সংখ্যা দ্বারা রঙ করা ভগ্নাংশে গাণিতিক নিদর্শন প্রকাশ করে

পিএইচডি শুরু করার এক বছর পর। ম্যাকগিল বিশ্ববিদ্যালয়ের গণিতে, ম্যাট বোয়েনের একটি সমস্যা ছিল। "আমি আমার যোগ্যতা পরীক্ষা দিয়েছিলাম এবং তাদের উপর একেবারে ভয়ঙ্করভাবে করেছি," তিনি বলেছিলেন। বোয়েন নিশ্চিত ছিলেন যে তার স্কোরগুলি তার গাণিতিক দক্ষতা প্রতিফলিত করে না, এবং তিনি এটি প্রমাণ করার সংকল্প করেছিলেন। শেষ পতন তিনি করেছিলেন, যখন তিনি এবং তাঁর উপদেষ্টা, মার্সিন সাবোক, একটি বড় অগ্রিম পোস্ট হিসাবে পরিচিত ক্ষেত্রের মধ্যে রামসে তত্ত্ব.

প্রায় এক শতাব্দী ধরে, রামসে তত্ত্ববিদরা প্রমাণ সংগ্রহ করছেন যে গাণিতিক কাঠামো প্রতিকূল পরিস্থিতিতে টিকে থাকে। তারা পূর্ণসংখ্যা বা ভগ্নাংশের মতো সংখ্যার বড় সেটগুলিকে ভেঙে ফেলতে পারে বা নেটওয়ার্কের বিন্দুগুলির মধ্যে সংযোগগুলিকে টুকরো টুকরো করে দিতে পারে। তারপরে তারা প্রমাণ করার উপায় খুঁজে বের করে যে নির্দিষ্ট কাঠামো অনিবার্য, এমনকি যদি আপনি একটি চতুর উপায়ে ভেঙে বা টুকরো করে সেগুলি তৈরি করা এড়াতে চেষ্টা করেন।

রামসে তাত্ত্বিকরা যখন সংখ্যার একটি সেট বিভক্ত করার বিষয়ে কথা বলেন, তারা প্রায়শই রঙের ভাষা ব্যবহার করেন। বিভিন্ন রং বাছাই করুন: লাল, নীল এবং হলুদ, উদাহরণস্বরূপ। এখন একটি সংগ্রহের প্রতিটি সংখ্যার জন্য একটি রঙ বরাদ্দ করুন। এমনকি যদি আপনি এটি একটি এলোমেলো বা বিশৃঙ্খল উপায়ে করেন, তবে নির্দিষ্ট প্যাটার্নগুলি অনিবার্যভাবে আবির্ভূত হবে যতক্ষণ না আপনি শুধুমাত্র একটি সীমিত সংখ্যক বিভিন্ন রঙ ব্যবহার করেন, এমনকি যদি সেই সংখ্যাটি খুব বড় হয়। রামসে তাত্ত্বিকরা এই নিদর্শনগুলি খুঁজে বের করার চেষ্টা করেন, "একরঙা" সংখ্যার কাঠামোগত সেটগুলি অনুসন্ধান করে, যার অর্থ তাদের উপাদানগুলিকে একই রঙ দেওয়া হয়েছে৷

প্রথম রঙিন ফলাফল 19 শতকের শেষের দিকে ফিরে যায়। 1916 সাল নাগাদ, ইসাই শুর প্রমাণ করেছিলেন যে আপনি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাকে (প্রাকৃতিক সংখ্যা হিসাবেও পরিচিত) রঙ করুন না কেন, সর্বদা একটি জোড়া সংখ্যা থাকবে। x এবং y যেমন যে x, y, এবং তাদের যোগফল x+y সব একই রং. 20 শতক জুড়ে, গণিতবিদরা রঙের সমস্যা নিয়ে কাজ চালিয়ে যান। 1974 সালে, নিল হিন্ডম্যান বর্ধিত Schur এর ফলাফল পূর্ণসংখ্যার একটি অসীম উপসেট অন্তর্ভুক্ত করতে। শুরের উপপাদ্যের মতো, প্রাকৃতিক সংখ্যাগুলি যেভাবেই রঙিন হোক না কেন হিন্ডম্যানের প্রযোজ্য (একটি সীমিত সংখ্যক ক্রেয়ন সহ)। হিন্ডম্যানের সেটে এই পূর্ণসংখ্যাগুলিই কেবল একই রঙের নয়, তবে আপনি যদি সেগুলির কোনও সংগ্রহ যোগ করেন তবে ফলাফলটিও সেই রঙ হবে। এই ধরনের সেটগুলি এর মধ্যে জোড় সংখ্যার সাথে সাদৃশ্যপূর্ণ, যেমন জোড় সংখ্যার যে কোনও যোগফল সর্বদা জোড় হয়, একইভাবে হিন্ডম্যানের সেটগুলির মধ্যে যে কোনও সংখ্যার যোগফলও সেই সেটটিতে থাকবে।

