সৃজনশীলতা, শিল্প, যুক্তিবিদ্যা এবং ভাষার উপর একজন গণিতবিদ | কোয়ান্টা ম্যাগাজিন

ক্লেয়ার ভয়সিনের গণিতের প্রেমে পড়তে অনেক সময় লেগেছিল।

এটা বলার অপেক্ষা রাখে না যে তিনি কখনই বিষয়টিকে অপছন্দ করেননি। ফ্রান্সে বেড়ে ওঠা - 10 সন্তানের মধ্যে 12 তম - তিনি তার বাবা, একজন প্রকৌশলীর সাথে গণিতের সমস্যা সমাধানের জন্য ঘন্টা কাটাতে উপভোগ করেছিলেন। 12 বছর বয়সে, তিনি নিজেই একটি হাই স্কুল বীজগণিত পাঠ্যপুস্তক পড়া শুরু করেছিলেন, এর পৃষ্ঠাগুলিতে বর্ণিত সংজ্ঞা এবং প্রমাণগুলি দ্বারা মুগ্ধ হয়েছিলেন। "এই সমস্ত কাঠামো ছিল," তিনি বলেন. "বীজগণিত আসলেই কাঠামোর একটি তত্ত্ব।"

কিন্তু তিনি গণিতকে আজীবন কলিং হিসাবে দেখেননি। এটি তার বিশ্ববিদ্যালয়ের বছর পর্যন্ত ছিল না যে তিনি বুঝতে পেরেছিলেন যে এটি কতটা গভীর এবং সুন্দর হতে পারে - এবং তিনি নতুন আবিষ্কার করতে সক্ষম ছিলেন। ততক্ষণ পর্যন্ত, তিনি গণিত ছাড়াও বেশ কিছু আগ্রহ গুরুত্বের সাথে অনুসরণ করেছিলেন: দর্শন, চিত্রকলা এবং কবিতা। ("যখন আমার বয়স 20, আমি মনে করি আমি শুধুমাত্র গণিত এবং চিত্রকলা করতাম। এটি হয়তো কিছুটা অতিরিক্ত ছিল," তিনি হেসেছিলেন।) তার 20-এর দশকের প্রথম দিকে, গণিত বাকি সব কিছুকে ধারণ করেছিল। কিন্তু চিত্রকলা এবং কবিতা তাকে প্রভাবিত করতে থাকে। তিনি গণিতকে একটি শিল্প হিসাবে দেখেন - এবং ভাষার সীমাবদ্ধতার সাথে ধাক্কা দেওয়ার এবং খেলার উপায় হিসাবে।

কয়েক দশক পরে, বীজগণিত জ্যামিতির ক্ষেত্রে একজন নেতা হওয়ার পরে, ভয়সিন আবার মাটির ভাস্কর্য আঁকা এবং তৈরি করার জন্য সময় খুঁজে পেয়েছেন। তবুও, গণিত তার বেশিরভাগ মনোযোগ দখল করে চলেছে; তিনি এই "ভিন্ন জগত" অন্বেষণে তার সময় কাটাতে পছন্দ করেন যেখানে "এটা যেন আপনি স্বপ্ন দেখছেন।"

ভয়সিন প্যারিসের ফরাসি ন্যাশনাল সেন্টার ফর সায়েন্টিফিক রিসার্চের একজন সিনিয়র গবেষক। সেখানে, তিনি বীজগণিতের জাতগুলি অধ্যয়ন করেন, যেটিকে বহুপদী সমীকরণের সেট দ্বারা সংজ্ঞায়িত আকার হিসাবে ভাবা যেতে পারে, যেভাবে একটি বৃত্তকে বহুপদী দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় x² + y² = 1. তিনি হজ তত্ত্বের বিশ্বের শীর্ষস্থানীয় বিশেষজ্ঞদের একজন, একটি টুলকিট যা গণিতবিদরা বীজগাণিতিক জাতের মূল বৈশিষ্ট্যগুলি অধ্যয়ন করতে ব্যবহার করেন।

ভয়সিন তার কাজের জন্য 2008 সালে ক্লে রিসার্চ অ্যাওয়ার্ড, 2015 সালে হেইঞ্জ হপ্ফ পুরস্কার এবং 2017 সালে গণিতের জন্য শ পুরস্কার সহ অনেক পুরস্কার জিতেছেন। জানুয়ারিতে, তিনি প্রথম মহিলা যিনি ক্রাফুর্ড পুরস্কারে ভূষিত হয়েছেন। অংক.

