সিস্টেম ইন মোশন থেকে, অসীম প্যাটার্নস উপস্থিত হয়

1977 সালের ডিসেম্বরে একজন বিপ্লবী ড কাগজ শান্তভাবে হাজির জার্নাল d'Analyse Mathématique, একটি বিশেষ গণিত জার্নাল. লেখক, হিলেল ফার্স্টেনবার্গ, কোনো রোমাঞ্চকর - এমনকি নতুন - ফলাফল দাবি করেননি। তিনি সহজভাবে একটি উপপাদ্যের প্রমাণ দিতেন যা অন্য একজন গণিতবিদ এন্ড্রে সেমেরেডি ইতিমধ্যে দুই বছর আগে প্রমাণ করেছিলেন।

তা সত্ত্বেও, ফারস্টেনবার্গের গবেষণাপত্র গণিতের উপর একটি স্থায়ী ছাপ রেখে গেছে। তার নতুন যুক্তিতে সুদূরপ্রসারী পরিণতি সহ অন্তর্দৃষ্টির একটি কার্নেল রয়েছে: আপনি স্জেমেরিডির মতো সমস্যাগুলিকে পুনরায় শব্দ করতে পারেন, পূর্ণসংখ্যার সেট সম্পর্কে, মহাকাশে ঘুরে বেড়াতে থাকা বিন্দু সম্পর্কে প্রশ্নে।

এর পরের বছরগুলিতে, ফারস্টেনবার্গের কৌশলগুলি বারবার ব্যবহার করা হয়েছে, এবং ধীরে ধীরে সেগুলি সামঞ্জস্য এবং উন্নত করা হয়েছে। এই বছরের শুরুর দিকে, তারা সুপারচার্জড ছিল, দুটি নতুন কাগজে উপস্থিত হয়েছে যা পূর্ণসংখ্যার সেটে অসীম নিদর্শন উন্মোচন করে — সেজেমেরিডির এখনকার 47 বছর বয়সী উপপাদ্যকে অতিক্রম করে লাফালাফি করে অগ্রসর হচ্ছে।

ফার্স্টেনবার্গের প্রমাণ

Szemerédi সমস্ত পূর্ণসংখ্যার একটি "ধনাত্মক ভগ্নাংশ" ধারণ করে এমন সেটগুলি পরীক্ষা করছিলেন। উদাহরণ স্বরূপ, 5 এর সমস্ত গুণিতক সমন্বিত সেটটি নিন। আপনি যখন সংখ্যা রেখার বড় এবং বড় আকারের দিকে তাকান, 5 এর গুণিতকগুলি নিয়মিত প্রদর্শিত হতে থাকে। গণিতবিদরা বলেন যে সেটটিতে 5 এর সমস্ত গুণিতক রয়েছে সমস্ত পূর্ণসংখ্যার পঞ্চমাংশের ভগ্নাংশ।

বিপরীতে, যেখানে অসীম সংখ্যক মৌলিক সংখ্যা রয়েছে, সংখ্যাগুলি বড় হওয়ার সাথে সাথে সেগুলি এতই বিরল হয়ে যায় যে সমস্ত মৌলিক সংখ্যার সেটে পূর্ণসংখ্যার একটি ধনাত্মক ভগ্নাংশ থাকে না, বা অন্যভাবে বললে, ধনাত্মক ঘনত্ব থাকে না। . প্রাইমগুলির পরিবর্তে বলা হয় ঘনত্ব শূন্য।

Szemerédi তথাকথিত গাণিতিক অগ্রগতির উদাহরণ বা সমানভাবে ব্যবধানযুক্ত সংখ্যার চেইন খুঁজছিলেন। উদাহরণ স্বরূপ, কল্পনা করুন আপনার কাছে নিখুঁত বর্গগুলির মতো সংখ্যার অসীম ক্রম রয়েছে: {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, …}। নিখুঁত বর্গক্ষেত্রগুলির একটি গাণিতিক অগ্রগতি দৈর্ঘ্যের তিনটি লুকিয়ে থাকে প্রথম কয়েকটি পদে: {1, 25, 49}। এই অগ্রগতির প্রতিটি সংখ্যা তার পূর্বসূরীর চেয়ে 24 বেশি।

