"الفريق الأول" من الرياضيات يثبت وجود صلة حاسمة بين الجمع والمجموعات | مجلة كوانتا

في مجموعة من الأرقام المختارة عشوائيًا، يمكن أن تصبح عملية الإضافة جامحة.

قم بجمع كل زوج من هذه المجموعة معًا، وسينتهي بك الأمر بقائمة جديدة من المحتمل أن تحتوي على أرقام أكثر بكثير مما بدأت به. ابدأ بـ 10 أرقام عشوائية، وستحتوي هذه القائمة الجديدة (التي تسمى المجموع) على حوالي 50 عنصرًا. ابدأ بـ 100 ومن المحتمل أن تحتوي المجموعة على حوالي 5,000؛ 1,000 رقم أولي عشوائي سيشكل مجموعًا يبلغ طوله 500,000 رقم.

لكن إذا كانت مجموعتك الأولية ذات بنية، فقد تنتهي المجموعة بأرقام أقل من هذه. خذ بعين الاعتبار مجموعة أخرى مكونة من 10 أرقام: جميع الأرقام الزوجية من 2 إلى 20. نظرًا لأن الأزواج المختلفة ستنتج نفس الرقم — 10 + 12 هو نفسه 8 + 14 و6 + 16 — فإن المجموع يحتوي على 19 رقمًا فقط، وليس 50. يصبح هذا الاختلاف أكثر عمقًا مع زيادة حجم المجموعات. قد تحتوي القائمة المنظمة المكونة من 1,000 رقم على مجموعة تحتوي على 2,000 رقم فقط.

في الستينات، عالم رياضيات يدعى جريجوري فريمان بدأ في التحقيق في مجموعات ذات مجموعات صغيرة في محاولة لاستكشاف العلاقة بين الجمع وبنية المجموعة - وهي علاقة مهمة تحدد المجال الرياضي للتوافقيات المضافة. حقق فريمان تقدمًا مثيرًا للإعجاب، حيث أثبت أن المجموعة ذات مجموع صغير يجب احتواؤها بواسطة مجموعة أكبر تكون عناصرها متباعدة بنمط منتظم للغاية. ولكن بعد ذلك ركود المجال. "كان من الصعب للغاية فهم الدليل الأصلي الذي قدمه فرايمان، لدرجة أنه لم يكن أحد متأكدًا تمامًا من صحته. قال: "لذلك لم يكن لها حقًا التأثير الذي كان من الممكن أن تحدثه". تيموثي جاورز، عالم رياضيات في كوليج دو فرانس وجامعة كامبريدج وحاصل على ميدالية فيلدز. "ولكن بعد ذلك ايمري روزا انفجرت في مكان الحادث."

في سلسلة من اثنان أوراق وفي التسعينيات، أعادت روزا إثبات نظرية فريمان بحجة جديدة أنيقة. بعد بضع سنين، كاتالين مارتون، عالم الرياضيات المجري المؤثر الذي توفي عام 2019، قام بتعديل مسألة ما يعنيه مجموع صغير حول بنية المجموعة الأصلية. لقد استبدلت أنواع العناصر التي تظهر في المجموعة ونوع البنية التي يجب أن يبحث عنها علماء الرياضيات، معتقدة أن ذلك سيسمح لعلماء الرياضيات باستخلاص المزيد من المعلومات. يرتبط تخمين مارتون بأنظمة الإثبات ونظرية التشفير والتشفير، ويحتل مكانة مرموقة في التوافقيات المضافة.

وقالت إن تخمينها "يبدو وكأنه أحد الأشياء الأساسية التي لم نفهمها". بن جرين، عالم الرياضيات في جامعة أكسفورد. إنه "نوعًا ما يدعم الكثير من الأشياء التي أهتم بها."

انضم جرين إلى قوات جاورز، فريدي مانرز من جامعة كاليفورنيا، سان دييغو، و تيرينس تاو، الحائز على ميدالية فيلدز في جامعة كاليفورنيا، لوس أنجلوس لتشكيل ما قاله عالم الرياضيات والمدون الإسرائيلي جيل كالاي يسمى "فريق" من علماء الرياضيات. لقد أثبتوا نسخة من التخمين في ورقة بحثية تمت مشاركته في 9 نوفمبر.

نتس كاتز، وهو عالم رياضيات في جامعة رايس ولم يشارك في العمل، يصف الدليل بأنه "مباشر بشكل جميل" - و"غريب تمامًا إلى حد ما".

