夜。 尽管（或者可能是因为）它带来了挑战，但“一起做这件事非常有趣，”科曼斯说。
他们最终确定了需要尝试新方法的地方。 起初，他们只能进行适度的改进。 与数学家一起 斯蒂芬妮·陈 和 乔尔乔·米洛维奇，他们想出了如何处理类组中的一些额外元素，这使他们能够获得比 Fouvry 和 Klüners 更好的界限。 但是阶级群体结构的重要部分仍然没有被他们发现。
他们必须解决的一个主要问题——史密斯的方法在这种新情况下不再适用——是确保他们真正将阶级群体的“平均”行为分析为 d 变得越来越大。 为了建立适当程度的随机性，科曼斯和帕加诺证明了一套复杂的规则，称为互惠定律。 最后，这使他们能够控制两个班级之间的差异。
这一进展与其他进展一起，使他们终于在今年早些时候完成了史蒂文哈根猜想的证明。 “他们能够完全解决这个问题真是太神奇了，”Chan 说。 “以前，我们遇到了所有这些问题。”
史密斯说，他们的所作所为“让我感到惊讶”。 “Koymans 和 Pagano 有点保留了我的旧语言，只是用它在一个我几乎不再理解的方向上越走越远。”
最锋利的工具
从五年前他介绍它开始，Smith 对 Cohen-Lenstra 启发式的一部分的证明被视为打开许多其他问题的大门的一种方式，包括有关椭圆曲线和其他感兴趣的结构的问题。 （在他们的论文中，Koymans 和 Pagano 列出了十几个他们希望使用他们的方法的猜想。许多与负 Pell 方程甚至类群无关。）
“许多物体的结构与这些代数群没有什么不同，”格兰维尔说。 但科曼斯和帕加诺不得不面对的许多相同障碍也存在于这些其他情况下。 关于负佩尔方程的新工作有助于消除这些障碍。 “亚历山大·史密斯已经告诉我们如何制造这些锯子和锤子，但现在我们必须使它们尽可能锋利、尽可能坚硬，并尽可能适应不同的情况，”巴特尔说。 “本文所做的其中一件事就是朝着这个方向大步前进。”
与此同时，所有这些工作都提高了数学家对班级群体的一个方面的理解。 Cohen-Lenstra 猜想的其余部分仍然遥不可及，至少目前如此。 但 Koymans 和 Pagano 的论文“表明我们在 Cohen-Lenstra 中解决问题的技术正在成长，”Smith 说。
Lenstra 本人也同样乐观。 他在一封电子邮件中写道，这“绝对壮观”。 “它确实为与数论本身一样古老的数论分支开辟了新篇章。”
