كيف يمكن لأي شخص أن يتحدث بيقين عن اللانهاية؟ ما الذي يمكننا معرفته حقًا عن الأعداد الأولية الغامضة دون معرفة كل منهم؟ مثلما يحتاج العلماء إلى البيانات لتقييم فرضياتهم ، يحتاج علماء الرياضيات إلى أدلة لإثبات أو دحض التخمينات. ولكن ما الذي يعتبر دليلاً في المجال غير الملموس لنظرية الأعداد؟ في هذه الحلقة ، يتحدث ستيفن ستروغاتز ميلاني ماتشيت وود، أستاذ الرياضيات في جامعة هارفارد ، لمعرفة كيف يمكن أن تساعد الاحتمالية والعشوائية في إثبات الأدلة على الحجج المحكمة التي يطلبها علماء الرياضيات ..
استمع Apple Podcasts, سبوتيفي, Google Podcasts, الخياطة, TuneIn أو تطبيق البث المفضل لديك ، أو يمكنك ذلك دفقه من كوانتا.
النص الكامل
ستيفن ستروغاتز (00:02): أنا ستيف ستروغاتز ، وهذا هو فرحة لماذا، بودكاست من مجلة كوانتا يأخذك إلى بعض أكبر الأسئلة التي لم تتم الإجابة عليها في الرياضيات والعلوم اليوم. في هذه الحلقة سنتحدث عنها دليل في الرياضيات. ما أنواع الأدلة التي يستخدمها علماء الرياضيات؟ ما الذي يدفعهم للشك في أن شيئًا ما قد يكون صحيحًا ، قبل أن يكون لديهم دليل مانع لتسرب المياه؟
(00:26) قد يبدو الأمر وكأنه تناقض ، لكن اتضح أن التفكير القائم على نظرية الاحتمالات ، دراسة الصدفة والعشوائية ، يمكن أن يؤدي أحيانًا إلى ما يسعى إليه علماء الرياضيات حقًا ، وهو يقين ، وليس مجرد احتمالية. على سبيل المثال ، في فرع الرياضيات المعروف باسم نظرية الأعداد ، هناك تاريخ طويل لاستخدام العشوائية لمساعدة علماء الرياضيات على تخمين ما هو صحيح. الآن ، يتم استخدام الاحتمالية لمساعدتهم على إثبات ما هو صحيح.
(00:53) سنركز هنا على الأعداد الأولية. ربما تتذكر الأعداد الأولية ، أليس كذلك؟ تعلمت عنهم في المدرسة. الرقم الأولي هو عدد صحيح أكبر من 1 لا يمكن قسمة إلا على 1 وعلى نفسه. على سبيل المثال ، 7 أو 11. هذه أعداد أولية ، لكن 15 ليست لأن 15 يمكن تقسيمها بالتساوي على 3 أو على 5. يمكنك التفكير في الأعداد الأولية كنوع من العناصر الموجودة في الجدول الدوري للكيمياء ، بمعنى أنها الذرات غير القابلة للتجزئة التي تشكل جميع الأعداد الأخرى.
(01:27) يبدو أن الأعداد الأولية يجب أن تكون بسيطة ، لكن بعض أكبر الألغاز في الرياضيات هي أسئلة حول الأعداد الأولية. في بعض الحالات ، الأسئلة التي كانت موجودة منذ مئات السنين. هناك حقًا شيء خفي حول الأعداد الأولية. يبدو أنهم يعيشون في منطقة حدودية بين النظام والعشوائية. سيساعدنا ضيفي اليوم على فهم المزيد عن طبيعة الأدلة في الرياضيات ، وخاصة كيف ولماذا يمكن للعشوائية أن تخبرنا كثيرًا عن الأعداد الأولية ، ولماذا يمكن أن تكون النماذج المبنية على الاحتمالية مفيدة جدًا في طليعة نظرية الأعداد. انضم إلي الآن لمناقشة كل هذا مع ميلاني ماتشيت وود ، أستاذة الرياضيات في جامعة هارفارد. مرحبا ميلاني!
ميلاني ماتشيت وود (02:09): مرحبًا ، من الجيد التحدث إليك.
ستروغاتز (02:11): من الجيد التحدث إليكم ، أنا معجب كبير. دعنا نتحدث عن الرياضيات والعلوم فيما يتعلق ببعضهما البعض لأن الكلمات غالبًا ما تُستخدم معًا ، ومع ذلك فإن التقنيات التي نستخدمها للتوصل إلى الإثبات واليقين في الرياضيات تختلف إلى حد ما عما نحاول القيام به في العلوم. على سبيل المثال ، عندما نتحدث عن جمع الأدلة في الرياضيات ، كيف هو نفسه أو كيف يختلف عن جمع الأدلة بالطريقة العلمية في العلم؟
خشب (02:38): الدليل الرياضي هو حجة منطقية كاملة ومحكمة الإحكام بأن بعض الإدعاءات الرياضية يجب أن تكون بهذه الطريقة ولا يمكن أن تكون بأي طريقة أخرى. لذلك على عكس النظرية العلمية - والتي قد تكون أفضل ما لدينا بناءً على الأدلة التي لدينا اليوم ، لكننا سنحصل على المزيد من الأدلة ، كما تعلمون ، في السنوات العشر القادمة وربما ستكون هناك نظرية جديدة - دليل رياضي يقول أن بعض العبارات يجب أن تكون على هذا النحو ، لا يمكننا أن نكتشف أنه سيكون خطأ في غضون 10 سنوات أو 10 عامًا.
