介绍
2012年,数学家望月新一声称他已经解决了 ABC 猜想,数论中关于加法和乘法之间关系的一个主要悬而未决的问题。 只有一个问题:他的证明长达 500 多页,完全令人费解。 它依赖于几乎所有数学家都无法理解的大量新定义、符号和理论。 多年后,当两位数学家将大部分证明翻译成更熟悉的术语时,他们指出了所谓的“严重的、无法弥补的差距从逻辑上看,望月新一拒绝了他们的论点,理由是他们根本无法理解他的作品。
这一事件提出了一个基本问题:什么是数学证明? 我们倾向于将其视为某种永恒真理的启示,但也许最好将其理解为某种社会建构。
安德鲁·格兰维尔蒙特利尔大学的数学家最近一直在思考这个问题。 在一位哲学家就他的一些著作与他联系后,“我开始思考我们如何得出真理,”他说。 “一旦你开始推开那扇门,你就会发现这是一个巨大的主题。”
格兰维尔从小就喜欢算术,但他从未考虑过从事数学研究,因为他不知道有这样的事情存在。 “我父亲 14 岁就离开了学校,我母亲 15 岁或 16 岁,”他说。 “他们出生在当时的伦敦工人阶级地区,上大学超出了他们的想象。 所以我们没有任何线索。”
从剑桥大学学习数学毕业后,他开始适应 雷切尔论文马丁·艾米斯的小说改编成剧本。 在为该项目工作并寻求资金的同时,他想避免从事办公室工作——他在高中和大学之间的间隔年在一家保险公司工作过,不想再回去了——“所以我去了读研究生,”他说。 这部电影从未问世(小说后来被独立拍成电影),但格兰维尔获得了数学硕士学位,然后移居加拿大完成博士学位。 他从未回头。
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“这真的是一次冒险,”他说。 “我其实并没有抱太大期望。 我真的不知道什么是博士学位。 曾是。”
此后的几十年里,他撰写了超过 175 篇论文,其中大部分是数论领域的论文。 他还因为大众读者撰写有关数学的文章而闻名:2019 年,他与人合着了一本 图形小说 和他的姐姐、编剧詹妮弗一起谈论素数和相关概念。 上个月,他的一篇关于“我们如何得出真理”的论文是 出版 在数学和哲学年鉴中。 他计划与其他数学家、计算机科学家和哲学家一起在明年的《科学》杂志上发表一系列文章。 美国数学学会简报 关于机器如何改变数学。
广达 与格兰维尔谈论了数学证明的本质——从证明在实践中如何发挥作用,到人们对证明的普遍误解,再到人工智能时代证明写作可能如何发展。 为了清晰起见,采访经过编辑和精简。
您最近发表了一篇关于数学证明的性质的论文。 为什么你认为写这个很重要?
大众媒体通常并没有很好地描述数学家如何进行研究。 人们倾向于将数学视为一种纯粹的探索,我们仅通过纯粹的思考就可以得出伟大的真理。 但数学就是猜测——通常是错误的猜测。 这是一个实验过程。 我们分阶段学习。
例如,当黎曼猜想首次出现在 1859 年的一篇论文中时,它就像魔术一样:这是一个令人惊奇的猜想,不知从何而来。 70 年来,人们一直在谈论一个伟大的思想家仅靠纯粹的思想就能取得什么成就。 然后数学家卡尔·西格尔在哥廷根档案中发现了黎曼的草稿笔记。 黎曼实际上已经完成了黎曼 zeta 函数零点的数页计算。 西格尔的名言是:“纯粹的思想就到此为止了。”
因此,人们——尤其是一些哲学家和历史学家——在书写数学时存在着这种张力。 他们似乎认为我们是某种纯粹的魔法生物,某种科学的独角兽。 但我们通常不是。 它很少是纯粹的思想。
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您如何描述数学家的工作?
数学文化就是证明。 我们坐下来思考,我们所做的95%都是证据。 我们获得的很多理解都是来自于与证明的斗争以及对在与证明斗争时出现的问题的解释。
我们经常将证明视为数学论证。 通过一系列逻辑步骤,它证明给定的陈述是正确的。 但你写道,这不应该被误认为是纯粹、客观的事实。 你是什么意思?
证明的要点是说服读者相信某个断言的真实性。 这意味着验证是关键。 我们在数学中拥有的最好的验证系统是,很多人从不同的角度看待证明,并且它非常适合他们所知道和相信的背景。 从某种意义上说,我们并不是说我们知道这是真的。 我们说我们希望它是正确的,因为很多人都从不同的角度进行了尝试。 这些社区标准接受证明。
然后是客观性的概念——确保所声称的内容是正确的,感觉自己拥有终极真理。 但我们怎么知道我们是客观的呢? 很难将自己从发表言论的背景中抽离出来,以社会既定范式之外的视角来看待。 对于科学思想和其他任何事物来说都是如此。
人们还可以问数学中客观有趣或重要的是什么。 但这显然也是主观的。 为什么我们认为莎士比亚是一位好作家? 莎士比亚在他那个时代并不像今天那么受欢迎。 显然,关于什么是有趣的、什么是重要的,存在着社会惯例。 这取决于当前的范式。
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在数学中,这是什么样的?