কোয়ান্টা গণিতের সৃজনশীল প্রকৃতি সম্পর্কে ভয়সিনের সাথে কথা বলেছেন। সাক্ষাত্কারটি সংক্ষিপ্ত এবং স্পষ্টতার জন্য সম্পাদনা করা হয়েছে।

আপনি শৈশবে গণিত উপভোগ করেছেন, কিন্তু নিজেকে এটি অনুসরণ করতে দেখেননি। কেন না?

একটি প্রমাণের জাদু আছে - আপনি যে আবেগ অনুভব করেন যখন আপনি এটি বুঝতে পারেন, যখন আপনি বুঝতে পারেন যে এটি কতটা শক্তিশালী এবং এটি আপনাকে কতটা শক্তিশালী করে তোলে। একটি শিশু হিসাবে, আমি ইতিমধ্যে এটি দেখতে পারে. এবং আমি গণিতের যে ঘনত্বের প্রয়োজন তা উপভোগ করেছি। এটি এমন কিছু যা, বয়স বাড়ার সাথে সাথে আমি গণিতের অনুশীলনের জন্য আরও বেশি কেন্দ্রীভূত হয়েছি। বাকি পৃথিবী অদৃশ্য হয়ে যায়। আপনার পুরো মস্তিষ্ক একটি সমস্যা অধ্যয়ন করার জন্য বিদ্যমান। এটা একটা অসাধারণ অভিজ্ঞতা, যেটা আমার কাছে খুবই গুরুত্বপূর্ণ—নিজেকে ব্যবহারিক জিনিসের জগৎ ছেড়ে অন্য জগতে বাস করার জন্য। হয়তো এই কারণেই আমার ছেলে ভিডিও গেম খেলতে খুব পছন্দ করে।

কিন্তু যা আমাকে গণিতে দেরী করে দিয়েছে, কিছু অর্থে, আমি গেমগুলিতে একেবারেই আগ্রহী নই। এটা আমার জন্য না. এবং হাই স্কুলে, গণিতকে একটি খেলার মতো মনে হয়েছিল। এটা গুরুত্ব সহকারে নেওয়া আমার পক্ষে কঠিন ছিল। আমি প্রথমে গণিতের গভীরতা দেখিনি। এমনকি যখন আমি উচ্চ বিদ্যালয়ের পরে খুব আকর্ষণীয় প্রমাণ এবং উপপাদ্যগুলি আবিষ্কার করতে শুরু করি, তখনও আমি মনে করিনি যে আমি নিজে কিছু আবিষ্কার করতে পারি, যে আমি এটিকে আমার করতে পারি।

আমার আরও গভীর, আরও গুরুতর, এমন কিছুর প্রয়োজন ছিল যা আমি আমার তৈরি করতে পারি।

আপনি গণিতে এটি খুঁজে পাওয়ার আগে, আপনি এটি কোথায় খুঁজছিলেন?

