কম্পিউটার প্রুফ 'ব্লোস আপ' শতাব্দী-পুরাতন তরল সমীকরণ

বহু শতাব্দী ধরে, গণিতবিদরা তরল পদার্থের গতি বোঝার এবং মডেল করার চেষ্টা করেছেন। যে সমীকরণগুলি বর্ণনা করে যে কীভাবে তরঙ্গগুলি একটি পুকুরের পৃষ্ঠকে ক্রিজ করে তা গবেষকদের আবহাওয়ার ভবিষ্যদ্বাণী করতে, আরও ভাল বিমানের নকশা করতে এবং সংবহনতন্ত্রের মধ্য দিয়ে কীভাবে রক্ত ​​​​প্রবাহিত হয় তা চিহ্নিত করতে সহায়তা করেছে৷ সঠিক গাণিতিক ভাষায় লেখা হলে এই সমীকরণগুলো প্রতারণামূলকভাবে সহজ। যাইহোক, তাদের সমাধানগুলি এতটাই জটিল যে তাদের সম্পর্কে এমনকি মৌলিক প্রশ্নগুলিকে বোঝানো নিষেধমূলকভাবে কঠিন হতে পারে।

লিওনহার্ড অয়লার দ্বারা 250 বছরেরও বেশি আগে প্রণয়ন করা এই সমীকরণগুলির মধ্যে সম্ভবত প্রাচীনতম এবং সবচেয়ে বিশিষ্ট, একটি আদর্শ, অসংকোচনীয় তরল প্রবাহকে বর্ণনা করে: একটি তরল যার কোন সান্দ্রতা নেই, বা অভ্যন্তরীণ ঘর্ষণ, যা একটি ছোট আয়তনে জোর করা যায় না। "প্রায় সব অরৈখিক তরল সমীকরণ অয়লার সমীকরণ থেকে উদ্ভূত হয়," বলেন তারেক এলগিন্দি, ডিউক বিশ্ববিদ্যালয়ের একজন গণিতবিদ। "তারা প্রথম, আপনি বলতে পারেন।"

তবুও অয়লার সমীকরণ সম্পর্কে অনেক কিছুই অজানা রয়ে গেছে — এগুলি সর্বদা আদর্শ তরল প্রবাহের একটি সঠিক মডেল কিনা তা সহ। তরল গতিবিদ্যার কেন্দ্রীয় সমস্যাগুলির মধ্যে একটি হল সমীকরণগুলি কখনও ব্যর্থ হয়েছে কিনা তা খুঁজে বের করা, অযৌক্তিক মানগুলিকে আউটপুট করে যা তাদের একটি তরলের ভবিষ্যতের অবস্থার পূর্বাভাস দিতে অক্ষম করে।

গণিতবিদরা দীর্ঘদিন ধরে সন্দেহ করেছিলেন যে প্রাথমিক অবস্থার অস্তিত্ব রয়েছে যা সমীকরণগুলিকে ভেঙে দেয়। কিন্তু তারা তা প্রমাণ করতে পারেনি।

In একটি প্রিপ্রিন্ট গত মাসে অনলাইনে পোস্ট করা, একজোড়া গণিতবিদ দেখিয়েছেন যে অয়লার সমীকরণের একটি নির্দিষ্ট সংস্করণ সত্যিই কখনও কখনও ব্যর্থ হয়। প্রমাণটি একটি বড় অগ্রগতি চিহ্নিত করে — এবং যদিও এটি সমীকরণের আরও সাধারণ সংস্করণের জন্য সমস্যার সম্পূর্ণ সমাধান করে না, এটি আশা করে যে এই জাতীয় সমাধান অবশেষে নাগালের মধ্যে রয়েছে। "এটি একটি আশ্চর্যজনক ফলাফল," বলেন ট্রিস্টান বাকমাস্টার, মেরিল্যান্ড বিশ্ববিদ্যালয়ের একজন গণিতবিদ যিনি কাজের সাথে জড়িত ছিলেন না। "সাহিত্যে এর ধরণের কোন ফলাফল নেই।"

শুধু একটি ক্যাচ আছে.

