বিলিয়ার্ড টেবিলের রহস্যময় গণিত | কোয়ান্টা ম্যাগাজিন

ডিজনির 1959 সালের চলচ্চিত্রে ম্যাথম্যাজিক ল্যান্ডে ডোনাল্ড, ডোনাল্ড ডাক, বিলিয়ার্ডের জ্যামিতির বর্ণনাকারীর বর্ণনা দ্বারা অনুপ্রাণিত, উদ্যমীভাবে কিউ বল আঘাত করে, এটা অবশেষে উদ্দেশ্য বল আঘাত আগে টেবিলের চারপাশে ricocheting পাঠান. ডোনাল্ড জিজ্ঞাসা করে, "আপনি গণিতের জন্য এটি কীভাবে পছন্দ করেন?"

যেহেতু আয়তক্ষেত্রাকার বিলিয়ার্ড টেবিলের চার দেয়ালে সমকোণে মিলিত হয়, তাই ডোনাল্ডের মতো বিলিয়ার্ড ট্র্যাজেক্টোরিগুলি অনুমানযোগ্য এবং ভালভাবে বোঝা যায় — এমনকি যদি সেগুলি অনুশীলনে চালানো কঠিন হয়। যাইহোক, গবেষণা গণিতবিদরা এখনও অন্যান্য বহুভুজের আকারে বিলিয়ার্ড বলের সম্ভাব্য গতিপথ সম্পর্কে প্রাথমিক প্রশ্নের উত্তর দিতে পারেন না (সমতল দিকগুলির আকার)। এমনকি ত্রিভুজ, বহুভুজগুলির মধ্যে সবচেয়ে সহজ, এখনও রহস্য ধরে রাখে।

একটি বলকে আঘাত করা কি সর্বদা সম্ভব যাতে এটি একটি তথাকথিত পর্যায়ক্রমিক কক্ষপথ তৈরি করে একই দিকে ভ্রমণ করে তার প্রারম্ভিক বিন্দুতে ফিরে আসে? কেউ জানে না. অন্যান্য, আরও জটিল আকারের জন্য, টেবিলের যে কোনো বিন্দু থেকে টেবিলের অন্য কোনো বিন্দুতে বল আঘাত করা সম্ভব কিনা তা অজানা।

যদিও এই প্রশ্নগুলি হাই স্কুলে পড়ানো জ্যামিতির সীমাবদ্ধতার মধ্যে খুব সহজভাবে মাপসই বলে মনে হয়, তবে সেগুলি সমাধান করার প্রচেষ্টার জন্য বিশ্বের কিছু অগ্রগণ্য গণিতবিদদের গতিশীল সিস্টেম, টপোলজি এবং ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতি সহ ভিন্ন ক্ষেত্রগুলি থেকে ধারনা আনতে হবে। যে কোনো মহান গণিত সমস্যার মতো, এই সমস্যাগুলির উপর কাজ করা নতুন গণিত তৈরি করেছে এবং সেই অন্যান্য ক্ষেত্রের জ্ঞান ফিরে পেয়েছে এবং উন্নত করেছে। তবুও এই সমস্ত প্রচেষ্টা সত্ত্বেও, এবং অন্তর্দৃষ্টি আধুনিক কম্পিউটারগুলি সহ্য করেছে, এই আপাতদৃষ্টিতে সহজবোধ্য সমস্যাগুলি একগুঁয়েভাবে সমাধানকে প্রতিরোধ করে।

ডোনাল্ড ডাকের মহাকাব্যিক জটিল শট থেকে গণিতবিদরা বিলিয়ার্ড সম্পর্কে যা শিখেছেন তা এখানে।

তারা সাধারণত অনুমান করে যে তাদের বিলিয়ার্ড বলটি একটি অসীম ছোট, মাত্রাবিহীন বিন্দু এবং এটি নিখুঁত প্রতিসাম্য সহ দেয়াল থেকে বাউন্স করে, এটি আসার সাথে সাথে একই কোণে চলে যায়, যেমনটি নীচে দেখানো হয়েছে।

ঘর্ষণ ছাড়া, বলটি অনির্দিষ্টকালের জন্য ভ্রমণ করে যদি না এটি একটি কোণে পৌঁছায়, যা বলটিকে পকেটের মতো থামিয়ে দেয়। বিলিয়ার্ডগুলিকে গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ করা এত কঠিন হওয়ার কারণ হল যে একটি কোণার দুপাশে দুটি প্রায় অভিন্ন শট অবতরণ করার জন্য বন্যভাবে বিচ্যুত গতিপথ থাকতে পারে।

