布朗尼烘烤和等面积背后的简单几何

几何学生吉娜昨晚熬夜看书做作业 伟大的英国人烘烤了，所以当她终于上床睡觉时，她昏昏欲睡的脑子里仍然装满了纸杯蛋糕和圆规。 这导致了一个最不寻常的梦想。

吉娜发现自己是 Imaginary University 的 Great Brownie Bake Off 的评委，这所学校的学生学习很多几何，但很少学习算术。 Imaginary U 学生团队的任务是制作他们能做的最大的核仁巧克力饼，由吉娜决定获胜者。

Alpha 团队是第一个完成的，他们自豪地展示了他们的长方形布朗尼蛋糕以供评判。 吉娜拿出尺子量了一下巧克力蛋糕：长 16 英寸，宽 9 英寸。 Beta 队迅速跟进他们的方形核仁巧克力饼，每边长 12 英寸。 那是麻烦开始的时候。

“我们的核仁巧克力饼比你们的长得多，”阿尔法队的队长说。 “我们的显然更大，所以我们是赢家！”

“但是你们矩形的短边比我们正方形的边短很多，”Beta 团队的一位代表说。 “我们的广场显然更大。 我们赢了！”

吉娜觉得为此争论很奇怪。 “长方形布朗尼的面积是 9 乘以 16，即 144 平方英寸，”她说。 “方形布朗尼的面积是 12 乘以 12，也就是 144 平方英寸。 核仁巧克力饼大小相同：是一条领带。”

两队都一脸疑惑。 “我不明白你说的‘倍数’是什么意思，”一位从未学过乘法的学生说。 “我也不是，”另一个说。 第三个人说：“我听说 Complex College 的学生曾使用数字测量区域，但这到底是什么意思？” 想象中的大学确实是一个奇怪的地方，即使是梦想。

吉娜要做什么？ 如果团队不了解如何测量面积和乘以数字，她怎么能让团队相信他们的核仁巧克力饼大小相同？ 幸运的是，吉娜有一个天才的想法。 “给我一把刀，”她说。

吉娜沿着长方形布朗尼的长边测量了 12 英寸，并做了一个平行于短边的切口。 这会将大矩形变成两个较小的矩形：一个尺寸为 9×12，另一个尺寸为 9×4。 通过三个快速切割，她将 9 x 4 的作品变成了三个更小的 3 x 4 作品。 稍微重新排列一下，人群中就发出了惊叹声和惊叹声：吉娜把长方形变成了正方形的精确复制品。

两队现在必须同意他们的核仁巧克力饼大小相同。 吉娜 (Gina) 将其中一个解剖并重新排列成另一个，结果表明这两个核仁巧克力饼占据了相同的总面积。 像这样的剖分在几何学中已经使用了数千年，以表明图形的大小相同，并且有许多关于剖分和等价性的显着结果。 即使在今天，数学家仍在使用解剖和重新排列来充分理解某些形状何时等效，从而导致最近出现一些令人惊讶的结果。

在开发基本形状的面积公式时，您可能已经在数学课上看到过几何解剖。 例如，您可能还记得平行四边形的面积等于其底边的长度乘以其高度：这是因为平行四边形可以被分解并重新排列成一个矩形。

这个剖析表明，平行四边形的面积等于底同高的长方形的面积，没有上过虚幻大学的人都知道，它是这两个数的乘积。

说到 Imaginary U，Great Brownie Bake Off 刚刚升温。 Gamma 小队拿着一个大的三角形核仁巧克力饼走近。 “这是赢家，”他们大胆地宣布。 “我们双方都比其他人长得多。”

吉娜量了量边。 “这也有相同的面积！” 她惊呼。 “这是一个直角三角形，边长是18和16，所以面积是……” 吉娜顿了顿，注意到大家脸上的疑惑。 “哦，没关系。 把刀给我就行了。”

吉娜巧妙地从斜边的中点切到长腿的中点，然后旋转新形成的三角形，使它在嵌入大块时成为一个完美的矩形。

“那正是我们的布朗尼！” 阿尔法小队喊道。 果然，生成的矩形是 9 x 16：与他们的大小完全相同。

Beta小队心存疑虑。 “但是这个三角形与我们的正方形相比如何？” 他们的队长问道。

吉娜为此做好了准备。 “我们已经知道矩形和正方形的大小相同，因此根据传递性，三角形和正方形的大小相同。” 传递性是等式最重要的性质之一：它表示如果 a = b 和 b = c， 然后 a = c. 吉娜继续说：“如果第一个布朗尼的面积等于第二个，第二个布朗尼的面积等于第三个，那么第一个和第三个布朗尼的面积也必须相等。”

但是 Gina 对解剖太感兴趣了，无法就此止步。 “或者我们可以再削减一些。”

首先，吉娜旋转了以前是三角形的矩形。 然后她用她在阿尔法队的矩形上使用的完全相同的图案来切割它。

然后她展示了如何将 Gamma 队的三角形的新解剖变成 Beta 队的正方形，就像她对 Alpha 队的矩形所做的一样。

在这种情况下，我们说三角形和正方形是“剪刀全等”：你可以想象用剪刀把一个图形剪成有限多块，然后可以重新排列形成另一个。 在三角形和正方形的例子中，核仁巧克力饼准确地展示了这种剪刀同余的原理。