177-পৃষ্ঠার প্রমাণ - একটি দশক-দীর্ঘ গবেষণা প্রোগ্রামের ফলাফল - কম্পিউটারের উল্লেখযোগ্য ব্যবহার করে। এটি তর্কযোগ্যভাবে অন্যান্য গণিতবিদদের পক্ষে এটি যাচাই করা কঠিন করে তোলে। (আসলে, তারা এখনও এটি করার প্রক্রিয়ায় রয়েছে, যদিও অনেক বিশেষজ্ঞ বিশ্বাস করেন যে নতুন কাজটি সঠিক হবে।) এটি তাদের "প্রমাণ" কী এবং এটি কী হবে সে সম্পর্কে দার্শনিক প্রশ্নগুলির সাথে গণনা করতে বাধ্য করে। মানে যদি এই ধরনের গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্নের সমাধান করার একমাত্র কার্যকর উপায় কম্পিউটারের সাহায্যে হয়।

বিস্ট দেখা

নীতিগতভাবে, আপনি যদি একটি তরলে প্রতিটি কণার অবস্থান এবং বেগ জানেন তবে অয়লার সমীকরণগুলি ভবিষ্যদ্বাণী করতে সক্ষম হবে যে তরলটি সর্বকালের জন্য কীভাবে বিবর্তিত হবে। কিন্তু গণিতবিদরা জানতে চান যে আসলেই তা হয় কিনা। সম্ভবত কিছু পরিস্থিতিতে, সমীকরণগুলি প্রত্যাশিতভাবে এগিয়ে যাবে, যে কোনও মুহূর্তে তরল অবস্থার জন্য সুনির্দিষ্ট মান তৈরি করবে, শুধুমাত্র সেই মানগুলির মধ্যে একটির জন্য হঠাৎ করে অসীম থেকে আকাশ ছুঁয়ে যাবে। সেই মুহুর্তে, অয়লার সমীকরণগুলিকে একটি "এককতা" - বা আরও নাটকীয়ভাবে, "উড়িয়ে দেওয়ার" জন্য বলা হয়।

একবার তারা সেই এককতাকে আঘাত করলে, সমীকরণগুলি আর তরলের প্রবাহ গণনা করতে সক্ষম হবে না। কিন্তু "কয়েক বছর আগে, লোকেরা যা করতে সক্ষম হয়েছিল তা [ব্লাআপ প্রমাণ করার] থেকে খুব কম ছিল," বলেছেন চার্লি ফেফারম্যান, প্রিন্সটন বিশ্ববিদ্যালয়ের একজন গণিতবিদ।

এটি আরও জটিল হয়ে যায় যদি আপনি এমন একটি তরল মডেল করার চেষ্টা করছেন যার সান্দ্রতা রয়েছে (যেমন প্রায় সমস্ত বাস্তব-বিশ্বের তরল করে)। ক্লে ম্যাথমেটিক্স ইনস্টিটিউট থেকে এক মিলিয়ন-ডলারের মিলেনিয়াম পুরষ্কার এমন একজনের জন্য অপেক্ষা করছে যিনি প্রমাণ করতে পারেন যে নেভিয়ার-স্টোকস সমীকরণে অনুরূপ ব্যর্থতা ঘটে কিনা, অয়লার সমীকরণের একটি সাধারণীকরণ যা সান্দ্রতার জন্য দায়ী।

2013 সালে টমাস হাউ, ক্যালিফোর্নিয়া ইনস্টিটিউট অফ টেকনোলজির একজন গণিতবিদ এবং গুও লুও, এখন হংকং এর হ্যাং সেং ইউনিভার্সিটিতে, একটি দৃশ্যকল্প প্রস্তাব করেছে যেখানে অয়লার সমীকরণগুলি এককতার দিকে নিয়ে যাবে। তারা একটি সিলিন্ডারে একটি তরল পদার্থের একটি কম্পিউটার সিমুলেশন তৈরি করেছে যার উপরের অর্ধেক ঘড়ির কাঁটার দিকে ঘোরে এবং নীচের অর্ধেক ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘোরে। তারা সিমুলেশন চালানোর সাথে সাথে আরও জটিল স্রোত উপরে এবং নীচে যেতে শুরু করে। এটি, ঘুরে, সিলিন্ডারের সীমানা বরাবর অদ্ভুত আচরণের দিকে পরিচালিত করে যেখানে বিরোধী প্রবাহ মিলিত হয়। তরলটির ঘূর্ণন - ঘূর্ণনের একটি পরিমাপ - এত দ্রুত বৃদ্ধি পেয়েছিল যে এটি উড়িয়ে দেওয়ার জন্য প্রস্তুত বলে মনে হয়েছিল।