ثم بدأ تاو محاولته لإضفاء الطابع الرسمي على الدليل تتكئوهي لغة برمجة تساعد علماء الرياضيات على التحقق من النظريات. وفي غضون أسابيع قليلة فقط، نجح هذا الجهد. في وقت مبكر من صباح يوم الثلاثاء 5 ديسمبر، أعلن تاو أن لين أثبت هذا التخمين دون أي كلمة "آسف" - العبارة القياسية التي تظهر عندما لا يتمكن الكمبيوتر من التحقق من خطوة معينة. هذا هو الاستخدام الأكثر شهرة لمثل هذا أدوات التحقق منذ عام 2021، ويمثل نقطة انعطاف في الطرق التي يكتب بها علماء الرياضيات البراهين بمصطلحات يمكن للكمبيوتر فهمها. يقول غاورز إنه إذا أصبحت هذه الأدوات سهلة بما فيه الكفاية ليستخدمها علماء الرياضيات، فقد يكونون قادرين على استبدال عملية مراجعة النظراء الطويلة والمرهقة في كثير من الأحيان.

كانت مكونات الدليل تغلي على نار هادئة منذ عقود. تصور جاورز خطواته الأولى في أوائل العقد الأول من القرن الحادي والعشرين. لكن الأمر استغرق 2000 عامًا لإثبات ما أسماه كالاي "الكأس المقدسة" في هذا المجال.

داخل المجموعة

لفهم حدسية مارتون، من المفيد أن تكون على دراية بمفهوم المجموعة، وهي كائن رياضي يتكون من مجموعة وعملية. فكر في الأعداد الصحيحة - مجموعة لا حصر لها من الأرقام - وعملية الجمع. في كل مرة تقوم فيها بإضافة عددين صحيحين معًا، تحصل على عدد صحيح آخر. تخضع عملية الجمع أيضًا لبعض القواعد الأخرى لعمليات المجموعة، مثل قواعد الترابط، والتي تتيح لك تغيير ترتيب العمليات: 3 + (5 + 2) = (3 + 5) + 2.

داخل المجموعة، يمكنك أحيانًا العثور على مجموعات أصغر تلبي جميع خصائص المجموعة. على سبيل المثال، إذا قمت بإضافة أي رقمين زوجيين، فستحصل على رقم زوجي آخر. الأعداد الزوجية هي مجموعة في حد ذاتها، مما يجعلها مجموعة فرعية من الأعداد الصحيحة. وعلى النقيض من ذلك، فإن الأرقام الفردية ليست مجموعة فرعية. إذا قمت بجمع رقمين فرديين، فستحصل على رقم زوجي، وليس في المجموعة الأصلية. ولكن يمكنك الحصول على جميع الأرقام الفردية بمجرد إضافة 1 إلى كل رقم زوجي. تسمى المجموعة الفرعية المتغيرة مثل هذه بـ coset. لا تحتوي على جميع خصائص المجموعة الفرعية، ولكنها تحتفظ ببنية مجموعتها الفرعية بعدة طرق. على سبيل المثال، تمامًا مثل الأرقام الزوجية، تكون جميع الأرقام الفردية متباعدة بشكل متساوٍ.

افترض مارتون أنه إذا كان لديك مجموعة فسنتصل بها A تتكون من عناصر المجموعة التي مجموعها ليس أكبر بكثير من A نفسها، ثم هناك مجموعة فرعية معينة - نسميها G - ذات خاصية خاصة. يحول G عدة مرات لإنشاء مجموعات كاملة، وستحتوي هذه المجموعات معًا على المجموعة الأصلية A. علاوة على ذلك، افترضت أن عدد مجموعات المجموعة لا ينمو بشكل أسرع بكثير من حجم المجموعة - فقد اعتقدت أنه يجب أن يكون مرتبطًا بعامل متعدد الحدود، بدلاً من النمو الأسي الأسرع بكثير.