范式变化最著名的例子之一是微积分。 当微积分被发明时,它涉及将趋于零的东西除以其他趋向于零的东西——导致零除以零,这没有任何意义。 最初,牛顿和莱布尼茨提出了称为无穷小的物体。 这使得他们的方程成立,但以今天的标准来看,它既不合理也不严格。
我们现在有了 19 世纪末引入的 epsilon-delta 公式。 这种现代的公式是如此令人震惊,显然有利于正确理解这些概念,以至于当你看到旧的公式时,你会想,他们在想什么? 但当时,这被认为是唯一的方法。 公平地说,莱布尼茨和牛顿可能会喜欢现代方式。 由于他们那个时代的范式,他们没有想到这样做。 所以花了很长时间才到达那里。
问题是,我们不知道自己什么时候会表现出这样的行为。 我们被困在我们所处的社会中。我们没有外部视角来说明我们正在做出什么假设。 数学的危险之一是,您可能会认为某些事物不重要,因为它不容易用您选择使用的语言来表达或讨论。 这并不意味着你是对的。
我真的很喜欢笛卡尔的这句话,他本质上是说:“我想我知道关于三角形的一切,但谁能说我知道呢? 我的意思是,未来有人可能会提出完全不同的观点,从而产生更好的思考三角形的方式。” 我认为他是对的。 你在数学中看到了这一点。
正如您在论文中所写,您可以将证明视为社会契约 - 作者与其数学社区之间的一种相互协议。 我们已经看到了一个行不通的极端例子,望月新一声称的证明 ABC 推测。
这很极端,因为望月新一不想按照现在的方式玩游戏。 他做出这个选择是晦涩难懂的。 当人们取得重大突破,提出真正新颖且困难的想法时,我觉得他们有责任尝试以尽可能容易理解的方式解释他们的想法,并让其他人参与进来。 他更像是,好吧,如果你不想按照我写的方式阅读它,那不是我的问题。 他有权玩他想玩的游戏。 但这与社区无关。 这与我们取得进步的方式无关。
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如果证据存在于社会环境中,它们随着时间的推移发生了怎样的变化?
这一切都始于亚里士多德。 他说,需要有某种演绎系统——你只能通过基于你已经知道并且确定的事情来证明新事物,回到某些“原始陈述”或公理。
那么问题是:你所知道的那些基本事实是什么? 很长一段时间,人们只是说,线就是线,圆就是圆; 有一些简单明了的事情,这些应该是我们开始的假设。
这种观点永远持续下去。 今天它在很大程度上仍然存在。 但发展起来的欧几里得公理系统——“一条线就是一条线”——也有它的问题。 伯特兰·罗素根据集合的概念发现了这些悖论。 此外,人们可以用数学语言玩文字游戏,创建有问题的陈述,例如“这个陈述是假的”(如果它是真的,那么它是假的;如果它是假的,那么它是真的),这表明公理系统存在问题。
因此,罗素和阿尔弗雷德·怀特海德试图创建一个新的数学系统来避免所有这些问题。 但它非常复杂,很难相信这些是正确的起点。 没有人对此感到满意。 像证明 2 + 2 = 4 这样的事情从起点开始就占用了大量的空间。 这样的系统有什么意义呢?
然后大卫希尔伯特出现并提出了一个惊人的想法:也许我们根本不应该告诉任何人什么是正确的开始。 相反,任何有效的东西——一个简单、连贯和一致的起点——都值得探索。 你不能从你的公理中推导出两个相互矛盾的东西,你应该能够用所选的公理来描述大部分数学。 但你不应该先验地说出它们是什么。
这似乎也符合我们之前对数学客观真理的讨论。 因此,在 20 世纪之交,数学家们意识到可能存在多种公理系统——一组给定的公理不应该被视为普遍的或不证自明的真理?
