المُقدّمة
لقرون ، سعى علماء الرياضيات إلى فهم ونمذجة حركة السوائل. ساعدت المعادلات التي تصف كيف تجعد التموجات على سطح البركة أيضًا الباحثين على التنبؤ بالطقس ، وتصميم طائرات أفضل ، وتوصيف كيفية تدفق الدم عبر الدورة الدموية. هذه المعادلات بسيطة بشكل مخادع عند كتابتها باللغة الرياضية الصحيحة. ومع ذلك ، فإن حلولهم معقدة للغاية لدرجة أن فهم حتى الأسئلة الأساسية حولهم يمكن أن يكون صعبًا للغاية.
ربما تصف أقدم وأبرز هذه المعادلات ، التي صاغها ليونارد أويلر منذ أكثر من 250 عامًا ، تدفق سائل مثالي غير قابل للضغط: سائل بدون لزوجة ، أو احتكاك داخلي ، لا يمكن دفعه إلى حجم أصغر. "جميع معادلات الموائع غير الخطية تقريبًا مستمدة من معادلات أويلر ،" قال طارق الجندي، عالم رياضيات في جامعة ديوك. "يمكن القول إنهم الأوائل".
ومع ذلك ، لا يزال الكثير غير معروف حول معادلات أويلر - بما في ذلك ما إذا كانت دائمًا نموذجًا دقيقًا لتدفق السوائل المثالي. تتمثل إحدى المشكلات المركزية في ديناميكيات الموائع في معرفة ما إذا كانت المعادلات قد فشلت على الإطلاق ، مما ينتج عنه قيم غير منطقية تجعلها غير قادرة على التنبؤ بحالة السائل المستقبلية.
لطالما اشتبه علماء الرياضيات في وجود شروط أولية تؤدي إلى انهيار المعادلات. لكنهم لم يتمكنوا من إثبات ذلك.
In نسخة أولية أظهر زوجان من علماء الرياضيات ، الذي نُشر على الإنترنت الشهر الماضي ، أن نسخة معينة من معادلات أويلر تفشل بالفعل في بعض الأحيان. يمثل البرهان اختراقًا كبيرًا - وعلى الرغم من أنه لا يحل المشكلة تمامًا بالنسبة للإصدار الأكثر عمومية من المعادلات ، فإنه يوفر الأمل في أن مثل هذا الحل في متناول اليد أخيرًا. قال "إنها نتيجة مذهلة" تريستان باكماستر، عالم رياضيات في جامعة ماريلاند لم يشارك في العمل. "لا توجد نتائج من نوعها في الأدب."
هناك صيد واحد فقط.
إن الإثبات المكون من 177 صفحة - نتيجة برنامج بحث امتد لعقد من الزمن - يستخدم بشكل كبير أجهزة الكمبيوتر. يمكن القول إن هذا يجعل من الصعب على علماء الرياضيات الآخرين التحقق من ذلك. (في الواقع ، لا يزالون في طور القيام بذلك ، على الرغم من أن العديد من الخبراء يعتقدون أن العمل الجديد سيكون صحيحًا.) كما أنه يجبرهم على التفكير في الأسئلة الفلسفية حول ماهية "الدليل" وماذا سيكون يعني ما إذا كانت الطريقة الوحيدة القابلة للتطبيق لحل مثل هذه الأسئلة المهمة في المستقبل هي بمساعدة أجهزة الكمبيوتر.
رؤية الوحش
من حيث المبدأ ، إذا كنت تعرف موقع وسرعة كل جسيم في السائل ، فيجب أن تكون معادلات أويلر قادرة على التنبؤ بكيفية تطور السائل طوال الوقت. لكن علماء الرياضيات يريدون معرفة ما إذا كان هذا هو الحال بالفعل. ربما في بعض الحالات ، ستستمر المعادلات كما هو متوقع ، وتنتج قيمًا دقيقة لحالة السائل في أي لحظة معينة ، فقط لواحدة من هذه القيم ترتفع فجأة إلى ما لا نهاية. عند هذه النقطة ، يُقال إن معادلات أويلر تؤدي إلى "التفرد" - أو بشكل أكثر دراماتيكية ، "التفجير".