ستروغاتز (03:17): حسنًا ، ما هي أنواع الأشياء التي تعتبر دليلاً في الرياضيات؟
خشب (03:19): لذلك قد ترى أن شيئًا ما صحيح في الكثير من الأمثلة. واستنادًا إلى صحتها في الكثير من الأمثلة ، والتي ربما يمكن القول أنها ستكون دليلًا على هذه الحقيقة ، قد تقوم بعمل تخمين، ما يسميه علماء الرياضيات تخمينًا ، تخمينًا أن شيئًا ما صحيح. ولكن بعد ذلك ، ما يريده علماء الرياضيات سيكون دليلًا على أن هذا الشيء الذي رأيته تم تنفيذه في العديد من الأمثلة سيعمل دائمًا على الطريقة التي تدعيها.
ستروغاتز (03:49): صحيح ، مختلف تمامًا عن مجرد ثقل الأدلة. هذا بيان مفاده أن هناك سببًا يجعل شيئًا ما صحيحًا إلى الأبد ، في كل الأوقات ، في كل حالة.
خشب (03:58): وليس فقط "حسنًا ، لقد نظرت إلى مليون حالة وهذا صحيح في كل حالة منها." وهذا سبب للتخمين أو التخمين أنه صحيح دائمًا. لكن في الرياضيات ، نميز بين مثل هذا التخمين الذي يمكن أن يعتمد على الكثير من الحالات أو الأدلة ، وبين وجود نظرية أو إثبات ، حجة تخبرك أنها ستنجح في كل حالة ، حتى تلك التي لديك ر حاولت.
ستروغاتز (04:25): الآن ، هل الأمر يتعلق فقط بعلماء الرياضيات بطبيعتهم ، أم أن هناك حالات يبدو فيها شيء يبدو أنه صحيح ، حتى عدد كبير جدًا من الاحتمالات ، انتهى به الأمر إلى أن يكون غير صحيح بخلاف عدد كبير آخر ؟
خشب (04:39): أوه ، هذا سؤال رائع. حسنًا ، هذا مثال يعجبني ، لأنني أحب الأعداد الأولية. لذا أثناء استعراض الأعداد الأولية - 2 ، 3 ، 5 ، 7 - أحد الأشياء التي يمكنك فعلها ، قد تنظر وتقول ، "مهلاً ، هل هي قابلة للقسمة على 2؟" واتضح أن هذا ليس ممتعًا للغاية. بعد 2 ، لا يقبل أي منهم القسمة على 2. كلهم ، كلهم فرديون.
(05:10) وبعد ذلك قد تعتقد ، "حسنًا ، هل يقبلون القسمة على 3؟" وبالطبع ، بعد 3 ، لا يمكن القسمة على 3 أيضًا ، نظرًا لأنها أعداد أولية. ومع ذلك ، قد تلاحظ أن بعضها ، عندما تقسمها على 3 ، تحصل على الباقي 1 ، أي أنها 1 أكثر من مضاعفات 3. لذا أشياء مثل 7 ، أي 1 أكثر من 6 ، أو 13 ، والتي تكون 1 أكثر من 12. وبعض هذه الأعداد الأولية ، مثل 11 أو 17 ، أي 2 أكثر من 15 ، سيكون لديهم الباقي 2 عندما تقسمهم على 3 ، لأنهم أكثر من 2 مضاعفات 3.
(05:47) وهكذا يمكنك التفكير في هذه الأعداد الأولية في فرق. الفريق 1 هو كل تلك التي تكون 1 أكثر من مضاعف 3 والفريق 2 هي كل تلك التي تكون 2 أكثر من مضاعفات 3. وعندما تتصفح الأعداد الأولية وتدرج الأعداد الأولية ، يمكنك سرد كل يمكنك حساب عدد الأعداد الأولية ، ومعرفة عددهم في الفريق 1 ، وعددهم في الفريق 2. وإذا قمت بهذا العدد حتى 600 مليار ، في كل نقطة ، كل رقم يصل إلى 600 مليار ، ستجد ذلك يوجد عدد أكبر من الأعداد الأولية للفريق 2 مقارنة بأعداد الفريق الأول. لذلك ، قد تخمن بشكل طبيعي ، بناءً على هذا الدليل ، أنه سيكون هناك دائمًا عدد أكبر من الأعداد الأولية للفريق 1 مقارنة بأعداد الفريق الأول.
ستروغاتز (06:33): بالتأكيد. تماما مثل ذلك.
خشب: تبين ، عند رقم حوالي 608 مليار شيء ، نسيت الرقم الدقيق ، لقد تغير.
ستروغاتز (06:46): أوه ، هيا.