হাউ এবং লুওর কাজ ইঙ্গিতপূর্ণ ছিল, কিন্তু একটি সত্য প্রমাণ নয়। কারণ এটি একটি কম্পিউটারের পক্ষে অসীম মান গণনা করা অসম্ভব। এটি একটি এককতা দেখার খুব কাছাকাছি যেতে পারে, কিন্তু এটি আসলে এটিতে পৌঁছাতে পারে না - যার অর্থ সমাধানটি খুব সঠিক হতে পারে, তবে এটি এখনও একটি আনুমানিক। একটি গাণিতিক প্রমাণের সমর্থন ছাড়া, সিমুলেশনের কিছু আর্টিফ্যাক্টের কারণে ঘূর্ণির মান কেবল অসীমে বৃদ্ধি পাচ্ছে বলে মনে হতে পারে। সমাধানগুলি আবার সাবসিড হওয়ার আগে প্রচুর সংখ্যায় বাড়তে পারে।

এই ধরনের উলটাপালটা আগেও ঘটেছে: একটি সিমুলেশন ইঙ্গিত করবে যে সমীকরণের একটি মান উড়িয়ে দিয়েছে, শুধুমাত্র আরও পরিশীলিত গণনা পদ্ধতি অন্যথায় দেখানোর জন্য। "এই সমস্যাগুলি এতই সূক্ষ্ম যে রাস্তাটি আগের সিমুলেশনগুলির ধ্বংসাবশেষে আচ্ছন্ন হয়ে গেছে," ফেফারম্যান বলেছিলেন। প্রকৃতপক্ষে, এইভাবে হাউ এই অঞ্চলে তার সূচনা করেছিল: তার আগের বেশ কয়েকটি ফলাফল অনুমানমূলক এককতা গঠনকে অস্বীকার করেছে।

তবুও, যখন তিনি এবং লুও তাদের সমাধান প্রকাশ করেছিলেন, বেশিরভাগ গণিতবিদরা ভেবেছিলেন যে এটি সম্ভবত একটি সত্যিকারের এককতা। "এটি খুব সূক্ষ্ম, খুব সুনির্দিষ্ট ছিল," বলেছেন ভ্লাদিমির সোভেরাক, মিনেসোটা বিশ্ববিদ্যালয়ের একজন গণিতবিদ। "তারা সত্যিই অনেক চেষ্টা করেছে যে এটি একটি বাস্তব দৃশ্যকল্প প্রতিষ্ঠা করতে।" Elgindi, Sverak এবং অন্যান্যদের দ্বারা পরবর্তী কাজ শুধুমাত্র যে প্রত্যয় শক্তিশালী.

কিন্তু একটি প্রমাণ অধরা ছিল. "আপনি জন্তুটিকে দেখেছেন," ফেফারম্যান বলল। "তাহলে আপনি এটি ক্যাপচার করার চেষ্টা করুন।" এর অর্থ হল যে আনুমানিক সমাধান যে হাউ এবং লুও খুব যত্ন সহকারে সিমুলেট করেছে তা একটি নির্দিষ্ট গাণিতিক অর্থে, সমীকরণগুলির একটি সঠিক সমাধানের খুব কাছাকাছি।

এখন, সেই প্রথম দেখার নয় বছর পর, হাউ এবং তার প্রাক্তন স্নাতক ছাত্র জিয়াজি চেন অবশেষে সেই কাছাকাছি এককতার অস্তিত্ব প্রমাণ করতে সফল হয়েছে।

স্ব-সদৃশ জমিতে সরানো

Hou, পরে চেনের সাথে যোগ দিয়েছিলেন, এই সত্যটির সুযোগ নিয়েছিলেন যে, ঘনিষ্ঠ বিশ্লেষণের পর, 2013 থেকে আনুমানিক সমাধানটির একটি বিশেষ কাঠামো রয়েছে বলে মনে হয়েছিল। সময়ের সাথে সাথে সমীকরণগুলি বিকশিত হওয়ার সাথে সাথে, সমাধানটি একটি স্ব-সদৃশ প্যাটার্ন বলা হয় তা প্রদর্শন করেছিল: এর আকৃতিটি পরে এটির আগের আকৃতির মতো দেখায়, শুধুমাত্র একটি নির্দিষ্ট উপায়ে পুনরায় মাপানো হয়।