بمجرد أن يصلوا إلى هذا التفرد ، لن تكون المعادلات قادرة على حساب تدفق السائل. ولكن "اعتبارًا من بضع سنوات مضت ، كان ما كان بمقدور الناس القيام به أقل بكثير جدًا من [إثبات الانفجار] ،" قال تشارلي فيفرمان، عالم رياضيات في جامعة برينستون.
يصبح الأمر أكثر تعقيدًا إذا كنت تحاول تصميم مائع له لزوجة (كما تفعل جميع سوائل العالم الحقيقي تقريبًا). تنتظر جائزة الألفية التي تبلغ قيمتها مليون دولار من معهد كلاي للرياضيات أي شخص يمكنه إثبات ما إذا كانت حالات الفشل المماثلة تحدث في معادلات نافيير-ستوكس ، وهو تعميم لمعادلات أويلر التي تفسر اللزوجة.
في 2013، توماس هو، وعالم رياضيات في معهد كاليفورنيا للتكنولوجيا ، و قوه لو، الآن في جامعة Hang Seng في هونغ كونغ ، اقترحت سيناريو تؤدي فيه معادلات أويلر إلى التفرد. طوروا محاكاة حاسوبية لسائل في أسطوانة يدور نصفها العلوي في اتجاه عقارب الساعة بينما يدور النصف السفلي عكس اتجاه عقارب الساعة. أثناء تشغيلهم للمحاكاة ، بدأت تيارات أكثر تعقيدًا في التحرك لأعلى ولأسفل. وهذا بدوره أدى إلى سلوك غريب على طول حدود الأسطوانة حيث التقى التدفقات المتعارضة. نمت دوامة السائل - مقياس للدوران - بسرعة كبيرة بحيث بدا أنها مهيأة للانفجار.
كان عمل هو ولو موحيًا ، لكنه لم يكن دليلًا حقيقيًا. هذا لأنه من المستحيل على الكمبيوتر حساب القيم اللانهائية. يمكن أن يقترب كثيرًا من رؤية التفرد ، لكنه لا يمكنه الوصول إليه في الواقع - مما يعني أن الحل قد يكون دقيقًا للغاية ، لكنه لا يزال تقريبيًا. بدون دعم برهان رياضي ، قد يبدو أن قيمة الدوامة تتزايد إلى ما لا نهاية بسبب بعض القطع الأثرية في المحاكاة. وبدلاً من ذلك ، قد تنمو الحلول إلى أعداد هائلة قبل أن تنحسر مرة أخرى.
حدثت مثل هذه الانعكاسات من قبل: تشير المحاكاة إلى أن قيمة في المعادلات قد انفجرت ، فقط للطرق الحسابية الأكثر تعقيدًا لإظهار خلاف ذلك. قال فيفرمان: "هذه المشاكل حساسة للغاية لدرجة أن الطريق مليئة بحطام عمليات المحاكاة السابقة". في الواقع ، هذه هي الطريقة التي بدأ بها هو في هذا المجال: دحض العديد من نتائجه السابقة تشكيل التفردات الافتراضية.
ومع ذلك ، عندما نشر هو ولوه حلهما ، اعتقد معظم علماء الرياضيات أنه من المحتمل جدًا أن يكون تفردًا حقيقيًا. قال "لقد كان دقيقًا للغاية ودقيقًا للغاية" فلاديمير سفيرك، عالم رياضيات في جامعة مينيسوتا. "لقد بذلوا جهودًا كبيرة حقًا لإثبات أن هذا سيناريو حقيقي". عمل لاحق من قبل الجندي وسفيراك وآخرين فقط عزز هذا القناعة.
لكن الدليل كان بعيد المنال. قال فيفرمان: "لقد رأيت الوحش". "ثم تحاول التقاطها." وهذا يعني إظهار أن الحل التقريبي الذي تمت محاكاته بعناية لـ Hou و Luo ، بالمعنى الرياضي المحدد ، قريب جدًا جدًا من حل دقيق للمعادلات.
الآن ، بعد تسع سنوات من تلك المشاهدة الأولى ، هو وطالب الدراسات العليا السابق جياجي تشين نجحوا أخيرًا في إثبات وجود تلك التفردات القريبة.