Szemerédi প্রমাণ করেছেন যে পূর্ণসংখ্যার একটি ধনাত্মক ভগ্নাংশ সমন্বিত যেকোন সেটে অবশ্যই নির্বিচারে দীর্ঘ গাণিতিক অগ্রগতি থাকতে হবে। ফলাফলটি গণিতের সাবফিল্ডে একটি যুগান্তকারী সংমিশ্রণবিদ্যা নামে পরিচিত ছিল।

Szémeredi এর প্রমাণ, যদিও উজ্জ্বল, অনুসরণ করা প্রায় অসম্ভব ছিল। "আজ অবধি, আমি মনে করি শুধুমাত্র তিন বা চারজন লোক আছে যারা সত্যিই [সেমেরেডির] প্রমাণ বোঝে," বলেছেন টেরেন্স টাও, ক্যালিফোর্নিয়া বিশ্ববিদ্যালয়ের একজন গণিতবিদ, লস অ্যাঞ্জেলেস।

তাই Furstenberg এর আরও বোধগম্য যুক্তি স্বাগত ছিল. এটি লিখতে, ফারস্টেনবার্গ তার গণিত, গতিশীল সিস্টেমের নিজস্ব ক্ষেত্র থেকে পদ্ধতির উপর নির্ভর করেছিলেন। একটি গতিশীল সিস্টেম যে কোনো প্রক্রিয়া যা সময়ের সাথে পরিবর্তিত হয়। এটি একটি পুল টেবিলের চারপাশে ঘূর্ণায়মান একটি বিলিয়ার্ড বলের মতো সহজ কিছু হতে পারে। আপনার যা দরকার তা হল আপনার সিস্টেমকে গাণিতিকভাবে উপস্থাপন করার একটি উপায় এবং এটি কীভাবে বিকশিত হয় তার একটি নিয়ম। একটি বল, উদাহরণস্বরূপ, তার অবস্থান এবং বেগ দ্বারা বর্ণনা করা যেতে পারে। ধ্রুপদী পদার্থবিদ্যার নিয়ম অনুসরণ করে সেই ব্যবস্থা সময়ের সাথে সাথে একটি নির্ধারিত উপায়ে অগ্রসর হয়।

ফার্স্টেনবার্গ এরগোডিক তত্ত্ব নামে একটি বিষয়ে সবচেয়ে বেশি আগ্রহী ছিলেন। সময়ের যেকোনো নির্দিষ্ট সময়ে একটি সিস্টেমের অবস্থা দেখার পরিবর্তে, এরগোডিক তত্ত্ববিদরা দীর্ঘ সময় ধরে পরিসংখ্যান অধ্যয়ন করেন। একটি বিলিয়ার্ড বলের জন্য, এর অর্থ হতে পারে যে বলটি টেবিলের কিছু জায়গায় অন্যদের চেয়ে বেশি শেষ হয়েছে কিনা কারণ এটি যেভাবে দেয়াল থেকে বাউন্স করে।

ফুর্স্টেনবার্গের মূল ধারণাটি ছিল পূর্ণসংখ্যার সেটগুলিকে স্থির বস্তু হিসাবে নয়, একটি গতিশীল সিস্টেমে ক্ষণস্থায়ী অবস্থা হিসাবে দেখা। এটি দৃষ্টিভঙ্গিতে একটি ছোট পরিবর্তনের মত মনে হতে পারে, তবে এটি তাকে কম্বিনেটরিক্সে ফলাফল প্রমাণ করার জন্য এরগোডিক তত্ত্ব থেকে সরঞ্জামগুলি ব্যবহার করার অনুমতি দিয়েছে। সেই সময়ে, ফারস্টেনবার্গের কোন ধারণা ছিল না যে তার ধারণাগুলি তাদের নিজস্ব জীবন গ্রহণ করবে। "এটি ঠিক ছিল, আমি এই অন্য প্রমাণ পেতে পছন্দ করি," তিনি বলেছিলেন। কিন্তু অন্যরা এরগোডিক তত্ত্ব এবং সংমিশ্রণবিদ্যার মধ্যে সংযোগের প্রতিশ্রুতি দেখেছিল। "এর্গোডিক তাত্ত্বিকদের একটি পুরো প্রজন্ম কম্বিনেটিক্সে চার্জ করা এবং এই সমস্ত সমস্যাগুলি সমাধান করা শুরু করেছিল এবং এর বিপরীতে," টাও বলেছিলেন।

