概率论和数论的碰撞——瞬间

他们的野心总是很高的。 当 Will Sawin 和 Melanie Matchett Wood 在 2020 年夏天开始合作时，他们开始重新思考数论中一些最诱人的猜想的关键组成部分。 他们关注的主题，班级，与当数字扩展到整数之外时算术如何工作的基本问题密切相关。 萨温，在哥伦比亚大学，和 木材，在哈佛，想要预测比班级组更普遍和数学上更吓人的结构。

甚至在他们完成预测之前，他们在 XNUMX 月就证明了 新结果 这让数学家不仅可以将概率论中最有用的工具之一应用于类群，还可以应用于数字、网络和许多其他数学对象的集合。

“这将成为每个人开始思考这些问题时都会转向的基础论文，”说 大卫·祖里克-布朗，埃默里大学的数学家。 “感觉你不必再从头开始发明东西了。”

集体法案

类组是称为组的结构化数学集的示例。 组包括许多熟悉的集合，如整数。 使整数成为一个组而不仅仅是一组数字的原因是您可以将其元素加在一起并得到另一个整数。 一般来说，如果一个集合带有一些操作，比如加法，以满足一些基本要求的方式将两个元素组合成第三个元素，那么它就是一个组。 例如，应该有一个零版本，一个不改变任何其他元素的元素。

数学家通常称之为 $latex mathbb{Z}$ 的整数是无限的。 但是很多群的元素数量是有限的。 例如，要创建一个包含四个元素的组，请考虑集合 {0, 1, 2, 3}。 不是执行常规加法，而是将任意两个数字的总和除以 4，然后取余数。 （根据这些规则，2 + 2 = 0，2 + 3 = 1。）这个组称为 $latex mathbb{Z}/4mathbb{Z}$。

一般来说，如果你想用 $latex n$ 元素组成一个组，你可以把数字从零到 n – 1 并在除以时考虑余数 n. 生成的组称为 $latex mathbb{Z}/nmathbb{Z}$，尽管这并不总是唯一具有 n 元素。

当数论家研究整数以外的数的结构时，类群就出现了。 为此，他们将新数字添加到整数中，例如 i （−1 的平方根）、$latex sqrt{5}$，甚至 $latex sqrt{–5}$。

“在这种情况下，我们习惯的关于数字的事情不再正确。 或者至少，它们不一定是真的，”说 乔丹·埃伦伯格，威斯康星大学麦迪逊分校的数学家。

具体来说，因式分解在整数扩展中的工作方式不同。 如果你坚持只使用整数，那么数字只能以一种方式分解为素数（只能被其自身和 1 整除的数字）。 例如6是2×3，不能分解成其他素数。 此属性称为唯一分解。

但是，如果您将 $latex sqrt{–5}$ 添加到您的数字系统中，您将不再具有唯一因式分解。 您可以通过两种不同的方式将 6 分解为素数。 它仍然是 2 × 3，但它也是 $latex (1 + sqrt{–5})$ × $latex (1 – sqrt{–5})$。

类组是从对整数的这种扩展创建的。 “班级团体非常重要，”伍德说。 “所以很自然地想知道：他们通常是什么样的？”

与整数的任何扩展关联的类组的大小是唯一分解分解多少的晴雨表。 尽管数学家已经证明类群总是有限的，但要弄清楚它们的结构和大小却很复杂。 这就是为什么在 1984 年，Henri Cohen 和 Hendrik Lenstra 大胆猜测. 他们的猜想，现在称为 Cohen-Lenstra 启发式，涉及当您向整数添加新平方根时弹出的所有类组。 如果将所有这些类组聚集在一起，Cohen 和 Lenstra 建议回答以下问题：其中有多少比例包含组 $latex mathbb{Z}/3mathbb{Z}$？ 或者 $latex mathbb{Z}/7mathbb{Z}$？ 或者其他一些已知类型的有限群？

Cohen 和 Lenstra 促使数论家不仅要考虑类群的孤立例子，还要考虑构成类群整体基础的统计数据。 他们的预测利用了数学作为一个宇宙的愿景，其模式在每个层次上都有待发现。

将近 40 年后，Cohen-Lenstra 启发式被广泛认为是正确的，尽管没有人接近证明它们。 他们对数学的影响是显而易见的，威斯康星大学麦迪逊分校名誉教授奈杰尔波士顿说。 “我们发现的是这个惊人的网络，”他说。 “我们认为世界的组合方式有这种巨大的基础设施。”

镇上唯一的游戏

由于无法直接解决启发式问题，数学家提出了更易处理的问题，他们希望这些问题能够阐明情况。 从那项工作中，出现了一组有用的量，数学家开始在概率论中使用的术语之后称其为矩。

在概率方面，矩可以帮助您计算出随机数背后的分布。 例如，考虑一下纽约市 1 月 1 日的日高温分布——明年 10 月 40 日为华氏 70 度、120 度、1 度或 XNUMX 度的可能性。 with 是过去的数据：历史记录以来每年 XNUMX 月 XNUMX 日的每日最高点。

如果你计算这些温度的平均值，你会学到一点，但不是全部。 40 度的平均高温并不能告诉您温度高于 50 度或低于 20 度的可能性。

但是，如果您获得更多信息，情况就会改变。 具体来说，您可能会了解温度平方的平均值，这个量称为分布的二阶矩。 （平均值是第一个矩。）或者你可以学习立方体的平均值，这被称为三次矩，或四次方的平均值——第四个矩。