خشب: نعم ، لقد تغير حقًا. والآن فجأة ، أصبح الفريق 1 في الصدارة. إذن ، هذا -
ستروغاتز (06:53): انتظر لحظة. انتظر ، لكن هذا مذهل. ماذا - الآن ، هل يتغيرون باستمرار؟ هل نعرف ماذا يحدث بينما تستمر في العمل؟ هل يتغيرون باستمرار؟
خشب (07:01): نعم ، سؤال رائع. لذلك ، في الواقع ، إنها نظرية أنهم سيتغيرون في كثير من الأحيان إلى ما لا نهاية.
ستروغاتز (07:07): حقًا؟
خشب: لذلك سوف يستمرون في تداول العملاء المتوقعين. لكن هذا مثال رائع حقًا يجب الاحتفاظ به في الجزء الخلفي من عقلك عند دراسة الأعداد الأولية ، وذلك فقط لأن شيئًا ما كان صحيحًا لأول 600 مليار حالة لا يعني أنه سيكون دائمًا صحيحًا.
ستروغاتز (07:25): أوه ، واو. لطيف - جيد. تمام. لذا ، بشكل عام ، كيف تنتقل من تخمين إلى برهان؟
خشب (07:31): هذا يعتمد إلى حد كبير على القضية. أعني ، هناك العديد من حالات الرياضيات حيث لدينا تخمينات وليس لدينا براهين. لذلك ليس هناك وصفة بسيطة للانتقال من التخمين إلى الدليل ، أو لن يكون لدينا الكثير من المشاكل المفتوحة الشهيرة حيث ، كما تعلمون ، هناك بعض - بعض التخمين أن الناس يعتقدون أن شيئًا ما يعمل بطريقة معينة ، لكننا لا نفعل ذلك. لا أعرف ذلك بالتأكيد. لكن ، كما تعلم ، قد يشير التخمين أحيانًا إلى أسباب تجعل شيئًا ما صحيحًا. في بعض الأحيان تكون مجرد نظرية رياضية ، وهي مبنية على المزيد والمزيد من النظريات الرياضية التي طورها الناس لمئات السنين ، وتمنحنا الأدوات والبنية الكافية للعمل بها لفهم الأشياء التي توصلنا إليها بإثبات. لكن ليس الأمر أن التخمين يؤدي بالضرورة إلى الإثبات. قد يلهم التخمين الناس لمحاولة إيجاد الدليل ، لكن الطريقة التي يأتي بها الدليل قد تكون منفصلة تمامًا عن التخمين نفسه.
ستروغاتز (08:31): نعم ، أنا مهتم نوعًا من تعداد ، أو سرد أنواع الأدلة التي لا ترقى إلى مستوى الإثبات ، والتي تقود الناس إلى الثقة في أن الأمر يستحق محاولة البحث عن دليل.
خشب (08:41): نعم ، شيء آخر يمكن أن نسميه كدليل ليس مجرد أمثلة سيكون استكشافيًا. قد يكون الكشف عن مجريات الأمور شيئًا مثل الحجة ، باستثناء مستوى أقل بكثير من الصرامة. إنه مثل ، هل يبدو ذلك جيدًا؟ ليس "هل أثبتت بالتأكيد هذه الحقيقة بما لا يدع مجالاً للشك؟" لكن "افعل ذلك - نعم ، يبدو معقولًا جدًا." لذلك قد يكون الاستدلال خطًا منطقيًا يبدو معقولًا جدًا ، كما تعلمون ، لكنه في الواقع ليس حجة صارمة. هذا نوع واحد من الأدلة.
(09:12) في بعض الأحيان قد يكون لدى المرء نموذج نعتقد أنه يلتقط العناصر الأساسية للنظام الرياضي الذي نحاول فهمه ، ومن ثم قد تخمن أن نظامك لديه نفس سلوك نموذجك.
ستروغاتز (09:30): حسنًا. في مرحلة ما ، أريد أن أسمع بعض الأمثلة للنماذج والتخمينات ، كما تعلمون ، إلى المدى الذي تعمل فيه أو لا تعمل على بعض الأسئلة أو لا على أسئلة أخرى ، ولكن إذا كنت لا تمانع ، سأفعل أحب أن أعود إلى بعض الأشياء الشخصية الصغيرة ، نوعًا ما ، لأننا نتحدث هنا عن الأرقام ، وأنت مُنظر للأرقام. قد لا يعرف الناس الكثير من منظري الأعداد في حياتهم اليومية. لذا ، أتساءل عما إذا كان بإمكانك إخبارنا ما هي نظرية الأعداد، وأيضًا ، لماذا تجده ممتعًا؟ لماذا أتيت لدراستها؟
خشب (10:02) حسنًا ، نظرية الأعداد هي الدراسة الرياضية للأعداد الصحيحة. لذا ، فكر في 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5. وعلى وجه الخصوص ، أحد الأشياء المهمة في الأعداد الصحيحة هي الأعداد الأولية. كما أوضحت ، في البداية ، هم اللبنات الأساسية التي يمكننا من خلالها ، من خلال الضرب ، بناء كل الأرقام الأخرى. لذلك ، نظرًا لأن نظرية الأعداد معنية بكل هذه الأعداد الصحيحة ، فهي أيضًا معنية بكتل بنائها ، والأعداد الأولية ، وكيف تؤثر الأعداد الأخرى في الأعداد الأولية وكيف لقد بنيت - من الأعداد الأولية.