正确的。 我应该说,希尔伯特一开始这样做并不是出于抽象的原因。 他对几何的不同概念非常感兴趣:非欧几里得几何。 这是非常有争议的。 当时的人们会说,如果你给我这个围绕盒子角落的线的定义,我到底为什么要听你的呢? 希尔伯特说,如果他能让它连贯一致,你应该听,因为这可能是我们需要理解的另一种几何。 这种观点的改变——你可以允许任何公理系统——不仅适用于几何学;也适用于几何学。 它适用于所有数学。
但当然,有些东西比其他东西更有用。 所以我们大多数人都使用同样的 10 条公理,即一个称为 ZFC 的系统。
这就引出了一个问题:从中可以推断出什么,不能推断出什么。 有些陈述(例如连续统假设)无法使用 ZFC 来证明。 必须有第十一条公理。 你可以用任何一种方式解决它,因为你可以选择你的公理系统。 它太酷了。 我们继续这种多元化。 不清楚什么是对的,什么是错的。 库尔特·哥德尔认为,我们仍然需要根据品味做出选择,而且我们希望有好的品味。 我们应该做有意义的事情。 我们确实这么做了。
说到哥德尔,他在这里也扮演着相当重要的角色。
要讨论数学,您需要一种语言,以及该语言中要遵循的一组规则。 在 1930 世纪 XNUMX 年代,哥德尔证明,无论你如何选择你的语言,该语言中总会有一些陈述是正确的,但无法从你的起始公理中证明。 实际上比这更复杂,但是,你仍然会立即陷入这种哲学困境:如果你不能证明它是正确的,那么什么是真正的陈述? 这很疯狂。
所以有一个大混乱。 我们能做的事情是有限的。
专业数学家很大程度上忽视了这一点。 我们专注于可行的事情。 正如彼得·萨纳克(Peter Sarnak)喜欢说的那样:“我们是劳动人民。” 我们继续努力,努力证明我们能做到什么。
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现在,随着计算机和人工智能的使用,证明的概念发生了怎样的变化?
我们搬到了一个不同的地方,在那里计算机可以做一些疯狂的事情。 现在人们说,哦,我们有了这台计算机,它可以做人们做不到的事情。 但可以吗? 它真的能做到人们做不到的事情吗? 早在 1950 世纪 XNUMX 年代,艾伦·图灵就说过,计算机的设计目的是做人类能做的事情,只是速度更快。 没有太大改变。
例如,几十年来,数学家一直在使用计算机进行计算,以帮助指导他们的理解。 人工智能可以做的新事情是验证我们所相信的事实。 证明验证已经取得了一些了不起的进展。 就像[证明助手] Lean,它允许数学家验证许多证明,同时也帮助作者更好地理解自己的工作,因为他们必须将一些想法分解为更简单的步骤,以输入 Lean 进行验证。
但这万无一失吗? 难道仅仅因为 Lean 同意它是一个证明,它就是一个证明吗? 在某些方面,它与将证据转化为精益输入的人们一样好。 这听起来很像我们做传统数学的方式。 所以我并不是说我相信像精益这样的东西会犯很多错误。 我只是不确定它是否比人类所做的大多数事情更安全。
恐怕我对计算机的作用有很多怀疑。 它们可能是一个非常有价值的工具,可以让事情正确进行——特别是在验证数学时,这些数学很大程度上依赖于新的定义,而这些定义乍一看并不容易分析。 毫无疑问,我们的军械库中拥有新观点、新工具和新技术是有帮助的。 但我回避的是这样一个概念:我们现在将拥有能够产生正确定理的完美逻辑机器。
您必须承认,我们无法确定计算机的情况是否正确。 我们的未来必须依赖于我们在整个科学史上所依赖的社区意识:我们互相交流。 我们与从完全不同的角度看待同一事物的人交谈。 等等。
然而,随着这些技术变得更加复杂,您认为未来会发生什么?
也许它可以帮助创建一个证明。 也许五年后,我会对像 ChatGPT 这样的人工智能模型说,“我很确定我在某个地方见过这个。 你要检查一下吗?” 它会返回一个类似的正确声明。
一旦它变得非常非常擅长,也许你可以更进一步说:“我不知道该怎么做,但是有人做过这样的事情吗?” 也许最终人工智能模型可以找到熟练的方法来搜索文献,以将已在其他地方使用过的工具运用到其中——以数学家可能无法预见的方式。
但是,我不明白ChatGPT如何能够超越一定的水平,以超越我们的方式进行证明。 ChatGPT 和其他机器学习程序没有思考。 他们使用基于许多例子的单词关联。 因此,他们似乎不太可能超越他们的训练数据。 但如果这种情况发生,数学家会做什么呢? 我们所做的很多事情都是证据。 如果你拿走我们的证据,我不确定我们会变成谁。
无论如何,当我们考虑如何利用计算机辅助时,我们需要考虑到我们从人类努力中学到的所有教训:使用不同语言、共同工作、持有不同观点的重要性。 不同社区如何齐心协力研究和理解证明,具有稳健性和健康性。 如果我们想要在数学方面得到计算机的帮助,我们需要以同样的方式丰富它。
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