قد يبدو هذا وكأنه فضول تقني للغاية. ولكن لأنه يتعلق باختبار بسيط، ماذا يحدث عند إضافة عنصرين فقط إلى المجموعة؟ - بالنسبة للهيكل الشامل لمجموعة فرعية، فهو مهم جدًا لعلماء الرياضيات وعلماء الكمبيوتر. تظهر نفس الفكرة العامة عندما يحاول علماء الكمبيوتر تشفير الرسائل بحيث يمكنك فك تشفير جزء صغير من الرسالة في الوقت المناسب. ويظهر أيضًا في البراهين التي يمكن التحقق منها احتماليًا، وهو شكل من أشكال الإثبات يمكن لعلماء الكمبيوتر التحقق منه عن طريق التحقق من عدد قليل فقط من الأجزاء المعزولة من المعلومات. في كل حالة من هذه الحالات، أنت تعمل مع بضع نقاط فقط في البنية - فك تشفير بضع بتات فقط من رسالة طويلة، أو التحقق من جزء صغير من دليل معقد - وتستنتج شيئًا حول بنية أكبر وأعلى مستوى.

قال: "يمكنك إما التظاهر بأن كل شيء هو مجموعة فرعية كبيرة من مجموعة". توم ساندرز، وهو طالب سابق في جاورز وهو الآن زميل لجرين في جامعة أكسفورد، أو يمكنك "الحصول على كل ما تريده من وجود العديد من المصادفات المضافة. وكلا المنظورين مفيدان."

روزسا نشر تخمين مارتون في عام 1999، ومنحها الائتمان الكامل. وقال: "لقد توصلت إلى هذا التخمين بشكل مستقل عني وعن فريمان، وربما قبلنا". "لهذا السبب، عندما تحدثت معها، قررت أن أسمي ذلك تخمينها". ومع ذلك، يشير إليها علماء الرياضيات الآن باسم تخمين فريمان-روزا متعدد الحدود، أو PFR.

الأصفار والآحاد

تأخذ المجموعات، مثل العديد من الكائنات الرياضية، أشكالًا مختلفة. افترضت مارتون أن تخمينها صحيح بالنسبة لجميع المجموعات. وهذا لم يظهر بعد. ويثبت البحث الجديد ذلك بالنسبة لنوع معين من المجموعات، التي تأخذ كعناصرها قوائم من الأرقام الثنائية مثل (0، 1، 1، 1، 0). نظرًا لأن أجهزة الكمبيوتر تعمل بنظام ثنائي، فإن هذه المجموعة مهمة جدًا في علوم الكمبيوتر. ولكنها كانت مفيدة أيضًا في التوافقيات المضافة. قال ساندرز: "إنها مثل هذه اللعبة التي يمكنك من خلالها اللعب وتجربة الأشياء". وأضاف: "إن الجبر أفضل بكثير" من التعامل مع الأعداد الصحيحة.

القوائم لها أطوال ثابتة، ويمكن أن يكون كل بت إما 0 أو 1. يمكنك جمعهم معًا عن طريق إضافة كل إدخال إلى نظيره في قائمة أخرى، مع القاعدة التي تقول 1 + 1 = 0. لذلك (0، 1، 1، 1) ، 0) + (1، 1، 1، 1، 1) = (1، 0، 0، 0، 1). PFR هي محاولة لمعرفة الشكل الذي يمكن أن تبدو عليه المجموعة إذا لم تكن مجموعة فرعية تمامًا ولكنها تحتوي على بعض الميزات الشبيهة بالمجموعة.

لجعل PFR دقيقًا، تخيل أن لديك مجموعة من القوائم الثنائية تسمى A. الآن خذ كل زوج من العناصر من A وأضفهم. المبالغ الناتجة تشكل مجموع Aودعا A + A. إذا كانت عناصر A يتم اختيارها بشكل عشوائي، فإن معظم المبالغ تختلف عن بعضها البعض. اذا كان هناك k عناصر في A، وهذا يعني أنه سيكون هناك حولها k²/2 عناصر في المجموع. متى k كبير - لنقل 1,000 - k²/2 أكبر بكثير من k. لكن اذا A هي مجموعة فرعية، كل عنصر من A + A في A، وهذا يعني أن A + A هو نفس حجم A نفسها.

يأخذ PFR بعين الاعتبار المجموعات التي ليست عشوائية، ولكنها ليست مجموعات فرعية أيضًا. في هذه المجموعات عدد العناصر A + A صغير إلى حد ما - على سبيل المثال، 10k، أو 100k. قال: "إنه مفيد حقًا عندما تكون فكرتك عن البنية أكثر ثراءً من مجرد كونها بنية جبرية دقيقة". شاشار لوفيت، عالم الكمبيوتر في جامعة كاليفورنيا، سان دييغو.

