台球桌的神秘数学|广达杂志

在迪士尼 1959 年的电影中 数学魔法世界中的唐纳德唐老鸭的灵感来自于叙述者对台球几何形状的描述， 大力击打母球，在它最终击中预定的球之前将其发送到桌子周围弹跳。唐纳德问：“你觉得数学怎么样？”

由于矩形台球桌有四个壁以直角相交，因此像唐纳德这样的台球轨迹是可预测且易于理解的——即使它们在实践中很难执行。然而，研究数学家仍然无法回答有关其他多边形（具有平坦边的形状）形状的台球在桌子上可能的轨迹的基本问题。即使是三角形这种最简单的多边形，也仍然充满着谜团。

是否总是可以击打一个球，使其返回到沿同一方向运动的起点，从而形成所谓的周期性轨道？没人知道。对于其他更复杂的形状，尚不清楚是否可以将球从桌子上的任何点击到桌子上的任何其他点。

尽管这些问题似乎非常适合高中教授的几何​​学范围，但解决这些问题的尝试需要一些世界上最顶尖的数学家引入来自不同领域的想法，包括动力系统、拓扑和微分几何。与任何伟大的数学问题一样，对这些问题的研究创造了新的数学，并反馈到其他领域并促进了知识的发展。然而，尽管付出了所有这些努力，并且现代计算机也带来了洞察力，这些看似简单的问题却顽固地无法解决。

以下是自从唐老鸭那令人难以置信的错综复杂的击球以来，数学家们对台球的了解。

他们通常假设他们的台球是一个无限小、无量纲的点，并且它以完美对称的方式从墙壁上反弹，以与到达时相同的角度离开，如下所示。

如果没有摩擦力，球就会无限地移动，除非它到达一个角落，就像口袋里的东西一样让球停下来。台球之所以难以进行数学分析，是因为落在角球两侧的两次几乎相同的击球可能会产生截然不同的轨迹。

分析多边形台球的一个关键方法是不要将球视为从桌子边缘弹起，而是想象每次球撞到墙壁时，它都会继续行进到翻转的桌子的新副本中。边缘，产生镜像。这个过程（如下所示）称为台球路径的展开，允许球继续沿直线轨迹运动。通过将想象的桌子折叠回其相邻的桌子上，您可以恢复球的实际轨迹。这种数学技巧使得证明有关轨迹的事情成为可能，否则这些事情很难被看到。

例如，它可以用来说明为什么简单的矩形表在每个点上都有无限多个周期性轨迹。类似的论点适用于任何矩形，但为了具体起见，想象一张宽度是长度两倍的桌子。

假设你想找到一个穿过桌子的周期轨道 n 长方向上的时间和 m 次在短方向。由于矩形的每个镜像对应于从墙壁弹起的球，因此为了使球返回到沿相同方向行进的起点，其轨迹必须在两个方向上穿过桌子偶数次。所以 m 和 n 必须是均匀的。布置一个由相同矩形组成的网格，每个矩形都被视为其邻居的镜像。从原始表格上的一点到副本上的相同点绘制一条线段 n 桌子在长方向上远离并且 m 桌子在短方向上远离。如果路径经过拐角，请稍微调整原点。这是一个例子，其中 n = 2并且 m = 6. 当向上折叠时，路径会产生周期性轨迹，如绿色矩形所示。

三角形不等式

三角形的台球没有矩形那样漂亮的直角几何形状，因此更加复杂。您可能还记得高中几何中的内容，三角形有几种类型： 锐角三角形，所有三个内角都小于 90 度；直角三角形，角为 90 度；钝角三角形，其中一个角大于 90 度。

形状为锐角三角形和直角三角形的台球桌具有周期性轨迹。但没有人知道钝角三角形是否也是如此。

要找到锐角三角形中的周期轨迹，请从每个顶点到相对侧绘制一条垂直线，如下左图所示。将直角所在的点连接起来形成三角形，如右图所示。

这个内接三角形是一条周期性台球轨迹，称为法尼亚诺轨道，以乔瓦尼·法尼亚诺 (Giovanni Fagnano) 的名字命名，他于 1775 年证明该三角形的周长是所有内接三角形中最小的。

1990 世纪 XNUMX 年代初，华盛顿大学的 Fred Holt 和 格雷戈里·加尔佩林 和他在莫斯科国立大学的合作者 独立地 显示 每个直角三角形都有周期轨道。展示这一点的一种简单方法是先围绕一条腿反射三角形，然后再反射另一条腿，如下所示。

从与斜边（三角形的长边）成直角的轨迹开始。斜边和它的第二次反射是平行的，因此连接它们的垂直线段对应于一条永远来回弹跳的轨迹：球以直角离开斜边，从两条腿弹起，向右返回到斜边角度，然后原路返回。