ফলস্বরূপ, গণিতবিদদের সিঙ্গুলারিটি দেখার চেষ্টা করার দরকার ছিল না। পরিবর্তে, তারা সময়ের পূর্ববর্তী পয়েন্টে ফোকাস করে পরোক্ষভাবে এটি অধ্যয়ন করতে পারে। সমাধানের সেই অংশে সঠিক হারে জুম করে — সমাধানের স্ব-সদৃশ কাঠামোর উপর ভিত্তি করে নির্ধারিত — তারা মডেল করতে পারে পরবর্তীতে কী ঘটবে, সিঙ্গুলারিটি সহ।

2013 সালের ব্লোআপ দৃশ্যের সাথে একটি স্ব-সদৃশ অ্যানালগ খুঁজে পেতে তাদের কয়েক বছর লেগেছিল। (এই বছরের শুরুতে, গণিতবিদদের আরেকটি দল, যার মধ্যে বাকমাস্টার অন্তর্ভুক্ত ছিল, বিভিন্ন পদ্ধতি ব্যবহার করেছিল একটি অনুরূপ আনুমানিক সমাধান খুঁজুন. তারা বর্তমানে সিঙ্গুলারিটি গঠনের একটি স্বাধীন প্রমাণ বিকাশের জন্য সেই সমাধানটি ব্যবহার করছে।)

একটি আনুমানিক স্ব-অনুরূপ সমাধান হাতে নিয়ে, হাউ এবং চেনকে দেখাতে হবে যে একটি সঠিক সমাধান কাছাকাছি রয়েছে। গাণিতিকভাবে, এটি প্রমাণ করার সমতুল্য যে তাদের আনুমানিক স্ব-সদৃশ সমাধানটি স্থিতিশীল - এমনকি আপনি যদি এটিকে কিছুটা বিচলিত করেন এবং তারপর সেই বিভ্রান্তিকর মানগুলি থেকে শুরু করে সমীকরণগুলিকে বিকশিত করেন, তবে আশেপাশের একটি ছোট এলাকা থেকে পালানোর কোনও উপায় থাকবে না। আনুমানিক সমাধান। "এটি একটি ব্ল্যাক হোলের মত," হাউ বলেন। "আপনি যদি কাছাকাছি একটি প্রোফাইল দিয়ে শুরু করেন, তাহলে আপনি চুষে যাবেন।"

কিন্তু একটি সাধারণ কৌশল থাকা ছিল সমাধানের দিকে মাত্র এক ধাপ। ফেফারম্যান বলেন, "আড়ম্বরপূর্ণ বিবরণ গুরুত্বপূর্ণ। যেহেতু হাউ এবং চেন পরবর্তী বেশ কয়েক বছর এই বিবরণগুলি নিয়ে কাজ করেছেন, তারা দেখতে পেয়েছেন যে তাদের আবার কম্পিউটারের উপর নির্ভর করতে হবে - তবে এবার সম্পূর্ণ নতুন উপায়ে।

একটি হাইব্রিড পদ্ধতি

তাদের প্রথম চ্যালেঞ্জগুলির মধ্যে ছিল সঠিক বিবৃতিটি খুঁজে বের করা যা তাদের প্রমাণ করতে হয়েছিল। তারা দেখাতে চেয়েছিল যে তারা যদি তাদের আনুমানিক সমাধানের কাছাকাছি মানগুলির কোনও সেট নেয় এবং এটিকে সমীকরণে প্লাগ করে তবে আউটপুট বেশি দূরে সরে যেতে পারবে না। কিন্তু একটি ইনপুট আনুমানিক সমাধানের "কাছে" হওয়ার মানে কি? তাদের একটি গাণিতিক বিবৃতিতে এটি নির্দিষ্ট করতে হয়েছিল — তবে এই প্রসঙ্গে দূরত্বের ধারণাটি সংজ্ঞায়িত করার অনেক উপায় রয়েছে। কাজ করার জন্য তাদের প্রমাণের জন্য, তাদের সঠিকটি বেছে নিতে হবে।