আমি দর্শন এবং একটি ধারণার ধারণার উপর তার জেদ উপভোগ করেছি। এছাড়াও, আমার বয়স 22 বছর না হওয়া পর্যন্ত, আমি অনেক সময় পেইন্টিং করেছি, বিশেষ করে জ্যামিতি দ্বারা অনুপ্রাণিত রূপক অংশগুলি। এবং আমি কবিতার খুব পছন্দ করতাম — মাল্লারমে, বউডেলেয়ার, রেনে চারের কাজ। আমি ইতিমধ্যে এক ধরণের ভিন্ন জগতে বাস করছিলাম। কিন্তু এটা স্বাভাবিক, আমি মনে করি, আপনি যখন ছোট হবেন।

কিন্তু গণিত আরও গুরুত্বপূর্ণ হয়ে উঠল। এটা সত্যিই আপনার মস্তিষ্কের সব লাগে. আপনি যখন আপনার ডেস্কে থাকেন না কোনো নির্দিষ্ট সমস্যা নিয়ে কাজ করেন, তখনও আপনার মন ব্যস্ত থাকে। তাই আমি যত বেশি গণিত করেছি, তত কম ছবি আঁকতাম। আমি সম্প্রতি আবার পেইন্টিং শুরু করেছি, এখন আমার বাচ্চারা সবাই বাড়ি ছেড়ে চলে গেছে এবং আমার কাছে আরও অনেক সময় আছে।

আপনি শেষ পর্যন্ত আপনার সৃজনশীল শক্তির বেশিরভাগ গণিতে উত্সর্গ করার সিদ্ধান্ত নিয়েছিলেন?

গণিত আমার কাছে আরও আকর্ষণীয় হয়ে উঠল। স্নাতকোত্তর এবং পিএইচডি হিসাবে। ছাত্র, আমি আবিষ্কার করেছি যে 20 শতকের গণিত খুব গভীর এবং অসাধারণ কিছু। এটি ধারণা এবং ধারণার একটি বিশ্ব ছিল। বীজগণিত জ্যামিতিতে, আলেকজান্ডার গ্রোথেনডিকের নেতৃত্বে বিখ্যাত বিপ্লব ছিল। এমনকি Grothendieck আগে, অবিশ্বাস্য ফলাফল ছিল. সুতরাং এটি একটি সাম্প্রতিক ক্ষেত্র, যার ধারণাগুলি সুন্দর কিন্তু অত্যন্ত শক্তিশালী। হজ তত্ত্ব, যা আমি অধ্যয়ন করি, তার অংশ ছিল।

এটা আরও স্পষ্ট হয়ে উঠল যে আমার জীবন সেখানে ছিল। অবশ্যই, আমার একটি পারিবারিক জীবন ছিল — একজন স্বামী এবং পাঁচটি সন্তান — এবং অন্যান্য দায়িত্ব ও কাজকর্ম। কিন্তু আমি বুঝতে পেরেছিলাম যে গণিত দিয়ে আমি কিছু তৈরি করতে পারি। আমি এটিতে আমার জীবন উত্সর্গ করতে পারি, কারণ এটি এত সুন্দর, এত দর্শনীয়, এত আকর্ষণীয় ছিল।

আপনি আগে লিখেছেন কিভাবে গণিত একটি সৃজনশীল প্রচেষ্টা।

আমি একজন পেশাদার গণিতবিদ, তাই আমার কাজের দিন আনুষ্ঠানিকভাবে গণিতকে ঘিরেই সংগঠিত হয়। আমি একটি ডেস্কে বসে আছি; আমি একটি কম্পিউটারে কাজ করি। কিন্তু আমার বেশিরভাগ গণিত কার্যকলাপ সেই সময়ে ঘটে না। আপনার একটি নতুন ধারণা, একটি ভাল সংজ্ঞা, একটি বিবৃতি দরকার যা আপনি মনে করেন আপনি কাজে লাগাতে পারবেন। তবেই আপনার কাজ শুরু করা যাবে। এবং যখন আমি আমার ডেস্কে থাকি তখন এটি ঘটে না। আমি আমার মন অনুসরণ করতে হবে, নিজেকে চিন্তা রাখা.

মনে হচ্ছে গণিত আপনার জন্য গভীরভাবে ব্যক্তিগত। আপনি প্রক্রিয়ায় নিজের সম্পর্কে কিছু আবিষ্কার করেছেন?