বহুভুজ বিলিয়ার্ড বিশ্লেষণের একটি মূল পদ্ধতি হল বলটিকে টেবিলের কিনারা থেকে লাফানোর মতো মনে করা নয়, বরং এটি কল্পনা করা যে প্রতিবার বলটি দেওয়ালে আঘাত করে, এটি টেবিলের একটি তাজা কপিতে ভ্রমণ করতে থাকে যা তার উপরে উল্টে যায়। প্রান্ত, একটি মিরর ইমেজ উত্পাদন. এই প্রক্রিয়াটি (নীচে দেখা গেছে), যাকে বলা হয় বিলিয়ার্ড পথের উন্মোচন, বলটিকে একটি সরল-রেখার গতিপথে চলতে দেয়। তাদের প্রতিবেশীদের উপর কল্পিত টেবিলগুলি ভাঁজ করে, আপনি বলের প্রকৃত গতিপথ পুনরুদ্ধার করতে পারেন। এই গাণিতিক কৌশলটি ট্র্যাজেক্টোরি সম্পর্কে এমন জিনিসগুলি প্রমাণ করা সম্ভব করে যা অন্যথায় দেখতে চ্যালেঞ্জিং হবে।

উদাহরণস্বরূপ, এটি দেখানোর জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে কেন সাধারণ আয়তক্ষেত্রাকার টেবিলের প্রতিটি বিন্দুর মাধ্যমে অসীমভাবে অনেকগুলি পর্যায়ক্রমিক গতিপথ রয়েছে। একটি অনুরূপ যুক্তি যেকোন আয়তক্ষেত্রের জন্য ধারণ করে, কিন্তু সুনির্দিষ্টতার জন্য, একটি টেবিল কল্পনা করুন যেটি লম্বার চেয়ে দ্বিগুণ চওড়া।

ধরুন আপনি একটি পর্যায়ক্রমিক কক্ষপথ খুঁজে পেতে চান যা টেবিল অতিক্রম করে n দীর্ঘ দিক এবং বার m সংক্ষিপ্ত দিকে বার. যেহেতু আয়তক্ষেত্রের প্রতিটি মিরর ইমেজ একটি প্রাচীর থেকে বাউন্স করা বলের সাথে মিলে যায়, তাই বলটি একই দিকে ভ্রমণ করে তার প্রারম্ভিক বিন্দুতে ফিরে আসার জন্য, এর গতিপথ অবশ্যই উভয় দিকে সমান সংখ্যক বার টেবিল অতিক্রম করতে হবে। তাই m এবং n সমান হতে হবে অভিন্ন আয়তক্ষেত্রগুলির একটি গ্রিড তৈরি করুন, প্রত্যেকটিকে তার প্রতিবেশীদের আয়না চিত্র হিসাবে দেখা হয়। মূল টেবিলের একটি বিন্দু থেকে একটি অনুলিপিতে অভিন্ন বিন্দুতে একটি রেখার অংশ আঁকুন n টেবিল দূরে লম্বা দিক এবং m সংক্ষিপ্ত দিক থেকে দূরে টেবিল. যদি পথটি একটি কোণার মধ্য দিয়ে যায় তবে মূল পয়েন্টটি সামান্য সামঞ্জস্য করুন। এখানে একটি উদাহরণ যেখানে n = 2 এবং m = 6. যখন ব্যাক আপ ভাঁজ করা হয়, তখন পথটি একটি পর্যায়ক্রমিক গতিপথ তৈরি করে, যেমনটি সবুজ আয়তক্ষেত্রে দেখানো হয়েছে।

একটি ত্রিভুজ অসমতা

ত্রিভুজের বিলিয়ার্ড, যেগুলিতে আয়তক্ষেত্রের সুন্দর সমকোণী জ্যামিতি নেই, তা আরও জটিল। আপনি হাই স্কুল জ্যামিতি থেকে মনে রাখতে পারেন, বিভিন্ন ধরণের ত্রিভুজ রয়েছে: তীব্র ত্রিভুজ, যেখানে তিনটি অভ্যন্তরীণ কোণই 90 ডিগ্রির কম; সমকোণ ত্রিভুজ, যার একটি 90-ডিগ্রি কোণ রয়েছে; এবং স্থূল ত্রিভুজ, যার একটি কোণ রয়েছে যা 90 ডিগ্রির বেশি।

তীব্র এবং সমকোণী ত্রিভুজের মতো আকৃতির বিলিয়ার্ড টেবিলের পর্যায়ক্রমিক গতিপথ থাকে। কিন্তু স্থূল ত্রিভুজের ক্ষেত্রেও একই কথা সত্য কিনা তা কেউ জানে না।