"এটি বিভিন্ন শারীরিক প্রভাব পরিমাপ করতে হবে," বলেন রাফায়েল দে লা লাভে, জর্জিয়া ইনস্টিটিউট অফ টেকনোলজির একজন গণিতবিদ। "সুতরাং সমস্যাটির গভীর উপলব্ধি ব্যবহার করে এটি বেছে নেওয়া দরকার।"

একবার তারা "ঘনিষ্ঠতা" বর্ণনা করার সঠিক উপায় পেয়ে গেলে, হাউ এবং চেনকে বিবৃতিটি প্রমাণ করতে হয়েছিল, যা পুনঃ-স্কেল করা সমীকরণ এবং আনুমানিক সমাধান উভয়ের শর্তাদি জড়িত একটি জটিল অসমতার দিকে ফুঁসেছিল। গণিতবিদদের নিশ্চিত করতে হয়েছিল যে এই সমস্ত পদগুলির মানগুলি খুব ছোট কিছুতে ভারসাম্যপূর্ণ: যদি একটি মান বড় হয় তবে অন্যান্য মানগুলি ঋণাত্মক হতে হবে বা নিয়ন্ত্রণে রাখতে হবে।

"আপনি যদি কিছু খুব বড় বা একটু খুব ছোট করেন তবে পুরো জিনিসটি ভেঙে যায়," বলেছেন জাভিয়ের গোমেজ-সেরানো, ব্রাউন ইউনিভার্সিটির একজন গণিতবিদ। "সুতরাং এটি খুব, খুব যত্নশীল, সূক্ষ্ম কাজ।"

"এটি সত্যিই একটি মারাত্মক লড়াই," এলগিন্দি যোগ করেছেন।

এই সমস্ত ভিন্ন শর্তে তাদের প্রয়োজনীয় আঁটসাঁট সীমানা পাওয়ার জন্য, হাউ এবং চেন অসমতাকে দুটি প্রধান অংশে বিভক্ত করেছেন। তারা হাতে প্রথম অংশের যত্ন নিতে পারে, যার মধ্যে একটি কৌশল রয়েছে যা 18 শতকের আগের, যখন ফরাসি গণিতবিদ গ্যাসপার্ড মঙ্গে নেপোলিয়নের সেনাবাহিনীর জন্য দুর্গ নির্মাণের জন্য মাটি পরিবহনের একটি সর্বোত্তম উপায় খুঁজছিলেন। ফেফারম্যান বলেন, "এর মতো জিনিস আগেও করা হয়েছে, কিন্তু আমি দেখেছি যে [হাউ এবং চেন] এটি এর জন্য ব্যবহার করেছে।"

যে অসমতা দ্বিতীয় অংশ বাকি. এটি মোকাবেলা করতে কম্পিউটার সহায়তা প্রয়োজন হবে। প্রারম্ভিকদের জন্য, এমন অনেক গণনা করা দরকার ছিল এবং এত নির্ভুলতার প্রয়োজন ছিল যে, "পেন্সিল এবং কাগজের সাথে আপনাকে যে পরিমাণ কাজ করতে হবে তা বিস্ময়কর হবে," ডে লা লাভে বলেছিলেন। ভারসাম্য বজায় রাখার জন্য বিভিন্ন পদ পেতে, গণিতবিদদের অপ্টিমাইজেশন সমস্যাগুলির একটি সিরিজ সম্পাদন করতে হয়েছিল যা কম্পিউটারের জন্য তুলনামূলকভাবে সহজ কিন্তু মানুষের জন্য অত্যন্ত সময়সাপেক্ষ। কিছু মান আনুমানিক সমাধান থেকে পরিমাণের উপরও নির্ভর করে; যেহেতু এটি একটি কম্পিউটার ব্যবহার করে গণনা করা হয়েছিল, তাই এই অতিরিক্ত গণনাগুলি সম্পাদন করার জন্য একটি কম্পিউটার ব্যবহার করা আরও সহজ ছিল।

"আপনি যদি এই অনুমানগুলির কিছু ম্যানুয়ালি করার চেষ্টা করেন, আপনি সম্ভবত কিছু সময়ে অতিরিক্ত মূল্যায়ন করতে যাচ্ছেন, এবং তারপরে আপনি হেরে যাবেন," গোমেজ-সেরানো বলেছেন। "সংখ্যাগুলি খুব ছোট এবং শক্ত … এবং মার্জিন অবিশ্বাস্যভাবে পাতলা।"