গণিত করার সময়, বেশিরভাগ সময় আমাকে নিজের বিরুদ্ধে লড়াই করতে হয়, কারণ আমি খুব বিশৃঙ্খল, আমি খুব শৃঙ্খলাবদ্ধ নই, এবং আমি হতাশাগ্রস্ত হয়ে পড়ি। আমি এটা সহজ হতে খুঁজে না. কিন্তু আমি যা আবিষ্কার করেছি তা হল যে কিছু মুহুর্তে - যেমন সকালের নাস্তার জন্য, বা যখন আমি প্যারিসের রাস্তায় হাঁটছি বা পরিষ্কার করার মতো মনহীন কিছু করছি - আমার মস্তিষ্ক নিজেই কাজ শুরু করে। আমি বুঝতে পারি যে আমি গণিত সম্পর্কে চিন্তা করছি, উদ্দেশ্য ছাড়াই। যেন আপনি স্বপ্ন দেখছেন। আমার বয়স 62, এবং ভাল গণিত করার জন্য আমার কোন বাস্তব পদ্ধতি নেই: আমি এখনও কমবেশি সেই মুহূর্তের জন্য অপেক্ষা করি যখন আমি কিছু অনুপ্রেরণা পাই।

আপনি খুব বিমূর্ত বস্তুর সাথে কাজ করেন — উচ্চ-মাত্রিক স্থানগুলির সাথে, এমন কাঠামোর সাথে যা জটিল সমীকরণগুলিকে সন্তুষ্ট করে। আপনি কিভাবে এই ধরনের একটি বিমূর্ত বিশ্বের সম্পর্কে চিন্তা?

এটা আসলে কঠিন নয়। সবচেয়ে বিমূর্ত সংজ্ঞা, একবার আপনি এটির সাথে পরিচিত হয়ে গেলে, আর বিমূর্ত হয় না। এটি একটি সুন্দর পাহাড়ের মতো যা আপনি খুব ভালভাবে দেখতে পাচ্ছেন, কারণ বাতাস খুব পরিষ্কার এবং সেখানে আলো রয়েছে যা আপনাকে সমস্ত বিবরণ দেখতে দেয়। আমাদের কাছে, আমরা যে গাণিতিক বস্তুগুলি অধ্যয়ন করি তা কংক্রিট দেখায়, কারণ আমরা সেগুলিকে অন্য যেকোনো কিছুর চেয়ে অনেক ভালো জানি।

অবশ্যই, প্রমাণ করার জন্য প্রচুর জিনিস রয়েছে এবং আপনি যখন কিছু শিখতে শুরু করেন, তখন আপনি বিমূর্ততার কারণে ক্ষতিগ্রস্থ হতে পারেন। কিন্তু যখন আপনি একটি তত্ত্ব ব্যবহার করেন - কারণ আপনি উপপাদ্যগুলি বোঝেন - আপনি আসলে প্রশ্নযুক্ত বস্তুর খুব কাছাকাছি অনুভব করেন, এমনকি যদি সেগুলি বিমূর্ত হয়। বস্তুগুলি সম্পর্কে শেখার মাধ্যমে, তাদের ব্যবহার করে এবং গাণিতিক যুক্তিতে ব্যবহার করে, তারা শেষ পর্যন্ত আপনার বন্ধু হয়ে ওঠে।

আর এটাও কি তাদের ভিন্ন দৃষ্টিকোণ থেকে দেখার প্রয়োজন?

আমি মূলত বীজগণিত জ্যামিতি অধ্যয়ন করিনি। আমি জটিল বিশ্লেষণাত্মক এবং ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতিতে কাজ করেছি। বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতিতে, আপনি ফাংশনগুলির একটি অনেক বড় শ্রেণী এবং সেই ফাংশনগুলির দ্বারা স্থানীয়ভাবে সংজ্ঞায়িত আকারগুলি অধ্যয়ন করেন। বীজগণিত জ্যামিতির বিপরীতে তাদের সাধারণত বিশ্বব্যাপী সমীকরণ থাকে না।