ستروغاتز (10:37): إذن ، نظرية الأعداد ، لأغراضنا اليوم ، على ما أعتقد ، ستكون دراسة الأعداد الصحيحة ، مع اهتمام خاص بالأعداد الأولية. هذا يبدو كبداية جيدة أعتقد أنه أكثر من ذلك. لكن ربما يكون هذا تعريفًا جيدًا لنا الآن. هل تعتقد ذلك؟
خشب (10:50): هذه بداية جيدة. أعني ، من هناك ، يستكشف المرء أشياء أخرى مثل ، حسنًا ، ماذا لو بدأت في التفكير في أنظمة الأرقام الأكثر تعقيدًا من مجرد الأعداد الصحيحة؟ مثلما تبدأ في وضع أعداد أخرى ، مثل الجذر التربيعي لـ 2 ، فماذا يحدث مع الأعداد الأولية والعوامل؟ يتم توجيهك إلى المزيد من الأسئلة. لكن بصراحة ، هناك الكثير من الرياضيات الثرية والجميلة فقط في الأعداد الصحيحة والأعداد الأولية.
ستروغاتز (11:16): إذن مع أخذ ذلك في الاعتبار ، لماذا تجده مقنعًا؟ لماذا تحب دراسة نظرية الأعداد؟ ما الذي جذبك إليه؟
خشب (11:22): أعتقد أنني أحب أن تكون الأسئلة محددة جدًا. أتعلم ، أذهب وأتحدث إلى أطفال المدارس الابتدائية. ويمكنني أن أخبرهم ، كما تعلمون ، عن بعض الأشياء - التي أفكر فيها. لذا ، من الممتع بالنسبة لي أن أعمل على شيء ما ، من ناحية ، يمكن أن تكون الأسئلة محددة للغاية ، ولكن من ناحية أخرى ، قد يكون لغز محاولة حلها صعبًا للغاية. أعني ، كان الناس يحاولون الإجابة عن أسئلة حول الأعداد الصحيحة ، حول الأعداد الأولية منذ آلاف السنين حرفيًا.
(11:54) وهناك الكثير من فروع الرياضيات. أحد الأجزاء المهمة في نظرية الأعداد الحديثة هو أنه لإحراز تقدم في هذه الأسئلة القديمة العنيدة التي ظل الناس يعملون عليها لفترة طويلة ، يحتاج المرء إلى طرح أفكار جديدة ، ويحتاج إلى إجراء اتصالات مع أجزاء أخرى من الرياضيات. لذلك ، على الرغم من أنني سأطلق على نفسي اسم نظرية الأعداد ، إلا أنني أستخدم الرياضيات من جميع الأنواع المختلفة من المجالات. من الدراسة ، كما تعلم ، الهندسة والتوبولوجيا وأشكال المساحات إلى الاحتمالات ودراسة العشوائية. أنا أستخدم جميع أنواع الرياضيات ، لكن لأحاول أن أقول شيئًا عن أشياء مثل الأعداد الصحيحة والأعداد الأولية والعوامل.
ستروغاتز (12:36): نعم ، أنا أحب تلك الرؤية للرياضيات باعتبارها شبكة الأفكار المترابطة العملاقة ، ويمكنك أن ترغب في العيش في جزء معين منها هو المفضل لديك. لكنك ذكرت الأعداد الأولية باعتبارها مجالًا معينًا من مجالات الاهتمام في نظرية الأعداد ، الجزء الأساسي منها حقًا. ما هو الصعب عليهم؟ ليس من الواضح بعد ، في مناقشتنا ، ما هو الغموض هناك؟ كما حددناها ، ربما يمكننا الاستمرار في سردها ، على ما أعتقد. ما هي بعض تلك المشاكل التي تشير إليها والتي تعود إلى مئات السنين؟
خشب (13:05): حسنًا ، أحد أكبر الأسئلة وأكثرها أهمية ، والذي ربما يكون عمره حوالي 120 عامًا أو نحو ذلك ، هو ، كما قلت ، "أوه ، يمكنك سردها. إذا فعلت ذلك ، فكم ستجده؟ " لنفترض أنك ذكرت الأعداد الأولية ، حتى مائة ، أو ألف ، أو مائة ألف ، أو مليون ، مليار. أثناء سرد الأعداد الأولية وصولاً إلى أعداد أكبر وأكبر ، كم عدد هذه الأعداد التي تمر عبرها سيكون في الواقع عددًا أوليًا؟ لذا فإن فهم هذه الكمية هو حقًا قلب فرضية ريمان، وهو أحد معهد كلاي للرياضيات مشاكل جائزة الألفية، هناك جائزة مليون دولار للإجابة. إنه أحد الأسئلة الأكثر شهرة وليس لدينا أي فكرة عن كيفية القيام بذلك ، وهو في الحقيقة يتعلق فقط بمسألة ، عندما تسرد تلك الأعداد الأولية ، كم ستجدها؟
ستروغاتز (13:58): حسنًا. إنه مضحك ، أليس كذلك؟ لأنه عندما تبدأ في إعداد القائمة ، حتى لو بدأ شخص ما عرضًا سرد الأرقام الأولية حتى 100 - ستلاحظ بعض الأشياء المضحكة. مثل ، في أول 11 و 13 ، كانا متباعدان عن بعضهما البعض. خمسة عشر ، حسنًا ، هذا لا يعمل ، لأنه قابل للقسمة على 2 و 5. ثم 3 ، إذن هناك فجوة 17 الآن ، بين 4 و 13. لكن بعد ذلك 17 قريب مرة أخرى. لا أعلم ، أعني ، لذا فإن التباعد بين الأعداد الأولية يمكن أن يكون نوعًا ما متزعزعًا. كما هو الحال في بعض الأحيان ، توجد فجوة كبيرة جدًا هناك ، وأحيانًا يكونون بجوار بعضهم البعض ، فقط 19 على حدة.