وقال تاو إن جميع المجموعات التي عرفها علماء الرياضيات والتي تلتزم بهذه الخاصية "قريبة جدًا من المجموعات الفرعية الفعلية". "كان هذا هو الحدس، وهو أنه لم يكن هناك أي نوع آخر من الجماعات المزيفة المنتشرة حولنا". وقد أثبت فريمان نسخة من هذا البيان في عمله الأصلي. في عام 1999، قام روزا بتوسيع نظرية فريمان من الأعداد الصحيحة إلى إعداد القوائم الثنائية. لقد أثبت أنه عندما يكون عدد العناصر في A + A هو مضاعف ثابت لحجم A, A موجود ضمن مجموعة فرعية.

لكن نظرية روزا تطلبت أن تكون المجموعة الفرعية هائلة. كانت رؤية مارتون تفترض أنه بدلاً من احتوائها في مجموعة فرعية عملاقة واحدة، A يمكن احتواؤها في عدد متعدد الحدود من مجموعات التمام لمجموعة فرعية ليست أكبر من المجموعة الأصلية A.

"أعرف الفكرة الحقيقية عندما أرى الفكرة الحقيقية"

في مطلع الألفية، صادف جاورز أدلة روزا على نظرية فريمان أثناء دراسة مشكلة مختلفة حول المجموعات التي تحتوي على سلاسل من الأعداد المتباعدة بشكل متساوٍ. قال جاورز: "كنت بحاجة إلى شيء كهذا، نوع من الحصول على معلومات هيكلية من معلومات أكثر مرونة حول مجموعة معينة". "لقد كنت محظوظًا جدًا لأنه قبل فترة ليست طويلة، قدمت Ruzsa هذا الدليل الرائع للغاية."

بدأ جاورز في العمل على إثبات محتمل لنسخة متعددة الحدود من التخمين. كانت فكرته أن يبدأ بمجموعة A الذي كان مجموعته صغيرًا نسبيًا، ثم يتم التلاعب به تدريجيًا A في مجموعة فرعية. إذا تمكن من إثبات أن المجموعة الفرعية الناتجة كانت مشابهة للمجموعة الأصلية Aكان بإمكانه بسهولة أن يستنتج أن التخمين كان صحيحًا. شارك جاورز أفكاره مع زملائه، لكن لم يتمكن أحد من صياغتها في دليل كامل. على الرغم من أن استراتيجية جاورز كانت ناجحة في بعض الحالات، إلا أن التلاعب حدث في حالات أخرى A بعيدًا عن النتيجة المرغوبة لحدسية فريمان-روزا متعددة الحدود.

في نهاية المطاف، انتقل الميدان. في عام 2012، ساندرز ثبت تقريبا PFR. لكن عدد المجموعات الفرعية المتغيرة التي احتاجها كان أعلى من مستوى كثير الحدود، ولو بنسبة قليلة فقط. وقال جاورز: "بمجرد أن فعل ذلك، فهذا يعني أن الأمر أصبح أقل إلحاحًا، لكنه لا يزال مشكلة لطيفة حقًا وأنا معجب بها كثيرًا".

لكن أفكار جاورز عاشت في ذكريات زملائه وأقراصهم الصلبة. وقال جرين، الذي كان أيضًا أحد طلاب جاورز: "هناك فكرة حقيقية هناك". "أعرف الفكرة الحقيقية عندما أرى فكرة حقيقية." هذا الصيف، قام جرين ومانرز وتاو أخيرًا بتحرير أفكار جاورز من مطهرهم.

كان Green وTao وManners بعمق 37 صفحة في التعاون قبل أن يفكروا في العودة إلى أفكار جاورز البالغة من العمر 20 عامًا. في 23 يونيو ورقةلقد نجحوا في استخدام مفهوم من نظرية الاحتمالات يسمى المتغيرات العشوائية لاستكشاف بنية المجموعات ذات المجموعات الصغيرة. من خلال إجراء هذا التبديل، يمكن للمجموعة التعامل مع مجموعاتها بمزيد من الجودة. قال مانرز: "إن التعامل مع المتغيرات العشوائية أقل صرامة إلى حد ما من التعامل مع المجموعات". مع المتغير العشوائي، "يمكنني تعديل أحد الاحتمالات بمقدار صغير، وهذا قد يعطيني متغيرًا عشوائيًا أفضل."

