具有哈达玛检验和近似幅度约束的量子 Goemans-Williamson 算法

具有哈达玛检验和近似幅度约束的量子 Goemans-Williamson 算法

时间戳：12年2023月8日上午29:XNUMX

泰勒·帕蒂1,2让·科赛菲2、阿尼玛·阿南德库马尔3,2和苏珊·F·叶琳1

1哈佛大学物理系，美国马萨诸塞州剑桥02138
2NVIDIA，美国加利福尼亚州圣克拉拉 95051
3加州理工学院 (Caltech) 计算与数学科学系 (CMS)，Pasadena, CA 91125 USA

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抽象

半定程序是具有广泛应用的优化方法，例如近似困难的组合问题。 Goemans-Williamson 算法就是这样一个半定程序，它是一种流行的整数松弛技术。 我们为 Goemans-Williamson 算法引入了一种变分量子算法，该算法仅使用 $n{+}1$ 量子位、恒定数量的电路准备和 $text{poly}(n)$ 期望值来近似求解半定程序最多具有 $N=2^n$ 变量和 $M sim O(N)$ 约束。 通过将目标矩阵编码为以辅助量子位为条件的正确参数化酉矩阵，可以实现高效优化，这种技术称为哈达玛测试。 哈达玛测试使我们能够通过仅估计辅助量子位的单个期望值来优化目标函数，而不是单独估计指数级的多个期望值。 类似地，我们说明可以通过实施第二个哈达玛测试以及施加多项式泡利弦振幅约束来有效地强制执行半定规划约束。 我们通过针对各种 NP 难题（包括 MaxCut）设计 Goemans-Williamson 算法的高效量子实现来证明我们协议的有效性。 我们的方法在 GSet 库中经过充分研究的 MaxCut 问题的不同子集上超过了类似经典方法的性能。

Quantum Goemans-Williamson Algorithm with the Hadamard Test and Approximate Amplitude Constraints PlatoBlockchain Data Intelligence. Vertical Search. Ai.

特色图片：具有 $n=3$ 个非辅助量子位的 Goemans-Williamson 算法的 HTAAC-QSDP 图表。 a) $N$ 变量的经典问题（这里是 $N$ 顶点 MaxCut 问题，其中 $N=8$）。 权重矩阵$W$用于生成酉$U_W$。 b) Hadamard 检验用于有效评估目标函数和总体平衡约束。 $n$-量子位状态 $|psirangle = U_V|mathbf{0}rangle$ 是用变分量子电路 $U_V$ 准备的。 第 $n+1$ 个（辅助）量子位初始化为 $(|0rangle -i |1rangle)/sqrt{2}$。 随后，进行哈达玛测试：$U_W$ 被实现为以辅助量子位为条件的受控酉，然后对其进行测量以计算 $langle sigma_{n+1} rangle_{W,t} = text{Im} [langle psi|U_W|psi rangle]$ 或 $langle sigma_{n+1} rangle_{P,t} = 文本{Im}[langle psi|U_P|psi rangle]$。 c) $M=2^n$ SDP 振幅约束仅通过 $m sim text{poly}(n)$ Pauli 字符串约束来近似强制执行。 这些是通过收集 $n$-qubit Pauli-$z$ 测量值并使用边际统计来估计 $m$ 期望值来计算的。

热门摘要

半定程序使我们能够逼近各种困难问题，包括 NP 困难问题。 Goemans-Williamson 算法就是这样一种半定程序，它可以解决 MaxCut 等难题。 我们为 Goemans-Williamson 算法引入了一种变分量子算法，该算法仅使用 $n{+}1$ 量子位、恒定数量的电路准备和多项式数量的期望值，以便近似求解指数数为变量和约束。 我们将问题编码到量子电路（或酉）中，并在单个辅助量子位上将其读出，这种技术称为哈达玛测试。 类似地，我们说明问题约束可以通过 1）第二个 Hadamard 测试和 2）多项式泡利弦约束来强制执行。 我们通过针对各种 NP 难题（包括 MaxCut）设计 Goemans-Williamson 算法的高效量子实现来证明我们协议的有效性。 我们的方法在经过充分研究的 MaxCut 问题的不同子集上超过了类似经典方法的性能。

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