请注意，该图案在任一方向都起作用：它可用于将三角形变成正方形或将正方形变成三角形。 换句话说，剪刀全等是对称的：如果形状 A 是剪刀全等的形状 B，则形状 B 也是剪刀全等的形状 A。

事实上，上述涉及三角形、长方形和正方形的论证表明剪刀同余也是传递性的。 由于三角形与长方形剪刀全等，而长方形与正方形剪刀全等，因此三角形与正方形剪刀全等。 证明在模式中：只需将它们覆盖在中间形状上，就像上面的矩形所做的那样。

如果将三角形切割成矩形，然后将矩形切割成正方形，则所得的碎片可用于形成三种形状中的任何一种。

剪刀同余具有传递性这一事实是一个惊人结果的核心：如果两个多边形具有相同的面积，那么它们是剪刀同余的。 这意味着，给定任意两个具有相同面积的多边形，您总是可以将一个多边形切割成有限数量的部分，然后重新排列它们以形成另一个。

这个非凡定理的证明也非常简单。 首先，将每个多边形切成三角形。

其次，将每个三角形变成一个矩形，类似于 Gina 重新排列三角形布朗尼的方式。

现在是棘手的技术部分：将每个矩形变成一个单位宽的新矩形。

为此，开始从矩形中切下一个单位宽的碎片。

如果您可以将矩形切成整数个宽度为 1 的块，您就完成了：只需将它们堆叠在一起即可。 否则，当最后一块宽度在 1 到 2 个单位之间时停止切碎，并将其余部分堆叠在一起。

如果矩形本身的宽度小于 1 个单位，请不要担心：只需将其切成两半，然后使用两块来制作一个长两倍、厚一半的新矩形。 根据需要重复，直到得到一个宽度在 1 到 2 个单位之间的矩形。

现在想象这个最终的矩形有高度 h 和宽度 w, 有 1 w < 2. 我们将切割那个矩形并将其重新排列成一个宽度为 1 和高度为 XNUMX 的矩形 h × w. 为此，覆盖 h × w 具有所需的矩形 hw × 1 矩形像这样。

然后沿着虚线从一个角剪到另一个角，沿着右边的边缘剪掉右下角的小三角形 hw × 1 个矩形。

这削减了 h × w 矩形分成三块，可以重新排列成一个 hw × 1 个矩形。 （证明最后的剖析需要一些涉及相似三角形的巧妙论证。有关详细信息，请参见下面的练习。）

最后，将最后一个矩形放在堆栈的顶部，您就成功地将这个多边形——实际上，任何多边形——变成了宽度为 1 的矩形。

现在，如果原始多边形的面积是 A, 那么这个矩形的高度一定是 A, 所以每个有面积的多边形 A 剪刀与宽度为 1 且高度为 XNUMX 的矩形全等 A. 这意味着如果两个多边形有面积 A, 那么它们都是同一个矩形全等的剪刀，所以根据传递性，它们是彼此全等的剪刀。 这表明每个具有面积的多边形 A 剪刀是否与所有其他具有面积的多边形全等 A.

但即使是这样强大的成绩，也不足以顺利完成幻想大学布朗尼烘焙大赛的评选。 还剩下一个条目，没有人对 Team Pi 的出现感到惊讶。

吉娜看到那个圆圈过来的那一刻，她从梦中惊醒，一身冷汗。 她知道不可能将一个圆切割成有限多块，然后重新排列成正方形、长方形或任何多边形。 1964 年，数学家 Lester Dubins、Morris Hirsch 和 Jack Karush 证明了一个圆不是剪刀全等的任何多边形。 吉娜的梦想变成了一场几何噩梦。

但正如他们似乎一直在做的那样，数学家们将这一障碍转化为新的数学。 1990 年，Miklós Laczkovich 证明，可以将一个圆切成薄片，然后将其重新排列成一个正方形，只要您可以使用剪刀无法制作的无限小、无限断开、无限锯齿状的碎片。

与 Laczkovich 的结果一样令人惊讶和激动，它只是证明了这种分解在理论上是可能的。 它没有解释如何构建这些部分，只是说明它们可以存在。 这就是 Andras Máthé、Oleg Pikhurko 和 Jonathan Noel 进来的地方：2022 年初，他们 发表了一篇论文 他们在其中与 Laczkovich 的成就相匹配，但具有可以形象化的作品。

不幸的是，您将无法使用他们的结果来解决任何布朗尼烘烤问题。 单靠剪刀不能产生 10²⁰⁰ 分解所需的碎片。 但这是回答从阿基米德首次发明或发现 $latex pi$ 时开始的一长串问题的又一步。 它使我们朝着发明或发现前几代人无法梦想的新数学的方向前进。

演习

1. 解释我们如何知道在平行四边形的面积公式的推导中，我们切断的三角形完全适合平行四边形另一侧的空间。

2. 解释为什么任何三角形都可以分解成矩形。

对于练习 3 和 4，请考虑用于显示 h × w 矩形是剪刀全等 hw × 1 矩形，标记点。

3.解释为什么$latex triangle$ XYQ 类似于 $latextriangle$ ABX. 这是什么使长度 QY?

4.解释为什么$latex triangle$ PCX 与 $latex triangle$ 全等 阿兹克.