কিন্তু যেহেতু কম্পিউটারগুলি অসীম সংখ্যার সংখ্যাকে ম্যানিপুলেট করতে পারে না, তাই ছোট ত্রুটি অনিবার্যভাবে ঘটতে পারে। হাউ এবং চেনকে সাবধানে সেই ত্রুটিগুলি ট্র্যাক করতে হয়েছিল, নিশ্চিত করতে যে তারা বাকি ভারসাম্যমূলক কাজটিতে হস্তক্ষেপ করে না।

শেষ পর্যন্ত, তারা প্রমাণটি সম্পূর্ণ করে সমস্ত পদের সীমা খুঁজে পেতে সক্ষম হয়েছিল: সমীকরণগুলি প্রকৃতপক্ষে একটি এককতা তৈরি করেছিল।

কম্পিউটার দ্বারা প্রমাণ

আরও জটিল সমীকরণ - একটি নলাকার সীমানা এবং নেভিয়ার-স্টোকস সমীকরণের উপস্থিতি ছাড়াই অয়লার সমীকরণগুলি - একটি এককতা বিকাশ করতে পারে কিনা তা খোলা থাকে। "কিন্তু [এই কাজটি] অন্তত আমাকে আশা দেয়," হাউ বলেছেন। "আমি এগিয়ে যাওয়ার একটি পথ দেখতে পাচ্ছি, সম্ভবত শেষ পর্যন্ত সম্পূর্ণ সহস্রাব্দ সমস্যার সমাধান করার একটি উপায়।"

ইতিমধ্যে, Buckmaster এবং Gómez-Serrano তাদের নিজস্ব একটি কম্পিউটার-সহায়তা প্রমাণ নিয়ে কাজ করছেন - একটি তারা আশা করে যে আরও সাধারণ হবে, এবং সেইজন্য শুধু হাউ এবং চেন যে সমস্যাটি সমাধান করেছে তা মোকাবেলা করতে সক্ষম হবেন না, অন্যদের স্কোরও।

এই প্রচেষ্টাগুলি তরল গতিবিদ্যার ক্ষেত্রে একটি ক্রমবর্ধমান প্রবণতা চিহ্নিত করে: গুরুত্বপূর্ণ সমস্যা সমাধানের জন্য কম্পিউটারের ব্যবহার।

"গণিতের বিভিন্ন ক্ষেত্রে, এটি আরও ঘন ঘন ঘটছে," বলেছেন সুসান ফ্রিডল্যান্ডার, সাউদার্ন ক্যালিফোর্নিয়া বিশ্ববিদ্যালয়ের একজন গণিতবিদ।

কিন্তু তরল মেকানিক্সে, কম্পিউটার-সহায়ক প্রমাণগুলি এখনও একটি অপেক্ষাকৃত নতুন কৌশল। প্রকৃতপক্ষে, যখন সিঙ্গুলারিটি গঠনের বিষয়ে বিবৃতির কথা আসে, তখন হাউ এবং চেনের প্রমাণটি তার ধরণের প্রথম: পূর্ববর্তী কম্পিউটার-সহায়তা প্রমাণগুলি শুধুমাত্র এলাকায় খেলনা সমস্যাগুলি মোকাবেলা করতে সক্ষম হয়েছিল।

এই ধরনের প্রমাণগুলি "রুচির বিষয়" হিসাবে এতটা বিতর্কিত নয় পিটার কনস্ট্যান্টিন প্রিন্সটন বিশ্ববিদ্যালয়ের। গণিতবিদরা সাধারণত সম্মত হন যে একটি প্রমাণকে অন্য গণিতবিদদের বোঝাতে হবে যে যুক্তির কিছু লাইন সঠিক। কিন্তু, অনেকে যুক্তি দেন, এটি সঠিক যে বৈধতা প্রদান করার পরিবর্তে একটি নির্দিষ্ট বিবৃতি কেন সত্য তা তাদের বোঝার উন্নতি করা উচিত। "আমরা কি মৌলিকভাবে নতুন কিছু শিখি, নাকি আমরা শুধু প্রশ্নের উত্তর জানি?" এলগিন্দি ড. "আপনি যদি গণিতকে একটি শিল্প হিসাবে দেখেন তবে এটি এতটা নান্দনিকভাবে আনন্দদায়ক নয়।"

