في 1850، توماس بينينجتون كيركمان، عالم رياضيات عندما لم يكن يفي بمسؤوليته الرئيسية كنائب في كنيسة إنجلترا ، وصف "مشكلة تلميذة": "خمسة عشر شابة في مدرسة يخرجن ثلاثًا لمدة سبعة أيام متتالية: مطلوب ترتيب كل يوم لئلا يسير اثنان مرتين ".
بالنسبة لعالم الرياضيات الحديث ، من الأفضل تخيل هذا النوع من المشاكل على أنه مخطط فائق - مجموعة من العقد تم تجميعها في مجموعات من ثلاثة أو أكثر. الـ 15 تلميذة عبارة عن عقد ، ويمكن اعتبار كل مجموعة من "الثلاثة مواكبًا" على أنها مثلث ، بثلاثة خطوط ، أو حواف ، تربط ثلاث عقد.
تسأل مشكلة كيركمان أساسًا ما إذا كان هناك ترتيب لهذه المثلثات يربط جميع تلميذات المدارس ببعضهن البعض ، ولكن مع التقييد الإضافي المتمثل في عدم مشاركة مثلثين في الحافة. قد تعني مشاركة الحافة أن على تلميذتين السير معًا أكثر من مرة. يعني هذا القيد أن كل فتاة تمشي مع صديقين جديدين كل يوم لمدة أسبوع ، بحيث يجتمع كل زوج محتمل معًا مرة واحدة بالضبط.
لقد حيرت هذه المشكلة وغيرها من أمثالها علماء الرياضيات لما يقرب من قرنين من الزمان منذ أن طرح كيركمان سؤاله. في عام 1973 ، طرح عالم الرياضيات الأسطوري بول إردوس فكرة مماثلة. سأل عما إذا كان من الممكن بناء مخطط بياني مع خاصيتين غير متوافقين على ما يبدو. أولاً ، يجب ربط كل زوج من العقد بمثلث واحد تمامًا ، كما هو الحال مع تلميذات المدارس. هذه الخاصية تجعل الرسم البياني كثيفًا بالمثلثات. الشرط الثاني يفرض على المثلثات أن تنتشر بطريقة دقيقة للغاية. (على وجه التحديد ، يتطلب الأمر أنه بالنسبة لأي مجموعة صغيرة من المثلثات ، يوجد ما لا يقل عن ثلاث عقد أكثر من عدد المثلثات.) ديفيد كونلون، عالم رياضيات في معهد كاليفورنيا للتكنولوجيا.
في يناير في برهان معقد مكون من 50 صفحة، أثبت أربعة علماء رياضيات أنه من الممكن دائمًا بناء مثل هذا الرسم البياني طالما كان لديك عدد كافٍ من العقد. قال "مقدار التقنية التي مروا بها ، لمجرد الحصول على هذا ، كان مذهلاً" آلان لو، عالم رياضيات في جامعة برمنغهام. وافق كونلون: "إنه عمل مثير للإعجاب حقًا."
قام فريق البحث ببناء نظام يلبي متطلبات إردوس الشيطانية بالبدء بعملية عشوائية لاختيار المثلثات وهندستها بعناية فائقة لتناسب احتياجاتهم. قال كونلون: "عدد التعديلات الصعبة التي تدخل في الدليل مذهل نوعًا ما".
كانت استراتيجيتهم هي بناء الرسم البياني بعناية من المثلثات الفردية. على سبيل المثال ، تخيل 15 تلميذة لدينا. ارسم خطًا بين كل زوج.
الهدف هنا هو تتبع المثلثات الموجودة أعلى هذه الخطوط بحيث تلبي المثلثات متطلبين: أولاً ، لا يوجد مثلثان يشتركان في حافة. (تسمى الأنظمة التي تفي بهذا المطلب أنظمة Steiner الثلاثية.) وثانيًا ، تأكد من أن كل مجموعة فرعية صغيرة من المثلثات تستخدم عددًا كبيرًا من العقد.
ربما يكون أفضل طريقة لفهم الطريقة التي فعل بها الباحثون ذلك من خلال القياس.
لنفترض أنه بدلاً من صنع مثلثات من الحواف ، فإنك تبني منازل من طوب الليغو. المباني القليلة الأولى التي تقوم بإنشائها باهظة الثمن ، مع تعزيزات هيكلية وزخارف متقنة. بمجرد الانتهاء من ذلك ، ضعهم جانبًا. سيكونون بمثابة "امتصاص" - نوع من المخزون المنظم.