আমি প্রথমে বীজগণিতের দৃষ্টিভঙ্গিতে খুব বেশি মনোযোগ দিইনি। কিন্তু আমার বয়স যত বেশি হয় এবং আমি এই এলাকায় যত বেশি কাজ করি, ততই আমি এই দুটি ভিন্ন ভাষা থাকার প্রয়োজনীয়তা দেখতে পাই।

একটি অবিশ্বাস্য উপপাদ্য আছে, যাকে বলা হয় GAGA, যা কিছুটা রসিকতা; ফরাসি ভাষায় এর অর্থ "বার্ধক্য", তবে এটিও দাঁড়ায় জিওমেট্রি অ্যালজেব্রিক এবং জিওমেট্রি অ্যানালিটিক. এটি বলে যে আপনি এক ভাষা থেকে অন্য ভাষাতে যেতে পারেন। আপনি জটিল বিশ্লেষণী জ্যামিতিতে একটি গণনা করতে পারেন যদি এটি সহজ হয়, তাহলে বীজগণিতীয় জ্যামিতিতে ফিরে আসুন।

অন্য সময়ে, বীজগণিত জ্যামিতি আপনাকে একটি সমস্যার ভিন্ন সংস্করণ অধ্যয়ন করার সম্ভাবনা দেয় যা অসাধারণ ফলাফল দিতে পারে। আমি সম্পূর্ণরূপে বীজগণিত জ্যামিতি বোঝার জন্য কাজ করেছি, কেবলমাত্র এর জটিল-জ্যামিতি দিকে ফোকাস করার পরিবর্তে।

এটি আকর্ষণীয় যে আপনি এইগুলিকে বিভিন্ন গাণিতিক ভাষা হিসাবে ভাবেন।

ভাষা অপরিহার্য। গণিতের আগে ভাষা আছে। অনেক যুক্তি ইতিমধ্যে ভাষার ভিতরে আছে. আমাদের গণিতে এই সমস্ত যৌক্তিক নিয়ম রয়েছে: ক্রিয়াকলাপের সঠিক ক্রম নির্দেশ করার জন্য কোয়ান্টিফায়ার, নেগেশান, বন্ধনী। কিন্তু এটা উপলব্ধি করা গুরুত্বপূর্ণ যে গণিতবিদদের জন্য অত্যাবশ্যক এই সমস্ত নিয়ম ইতিমধ্যেই আমাদের দৈনন্দিন ভাষায় রয়েছে।

আপনি একটি কবিতার সাথে একটি গাণিতিক উপপাদ্য তুলনা করতে পারেন। কথায় কথায় লেখা। এটা ভাষার পণ্য। আমরা শুধুমাত্র আমাদের গাণিতিক বস্তু আছে কারণ আমরা ভাষা ব্যবহার করি, কারণ আমরা দৈনন্দিন শব্দ ব্যবহার করি এবং তাদের একটি নির্দিষ্ট অর্থ দেই। সুতরাং আপনি কবিতা এবং গণিতের তুলনা করতে পারেন, এতে তারা উভয়ই সম্পূর্ণরূপে ভাষার উপর নির্ভর করে তবে এখনও নতুন কিছু তৈরি করে।

বীজগণিত জ্যামিতিতে গ্রোথেনডিকের বিপ্লবের কারণে আপনি গণিতের প্রতি আকৃষ্ট হয়েছিলেন। এই ধরণের গণিত করার জন্য তিনি মূলত একটি নতুন ভাষা তৈরি করেছিলেন।

ঠিক।

আপনি এখন যে গাণিতিক ভাষা ব্যবহার করছেন তা এখনও পরিবর্তন করার প্রয়োজন হতে পারে এমন উপায় আছে কি?