গত কয়েক বছরে চার গণিতবিদ- ব্রাইনা ক্রা, জোয়েল মোরেরা, ফ্লোরিয়ান রিখটার এবং ডোনাল্ড রবার্টসন — পূর্ণসংখ্যার একটি ধনাত্মক ভগ্নাংশ সমন্বিত যেকোন সেটের মধ্যে কেবলমাত্র নির্বিচারে দীর্ঘ অগ্রগতি নয়, বরং সমসেট নামক কাঠামোর অসীম সংস্করণগুলি খুঁজে বের করার জন্য ফুর্স্টেনবার্গের কৌশলগুলি তৈরি করেছে।

“সমসেটগুলি অগ্রগতির তুলনায় অনেক কম নির্দিষ্ট; তারা অনেক কম বিশেষ চেহারার, "রবার্টসন বলেন. "তবে এটি আরও আকর্ষণীয় এবং আরও সূক্ষ্ম, কারণ সমষ্টিগুলি অসীম কনফিগারেশন, যেখানে অগ্রগতিগুলি সীমাবদ্ধ।"

যদি ফার্স্টেনবার্গ এরগোডিক তত্ত্ব এবং কম্বিনেটরিক্সের মধ্যে একটি সেতু তৈরি করেন, ক্রা, মোরেরা, রিখটার এবং রবার্টসন এটিকে "ছয়-লেনের হাইওয়ে" হিসাবে বড় করেছেন, তাও বলেছেন।

B + C অনুমান

Szemerédi এর উপপাদ্য প্রথম প্রস্তাব করা হয়েছিল, কিন্তু প্রমাণিত হয়নি, 1936 সালে দুজন গণিতবিদ দ্বারা। তাদের মধ্যে একজন হাঙ্গেরিয়ান গণিতবিদ ছিলেন যা অনুমান করার জন্য বিখ্যাত: পল এরডস। 2016 সালে, যখন মোরেরা ওহিও স্টেট ইউনিভার্সিটিতে তার ডক্টরেট গবেষণামূলক গবেষণায় কাজ করছিলেন, তখন তিনি হোঁচট খেয়েছিলেন আরেকটি অনুমান যা এরদস করেছিলেন সামসেট নামক কাঠামো সম্পর্কে।

একটি সমসেট অন্য দুটি সেট থেকে তৈরি করা হয়; তাদের ডাক B এবং C. সামসেট, হিসাবে লিখিত B + C, প্রতিটি সম্ভাব্য জোড়া সংখ্যাকে একসাথে যোগ করে, থেকে একটি সংখ্যা নিয়ে নির্মিত হয় B এবং অন্যটি থেকে C. Erdős যে কোনো সেট জন্য অনুমান A যেটিতে পূর্ণসংখ্যার একটি ধনাত্মক ভগ্নাংশ রয়েছে, সেখানে অন্যান্য অসীম সেট রয়েছে B এবং C যার সমষ্টির মধ্যে রয়েছে A. মোরেরা যে কাগজটি পড়ছিলেন তাতে, লেখকরা এরডসের অনুমান প্রমাণ করেছিলেন যখন A-তে পূর্ণসংখ্যার একটি বড় ভগ্নাংশ রয়েছে। কিন্তু ছোট ইতিবাচক ঘনত্ব সেটের জন্য, ফলাফল এখনও অজানা ছিল। "আমি বিবৃতিটি পড়ার সাথে সাথে, আমি ভেবেছিলাম এটি সত্যিই একটি ভাল প্রশ্ন, কারণ এটি খুব সহজ," মোরেরা বলেছিলেন। “এটি হয় মিথ্যা, অথবা এটি কঠিন হওয়া উচিত নয়। যা অবশ্যই ভুল ছিল। এটা মিথ্যা বা সহজ ছিল না।"

