改变数论的隐藏联系 | 广达杂志

素数分为三种。 第一个是孤立的异常值：2，唯一的偶素数。 之后，一半素数除以 1 余数为 4。另一半素数除以 3 余数。（5 和 13 属于第一阵营，7 和 11 属于第二阵营。）没有明显的理由余数-1 素数和余数 3 素数应该以根本不同的方式表现。 但他们确实如此。

一个关键的区别源于一种称为二次互易性的性质，该性质首先由卡尔·高斯证明，他可以说是 19 世纪最有影响力的数学家。 “这是一个相当简单的陈述，它在任何地方都有应用，在各种数学中，而不仅仅是数论，”说 詹姆斯·里卡兹，科罗拉多大学博尔德分校的数学家。 “但它也不够明显，不足以真正有趣。”

数论是数学的一个分支，研究整数（而不是形状或连续量）。 素数（只能被 1 和它们本身整除的数）是其核心，就像 DNA 是生物学的核心一样。 二次互易性改变了数学家关于证明它们的可能性的概念。 如果你把素数想象成一座山脉，那么互易就像一条狭窄的小路，让数学家们攀登到以前无法到达的山峰，并从这些山峰中看到隐藏的真理。

尽管这是一个古老的定理，但它仍然有新的应用。 今年夏天，里卡兹和他的同事 凯瑟琳斯坦奇，和两名学生一起， 反驳了一个被广泛接受的猜想 关于如何将小圆圈包装在大圆圈内。 结果震惊了数学家。 彼得·萨纳克高等研究院和普林斯顿大学的数论学家在她的团队成立后不久的一次会议上与斯坦奇进行了交谈 发布 他们的论文。 “她告诉我她有一个反例，”萨纳克回忆道。 “我立即问她，‘你在什么地方使用互惠原则吗？’ 这确实是她正在使用的。”

素数对中的模式

要理解互易性，您首先需要理解模运算。 当您除以一个称为模数的数字时，模运算依赖于计算余数。 例如，9 模 7 为 2，因为如果将 9 除以 7，则余数为 2。在模 7 数字系统中，有 7 个数字：{0, 1, 2, 3, 4, 5 , 6}。 您可以对这些数字进行加、减、乘、除操作。

就像整数一样，这些数字系统可以有完全平方数——另一个数字乘以自身的乘积。 例如，0、1、2 和 4 是模 7 的完美平方（0 × 0 = 0、1 × 1 = 1、2 × 2 = 4 和 3 × 3 = 2 mod 7）。 每个普通平方都等于 0、1、2 或 4 模 7。（例如，6 × 6 = 36 = 1 mod 7。）由于模数系统是有限的，所以完全平方更常见。

二次互易源于一个相对简单的问题。 给定两个素数 p 和 q，如果你知道的话 p 是一个完美平方模 q，你能说是否 q 是一个完美平方模 p?

事实证明，只要 p or q 除以 1 时余数为 4，如果 p 是一个完美平方模 q， 然后 q 也是一个完美平方模 p。 据说这两个素数是相互作用的。

另一方面，如果他们都留下 3 的余数（例如 7 和 11），那么他们不会互惠：如果 p 是平方模 q，这意味着 q 不会是平方模 p。 在这个例子中，11 是模 7 的平方，因为 11 = 4 mod 7 并且我们已经知道 4 是模 7 的完美平方之一。因此 7 不是模 11 的平方。如果你取普通的列表平方 (4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, …) 并查看它们对 11 的余数，那么 7 永远不会出现。

用专业术语来说，这真的很奇怪！

概括的力量

像许多数学思想一样，互易性之所以具有影响力，是因为它可以推广。

1801 年高斯发表了第一个二次互易性证明后不久，数学家们试图将这个想法扩展到平方之外。 “为什么不是第三次方或第四次方呢？ 他们想象也许存在三次互易律或四次互易律，”说 基思·康拉德，康涅狄格大学的数论学家。

但他们陷入了困境，康拉德说，“因为没有简单的模式。” 一旦高斯将互易性带入复数领域，这种情况就发生了变化，复数加上负 1 的平方根，表示为 i, 为普通数。 他提出了这样的想法：数论学家不仅可以分析普通整数，还可以分析其他类似整数的数学系统，例如所谓的高斯整数，它们是实部和虚部都是整数的复数。

对于高斯整数，素数的整个概念发生了变化。 例如，5 不再是质数，因为 5 = (2 + i) × (2 − i）。 “你必须像回到小学一样重新开始，”康拉德说。 1832 年，高斯证明了以他的名字命名的复整数的四次互反律。

突然间，数学家们学会了将模运算和因式分解等工具应用于这些新的数字系统。 康拉德表示，二次互易是其灵感来源。

没有复杂数字就难以捉摸的模式现在开始出现。 到 1840 年代中期，戈特霍尔德·爱森斯坦 (Gotthold Eisenstein) 和卡尔·雅各比 (Carl Jacobi) 证明了第一个三次互易定律。

然后，在 1920 年代，现代代数创始人之一埃米尔·阿廷 (Emil Artin) 发现了康拉德 (Conrad) 所说的“终极互易定律”。 所有其他互易律都可以被视为阿廷互易律的特例。

一个世纪后，数学家们仍在设计高斯第一个二次互易定律的新证明，并将其推广到新的数学环境中。 拥有许多不同的证据可能很有用。 “如果你想将结果扩展到新的环境，也许其中一个论点很容易延续下去，而其他论点则不会，”康拉德说。

为什么互惠如此有用

二次互易用于图论、代数拓扑和密码学等多种研究领域。 后者是 1982 年开发的一种有影响力的公钥加密算法 沙菲·戈德华瑟 和 Silvio Micali 取决于两个大素数的乘法 p 和 q 一起并输出结果， N，以及一个数字， x，这不是平方模数 N。 该算法使用 N 和 x 将数字消息加密为更大数字的字符串。 解密该字符串的唯一方法是确定加密字符串中的每个数字是否是平方模 N — 如果不知道素数的值，几乎不可能 p 和 q.

当然，二次互易性在数论中反复出现。 例如，它可以用来证明任何等于 1 模 4 的素数都可以写成两个平方和（例如，13 等于 1 模 4，并且 13 = 4 + 9 = 2² + 3²）。 相比之下，等于 3 模 4 的素数永远不能写成两个平方和。

萨纳克指出，互易性可以用来解决悬而未决的问题，比如找出哪些数字可以写成三个立方之和。 众所周知，4 或 5 模 9 的数字不等于三个立方之和，但其他数字仍然是个谜。 （2019 年，安德鲁·布克 生成的头条新闻 当他发现 (8,866,128,975,287,528)8,778,405,442,862,239 + (−2,736,111,468,807,040)33 + (−XNUMX)XNUMX = XNUMX 时。）

斯坦奇说，尽管互惠有许多应用和许多不同的证明，但它仍然是一个谜。

“数学证明经常发生的情况是你可以遵循每一步； 你可以相信这是真的，”她说。 “但你仍然可能会在另一端感觉，‘但是为什么呢？’”

从内心深处理解是什么让 7 和 11 与 5 和 13 不同可能永远是遥不可及的。 “我们只能兼顾这么多的抽象层次，”她说。 “它在数论中随处可见……然而，它只是超出了你真正可以知道的范围。”

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