خشب (14:31): نعم ، لذا فهم أن التباعد وتلك الفجوات كانت أيضًا مسألة مهمة. كان هناك تقدم ملحوظ في العقد الماضي في فهم التباعد بين الأعداد الأولية. لكن لا يزال هناك سؤال أساسي محير حقًا لا نعرف إجابته. لذلك ذكرت أن هذين الأعداد الأولية ، 11 و 13 ، تفصل بينهما 2 فقط. لذلك تسمى هذه الأعداد الأولية التوأم. لا يمكننا أن نتوقع أن تقترب الأعداد الأولية أكثر من 2 بعد 2 ، يجب أن تكون جميعًا فردية. هذا سؤال مفتوح في الرياضيات ، بمعنى أننا لا نعرف الإجابة ، وهذا: هل هناك عدد لانهائي من أزواج التوأم الأولي؟ وهنا ، هناك تخمين ، التخمين سيكون ، نعم. أعني ، ليس فقط أن هناك حدسًا مفاده "نعم ، يجب أن يستمروا إلى الأبد ، ويجب أن يكون هناك دائمًا المزيد منهم" ، ولكن هناك أيضًا تخمين حول ، نوعًا ما ستجده أثناء المضي قدمًا. لكن هذا مفتوح تمامًا. بقدر ما نعلم ، قد يكون الأمر أنه بمجرد وصولك إلى رقم كبير حقًا ، يتوقفون ولا تجد أي أزواج من الأعداد الأولية المزدوجة على الإطلاق.
ستروغاتز (15:40): هناك شيء شاعري جدًا حول ذلك ، مؤثر ، هذا الفكر ، مثل ، يمكن أن يكون نهاية السطر في مرحلة ما. أعني ، ربما لا أحد منا يعتقد ذلك. لكن من الممكن ، على ما أظن ، أنه من الممكن تصور أن يكون هناك توأمان وحيد أخير يتعانقان في الظلام ، بعيدًا هناك ، كما تعلمون ، على خط الأعداد.
خشب (15:57): نعم ، يمكن أن يكون هناك. وكما تعلمون ، بصفتنا علماء رياضيات ، فإننا نقول ، كما تعلمون ، لا نعرف. حتى لو كان بإمكانك عمل رسم بياني أثناء مواجهتك لعدد ما وجدته ، إذا قمت برسم هذا الرسم البياني ، فيبدو أنه من المؤكد أنه يرتفع ويصعد بمعدل لن يتغير أبدًا. لكن أعتقد أن هذا جزء من الاختلاف بين الرياضيات والعلوم هو أننا نحتفظ بهذا الشك ونقول ، حسنًا ، لا نعرف. أعني ، ربما في مرحلة ما ، يستدير الرسم البياني فقط ، ولم يعد هناك المزيد.
ستروغاتز (16:29): إذن - أنا أحب صورتك هناك للرسم البياني ، لأنني أعتقد أن الجميع يمكنهم الارتباط بهذه الفكرة ، إنشاء مخطط ، وعمل نوع من الرسم البياني. كما تعلمون ، التفكير في الأعداد الأولية كنوع من البيانات المشابهة. ولذا أعتقد أن هذا هو الوقت المناسب لنا لنتحول ، لبدء الحديث عن نظرية الاحتمالات. ويبدو من الغريب أن نتحدث عن الاحتمالات والإحصاءات فيما يتعلق بالأعداد الأولية لأنه لا توجد فرصة هنا. يتم تحديد الأعداد الأولية من خلال التعريف الذي قدمناه ، وهي ليست قابلة للقسمة. لكن مع ذلك ، فإن علماء الرياضيات ومنظري الأعداد ، مثلك ، قد استخدموا الحجج الإحصائية أو الاحتمالية في التفكير في الأعداد الأولية. أتساءل عما إذا كان بإمكانك رسم شيء من هذا القبيل لي باستخدام تقليب العملة ، والعودة إلى - ما كنا نتحدث عنه في البداية ، والأرقام الفردية والزوجية.