"হিন্ডম্যানের উপপাদ্যটি গণিতের একটি আশ্চর্যজনক অংশ," সাবোক বলেছিলেন। "এটি এমন একটি গল্প যা আমরা একটি চলচ্চিত্র তৈরি করতে পারি।"

কিন্তু হিন্ডম্যান ভেবেছিলেন আরও সম্ভব। তিনি বিশ্বাস করেছিলেন যে আপনি একটি নির্বিচারে বড় (কিন্তু সসীম) একরঙা সেট খুঁজে পেতে পারেন যেটিতে শুধুমাত্র এর সদস্যদের যোগফলই নয়, পণ্যগুলিও রয়েছে। "আমি কয়েক দশক ধরে ধরে রেখেছি যে এটি একটি সত্য," তিনি বলেন, "আমি এটা প্রমাণ করতে পারি না।"

হিন্ডম্যানের অনুমান

আপনি যদি যোগফল ছেড়ে দেন এবং শুধুমাত্র পণ্যগুলি একই রঙের হয় তা নিশ্চিত করতে চান, তাহলে যোগফলকে পণ্যে রূপান্তরিত করার জন্য হিন্ডম্যানের উপপাদ্যকে মানিয়ে নেওয়া সহজ (অনেকটা স্লাইড নিয়মের মতো)।

একই সাথে রাশি এবং পণ্যের সাথে কুস্তি করা, তবে, অনেক কঠিন। "এই দুজনকে একে অপরের সাথে কথা বলা খুব কঠিন," বলেছেন জোয়েল মোরেরা, ওয়ারউইক বিশ্ববিদ্যালয়ের একজন গণিতবিদ। "সংযোজন এবং গুণ কীভাবে সম্পর্কযুক্ত তা বোঝা - এটি একটি উপায়ে, সমস্ত সংখ্যা তত্ত্বের ভিত্তি, প্রায়।"

এমনকি একটি সহজ সংস্করণ যা হিন্ডম্যান 1970 এর দশকে প্রথম প্রস্তাব করেছিলেন তা চ্যালেঞ্জিং প্রমাণিত হয়েছিল। তিনি অনুমান করেছিলেন যে প্রাকৃতিক সংখ্যার যে কোনও রঙে ফর্মের একটি একরঙা সেট থাকতে হবে {x, y, xy, x+y} — দুটি সংখ্যা x এবং y, সেইসাথে তাদের যোগফল এবং পণ্য. "মানুষ কয়েক দশক ধরে এই সমস্যায় সত্যিই কোন অগ্রগতি করেনি," বোয়েন বলেছিলেন। "এবং তারপরে হঠাৎ করে, 2010 সালের দিকে, লোকেরা এটি সম্পর্কে আরও বেশি করে প্রমাণ করতে শুরু করে।"

বোয়েন শিখেছেন {x, y, xy, x+y} সমস্যা 2016 সালে, তার কলেজের দ্বিতীয় সেমিস্টারে, যখন কার্নেগি মেলন ইউনিভার্সিটির তার একজন অধ্যাপক ক্লাসে সমস্যাটি বর্ণনা করেছিলেন। বোয়েন এর সরলতা দ্বারা প্রভাবিত হয়েছিল। "এটি এই দুর্দান্ত জিনিসগুলির মধ্যে একটি যেখানে এটির মতো, ভাল, আমি খুব বেশি গণিত জানি না, তবে আমি এটি বুঝতে পারি," তিনি বলেছিলেন।

2017 সালে, মোরেরা প্রতিপন্ন যে আপনি পারেন সর্বদা চারটি পছন্দসই উপাদানের তিনটি সমন্বিত একটি একরঙা সেট খুঁজুন: x, xy, এবং x + y. এদিকে, বোয়েন তার সিনিয়র বছরের সময় প্রশ্নটি নিয়ে আকস্মিকভাবে টিঙ্কারিং শুরু করেছিলেন। "আমি আসলে সমস্যার সমাধান করতে পারিনি," তিনি বলেছিলেন। "কিন্তু আমি প্রতি ছয় মাস বা তার পরে এটিতে ফিরে আসব।" তার পিএইচ.ডি. 2020 সালে যোগ্যতা পরীক্ষায়, তিনি তার প্রচেষ্টা দ্বিগুণ করেছিলেন। কয়েকদিন পরে, তিনি প্রমাণ করলেনx, y, xy, x+y} দুটি রঙের ক্ষেত্রে অনুমান, যার ফলস্বরূপ রন গ্রাহাম ইতিমধ্যে 1970 এর দশকে একটি কম্পিউটারের সাহায্যে প্রমাণ করেছিলেন।

সেই সাফল্যের সাথে, বোয়েন সাবোকের সাথে যেকোন সংখ্যক রঙে ফলাফল প্রসারিত করতে কাজ করেছিলেন। কিন্তু তারা দ্রুত প্রযুক্তিগত বিবরণে জড়িয়ে পড়ে। "রঙের সংখ্যা বড় হলে সমস্যার জটিলতা সম্পূর্ণরূপে নিয়ন্ত্রণের বাইরে চলে যায়," সাবোক বলেন। 18 মাস ধরে, তারা সামান্য ভাগ্যের সাথে নিজেদেরকে বের করে আনার চেষ্টা করেছিল। "এই দেড় বছরে, আমাদের কাছে প্রায় এক মিলিয়ন ভুল প্রমাণ ছিল," সাবোক বলেছিলেন।