到 1920 年代，数学家已经发现，如果这个系列中的矩增长得足够慢，那么知道所有的矩就可以推断出只有一种可能的分布具有这些矩。 （尽管这并不一定能让您直接计算该分布。）

“这真的很不直观，”伍德说。 “如果你想到一个连续分布，它有一些形状。 感觉它拥有的不仅仅是一系列数字所能捕捉到的。”

对 Cohen-Lenstra 启发式感兴趣的数学家发现，正如概率论中的矩可以用来获得概率分布一样，以特定方式为类组定义的矩可以作为一个透镜，通过它我们可以看到它们的大小和结构. 多伦多大学的数学家 Jacob Tsimerman 表示，他无法想象如何直接计算出班级人数的分布。 他说，利用时刻“非常简单。 这是镇上唯一的游戏。”

魔法时刻

虽然概率中的每个时刻都与一个整数（三次方、四次方等）相关联，但数论学家引入的新数量每个都对应一个群。 这些新的时刻取决于这样一个事实，即您通常可以通过将不同的元素折叠在一起来将一个组缩小为一个较小的组。

计算与组关联的矩 G，采用所有可能的类组——一个对应于您添加到整数的每个新平方根。 对于每个班级组，计算可以将其折叠成的不同方式的数量 G. 然后，取这些数字的平均值。 这个过程可能看起来很复杂，但它比 Cohen 和 Lenstra 预测背后的实际分布要容易得多。 尽管 Cohen-Lenstra 启发式本身表述起来很复杂，但它们预测的分布矩均为 1。

“这让你觉得，哇，也许这些时刻是接近它的自然方式，”埃伦伯格说。 “能够证明某个东西等于 1 似乎比证明它等于某个疯狂的无限乘积更可信。”

当数学家研究群体（类群体或其他）的分布时，他们最终得到每个群体的方程式 G，现在的概率代表看起来像 $latex mathbb{Z}/3mathbb{Z}$ 的类组的比例。 对于无限多的方程式和无限多的可能类别组，求解概率非常棘手。 这样做是否有意义并不明显。

“当你有无限的总和时，事情就会出错，”伍德说。

然而，数学家仍然无法找到研究分布的其他途径，因此不断回到矩问题。 在发表于 数学年鉴 2016 年，Ellenberg 与 Akshay Venkatesh 和 Craig Westerland 一起， 用过的时刻 在与 Cohen 和 Lenstra 考虑的略有不同的环境中研究班级群体的统计数据。 这个想法是 重用 几个 时. 但每次研究人员使用这些矩时，他们都会依靠他们特定问题的怪癖来证明无限方程组有解。 这意味着他们的技术不可转让。 下一位需要使用矩的数学家将不得不重新解决矩问题。

在合作之初，Sawin 和 Wood 也打算走这条路。 他们会利用时刻来预测更复杂版本的班级群体是如何分布的。 但是在他们的项目进行了大约一年后，他们将注意力转向了当下的问题本身。

偏离轨道

同事们形容 Sawin 和 Wood 对他们的工作异常热情。 “他们都很聪明。 但是有很多聪明人，”Zureick-Brown 说。 “他们只是对做数学有这种积极的态度。”

最初，Sawin 和 Wood 想利用矩将 Cohen-Lenstra 的预测扩展到新的设置。 但是他们很快就对他们的时刻问题争论不满意了。 “我们需要反复写类似的论点，”萨温回忆道。 此外，他补充说，他们使用的数学语言“似乎并没有成为争论的核心……想法是存在的，但我们只是没有找到表达它们的正确方法。”

Sawin 和 Wood 对他们的证明进行了更深入的挖掘，试图找出其背后的真相。 他们最终得到了一个证明，不仅解决了他们的特定应用，而且解决了任何群分布——以及所有其他数学结构的矩问题。

他们将问题分解为小的、可管理的步骤。 他们没有试图一次性解决整个概率分布，而是只关注一小部分时刻。

例如，要解决组概率分布的矩问题，每个矩都与一个组相关联 G. 起初，Sawin 和 Wood 会研究一个方程组，其中仅包含有限组列表的矩. 然后他们会慢慢地将组添加到列表中，每次都会查看越来越多的时刻。 通过逐步使问题变得更加复杂，他们将每一步都变成了一个可解决的问题。 一点一点地，他们建立了一个完整的解决当前问题的方法。

“这个固定列表有点像你戴的眼镜，你愿意考虑的群体越多，你的眼镜就越好，”伍德解释道。

当他们最终清除掉最后一个无关的细节时，他们发现自己陷入了一场涉及数学的争论。 他们的结果适用于班级组、与几何形状相关的组、点和线的网络，以及其他具有更多数学复杂性的集合。 在所有这些情况下，Sawin 和 Wood 找到了一个公式，该公式接受一组矩并吐出具有这些矩的分布（只要矩不会增长太快，以及其他要求）。

“这非常符合 Melanie 的风格，”Ellenberg 说。 “就像，'让我们证明一个非常普遍的定理，它可以统一而优雅地处理许多不同的情况。'”

Sawin 和 Wood 现在正在回到他们最初的目标。 一月初，他们分享了 新的纸张 纠正 错误的 Cohen-Lenstra 预测 由 Cohen 和他的同事 Jacques Martinet 在 1980 年代后期制作。 除此之外，他们的队列中还有更多结果，并计划将启发式方法扩展到更多新情况。 “我不知道这个项目是否会永远结束，”Sawin 说。

Sawin 和 Wood 解决的问题“对于很多不同的问题来说都是一个棘手的问题，”Tsimerman 说。 “我认为很多数学家都会松一口气。”