خشب (17:14): حسنًا. لذلك على عكس الأعداد الأولية ، نحن في الواقع نفهم جيدًا نمط الأعداد الفردية والزوجية. يذهبون بشكل فردي ، زوجي ، فردي ، زوجي بالطبع. لكن لنفترض أننا لم نفهم هذا النمط. ونحن نستخدم هذا لفهم عدد الأرقام الفردية التي قد تجدها إذا نظرت إلى كل الأرقام حتى المليون. يمكنك أن تتخيل ، نظرًا لوجود احتمالين ، يمكن أن يكون الرقم فرديًا أو يمكن أن يكون رقمًا زوجيًا ، وربما يكون هناك شخص ما قد ذهب وقلب عملة معدنية لكل رقم ، وإذا ظهرت العملة وجهًا لوجه ، فإن الرقم كان فرديًا. وإذا ظهرت العملة في شكل ذيول ، فسيكون الرقم زوجيًا. وهكذا يمكن أن تجعل الشخص الذي يقلب العملة الخاصة بك يمشي على طول خط الأرقام ، ويقلب عملة معدنية في كل رقم ، ويظهر ، على سبيل المثال ، إما أن تعلن أن هذا الرقم فردي أو زوجي.
(18:03) الآن ، من ناحية ، هذا هراء. من ناحية أخرى ، فإن نموذج تقليب العملة سيصلح بعض الأشياء. على سبيل المثال ، إذا قلت ، كما تعلم ، تقريبًا ، كم عدد الأرقام حتى المليون زوجي؟ نحن نعلم أن عدد تقليب العملات تقريبًا الذي سيظهر ، على سبيل المثال ، ذيول ، إذا قمت بتقليب عدد كبير من العملات المعدنية ، مثل المليون ، هو حوالي نصفهم. وهكذا ، فإن هذا النموذج ، مهما كان سخيفًا ، لا يزال بإمكانه إجراء بعض التنبؤات بشكل صحيح. ويجب أن أقول ، قد يبدو هذا سخيفًا ، لأننا نعرف بالفعل الإجابة على هذا السؤال. الفكرة هي أننا نبني نماذج لأنماط أكثر تعقيدًا ، مثل مكان ظهور الأعداد الأولية بين الأرقام ، بدلاً من مكان ظهور الاحتمالات فقط.
ستروغاتز (18:55): بلى. أعني ، أعتقد أننا بحاجة إلى التأكيد على ذلك - فقط إلى أي مدى تكون الأعداد الأولية غامضة للغاية. لا توجد صيغة للأعداد الأولية ، الطريقة التي توجد بها صيغة الأعداد الفردية. كما لو كنت تعتقد ، أوه ، هيا ، هذا - نحن نتحدث حقًا عن أشياء سخيفة هنا ، من المفيد جدًا أن يكون لديك هذه النماذج الإحصائية التي يمكن أن تتنبأ بخصائص ذات خصائص متوسطة. مثل التناظرية ، نصف الأرقام الأقل من عدد كبير ستكون فردية. هذا شيء ، في حالة الأعداد الأولية ، هو سؤال جاد ومثير للاهتمام. ما الكسر الأولي من الأعداد الأصغر من عدد كبير؟ وكما تقول ، يمكنك عمل نموذج إحصائي يحقق ذلك بشكل صحيح. وماذا بعد ذلك ، يمكن استخدام هذا النموذج نفسه للتنبؤ بعد ذلك بعدد الأعداد الأولية المزدوجة التي ستكون أقل من عدد كبير؟ هل يقوم النموذج نفسه بعمل جيد في هذه الحالة؟
خشب (19:41): في حالة الأعداد الأولية ، إذا كنا نبني نموذجًا - كما تعلمون ، وهناك نموذج يستخدمه علماء الرياضيات يسمى نموذج كرامر من الأعداد الأولية - إذا كنا نبني نموذجًا لقلب العملة للأعداد الأولية حيث نتخيل شخصًا يسير على طول خط الأرقام ، وعند كل رقم ، كما تعلم ، يقلب عملة ، على سبيل المثال ، لنقرر ما إذا كان هذا الرقم أوليًا أم لا ، دمج كل ما نعرفه عن الأعداد الأولية في هذا النموذج. أولًا ، نعلم أن الأعداد الكبيرة أقل احتمالًا أن تكون أولية من الأعداد الأصغر. لذلك يجب ترجيح تلك القطع النقدية. وسنضطر - علينا أن نحاول تحديد الأوزان التي نتوقعها بدقة. ونحن نعلم أشياء مثل ، لا يمكن أن يكون لديك عدنان أوليان بجوار بعضهما البعض ، لأن أحدهما يجب أن يكون فرديًا وواحدًا يجب أن يكون زوجيًا. لذلك وضعنا ذلك في النموذج. ثم هناك المزيد من الأشياء التي نعرفها عن الأعداد الأولية.