গণিতবিদরা ক্রমাগত তাদের ভাষা পুনর্বিন্যাস করেন। এটি একটি দুঃখজনক, কারণ এটি পুরানো কাগজপত্র পড়া বেশ কঠিন করে তোলে। কিন্তু আমরা অতীতের গণিত পুনরায় কাজ করি কারণ আমরা এটি আরও ভাল বুঝি। এটি আমাদের উপপাদ্য লেখার এবং প্রমাণ করার একটি ভাল উপায় দেয়। জ্যামিতিতে শেফ কোহোমোলজির প্রয়োগের ক্ষেত্রে গ্রোথেনডিকের ক্ষেত্রে এটি ছিল। এটা সত্যিই দর্শনীয়.

আপনি যে বস্তুটি অধ্যয়ন করেন তার সাথে পরিচিত হওয়া গুরুত্বপূর্ণ, এটি আপনার কাছে একটি স্থানীয় ভাষার মতো। যখন একটি তত্ত্ব তৈরি হতে শুরু করে, তখন সঠিক সংজ্ঞা বের করতে এবং সবকিছু সরল করতে সময় লাগে। অথবা হয়তো এটা এখনও অনেক জটিল, কিন্তু আমরা সংজ্ঞা এবং বস্তুর সাথে অনেক বেশি পরিচিত হয়ে উঠি; তাদের ব্যবহার করা আরও স্বাভাবিক হয়ে ওঠে।

এটা একটা ধারাবাহিক বিবর্তন। আমাদের ক্রমাগত পুনরায় লিখতে হবে এবং সরলীকরণ করতে হবে, কোনটি গুরুত্বপূর্ণ, কোন সরঞ্জামগুলি উপলব্ধ করতে হবে সে সম্পর্কে তাত্ত্বিক করতে।

আপনার কাজে কি নতুন সংজ্ঞা চালু করতে হয়েছে?

মাঝে মাঝে। ভিতরে কাজ আমি করেছি সঙ্গে জ্যানোস কোলার, সেখানে একটি টার্নিং পয়েন্ট ছিল যেখানে আমরা অবশেষে সমস্যার সঠিক দৃষ্টিভঙ্গি খুঁজে পেতে সক্ষম হয়েছিলাম — একটি নির্দিষ্ট সংজ্ঞার মাধ্যমে। এটি একটি অত্যন্ত শাস্ত্রীয় সমস্যা ছিল, এবং আমরা শাস্ত্রীয় সরঞ্জামগুলির সাথে কাজ করেছি, কিন্তু আমাদের প্রমাণটি সত্যিই এই সংজ্ঞাটির উপর ভিত্তি করে ছিল যা আমরা সেট আপ করেছি।

অন্য ক্ষেত্রে, অলিভিয়ার ডেবারে, ড্যানিয়েল হুইব্রেচটস, ইমানুয়েল ম্যাক্রি এবং আমি একটি চমৎকার প্রমাণিত শ্রেণীবিভাগ ফলাফল হাইপার-কেহলার ম্যানিফোল্ড নামক বস্তু সম্পর্কে। এবং সেই প্রমাণের সূচনা বিন্দু ছিল একটি অপরিবর্তনীয়ের প্রবর্তন, যাকে আমরা মূলত "a."[হাসি.]

আপনি গণিতে সংজ্ঞার গুরুত্বকে অবমূল্যায়ন করতে পারেন, কিন্তু আপনার উচিত নয়।

সংজ্ঞা এবং ভাষা গণিতের একমাত্র পথপ্রদর্শক শক্তি নয়। তাই অনুমান, যা সত্য হতে পারে বা নাও হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, আপনি হজ অনুমানে অনেক কাজ করেছেন, একটি ক্লে সহস্রাব্দের সমস্যা যার সমাধান আসে Million 1 মিলিয়ন পুরষ্কার.