الانتقال إلى أرض مشابهة للذات
استفاد هو ، الذي انضم إليه تشين لاحقًا ، من حقيقة أنه عند إجراء تحليل دقيق ، بدا أن الحل التقريبي لعام 2013 له هيكل خاص. مع تطور المعادلات عبر الزمن ، أظهر الحل ما يسمى بالنمط المتشابه ذاتيًا: شكله فيما بعد يشبه إلى حد كبير شكله السابق ، ولكن تم تغيير مقياسه بطريقة معينة فقط.
نتيجة لذلك ، لم يحتاج علماء الرياضيات إلى محاولة النظر إلى التفرد نفسه. بدلاً من ذلك ، يمكنهم دراستها بشكل غير مباشر من خلال التركيز على نقطة زمنية سابقة. من خلال التكبير على هذا الجزء من الحل بالمعدل الصحيح - الذي يتم تحديده بناءً على بنية الحل المتشابهة ذاتيًا - يمكنهم نمذجة ما سيحدث لاحقًا ، بما في ذلك التفرد نفسه.
استغرق الأمر بضع سنوات حتى يجدوا نظيرًا مشابهًا لسيناريو انفجار 2013. (في وقت سابق من هذا العام ، استخدم فريق آخر من علماء الرياضيات ، بما في ذلك Buckmaster ، طرقًا مختلفة إيجاد حل تقريبي مماثل. إنهم يستخدمون هذا الحل حاليًا لتطوير دليل مستقل على تكوين التفرد.)
مع وجود حل تقريبي مماثل ذاتيًا في متناول اليد ، احتاج هو وتشين لإظهار وجود حل دقيق في مكان قريب. من الناحية الرياضية ، هذا يعادل إثبات أن حلها المتشابه ذاتيًا مستقر - حتى لو قمت بتشويشها قليلاً ثم طورت المعادلات بدءًا من تلك القيم المضطربة ، فلن تكون هناك طريقة للهروب من حي صغير حول حل تقريبي. قال هو "إنه مثل الثقب الأسود". "إذا بدأت بملف تعريف على مقربة منك ، فسوف تنغمس في ذلك."
لكن وجود استراتيجية عامة كان مجرد خطوة واحدة نحو الحل. قال فيفرمان: "التفاصيل الصعبة مهمة". بينما قضى هو وتشين السنوات العديدة التالية في العمل على هذه التفاصيل ، وجدا أنه كان عليهما الاعتماد على أجهزة الكمبيوتر مرة أخرى - ولكن هذه المرة بطريقة جديدة تمامًا.
نهج هجين
من بين التحديات الأولى التي واجهوها كان اكتشاف العبارة الدقيقة التي يتعين عليهم إثباتها. لقد أرادوا إظهار أنهم إذا أخذوا أي مجموعة من القيم قريبة من حلهم التقريبي وقاموا بتوصيلها بالمعادلات ، فلن يكون الناتج قادرًا على الانحراف بعيدًا. ولكن ماذا يعني أن يكون الإدخال "قريبًا" من الحل التقريبي؟ كان عليهم تحديد ذلك في بيان رياضي - ولكن هناك العديد من الطرق لتحديد مفهوم المسافة في هذا السياق. لكي يعمل دليلهم ، كانوا بحاجة إلى اختيار الدليل الصحيح.
"يجب أن تقيس التأثيرات الفيزيائية المختلفة ،" قال رافائيل دي لا لاف، عالم رياضيات في معهد جورجيا للتكنولوجيا. "لذلك يجب اختياره باستخدام فهم عميق للمشكلة."
وبمجرد أن حصلوا على الطريقة الصحيحة لوصف "التقارب" ، كان على هو وتشين إثبات العبارة ، والتي تختزل إلى عدم مساواة معقدة تتضمن مصطلحات من كل من المعادلات المعاد تحجيمها والحل التقريبي. كان على علماء الرياضيات التأكد من أن قيم كل هذه المصطلحات متوازنة مع شيء صغير جدًا: إذا انتهى الأمر بقيمة واحدة كبيرة ، يجب أن تكون القيم الأخرى سالبة أو تظل قيد الفحص.