باستخدام هذا المنظور الاحتمالي، استطاع جرين ومانر وتاو الانتقال من العمل مع عدد العناصر في مجموعة إلى قياس المعلومات الموجودة في متغير عشوائي، وهي كمية تسمى الإنتروبيا. لم تكن الإنتروبيا جديدة على التوافقيات المضافة. في الواقع، تاو قد حاول لنشر هذا المفهوم في أواخر العقد الأول من القرن الحادي والعشرين. لكن لم يحاول أحد حتى الآن استخدامه في تخمين فريمان-روزا متعدد الحدود. اكتشف جرين ومانرز وتاو أنها قوية. لكنهم ما زالوا غير قادرين على إثبات هذا التخمين.

وبينما كانت المجموعة تتأمل النتائج الجديدة، أدركوا أنهم قاموا أخيرًا ببناء بيئة يمكن أن تزدهر فيها أفكار جاورز الخاملة. إذا قاموا بقياس حجم مجموعة ما باستخدام الإنتروبيا الخاصة بها، بدلًا من عدد عناصرها، فقد تكون التفاصيل الفنية أفضل بكثير. قال تاو: "في مرحلة ما، أدركنا أن هذه الأفكار القديمة التي طرحها تيم منذ 20 عامًا كانت في الواقع أكثر احتمالية للنجاح من تلك التي كنا نحاول تجربتها". "وهكذا أعدنا تيم إلى المشروع. وبعد ذلك تتلاءم جميع القطع معًا بشكل مدهش.

ومع ذلك، كان هناك الكثير من التفاصيل التي يجب اكتشافها قبل ظهور الدليل. قال مانرز: "لقد كان من الحماقة أن نكون نحن الأربعة مشغولين بشكل لا يصدق بأشياء أخرى". "أنت تريد نشر هذه النتيجة الرائعة وإخبار العالم بها، ولكن لا يزال يتعين عليك في الواقع كتابة اختباراتك النصفية." في نهاية المطاف، تمكنت المجموعة من المضي قدماً، وفي 9 نوفمبر/تشرين الثاني، نشروا ورقتهم البحثية. وأثبتوا أنه إذا A + A ليس أكبر من k أضعاف حجم A، ثم A يمكن تغطيتها بما لا يزيد عن حوالي k¹² تحولات مجموعة فرعية ليست أكبر من A. وهذا عدد هائل محتمل من التحولات. لكنها كثيرة الحدود، لذا فهي لا تنمو بشكل أسرع بشكل كبير k يكبر، كما لو كان k كانوا في الأس.

وبعد بضعة أيام، تاو بدأ ب إضفاء الطابع الرسمي على الدليل. لقد أدار مشروع إضفاء الطابع الرسمي بشكل تعاوني، باستخدام حزمة التحكم في الإصدار GitHub لتنسيق المساهمات منها 25 متطوعًا حول العالم. لقد استخدموا أداة تسمى مخطط التي وضعتها باتريك ماسوت، عالم الرياضيات في جامعة باريس ساكلاي، لتنظيم الجهود لترجمة ما الطاو تسمى "اللغة الإنجليزية الرياضية" في كود الكمبيوتر. يمكن للمخطط، من بين أمور أخرى، إنشاء ملف المخطط تصور الخطوات المنطقية المختلفة التي ينطوي عليها الإثبات. بمجرد تغطية جميع الفقاعات بما أسماه تاو "الظل الأخضر الجميل"، كان الفريق قد انتهى. لقد اكتشفوا بعض الأخطاء المطبعية الطفيفة جدًا في الورقة - في الإنترنت الرسالةأشار تاو إلى أن "الأجزاء الأكثر إثارة للاهتمام من الناحية الرياضية في المشروع كانت سهلة نسبيًا في إضفاء الطابع الرسمي عليها، ولكن الخطوات "الواضحة" التقنية هي التي استغرقت وقتًا أطول".

ماتت مارتون قبل سنوات قليلة من إثبات حدسها الشهير، لكن الدليل يرددها عمل الحياة حول الإنتروبيا ونظرية المعلومات. وقال جاورز: "كل شيء يعمل بشكل أفضل عندما تفعل ذلك في إطار الإنتروبيا هذا مقارنة بالإطار الذي كنت أحاول القيام به". "بالنسبة لي، لا يزال الأمر يبدو سحريًا إلى حد ما."

كوانتا تجري سلسلة من الدراسات الاستقصائية لخدمة جمهورنا بشكل أفضل. خذ خاصتنا مسح قارئ الرياضيات وسيتم إدخالك للفوز مجانا كوانتا MERCH.