永不重复的瓷砖可以保护量子信息广达杂志

如果你想在浴室地板上铺瓷砖，方形瓷砖是最简单的选择——它们以网格图案无间隙地组合在一起，可以无限期地延续。该方形网格具有许多其他平铺所共享的属性：将整个网格移动固定的量，得到的图案与原始图案没有区别。但对许多数学家来说，这种“周期性”平铺很无聊。如果您看到了一小块，那么您就已经看到了全部。

1960世纪XNUMX年代，数学家开始研究 “非周期性”瓷砖组 具有更丰富的行为。也许最著名的是博学物理学家、未来的诺贝尔奖获得者在 1970 世纪 XNUMX 年代发现的一对菱形瓷砖 罗杰·彭罗斯。这两个瓷砖的副本可以形成无限多种不同的图案，并且永远持续下去，称为彭罗斯瓷砖。然而，无论您如何排列瓷砖，您都永远不会得到周期性重复的图案。

“这些瓷砖本来就不应该存在，”说 尼古拉斯·布雷克曼，布里斯托大学物理学家。

半个多世纪以来，非周期平铺一直令数学家、爱好者和许多其他领域的研究人员着迷。现在，两位物理学家发现了非周期性平铺与计算机科学的一个看似无关的分支之间的联系：研究未来的量子计算机如何将信息编码为 避免错误。 在 纸 研究人员于 11 月发布到预印本服务器 arxiv.org 上，展示了如何将彭罗斯平铺转换为一种全新类型的量子纠错码。他们还基于其他两种非周期性平铺构建了类似的代码。

对应关系的核心是一个简单的观察：在非周期平铺和量子纠错码中，了解大型系统的一小部分并不能揭示整个系统的任何信息。

“这是那些回想起来似乎显而易见的美丽事物之一，”说 托比库比特，伦敦大学学院的量子信息研究员。 “你会说，‘我为什么没有想到这一点？’”

禁忌知识

普通计算机使用具有两种不同状态（标记为 0 和 1）的位来表示信息。量子位或量子位同样具有两种状态，但它们也可以被诱导成所谓的叠加，其中 0 和 1 状态共存。通过利用涉及许多量子位的更复杂的叠加， 量子计算机 可以比任何传统机器更快地执行某些计算。

然而量子叠加态是一种容易受惊的生物。测量处于叠加状态的量子位，它会崩溃到 0 或 1，从而消除正在进行的任何计算。更糟糕的是，量子位与其环境之间的微弱相互作用所产生的错误可能会模仿测量的破坏性影响。任何以错误方式干扰量子位的事物，无论是爱管闲事的研究人员还是杂散光子，都可能破坏计算。

这种极端的脆弱性可能会让量子计算听起来毫无希望。但在 1995 年，应用数学家 Peter Shor 发现 存储量子信息的巧妙方法。他的编码有两个关键属性。首先，它可以容忍仅影响单个量子位的错误。其次，它附带了一个纠正错误发生的程序，防止错误堆积并导致计算脱轨。肖尔的发现是量子纠错码的第一个例子，它的两个关键属性是所有此类代码的定义特征。

第一个属性源于一个简单的原则：秘密信息在分割后不易受到攻击。间谍网络采用类似的策略。每个间谍对整个网络知之甚少，因此即使有人被捕，组织仍然安全。但量子纠错码将这种逻辑发挥到了极致。在量子间谍网络中，任何一个间谍都不会知道任何事情，但他们在一起就会知道很多。

每个量子纠错码都是一个特定的配方，用于将量子信息分布在集体叠加态的许多量子位上。该过程有效地将物理量子位簇转换为单个虚拟量子位。使用大量量子位重复该过程多次，您将获得许多可用于执行计算的虚拟量子位。

组成每个虚拟量子位的物理量子位就像那些不经意的量子间谍。测量它们中的任何一个，你都不会了解它所属的虚拟量子位的状态——一种称为局部不可区分性的属性。由于每个物理量子位不编码任何信息，因此单个量子位中的错误不会破坏计算。重要的信息在某种程度上无处不在，但又无特定地点。

“你不能将其归结为任何单个量子位，”库比特说。

所有量子纠错码都可以吸收至少一个错误，而不会对编码信息产生任何影响，但随着错误的累积，它们最终都会屈服。这就是量子纠错码的第二个属性发挥作用的地方——实际纠错。这与局部不可区分性密切相关：因为单个量子位中的错误不会破坏任何信息，所以总是有可能 逆转任何错误 使用针对每个代码的既定程序。

搭便车

李志加拿大滑铁卢周界理论物理研究所博士后，精通量子纠错理论。但当他与同事交谈时，这个话题就远离了他。 莱瑟姆博伊尔。那是 2022 年秋天，两位物理学家乘坐晚班班车从滑铁卢飞往多伦多。博伊尔是一位非周期性瓷砖专家，当时住在多伦多，现在在爱丁堡大学，他是那些经常在交通拥堵的班车上的熟悉面孔。

“通常情况下，他们可能会非常痛苦，”博伊尔说。 “这就像有史以来最伟大的一次。”

在那个决定命运的夜晚之前，李和博伊尔彼此了解对方的工作，但他们的研究领域并不直接重叠，他们也从未进行过一对一的交谈。但就像无数不相关领域的研究人员一样，李对非周期性平铺感到好奇。 “很难不感兴趣，”他说。