একটি তীব্র ত্রিভুজে একটি পর্যায়ক্রমিক ট্র্যাজেক্টোরি খুঁজে পেতে, প্রতিটি শীর্ষবিন্দু থেকে বিপরীত দিকে একটি লম্ব রেখা আঁকুন, যেমনটি নীচে বামদিকে দেখা যাচ্ছে। ডানদিকে দেখা যায় এমন বিন্দুগুলিতে যোগ দিন যেখানে সমকোণগুলি একটি ত্রিভুজ গঠন করে।

এই খোদাই করা ত্রিভুজটি একটি পর্যায়ক্রমিক বিলিয়ার্ড ট্র্যাজেক্টোরি যাকে ফ্যাগনানো কক্ষপথ বলা হয়, যার নাম জিওভান্নি ফ্যাগনানোর নামে, যিনি 1775 সালে দেখিয়েছিলেন যে এই ত্রিভুজটির সমস্ত খোদাই করা ত্রিভুজগুলির মধ্যে সবচেয়ে ছোট পরিধি রয়েছে।

1990 এর দশকের গোড়ার দিকে, ওয়াশিংটন বিশ্ববিদ্যালয়ের ফ্রেড হল্ট এবং গ্রেগরি গ্যালপেরিন এবং মস্কো স্টেট ইউনিভার্সিটিতে তার সহযোগীরা স্বাধীনভাবে দেখিয়েছেন যে প্রতিটি সমকোণী ত্রিভুজের পর্যায়ক্রমিক কক্ষপথ রয়েছে। এটি দেখানোর একটি সহজ উপায় হল ত্রিভুজটিকে একটি পায়ে এবং তারপরে অন্যটি প্রতিফলিত করা, যেমনটি নীচে দেখানো হয়েছে।

একটি ট্রাজেক্টোরি দিয়ে শুরু করুন যা কর্ণের (ত্রিভুজের দীর্ঘ দিক) এর একটি সমকোণে অবস্থিত। কর্ণ এবং এর দ্বিতীয় প্রতিফলন সমান্তরাল, তাই তাদের সাথে যুক্ত হওয়া একটি লম্ব রেখার অংশটি এমন একটি ট্র্যাজেক্টোরির সাথে মিলে যায় যা চিরতরে সামনে পিছনে বাউন্স করবে: বলটি কর্ণকে একটি সমকোণে প্রস্থান করে, উভয় পা থেকে বাউন্স করে, ডানদিকে কর্ণের দিকে ফিরে আসে। কোণ, এবং তারপর তার রুট retraces.

কিন্তু স্থূল ত্রিভুজ একটি রহস্য থেকে যায়। তাদের 1992 সালের গবেষণাপত্রে, গ্যালপেরিন এবং তার সহযোগীরা স্থূল ত্রিভুজগুলিকে এমনভাবে প্রতিফলিত করার বিভিন্ন পদ্ধতি নিয়ে এসেছিলেন যা আপনাকে পর্যায়ক্রমিক কক্ষপথ তৈরি করতে দেয়, তবে পদ্ধতিগুলি শুধুমাত্র কিছু বিশেষ ক্ষেত্রে কাজ করে। তারপর, 2008 সালে, রিচার্ড শোয়ার্টজ ব্রাউন ইউনিভার্সিটি দেখিয়েছে যে সমস্ত স্থূল ত্রিভুজ সহ 100 ডিগ্রি বা তার কম কোণ একটি পর্যায়ক্রমিক গতিপথ ধারণ করে। তার পদ্ধতির মধ্যে সমস্যাটিকে একাধিক ক্ষেত্রে বিভক্ত করা এবং প্রথাগত গণিত এবং কম্পিউটার সহায়তা ব্যবহার করে প্রতিটি ক্ষেত্রে যাচাই করা জড়িত। 2018 সালে, জ্যাকব গারবার, বয়ান মারিনভ, কেনেথ মুর এবং আলবার্টা বিশ্ববিদ্যালয়ের জর্জ টোকারস্কি এই থ্রেশহোল্ড প্রসারিত 112.3 ডিগ্রি পর্যন্ত। (টোকারস্কি এবং মারিনভ এক দশকেরও বেশি সময় কাটিয়েছেন এই লক্ষ্য তাড়া।)