(20:37) إذن النموذج هو شيء يبدأ بنموذج تقليب العملة هذا ، ولكن بعد ذلك تم تعديله بكل هذه القواعد الأخرى ، وكل الأشياء الأخرى التي نعرفها عن الأعداد الأولية. وبمجرد أن تضع كل تلك الأشياء التي نعرفها في النموذج ، تسأل بعد ذلك تقليب العملة ، كما تعلم ، النموذج ، حسنًا ، هل ترى ، في كثير من الأحيان ، عملات معدنية تظهر بشكل أولي فقط 2 على حدة؟ ويخبرك النموذج ، أوه ، نعم ، نحن نرى ذلك. في الواقع ، نراه عند هذا المعدل الخاص جدًا يمكننا أن نقدم لك صيغة له. وبعد ذلك ، إذا قمت برسم عدد الأعداد الأولية المزدوجة الفعلية ، بالأرقام الفعلية ، حيث لا توجد عملات مقلوبة ، مقابل ما يتوقعه النموذج ، فسترى أن النموذج يمنحك تنبؤًا دقيقًا للغاية لعدد أزواج الأعداد الأولية المزدوجة ستجده بينما تمضي قدمًا. ومن ثم تعتقد ، كما تعلم ، ربما يعرف هذا النموذج ما الذي يتحدث عنه.
ستروغاتز (21:31): هذا رائع. أعني ، هذا نوع من المهم ، ما وصلنا إليه للتو ، أن - لم تستخدم كلمة كمبيوتر بعد. لكنني أفترض أنك لا تفعل ذلك يدويًا. الأشخاص الذين يدرجون التوأم الأولي ، لا أعرف ، ما الذي نتحدث عنه؟ تريليون تريليون تريليون؟ أعني ، هذه أرقام كبيرة نتحدث عنها ، أليس كذلك؟
خشب (21:49): حسنًا ، بالنسبة لقائمة الأعداد الأولية المزدوجة ، هذا - سيتم بواسطة الكمبيوتر ، بالتأكيد. ولكن لبناء هذا النموذج والتوصل إلى الصيغة التي يقدمها النموذج. كما تعلمون ، يتم ذلك يدويًا ، بشكل أساسي ، بواسطة علماء الرياضيات الذين يفكرون في النموذج ويتعرفون عليه.
ستروغاتز (22:07): هذا رائع جدًا. هذا هو المكان الذي يعرض فيه النموذج أشياءه ، بحيث يمكن للنموذج في الواقع التنبؤ بما يراه الكمبيوتر. ولا يتطلب الأمر جهاز كمبيوتر لعمل هذا التوقع. يمكن القيام بذلك يدويًا ، بواسطة الناس ، ويمكن أن يؤدي في الواقع إلى البراهين. باستثناء أنها أدلة على خصائص النموذج ، وليست بالضرورة أدلة على الشيء الذي تهتم به.
خشب (22:28): صحيح. وفي مرحلة ما ، يتوقف الكمبيوتر. كما تعلم ، هناك فقط الكثير من القوة الحاسوبية. لكن تلك الصيغة التي ستحصل عليها ، والتي سيقدمها لك النموذج ، والتي يمكنك إثبات صحتها ، مرة أخرى ، حول وضع تقليب العملة هذا النموذج ، ستستمر هذه الصيغة. يمكنك وضع أرقام أكبر وأكبر في هذه الصيغة ، أكبر بكثير مما يمكن لجهاز الكمبيوتر الخاص بك أن يحسب به.
ستروغاتز (22:53): لقد أخبرتنا قليلاً عن كيف يمكن للعشوائية أن تساعد في إعطاء نماذج لظواهر مثيرة للاهتمام في نظرية الأعداد ، وأنا متأكد من أنها صحيحة أيضًا في أجزاء أخرى من الرياضيات. هل هناك بعض الحالات التي يمكنك فيها استخدام العشوائية لتقديم براهين فعلية وليس مجرد نماذج؟
خشب (23:10): قطعا. يسمى فرع آخر من فروع الرياضيات نظرية الاحتمالات. وفي نظرية الاحتمالات ، يثبتون نظريات حول الأنظمة العشوائية وكيف تتصرف. وقد تعتقد أنه ، حسنًا ، إذا بدأت بشيء عشوائي ، وفعلت شيئًا به ، فسيكون لديك دائمًا شيء عشوائي. لكن أحد الأشياء الجميلة بشكل ملحوظ التي يجدها المرء في نظرية الاحتمالات هو أنه في بعض الأحيان يمكنك الحصول على شيء حتمي من شيء عشوائي.
ستروغاتز (23:45): حسنًا ، كيف يتم ذلك؟ مثل ماذا؟
خشب (23:48): بلى. إذاً لقد رأيت منحنى الجرس ، أو التوزيع الطبيعي ، كما يسميه علماء الرياضيات. يظهر في كل مكان في الطبيعة. كما يبدو إذا نظرت إلى ضغط الدم لدى الناس ، أو أوزان الأطفال عند الولادة ، أو شيء من هذا القبيل. وقد تعتقد ، أوه ، هذا المنحنى الجرس ، أن هذه ، إنها حقيقة من حقائق الطبيعة. لكن في الحقيقة ، هناك نظرية ، تسمى نظرية الحد المركزي في نظرية الاحتمالات ، تخبرك أنه في الواقع ، أن منحنى الجرس هذا هو بمعنى ما ، ليس حقيقة من حقائق الطبيعة ، بل حقيقة من حقائق الرياضيات. تخبرك نظرية الحد المركزي أنه إذا جمعت مجموعة كاملة من التأثيرات العشوائية الصغيرة بشكل مستقل ، فإن ناتج ذلك سيتطابق دائمًا مع توزيع معين. هذا الشكل ، ومنحنى الجرس هذا. يمكن للرياضيات ونظرية الاحتمال إثبات أنه إذا كان لديك - إذا جمعت الكثير من الأشياء الصغيرة المستقلة الصغيرة ، فإن نتيجة كل هذه التركيبة ستعطيك توزيعًا يشبه منحنى الجرس هذا. وهكذا - حتى لو كنت لا تعرف كيف كانت المدخلات. وهذه نظرية قوية حقًا وأداة قوية حقًا في الرياضيات.