قال "إذا جعلت شيئًا ما كبيرًا جدًا أو صغيرًا جدًا ، فإن كل شيء ينهار" خافيير جوميز سيرانو، عالم رياضيات في جامعة براون. "لذلك فهو عمل دقيق للغاية ودقيق للغاية."
وأضاف الجندي: "إنها معركة شرسة حقًا".
للحصول على القيود المشددة التي يحتاجونها في كل هذه المصطلحات المختلفة ، قام هو وتشين بتقسيم عدم المساواة إلى جزأين رئيسيين. يمكن أن يعتنيوا بالجزء الأول يدويًا ، باستخدام تقنيات من بينها تقنية تعود إلى القرن الثامن عشر ، عندما سعى عالم الرياضيات الفرنسي غاسبار مونج إلى طريقة مثلى لنقل التربة لبناء تحصينات لجيش نابليون. قال فيفرمان: "تم القيام بأشياء مثل هذه من قبل ، لكنني وجدت أنه من المدهش أن [هو وتشين] استخدماها لهذا الغرض".
ترك هذا الجزء الثاني من عدم المساواة. سيتطلب التعامل معها مساعدة الكمبيوتر. بالنسبة للمبتدئين ، كان هناك الكثير من العمليات الحسابية التي يجب القيام بها ، ودقة كبيرة للغاية تتطلب "مقدار العمل الذي يتعين عليك القيام به بالقلم الرصاص والورق سيكون مذهلاً ،" قال دي لا لاف. لتحقيق التوازن بين المصطلحات المختلفة ، كان على علماء الرياضيات إجراء سلسلة من مشكلات التحسين التي تكون سهلة نسبيًا لأجهزة الكمبيوتر ولكنها تستغرق وقتًا طويلاً للغاية بالنسبة للبشر. اعتمدت بعض القيم أيضًا على كميات من المحلول التقريبي ؛ نظرًا لأنه تم حساب ذلك باستخدام جهاز كمبيوتر ، كان من الأسهل أيضًا استخدام جهاز كمبيوتر لإجراء هذه العمليات الحسابية الإضافية.
قال جوميز سيرانو: "إذا حاولت القيام ببعض هذه التقديرات يدويًا ، فمن المحتمل أنك ستبالغ في تقديرها في مرحلة ما ، ثم تخسر". "الأرقام صغيرة جدًا وضيقة ... والهامش ضعيف بشكل لا يصدق."
ولكن نظرًا لأن أجهزة الكمبيوتر لا يمكنها معالجة عدد لا حصر له من الأرقام ، فلا مفر من حدوث أخطاء صغيرة. كان على هو وتشين تتبع هذه الأخطاء بعناية ، للتأكد من أنها لا تتدخل في بقية عملية التوازن.
في النهاية ، كانوا قادرين على إيجاد حدود لجميع المصطلحات ، وإكمال البرهان: لقد أنتجت المعادلات بالفعل تفردًا.
إثبات بالحاسوب
يبقى مفتوحًا ما إذا كانت المعادلات الأكثر تعقيدًا - معادلات أويلر دون وجود حدود أسطوانية ومعادلات نافييه ستوكس - يمكن أن تطور حالة تفرد. قال هو "لكن (هذا العمل) يمنحني الأمل على الأقل". "أرى طريقًا إلى الأمام ، طريقة ربما حتى في النهاية لحل مشكلة الألفية بالكامل."
في هذه الأثناء ، يعمل Buckmaster و Gómez-Serrano على دليل خاص بهما بمساعدة الكمبيوتر - يأملان أن يكون أكثر عمومية ، وبالتالي قادرًا على معالجة ليس فقط المشكلة التي حلها هو وتشين ، ولكن أيضًا العشرات من الآخرين.
تشير هذه الجهود إلى اتجاه متزايد في مجال ديناميكيات السوائل: استخدام أجهزة الكمبيوتر لحل المشكلات المهمة.
قال "في عدد من المجالات المختلفة للرياضيات ، يتكرر حدوثها أكثر فأكثر" سوزان فريدلاندر، عالم رياضيات في جامعة جنوب كاليفورنيا.