মোরেরা তার স্নাতক স্কুলের বন্ধু রিখটার এবং রবার্টসনকে প্রকল্পে নিয়ে আসেন। রবার্টসন, এখন ম্যানচেস্টার ইউনিভার্সিটিতে, মোরেরার এক বছর আগে স্নাতক হয়েছিলেন এবং রিখটার কয়েক বছর পিছিয়ে ছিলেন। তিনজনই কম্বিনেটরিক্সে এরগোডিক তত্ত্বের কৌশল প্রয়োগে পারদর্শী ছিলেন। কিন্তু এই সমস্যা নতুন চ্যালেঞ্জ তৈরি করেছে।

"ইতিবাচক ঘনত্বের একটি সেটের মধ্যে অসীম সমসেট খুঁজে পাওয়ার জন্য কার্যত কোন নজির ছিল না," বলেন ড্যানিয়েল গ্লাসকক, ম্যাসাচুসেটস বিশ্ববিদ্যালয়ের একজন গণিতবিদ, লোয়েল যিনি মোরেরা, রিখটার এবং রবার্টসনের সাথে স্নাতক স্কুলে যোগদান করেছিলেন।

সম্ভবত সেই কারণে, সমসেট সমস্যাটি সমাধান করা কঠিন প্রমাণিত হয়েছিল। "আমাদের এক প্রকার বাধ্য করতে হবে, কিছুটা, এরগোডিক তত্ত্বের মধ্য দিয়ে আসতে," মোরেরা বলেছিলেন। তাদের প্রচেষ্টা অবশেষে পরিশোধিত, এবং কি মার্সিন সাবোক ম্যাকগিল ইউনিভার্সিটি একটি "আশ্চর্যজনক কৃতিত্ব" বলে অভিহিত করেছে, তারা 2018 সালে এরডসের অনুমান প্রমাণ করতে সফল হয়েছিল। তাদের প্রমাণ পরে প্রকাশিত গণিতের ইতিহাস, গণিতের সবচেয়ে মর্যাদাপূর্ণ জার্নালগুলির মধ্যে একটি।

নতুন প্রমাণ

সেই কাগজ দুটি বড় প্রশ্ন খোলা রেখেছিল। এর মধ্যে একটি ছিল এরদোসের আরেকটি সমসেট অনুমান যাকে বলা হয় B + B + t অনুমান

মোরেরা, রিখটার এবং রবার্টসনও তাদের নিজস্ব একটি প্রশ্ন নিয়ে এসেছিলেন: আপনার যদি ইতিবাচক-ঘনত্ব সেট থাকে A, আপনি কি তিনটি অসীম সেট খুঁজে পেতে পারেন - B, C এবং এখন ডি - কোথায় B + C + D ভিতরে A? চার অসীম সেট সম্পর্কে কি? পাঁচ?

তারা মাল্টি-সেট সংস্করণ পোজ করার পরে, গণিতবিদরা কিছু সময়ের জন্য আটকে ছিলেন। দেখে মনে হচ্ছিল যে তারা দুই-সেট অনুমানের জন্য যে কৌশলগুলি ব্যবহার করেছিল তা তাদের সীমাতে পৌঁছেছে।

"আমরা এই সমস্যার একটি গতিশীল সংস্কার খুঁজে পাইনি," রিখটার বলেছেন। তাদের পদ্ধতি, তিনি বলেন, "শুরুতেই ব্যর্থ হয়েছে।"

তারা বাস্তব অগ্রগতি দেখতে আগে দুই বছর অতিবাহিত. এই সময়ের মধ্যে, রিখটার নর্থওয়েস্টার্ন ইউনিভার্সিটিতে একজন পোস্টডক্টরাল ফেলো ছিলেন, যেখানে ব্রাইনা ক্রা একজন অধ্যাপক ছিলেন। 2020 সালে, কোভিড -19 মহামারী দ্বারা ব্যক্তিগতভাবে দেখা করা থেকে বিরত থাকা, ক্রা এবং রিখটার নিজেদের জুম নিয়ে সমসেট সমস্যা নিয়ে আলোচনা করতে দেখেছেন।

"অবশেষে, আমরা আরও কিছু বৈচিত্র নিয়ে এসেছি যা আমরা বুঝতে পেরেছি," ক্রা বলেছেন।

ক্রা এবং রিখটার প্রতি সপ্তাহে মোরেরা এবং রবার্টসনের সাথে কথা বলতে শুরু করে, 2018 এর প্রমাণ পুনরায় পরীক্ষা করে।