但钝角三角形仍然是个谜。在 1992 年的论文中，Galperin 和他的合作者提出了多种反映钝角三角形的方法，从而可以创建周期性轨道，但这些方法仅适用于某些特殊情况。然后，在 2008 年， 理查德·施瓦兹（Richard Schwartz） 布朗大学的研究表明，所有钝角三角形 100度或更小的角度 包含周期性轨迹。他的方法是将问题分解为多个案例，并使用传统数学和计算机辅助来验证每个案例。 2018 年，雅各布·加伯、博扬·马里诺夫、 肯尼斯·摩尔 和阿尔伯塔大学的乔治·托卡斯基 延长了这个门槛 至112.3度。 （托卡斯基和马里诺夫 花了十多年 追逐这个目标。）

拓扑转向

另一种方法被用来表明，如果所有角度都是有理数（也就是说，它们可以表示为分数），那么具有更大角度的钝角三角形必定具有周期性轨迹。这种方法不是仅仅在平面上复制多边形，而是将多边形的副本映射到拓扑表面上，即带有一个或多个孔的甜甜圈。

如果你在其短边上反射一个矩形，然后在其最长边上反射两个矩形，制作原始矩形的四个版本，然后将顶部和底部粘在一起，左侧和右侧粘在一起，你就会制作一个甜甜圈，或环面，如下所示。桌子上的台球轨迹与圆环上的轨迹相对应，反之亦然。

在 1986 年一篇具有里程碑意义的文章中， 霍华德·马苏尔 使用这种技术来证明所有具有有理角的多边形表都具有周期性轨道。他的方法不仅适用于钝角三角形，而且适用于更复杂的形状：例如，不规则的 100 边形桌子，或者其墙壁曲折形成角落和缝隙的多边形，只要角度是有理数，就具有周期性轨道。

有点值得注意的是，多边形中存在一个周期轨道意味着存在无限多个周期轨道。将轨迹移动一点点就会产生一系列相关的周期性轨迹。

照明问题

带有角落和缝隙的形状引起了一个相关的问题。这个问题不是询问返回起点的轨迹，而是询问轨迹是否可以访问给定表上的每个点。这称为照明问题，因为我们可以通过想象激光束从包围台球桌的镜面墙壁反射来思考它。我们问，给定特定桌子上的两个点，您是否总是可以将激光（理想化为无限细的光线）从一个点照射到另一个点。换句话说，如果我们在桌子上的某个位置放置一个同时向各个方向发光的灯泡，它会照亮整个房间吗？

针对这个问题的研究主要有两条：寻找无法被照亮的形状以及证明大类形状可以被照亮。虽然找到无法被照亮的奇怪形状可以通过简单数学的巧妙应用来完成，但证明许多形状可以被照亮只能通过使用重型数学机器才能实现。

1958年， 罗杰·彭罗斯，一位数学家，后来赢得了 2020诺贝尔物理学奖，发现了一张弯曲的桌子，其中一个区域中的任何点都无法照亮另一个区域中的任何点。几十年来，没有人能想出具有相同属性的多边形。但在 1995 年，托卡斯基利用关于三角形的一个简单事实创建了一个块状 26 边多边形，其中两个点彼此无法访问，如下所示。也就是说，从一点发射的激光束，无论其方向如何，都无法击中另一点。

托卡斯基在建造他的特殊桌子时使用的关键思想是，如果激光束从 45°-45°-90° 三角形中的一个锐角开始，它永远无法返回到那个角。

他的锯齿状桌子由 29 个这样的三角形组成，巧妙地利用了这一事实。 2019年 阿米特·沃莱茨基当时是特拉维夫大学的一名研究生，他将同样的技术应用于 产生一个形状 有 22 条边（如下所示），他证明这是具有两个不互相照亮的内部点的形状的尽可能少的边数。

从另一个方向证明结果要困难得多。 2014 年，斯坦福大学数学家 Maryam Mirzakhani 成为第一位女性 赢得菲尔兹奖数学界最负盛名的奖项，表彰她在黎曼曲面模空间方面的研究，这是马苏尔用来证明所有具有有理角度的多边形表都具有周期轨道的甜甜圈的一种推广。 2016年， 塞缪尔·勒里埃 巴黎萨克雷大学， 蒂埃里·蒙泰尔 法国国家科学研究中心 巴拉克·韦斯 特拉维夫大学应用了 Mirzakhani 的多项成果 显示 有理多边形中的任何点都照亮除有限多个点之外的所有点。可能存在孤立的暗点（如托卡斯基和沃莱茨基的例子），但没有彭罗斯例子中的暗区，彭罗斯的例子有弯曲的墙而不是直的墙。在 Wolecki 的 2019 年文章，他通过证明只有有限多对不发光点来强化了这个结果。

可悲的是， 米尔扎哈尼去世 2017 年，40 岁的时候，在与癌症作斗争之后。她的工作似乎与台球厅里的特技击球相去甚远。然而，对台球轨迹的分析表明，即使是最抽象的数学也可以与我们生活的世界联系起来。