"একটি কম্পিউটার সাহায্য করতে পারে। এটা দারুন. এটা আমাকে অন্তর্দৃষ্টি দেয়. কিন্তু এটি আমাকে সম্পূর্ণ উপলব্ধি দেয় না, "কনস্ট্যান্টিন যোগ করেছেন। "বোঝাবুঝি আমাদের কাছ থেকে আসে।"

তার অংশের জন্য, এলগিন্ডি এখনও সম্পূর্ণভাবে হাত দিয়ে উড়িয়ে দেওয়ার একটি বিকল্প প্রমাণ তৈরি করার আশা করছেন। "আমি সামগ্রিকভাবে খুশি যে এটি বিদ্যমান," তিনি হাউ এবং চেনের কাজের বিষয়ে বলেছিলেন। "কিন্তু আমি কম কম্পিউটার-নির্ভর উপায়ে এটি করার চেষ্টা করার জন্য এটিকে আরও অনুপ্রেরণা হিসাবে গ্রহণ করি।"

অন্যান্য গণিতবিদরা কম্পিউটারকে একটি অত্যাবশ্যক নতুন হাতিয়ার হিসাবে দেখেন যা পূর্বে জটিল সমস্যাগুলিকে আক্রমণ করা সম্ভব করে তোলে। "এখন কাজ আর শুধু কাগজ এবং পেন্সিল নয়," চেন বলেছিলেন। "আপনার কাছে আরও শক্তিশালী কিছু ব্যবহার করার বিকল্প আছে।"

তার এবং অন্যদের মতে (এলগিন্দি সহ, হাতে প্রমাণ লেখার জন্য তার ব্যক্তিগত পছন্দ থাকা সত্ত্বেও), তরল গতিবিদ্যায় বড় সমস্যাগুলি সমাধান করার একমাত্র উপায় - অর্থাৎ, ক্রমবর্ধমান জটিল সমীকরণ জড়িত সমস্যাগুলি - নির্ভর করা হতে পারে। কম্পিউটার সহায়তার উপর ভারী। "এটা আমার কাছে মনে হচ্ছে যেন কম্পিউটার-সহায়ক প্রমাণের ভারী ব্যবহার না করে এটি করার চেষ্টা করা আপনার পিঠের পিছনে এক বা সম্ভবত দুটি হাত বেঁধে রাখার মতো," ফেফারম্যান বলেছিলেন।

যদি এটি শেষ হয় এবং "আপনার কোন বিকল্প না থাকে," এলগিন্দি বলেছিলেন, "তাহলে আমার মতো লোকেরা ... যারা বলে যে এটি সর্বোত্তম, তাদের শান্ত হওয়া উচিত।" এর অর্থ এই যে আরও গণিতবিদদের কম্পিউটার-সহায়ক প্রমাণ লেখার জন্য প্রয়োজনীয় দক্ষতা শেখা শুরু করতে হবে - এমন কিছু যা হাউ এবং চেনের কাজ আশা করি অনুপ্রাণিত করবে। "আমি মনে করি এমন অনেক লোক ছিল যারা এই পদ্ধতিতে তাদের নিজস্ব সময় বিনিয়োগ করার আগে এই জাতীয় সমস্যা সমাধানের জন্য কারও জন্য অপেক্ষা করছিল," বাকমাস্টার বলেছিলেন।

এটি বলেছিল, যখন গণিতবিদদের কম্পিউটারের উপর কতটা নির্ভর করা উচিত তা নিয়ে বিতর্কের কথা আসে, "এটি এমন নয় যে আপনাকে একটি দিক বেছে নিতে হবে," গোমেজ-সেরানো বলেছিলেন। “[হাউ এবং চেনের] প্রমাণ বিশ্লেষণ ছাড়া কাজ করবে না, এবং প্রমাণ কম্পিউটার সহায়তা ছাড়া কাজ করবে না। … আমি মনে করি মূল্য হল যে মানুষ দুটি ভাষায় কথা বলতে পারে।"

এর সাথে, দে লা লাভে বলেছিলেন, "শহরে একটি নতুন খেলা আছে।"