"আমাদের যা করতে হয়েছিল তা হল প্রমাণের প্রতিটি ধাপে পুনর্বিবেচনা করা, একটি গতিশীল সিস্টেমে সেই অনুবাদের সাথে শুরু করা," ক্রা বলেছেন।

তাদের কারণে সহায়ক ছিল একটি 2019 কাগজ নামে একজন ফরাসি গণিতবিদ দ্বারা বার্নার্ড হোস্ট. হোস্ট মোরেরা, রিখটার এবং রবার্টসনের ফলাফল পুনরায় প্রমাণ করেছিলেন এবং কীভাবে এরগোডিক তত্ত্বকে গাইতে হয় তা বের করেছিলেন। মোরেরার মতে, হোস্ট "আমাদের প্রমাণ কীভাবে লেখা উচিত ছিল তা লিখতে দেখেছেন।"

হোস্টের উন্নতির সাথে সাথে, ক্রা, মোরেরা, রিখটার এবং রবার্টসন তাদের প্রমাণ পরিবর্তন করতে থাকে, সম্ভাব্য সবচেয়ে সহজ, সবচেয়ে মার্জিত যুক্তি বের করার চেষ্টা করে। "আমরা কেবল এটিকে ব্যবচ্ছেদ করছিলাম, আমার ধারণা, বারবার, সত্যিই দেখার জন্য: সমস্যাটির মূল কারণ কী?" রিখটার বলেছেন। "শেষে, আমাদের কাছে একটি প্রমাণ ছিল যার প্রাথমিক প্রমাণের সাথে খুব কম মিল ছিল।"

ফুরস্টেনবার্গের মতো তারা যে প্রমাণ দিয়ে শেষ করেছে, তারা একটি গতিশীল সিস্টেমে টাইম স্ট্যাম্প হিসাবে পূর্ণসংখ্যার অসীম সেটকে দেখেছিল। এই গতিশীল সিস্টেম, যদিও, স্থানের চারপাশে ঝাঁপিয়ে পড়া পয়েন্ট হিসাবে আরও ভালভাবে কল্পনা করা হয়।

এটি কীভাবে কাজ করে তার একটি মোটামুটি চিত্র এখানে রয়েছে: একটি বন্ধ ঘরের এক কোণে দাঁড়িয়ে শুরু করুন, এটিকে কর্নার 0 বলুন। আপনি সময়ের তালিকা দিয়ে সজ্জিত A. সেই সেট, A, পূর্ণসংখ্যার একটি ধনাত্মক-ঘনত্ব সেট।

আপনি রুমের চারপাশে চলাফেরার জন্য একটি নিয়ম দিয়ে সজ্জিত। প্রতি সেকেন্ডে, আপনি যেখানে দাঁড়িয়ে ছিলেন তার ভিত্তিতে আপনি একটি নতুন জায়গায় চলে যান। আপনি যে নিয়মটি অনুসরণ করেন তা আপনার সময়ের সেটের সাথে মেলে এমনভাবে ডিজাইন করা হবে A — যখনই টাইম স্ট্যাম্প থাকে A, আপনি রুমের একটি বিশেষ এলাকায় নিজেকে খুঁজে পাবেন।

উদাহরণস্বরূপ, বলুন A 4 দ্বারা বিভাজ্য সমস্ত সংখ্যা নিয়ে গঠিত, এবং প্রতি সেকেন্ডে, আপনি ঘরের পরবর্তী কোণে ঘড়ির কাঁটার দিকে যান। এক সেকেন্ড পরে, আপনি কোণ 1 এ যান; দুই সেকেন্ড পরে, কোণ 2, এবং তাই। তারপরে, প্রতি চারটি ধাপে - এর অর্থ প্রতিবার যা ভিতরে আছে এ - আপনি মূল কর্নার 0 এ ফিরে আসবেন।

এই প্রক্রিয়া চিরকাল চলে। ঘড়ির কাঁটার দিকে বৃত্তে কোণ থেকে কোণে ভ্রমণ করে, আপনি প্রতিটি কোণে অসীমভাবে বহুবার পরিদর্শন করবেন। একটি বিন্দু যে আপনি অসীম সংখ্যক বার কাছাকাছি যান একটি সঞ্চয় বিন্দু বলা হয়.