ستروغاتز (25:05): نعم ، بالتأكيد. وقد أحببت تركيزك على أنك لست بحاجة إلى معرفة ما يحدث مع التأثيرات الصغيرة. أن ذلك ، بطريقة ما ، يتم غسله. هذه المعلومات ليست مطلوبة. منحنى الجرس يمكن التنبؤ به ، حتى لو كنت لا تعرف طبيعة التأثيرات الصغيرة. طالما أن هناك الكثير منهم وهم صغار. وهم لا يؤثرون على بعضهم البعض ، صحيح ، إنهم مستقلون ، بمعنى ما.
خشب (25:27): نعم بالتأكيد. وهذه فكرة ، كما تعلمون ، أحيانًا تسمى العالمية في نظرية الاحتمالات ، أن هناك أنواعًا معينة من الآلات التي إذا أدخلت الكثير من المدخلات العشوائية ، يمكنك التنبؤ بالمخرجات. مثل ، على سبيل المثال ، أن تحصل على منحنى الجرس هذا ، أو هذا التوزيع الطبيعي ، حتى لو كنت لا تعرف ما الذي تضعه في الجهاز. وهذا أمر قوي للغاية عندما تكون هناك أشياء لا نفهمها جيدًا ، لأن -
ستروغاتز (25:56): لكن هل تخبرني - أوه ، أنا آسف لقطعك - لكن هل تخبرني أن هذا يحدث في نظرية الأعداد الآن أيضًا؟ بطريقة ما توصلنا إلى فكرة العالمية لتظهر في نظرية الأعداد؟ أم أنا أحلم؟
خشب (26:09): حسنًا ، إلى حد ما ، أود أن أقول أن هذا حلمي الذي بدأ. كما تعلم ، نحن فقط ، نحن نتخذ الخطوات الأولى لرؤيتها تتحقق. لذا فهو ليس حلمك فقط ، إنه حلمي أيضًا. بعض الأعمال التي أقوم بها اليوم والتي أعمل عليها أنا وزملاؤنا تحاول تحويل هذا النوع من الحلم إلى حقيقة ، بحيث يمكن لبعض هذه الأسئلة المحيرة حول الأرقام التي لا نعرف إجابتها نفهم أن هناك أنماطًا تظهر ، مثل منحنى الجرس ، مثل التوزيع الطبيعي ، يمكننا إثبات أنها خرجت من الآلة حتى لو لم نكن نعرف ما هي الألغاز التي تم وضعها.
ستروغاتز (26:55): حسنًا ، إنها رؤية ملهمة ومثيرة للغاية ، في الواقع ، وآمل أن يتحقق كل ذلك. شكرا جزيلا على التحدث إلينا اليوم ، ميلاني.
خشب (27:03): شكرا. هذا كان الكثير من المرح.
مذيع (27:06): إذا شئت فرحة لماذا، تفحص ال مجلة كوانتا ساينس بودكاستالذي استضافته أنا سوزان فالوت أحد منتجي هذا العرض. أخبر أصدقاءك أيضًا عن هذا البودكاست ، وأعطونا إعجابًا أو تابعوا المكان الذي تستمعون إليه. يساعد الناس في العثور عليها فرحة لماذا بودكاست.
ستروغاتز (27: 26): فرحة لماذا هو بودكاست من مجلة كوانتا، نشرة تحريرية مستقلة تدعمها مؤسسة سيمونز. لا تؤثر قرارات التمويل الصادرة عن مؤسسة Simons على اختيار الموضوعات أو الضيوف أو القرارات التحريرية الأخرى في هذا البودكاست أو في مجلة كوانتا. فرحة لماذا من إنتاج سوزان فالوت وبولي سترايكر. محررونا هم جون ريني وتوماس لين ، بدعم من مات كارلستروم وآني ميلكور وليلى سلومان. تم تأليف الموسيقى الخاصة بنا بواسطة ريتشي جونسون. شعارنا من تصميم جاكي كينج ، والعمل الفني للحلقات من مايكل درايفر وصامويل فيلاسكو. أنا مضيفك ، ستيف ستروغاتز. إذا كان لديك أي أسئلة أو تعليقات لنا ، يرجى مراسلتنا عبر البريد الإلكتروني على quanta@simonsfoundation.org. شكرا على الإنصات.