لكن في ميكانيكا الموائع ، لا تزال البراهين المدعومة بالحاسوب تقنية جديدة نسبيًا. في الواقع ، عندما يتعلق الأمر بالتصريحات حول تشكيل التفرد ، فإن إثبات هو وتشين هو الأول من نوعه: كانت البراهين السابقة بمساعدة الكمبيوتر قادرة فقط على معالجة مشاكل الألعاب في المنطقة.
وقال إن مثل هذه البراهين ليست مثيرة للجدل بقدر ما هي "مسألة ذوق" بيتر كونستانتين من جامعة برينستون. يتفق علماء الرياضيات بشكل عام على أن الدليل يجب أن يقنع علماء الرياضيات الآخرين بأن بعض خطوط التفكير صحيحة. ولكن ، كما يجادل الكثيرون ، يجب أيضًا أن يحسن فهمهم لسبب صحة جملة معينة ، بدلاً من مجرد تقديم التحقق من صحتها. "هل نتعلم أي شيء جديد بشكل أساسي ، أم أننا نعرف فقط إجابة السؤال؟" قال الجندي. "إذا كنت تنظر إلى الرياضيات على أنها فن ، فهذا ليس ممتعًا من الناحية الجمالية."
"الكمبيوتر يمكن أن يساعد. إنه لأمر رائع. يعطيني البصيرة. وأضاف قسطنطين "لكن هذا لا يعطيني فهمًا كاملاً. "الفهم يأتي منا."
من جانبه ، لا يزال الجندي يأمل في إيجاد دليل بديل على التفجير اليدوي بالكامل. قال عن عمل هو وتشين: "أنا سعيد بشكل عام لوجود هذا". "لكنني أعتبر ذلك دافعًا أكبر لمحاولة القيام بذلك بطريقة أقل اعتمادًا على الكمبيوتر."
ينظر علماء رياضيات آخرون إلى أجهزة الكمبيوتر كأداة حيوية جديدة ستجعل من الممكن مهاجمة المشكلات المستعصية سابقًا. قال تشين: "الآن لم يعد العمل مجرد ورقة وقلم رصاص". "لديك خيار استخدام شيء أكثر قوة."
وفقًا له ولغيره (بما في ذلك Elgindi ، على الرغم من تفضيله الشخصي لكتابة البراهين يدويًا) ، هناك احتمال جيد بأن الطريقة الوحيدة لحل المشكلات الكبيرة في ديناميكيات الموائع - أي المشكلات التي تنطوي على معادلات معقدة بشكل متزايد - قد تكون الاعتماد بشدة على مساعدة الكمبيوتر. قال فيفرمان: "يبدو لي كما لو أن محاولة القيام بذلك دون الاستخدام المكثف للبراهين المدعومة بالكمبيوتر تشبه ربط يديك أو ربما يدين خلف ظهرك".
قال الجندي ، إذا انتهى الأمر بهذا الأمر ، و "ليس لديك أي خيار ، فعندئذ يجب على الناس ... مثلي ، الذين قد يقولون إن هذا دون المستوى الأمثل ، أن يكونوا هادئين". وهذا يعني أيضًا أن المزيد من علماء الرياضيات سيحتاجون إلى البدء في تعلم المهارات اللازمة لكتابة البراهين بمساعدة الكمبيوتر - وهو أمر نأمل أن يلهمه عمل هو وتشين. قال بكماستر: "أعتقد أنه كان هناك الكثير من الأشخاص الذين كانوا ينتظرون ببساطة شخصًا ما لحل مثل هذه المشكلة قبل استثمار أي وقت من وقتهم في هذا النهج".
ومع ذلك ، عندما يتعلق الأمر بالمناقشات حول مدى اعتماد علماء الرياضيات على أجهزة الكمبيوتر ، "لا يعني ذلك أنك بحاجة إلى اختيار جانب" ، كما قال جوميز سيرانو. "إثبات [هو وتشين] لن ينجح بدون التحليل ، ولن يعمل الدليل بدون مساعدة الكمبيوتر. ... أعتقد أن القيمة هي أن الناس يمكنهم التحدث باللغتين ".
مع ذلك ، قال دي لا لاف ، "هناك لعبة جديدة في المدينة."