ক্রা, মোরেরা, রিখটার এবং রবার্টসন প্রমাণ করেছেন যে আপনি চতুরতার সাথে আপনার যোগফল খুঁজে পেতে এই স্পটগুলির মধ্যে একটি বেছে নিতে পারেন B + C. কোণার উদাহরণে, কর্নার 1 নিন। আপনি সেখানে 1, 5, 9 এবং 13 সময়ে পৌঁছান — বার যা 4 এর মতো দেখায়n কিছু পূর্ণসংখ্যার জন্য + 1 n। দিন B সেই সময়ের সেট হও।

এখন কল্পনা করুন যে কর্নার 0 থেকে শুরু করার পরিবর্তে, আপনি কর্নার 1 থেকে শুরু করুন৷ এর মানে হল যে কখনও কখনও 4 দ্বারা বিভাজ্য, আপনি নিজেকে কোণ 1 এ ফিরে পাবেন, এবং আপনি তিন ধাপ পরে কর্নার 0 এ পৌঁছাবেন: কখনও কখনও 3, 7, 11, বা ফর্ম 4 এর যেকোনো সংখ্যাn + 3. সেই সময়ের সেটটিকে কল করুন C.

এখন, কর্নার 0 থেকে আবার আপনার প্রক্রিয়া শুরু করুন। এইবার, আপনি একটি নম্বর থেকে নিলে কি হয় দেখুন B এবং থেকে একটি সংখ্যা C — বলুন, 13 থেকে B এবং 3 থেকে সি - এবং তাদের যোগ করুন।

এটি 13 + 3 = 16 সেকেন্ড সময় নেবে। যেহেতু 16 হল 4-এর একটি গুণিতক, এটির মধ্যে আছে A. কিন্তু আপনি এটাও ভবিষ্যদ্বাণী করতে পারেন যে 13 + 3 4 দ্বারা বিভাজ্য হবে এবং এইভাবে A, আসলে 13 এবং 3 একসাথে যোগ না করে। যখন আপনি 13 + 3 সেকেন্ড অপেক্ষা করেন তখন গতিশীল সিস্টেমে যা ঘটে তা অনুসরণ করুন: প্রথমে, 13 সেকেন্ড চলে যায়। সেই মুহুর্তে, আপনি নিজেকে কর্ণার 1-এ খুঁজে পাবেন। তারপরে, কর্নার 1 থেকে শুরু করে, আপনি আরও তিনটি ধাপ এগিয়ে যান, যা আপনাকে আবার কর্নার 0-এ নিয়ে যাবে। যেহেতু আপনি কর্নার 0 থেকে শুরু করেছেন এবং সেখানেই শেষ করেছেন, আপনি অবশ্যই একটি জন্য অপেক্ষা করেছেন। চার সেকেন্ডের মাল্টিপল, যার মানে মোট সময়ের পরিমাণ ছিল আসল সেটে একটি সংখ্যা A.

এই যুক্তিটি কার্যকর করার জন্য, দলটিকে অনেক সূক্ষ্ম গাণিতিক বিবরণ মোকাবেলা করতে হয়েছিল। উদাহরণ স্বরূপ, বেশিরভাগ ক্ষেত্রেই আপনার কাছে সরানোর জন্য অসীম সংখ্যক দাগ থাকে, শুধু চারটি কোণে নয়। তার মানে আপনি আসলে অনেক বার অসীম একটি জায়গায় ফিরে আসবেন না; আপনি শুধুমাত্র এটি অসীম অনেক বার কাছাকাছি পেতে হবে. এটি যুক্তিতে নতুন গাণিতিক জটিলতার পরিচয় দিয়েছে। কিন্তু একবার তারা বুঝতে পেরেছিল যে প্রক্রিয়াটি কীভাবে কাজ করবে, তারা জানত যে তারা পরবর্তী কঠিন প্রশ্নগুলি মোকাবেলা করতে সক্ষম হবে।