বিশেষ করে একটি অসুবিধা দুই গণিতবিদকে অগ্রগতি থেকে বিরত রেখেছিল। আপনি যদি এলোমেলোভাবে দুটি পূর্ণসংখ্যা বাছাই করেন, আপনি সম্ভবত তাদের ভাগ করতে পারবেন না। বিভাগ শুধুমাত্র বিরল ক্ষেত্রে কাজ করে যেখানে প্রথম সংখ্যাটি দ্বিতীয়টির গুণিতক। এটি অত্যন্ত সীমাবদ্ধ হতে পরিণত. সেই উপলব্ধির সাথে, বোয়েন এবং সাবোক {{প্রমাণ করার জন্য প্ররোচিত হনx, y, xy, x+y} পরিবর্তে মূলদ সংখ্যায় অনুমান (গণিতবিদরা ভগ্নাংশকে বলে)। সেখানে সংখ্যাকে পরিত্যাগ দিয়ে ভাগ করা যায়।

বোয়েন এবং সাবোকের প্রমাণটি সবচেয়ে মার্জিত হয় যখন জড়িত সমস্ত রঙগুলি মূলদ সংখ্যা জুড়ে ঘন ঘন প্রদর্শিত হয়। রঙগুলি বিভিন্ন উপায়ে "প্রায়শই" প্রদর্শিত হতে পারে। তারা প্রতিটি সংখ্যা লাইনের বড় অংশ কভার করতে পারে। অথবা এর অর্থ হতে পারে আপনি প্রতিটি রঙ না দেখে নম্বর লাইন বরাবর খুব বেশি ভ্রমণ করতে পারবেন না। সাধারণত, যাইহোক, রং এই ধরনের নিয়ম মেনে চলে না। এই ক্ষেত্রে, আপনি মূলদ সংখ্যার মধ্যে ছোট অঞ্চলগুলিতে ফোকাস করতে পারেন যেখানে রঙগুলি আরও ঘন ঘন প্রদর্শিত হয়, সাবোক ব্যাখ্যা করেছেন। "এখানেই বেশিরভাগ কাজ এসেছে," তিনি বলেছিলেন।

2022 সালের অক্টোবরে, বোয়েন এবং সাবোক একটি প্রমাণ পোস্ট করেছিলেন যে আপনি যদি মূলদ সংখ্যাগুলিকে সীমাবদ্ধভাবে অনেকগুলি রঙ দিয়ে রঙ করেন তবে ফর্মের একটি সেট থাকবে {x, y, xy, x+y} যার সমস্ত উপাদানের রঙ একই। "এটি একটি অবিশ্বাস্যভাবে চতুর প্রমাণ," বলেন ইমরে নেতা কেমব্রিজ বিশ্ববিদ্যালয়ের। "এটি পরিচিত ফলাফল ব্যবহার করে। তবে এটি তাদের একেবারে উজ্জ্বল, খুব আসল, খুব উদ্ভাবনী উপায়ে একত্রিত করে।"

অনেক প্রশ্ন থেকে যায়। তৃতীয় নম্বর করতে পারেন z পরবর্তী রাশি এবং পণ্যের সাথে সংগ্রহে যোগ করা হবে? হিন্ডম্যানের সাহসী ভবিষ্যদ্বাণীগুলিকে সন্তুষ্ট করার অর্থ হবে একটি চতুর্থ, একটি পঞ্চম এবং শেষ পর্যন্ত যথেচ্ছভাবে অনেকগুলি নতুন সংখ্যা যোগ করা। এর জন্য মূলদ থেকে প্রাকৃতিক সংখ্যার দিকে যেতে হবে এবং বিভাজন ধাঁধার চারপাশে একটি পথ খুঁজে বের করতে হবে যা বোয়েন এবং সাবোকের প্রচেষ্টাকে বাধাগ্রস্ত করেছিল।

নেতা বিশ্বাস করেন যে মোরেরা, বোয়েন এবং সাবোকের সাথে সকলেই সমস্যা নিয়ে কাজ করছেন, সেই প্রমাণটি খুব বেশি দূরে নয়। "এই ছেলেরা জিনিসগুলি করার নতুন উপায় খুঁজে বের করার ক্ষেত্রে বিশেষভাবে উজ্জ্বল বলে মনে হচ্ছে," তিনি বলেছিলেন। "তাই আমি আশাবাদী যে তারা বা তাদের কিছু সহকর্মী এটি খুঁজে পেতে পারে।"

সাবোক তার ভবিষ্যদ্বাণীতে আরও সতর্ক। কিন্তু তিনি কিছুই উড়িয়ে দিচ্ছেন না। "গণিতের অন্যতম আকর্ষণ হল আপনি একটি প্রমাণ পাওয়ার আগে, সবকিছু সম্ভব," তিনি বলেছিলেন।