ابدأ الآن في إنشاء المباني من الطوب المتبقي ، والمضي قدمًا دون الكثير من التخطيط. عندما يتضاءل مخزون Legos الخاص بك ، قد تجد نفسك مع بعض الطوب الطائش ، أو المنازل غير السليمة من الناحية الهيكلية. ولكن نظرًا لأن المباني الممتصة قد تم تجاوزها وتعزيزها بشكل كبير ، يمكنك نزع بعض الطوب من هنا وهناك واستخدامها دون التسبب في كارثة.
في حالة نظام Steiner الثلاثي ، فأنت تحاول إنشاء مثلثات. جهاز الامتصاص الخاص بك ، في هذه الحالة ، هو مجموعة مختارة بعناية من الحواف. إذا وجدت نفسك غير قادر على فرز بقية النظام إلى مثلثات ، يمكنك استخدام بعض الحواف التي تؤدي إلى الممتص. بعد ذلك ، عندما تنتهي من ذلك ، تقوم بتقسيم جهاز الامتصاص نفسه إلى مثلثات.
لا يعمل الامتصاص دائمًا. لكن علماء الرياضيات تلاعبوا في هذه العملية ، ووجدوا طرقًا جديدة للالتفاف حول العقبات. على سبيل المثال ، متغير قوي يسمى الامتصاص التكراري يقسم الحواف إلى سلسلة متداخلة من المجموعات ، بحيث تعمل كل واحدة كممتص لأكبر المجموعات التالية.
قال كونلون: "على مدى العقد الماضي أو نحو ذلك ، كانت هناك تحسينات هائلة". "إنه شكل من أشكال الفن ، لكنهم ارتقوا به بالفعل إلى مستوى الفن الراقي في هذه المرحلة."
كانت مشكلة إردوس صعبة حتى مع الاستيعاب التكراري. قال: "لقد أصبح من الواضح بسرعة كبيرة سبب عدم حل هذه المشكلة" مهتاب ساوهني، أحد الباحثين الأربعة الذين قاموا بحلها ، إلى جانب اشوين ساه، الذي هو جنبًا إلى جنب مع ساوهني طالب دراسات عليا في معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ؛ مايكل سيمكين، زميل ما بعد الدكتوراه في مركز العلوم والتطبيقات الرياضية بجامعة هارفارد ؛ و ماثيو كوان، عالم رياضيات في معهد العلوم والتكنولوجيا النمسا. "كانت هناك مهام فنية صعبة للغاية ومثيرة للاهتمام."
على سبيل المثال ، في التطبيقات الأخرى للامتصاص التكراري ، بمجرد الانتهاء من تغطية مجموعة - إما بمثلثات ، أو لأنظمة شتاينر الثلاثية ، أو مع هياكل أخرى لمشاكل أخرى - يمكنك التفكير في التعامل معها ونسيانها. لكن ظروف إردوس حالت دون قيام الرياضيين الأربعة بذلك. يمكن أن تتضمن مجموعة مثلثات إشكالية بسهولة عقدًا من مجموعات امتصاص متعددة.
قال ساوني: "مثلث اخترته قبل 500 خطوة ، عليك أن تتذكر بطريقة ما كيف تفكر في ذلك".
ما اكتشفه الأربعة في النهاية هو أنهم إذا اختاروا مثلثاتهم بعناية ، فيمكنهم الالتفاف على الحاجة إلى تتبع كل شيء صغير. قال ساوهني: "ما من الأفضل القيام به هو التفكير في أي مجموعة صغيرة من 100 مثلثات والتأكد من اختيار مجموعة من المثلثات مع الاحتمال الصحيح".
مؤلفو الورقة الجديدة متفائلون بأن أسلوبهم يمكن أن يمتد إلى ما بعد هذه المشكلة الواحدة. يملكون طبقوا بالفعل استراتيجيتهم لمشكلة حول الساحات اللاتينية، والتي هي بمثابة تبسيط لأحجية سودوكو.
علاوة على ذلك ، هناك العديد من الأسئلة التي قد تؤدي في النهاية إلى طرق الاستيعاب ، كما قال كوان. "هناك الكثير من المشاكل في التوافقية ، خاصة في نظرية التصميم ، حيث تعتبر العمليات العشوائية أداة قوية حقًا." إحدى هذه المشكلات ، تخمين Ryser-Brualdi-Stein ، تتعلق أيضًا بالمربعات اللاتينية وتنتظر حلاً منذ الستينيات.
على الرغم من أن الامتصاص قد يحتاج إلى مزيد من التطوير قبل أن يتمكن من حل هذه المشكلة ، إلا أنه قد قطع شوطًا طويلاً منذ بدايته قبل 30 عامًا. مايا شتاين، نائب مدير مركز النمذجة الرياضية بجامعة تشيلي. "هذا شيء رائع حقًا أن نراه ، كيف تتطور هذه الأساليب."