বলুন আপনার একটি বীজগণিত বৈচিত্র্য আছে যা আপনি বুঝতে চান। সুতরাং আপনি জটিল-বিশ্লেষক জ্যামিতি দিকে যান এবং এটিকে একটি জটিল বহুগুণ হিসাবে পরিচিত হিসাবে বিবেচনা করুন। আপনি এর বৈশ্বিক আকৃতি বা টপোলজির পরিপ্রেক্ষিতে একটি জটিল বহুগুণ চিন্তা করতে পারেন। হোমোলজি নামে একটি বস্তু আছে, যা আপনাকে বহুগুণ সম্পর্কে অনেক টপোলজিকাল তথ্য দেয়। তবে এটি সংজ্ঞায়িত করা এত সহজ নয়।

এখন আপনার মূল বৈচিত্র্যের মধ্যে বীজগণিতীয় উপজাতগুলি বিবেচনা করুন। প্রতিটির একটি টপোলজিকাল ইনভেরিয়েন্ট থাকবে, এর সাথে সম্পর্কিত কিছু টপোলজিকাল তথ্য। এই টপোলজিক্যাল ইনভেরিয়েন্টগুলি দেখে জটিল ম্যানিফোল্ডের হোমোলজির কোন অংশটি পাওয়া যেতে পারে?

হজ অনুমান একটি নির্দিষ্ট উত্তর দেয়। এবং উত্তর খুব সূক্ষ্ম.

তাই গণিতবিদরা নিশ্চিত নন যে হজ অনুমানটি সত্য বা মিথ্যা হবে কিনা?

আপনি হজ অনুমানে বিশ্বাস করতে চান, কারণ এটি বীজগণিত জ্যামিতির প্রধান তত্ত্বগুলির জন্য একটি নির্দেশিকা।

আপনি সত্যিই একটি বীজগাণিতিক বৈচিত্র্যের প্রধান বৈশিষ্ট্য বুঝতে চান। এবং যদি হজ অনুমানটি সত্য হয় তবে এটি আপনাকে আপনার বৈচিত্র্যের জ্যামিতির অবিশ্বাস্য নিয়ন্ত্রণ দেবে। আপনি জাতগুলির গঠন সম্পর্কে খুব গুরুত্বপূর্ণ তথ্য পাবেন।

এটা বিশ্বাস করার কিছু শক্তিশালী কারণ আছে। হজ অনুমান বিশেষ ক্ষেত্রে পরিচিত হয়. এবং বীজগাণিতিক জাত সম্পর্কে অনেক গভীর বিবৃতি রয়েছে যা ইঙ্গিত দেয় যে হজ অনুমান সত্য।

কিন্তু এটি প্রমাণের দিকে অগ্রগতির প্রায় সম্পূর্ণ অভাব রয়েছে। আমি এটাও প্রমাণ করেছি যে হজ অনুমানকে অন্য সেটিংয়ে প্রসারিত করার কোন উপায় নেই যেখানে এটি স্বাভাবিক বলে মনে হবে। তাই যে একটি ধাক্কা একটি বিট ছিল.

কয়েক দশক ধরে গণিতবিদ হিসেবে কাজ করার পর, আপনি কি মনে করেন যে আপনি এখন আরও গভীরভাবে গণিত করছেন?

এখন যেহেতু আমি বড় হয়ে গেছি, গণিতে আমার শক্তি ব্যয় করার জন্য, এতে সত্যিই উপস্থিত থাকার জন্য আমার কাছে আরও অনেক সময় আছে। আমি এখানে এবং সেখানে যেতে একটি ভাল ক্ষমতা আছে. অতীতে, সম্ভবত আমার সময় কম থাকার কারণে, আমার গতিশীলতা কম ছিল — যদিও খুব মোবাইল হওয়া, তাদের সাথে লেগে না থেকে কেবল স্পর্শ করা সমস্যাগুলিও ভাল নয়। এখন আমি আরও অভিজ্ঞ, এবং আমি নিজের ছবি তৈরি করতে পারি।

আপনি যা জানেন না তার অনেক ভালো ছবি আছে, খোলা সমস্যাগুলির। আপনার ক্ষেত্র এবং এর সীমানাগুলির একটি বিশদ দৃশ্য রয়েছে। বয়স বাড়ার কিছু ভালো দিক থাকতে হবে। এবং এখনও অনেক কিছু আছে.