সুইস ফেডারেল ইনস্টিটিউট অফ টেকনোলজি লুসানে থাকা রিখটার বলেন, "আমরা এখানে এই প্রমাণটি নিয়ে এসেছি, এবং এটি কীভাবে সাধারণীকরণ করা যায় তা অবিলম্বে পরিষ্কার ছিল।" অনুমানের মাল্টি-সেট সংস্করণ প্রমাণ করার জন্য, উদাহরণস্বরূপ, গবেষকরা পাথে একটি সঞ্চয় বিন্দু যোগ করতে পারে। সামগ্রিক যুক্তি একই ছিল, জটিলতার একটি নতুন স্তরের সাথে।

সমস্ত প্রযুক্তিগত হাতুড়ি আউট সহজ ছিল না. তারা তাদের গতিশীল সেটআপে স্থির হওয়ার পরে, ক্রা, মোরেরা, রিখটার এবং রবার্টসনকে আরও কঠিন অনুমানগুলির প্রমাণ তৈরি করতে এক বছরের বেশি সময় লেগেছিল। এই বছরের জুনে, গ্রুপটি অবশেষে দুটি পেপার পোস্ট করে। একজন প্রমাণ করেছে সমসেট অনুমানের বহু-সেট সংস্করণ। অন্যটি প্রমাণ করেছে B + B + t অনুমানের সংস্করণ, যার জন্য দ্বিতীয় সেট প্রয়োজন C প্রথম সেটের সমান হতে হবে B, কিছু ধ্রুবক দ্বারা স্থানান্তরিত, t.

পরবর্তী পদক্ষেপ

যদিও জুনের কাগজপত্র সমসেট সম্পর্কে দুটি প্রশ্নের সমাধান করে, ক্রা, মোরেরা, রিখটার এবং রবার্টসন তাদের গবেষণার লাইনের জন্য একটি দীর্ঘ ভবিষ্যত কল্পনা করে। "এর্ডোস যা কিছু জিজ্ঞাসা করেছিলেন, তিনি কেবল চান যে আমরা দরজায় পা রাখি," মোরেরা বলেছেন, এখন ওয়ারউইক বিশ্ববিদ্যালয়ের। "কিন্তু এখন আমাদের দরজা খুলতে হবে এবং সেখানে আর কী আছে তা অন্বেষণ করতে হবে।"

তাদের নতুন গবেষণাপত্রে, চারজন গণিতবিদ এখনও অনুত্তরিত প্রশ্নের আকারে অনুসন্ধানের বিভিন্ন সম্ভাব্য দিকনির্দেশ দিয়েছেন। এক যে নির্ভর করে, যদিও কোনো ইতিবাচক-ঘনত্ব সেট A একটি অসীম সমষ্টি রয়েছে B + C, এটি অগত্যা দুটি উপাদান ধারণ করে না B এবং C. আপনি কখন যে জেদ করতে পারেন B এবং C এছাড়াও ভিতরে থাকা আবশ্যক A? লেখকগণ গণিতবিদদেরকেও চ্যালেঞ্জ করেন যে তারা অসীম সেটের একটি অসীম ক্রম খুঁজে পেতে পারেন কিনা যার সমষ্টি রয়েছে A.

মাঠের আরেকটি উন্মুক্ত প্রশ্নের উত্তর ইতিমধ্যেই ম্যাকগিল বিশ্ববিদ্যালয়ের সাবোকের স্নাতক ছাত্র ম্যাট বোয়েন দিয়েছেন। অক্টোবরে, তিনি পোস্ট একটি প্রমাণ যে আপনি যদি প্রতিটি পূর্ণসংখ্যাকে কয়েকটি রঙের একটি করে দেন, আপনি একটি সমসেট খুঁজে পেতে পারেন B+C এবং সেটের একটি পণ্য BC শুধুমাত্র একটি রঙের মধ্যে।

ক্রা, মোরেরা, রিখটার এবং রবার্টসন থেকে নতুন কাজটি ঠিক কোথায় নেতৃত্ব দেবে তা এখনও অজানা। তবে তাও, অন্তত, গ্রুপটি যে নতুন কৌশলগুলি তৈরি করেছে সে সম্পর্কে আশাবাদী। তারা তাদের পদ্ধতির সাথে যা অর্জন করে তা হল "আসলে বেশ আশ্চর্যজনক," তিনি বলেছিলেন। "অসীম সেট জড়িত অন্যান্য প্রশ্ন আছে যেগুলি আগে আশাহীন বলে মনে করা হত, এখন নাগালের মধ্যে।"