当博伊尔提到非周期性平铺的一个特殊属性：局部不可区分性时，兴趣变成了迷恋。在这种情况下，该术语的含义有所不同。同一组瓷砖可以形成无限多个整体看起来完全不同的瓷砖，但不可能通过检查任何局部区域来区分任何两个瓷砖。这是因为任何平铺的每个有限补丁，无论有多大，都会出现在所有其他平铺中的某个位置。

“如果我把你放在一块瓷砖或另一块瓷砖上，并用你的余生去探索，你将永远无法弄清楚我是把你放在你的瓷砖上还是我的瓷砖上，”博伊尔说。

对于李来说，这似乎与量子纠错中局部不可区分性的定义极其相似。他提到了与博伊尔的联系，博伊尔立即惊呆了。这两个案例的基本数学原理截然不同，但相似之处却令人难以忽视。

李和博伊尔想知道他们是否可以通过构建基于一类非周期平铺的量子纠错码来在局部不可区分性的两个定义之间建立更精确的联系。他们在整个两个小时的班车旅程中继续交谈，当他们到达多伦多时，他们确信这样的代码是可能的——这只是构建一个正式证明的问题。

量子瓷砖

李和博伊尔决定从彭罗斯瓷砖开始，这种瓷砖简单而熟悉。为了将它们转换成量子纠错码，他们必须首先定义量子态和错误在这个不寻常的系统中是什么样子。那部分很容易。覆盖有彭罗斯瓦片的无限二维平面，就像量子位网格一样，可以使用量子物理学的数学框架来描述：量子态是特定的瓦片而不是 0 和 1。错误只会删除平铺模式的单个补丁，就像量子位数组中的某些错误会消除小簇中每个量子位的状态一样。

下一步是确定不受局部错误影响的平铺配置，例如普通量子纠错码中的虚拟量子位状态。与普通代码一样，解决方案是使用叠加。精心挑选的彭罗斯瓷砖叠加类似于世界上最优柔寡断的室内装饰师提出的浴室瓷砖布置。即使这张杂乱的蓝图缺失了一块，它也不会泄露有关整体平面图的任何信息。

为了使这种方法发挥作用，李和博伊尔首先必须区分不同的彭罗斯平铺之间两种性质不同的关系。给定任何平铺，您可以通过向任何方向移动或旋转它来生成无限数量的新平铺。以这种方式生成的所有平铺的集合称为等价类。

但并非所有彭罗斯平铺都属于同一等价类。一个等价类中的平铺无法通过旋转和平移的任何组合转换为另一类中的平铺 - 这两种无限模式在本质上是不同的，但在局部上仍然无法区分。

有了这种区别，李和博伊尔最终可以构建一个纠错码。回想一下，在普通的量子纠错码中，虚拟量子位被编码为物理量子位的叠加。在基于平铺的代码中，类似的状态是单个等价类中所有平铺的叠加。如果平面是用这种叠加方式平铺的，那么就会有一个过程来填充间隙，而不会透露有关整个量子态的任何信息。

“在量子计算机发明之前，彭罗斯平铺在某种程度上就知道量子纠错，”博伊尔说。

李和博伊尔对乘坐公交车的直觉是正确的。从深层次来说，局部不可区分性的两个定义本身是无法区分的。

寻找模式

尽管在数学上有很好的定义，但李和博伊尔的新代码几乎不实用。彭罗斯平铺中的平铺边缘不会以规则的间隔下降，因此指定其分布需要连续实数而不是离散整数。另一方面，量子计算机通常使用离散系统，例如量子位网格。更糟糕的是，彭罗斯平铺仅在无限平面上局部无法区分，这不能很好地转化为有限的现实世界。

“这是一种非常奇怪的联系，”说 芭芭拉·特哈尔代尔夫特理工大学量子计算研究员。 “但将其落地也很好。”

李和博伊尔已经朝这个方向迈出了一步，他们构建了另外两种基于平铺的代码，其中底层量子系统在一种情况下是有限的，在另一种情况下是离散的。离散代码也可以是有限的，但仍然存在其他挑战。两种有限码只能纠正聚集在一起的错误，而最流行的量子纠错码可以处理随机分布的错误。目前尚不清楚这是否是基于平铺的代码的固有限制，或者是否可以通过更聪明的设计来规避。

“还有很多后续工作可以做，”说 菲利克斯·弗里克，布里斯托大学物理学家。 “所有好的论文都应该做到这一点。”

需要更好地理解的不仅仅是技术细节——新发现还提出了更基本的问题。显而易见的下一步是确定哪些其他平铺也可以用作代码。就在去年，数学家发现 非周期性瓷砖家族 每个人只使用一个瓷砖。彭罗斯在一封电子邮件中写道：“看看这些最近的发展可能如何与量子纠错问题联系起来，这将是令人着迷的。”

另一个方向涉及探索量子纠错码和某些特定内容之间的联系 量子引力模型。 在 2020纸、博伊尔、弗里克和已故的马德琳·狄更斯表明，非周期性平铺出现在这些模型的时空几何中。但这种联系源于瓷砖的一种特性，而这种特性在李和博伊尔的作品中并没有发挥任何作用。量子引力、量子纠错和非周期平铺似乎是一个谜题的不同部分，研究人员才刚刚开始了解其轮廓。与非周期性瓷砖本身一样，弄清楚这些部件如何组合在一起可能非常微妙。

“这些不同的事物之间有着深厚的联系，”弗利克说。 “这一系列诱人的联系亟待解决。”