একটি টপোলজিক্যাল টার্ন

অন্য একটি পদ্ধতি দেখানো হয়েছে যে যদি সমস্ত কোণ যুক্তিসঙ্গত হয় - অর্থাৎ, তাদের ভগ্নাংশ হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে - এমনকি বড় কোণ সহ স্থূল ত্রিভুজগুলির পর্যায়ক্রমিক গতিপথ থাকতে হবে। একটি সমতল সমতলে শুধুমাত্র একটি বহুভুজ অনুলিপি করার পরিবর্তে, এই পদ্ধতিটি বহুভুজগুলির অনুলিপিগুলি টপোলজিকাল পৃষ্ঠের উপর ম্যাপ করে, তাদের মধ্যে এক বা একাধিক ছিদ্রযুক্ত ডোনাট।

আপনি যদি একটি আয়তক্ষেত্রকে এর সংক্ষিপ্ত দিকে প্রতিফলিত করেন, এবং তারপর উভয় আয়তক্ষেত্রকে তাদের দীর্ঘতম দিকে প্রতিফলিত করেন, মূল আয়তক্ষেত্রটির চারটি সংস্করণ তৈরি করেন এবং তারপরে উপরের এবং নীচে এবং বাম এবং ডানকে একসাথে আঠালো করেন, আপনি একটি ডোনাট তৈরি করতে পারবেন, বা টরাস, নীচে দেখানো হিসাবে। টেবিলের বিলিয়ার্ড ট্র্যাজেক্টোরিগুলি টরাসের ট্র্যাজেক্টোরির সাথে মিলে যায় এবং এর বিপরীতে।

একটি ল্যান্ডমার্ক 1986 নিবন্ধে, হাওয়ার্ড মাসুর এই কৌশলটি ব্যবহার করে দেখানো হয়েছে যে মূলদ কোণ সহ সমস্ত বহুভুজ টেবিলের পর্যায়ক্রমিক কক্ষপথ রয়েছে। তার দৃষ্টিভঙ্গি কেবল স্থূল ত্রিভুজের জন্যই নয়, বরং আরও জটিল আকারের জন্য কাজ করেছিল: অনিয়মিত 100-পার্শ্বযুক্ত টেবিল, বলুন, বা বহুভুজ যার দেয়াল জিগ এবং জ্যাগ করে নক এবং ক্রানি তৈরি করে, পর্যায়ক্রমিক কক্ষপথ রয়েছে, যতক্ষণ না কোণগুলি যুক্তিসঙ্গত হয়।

কিছুটা উল্লেখযোগ্যভাবে, বহুভুজে একটি পর্যায়ক্রমিক কক্ষপথের অস্তিত্ব অসীমভাবে অনেকের অস্তিত্বকে বোঝায়; ট্র্যাজেক্টোরিকে একটু একটু করে স্থানান্তর করলে সম্পর্কিত পর্যায়ক্রমিক ট্র্যাজেক্টোরির একটি পরিবার পাওয়া যাবে।

আলোকসজ্জা সমস্যা

নুকস এবং ক্রানি সহ আকৃতি একটি সম্পর্কিত প্রশ্নের জন্ম দেয়। ট্র্যাজেক্টোরিজগুলি তাদের প্রারম্ভিক বিন্দুতে ফিরে আসে সে সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করার পরিবর্তে, এই সমস্যাটি জিজ্ঞাসা করে যে প্রদত্ত টেবিলের প্রতিটি বিন্দু পরিদর্শন করতে পারে কিনা। এটিকে আলোকসজ্জার সমস্যা বলা হয় কারণ আমরা বিলিয়ার্ড টেবিল ঘেরা মিরর করা দেয়াল থেকে প্রতিফলিত একটি লেজার রশ্মি কল্পনা করে এটি সম্পর্কে চিন্তা করতে পারি। আমরা জিজ্ঞাসা করি যে, একটি নির্দিষ্ট টেবিলে দুটি পয়েন্ট দেওয়া হলে, আপনি সর্বদা একটি লেজার (আলোর অসীম পাতলা রশ্মি হিসাবে আদর্শ) এক বিন্দু থেকে অন্য বিন্দুতে উজ্জ্বল করতে পারেন। এটাকে অন্যভাবে বলতে গেলে, আমরা যদি একটা লাইট বাল্ব রাখি, যেটা একবারে সব দিকে জ্বলজ্বল করে, কোনো একটা সময়ে টেবিলের ওপর, এটা কি পুরো রুমকে আলোকিত করবে?

সমস্যাটিতে গবেষণার দুটি প্রধান লাইন রয়েছে: এমন আকারগুলি খুঁজে বের করা যা আলোকিত করা যায় না এবং প্রমাণ করা যে আকারের বড় শ্রেণী হতে পারে। যেখানে আলোকিত করা যায় না এমন অডবল আকারগুলি খুঁজে বের করা সহজ গণিতের একটি চতুর প্রয়োগের মাধ্যমে করা যেতে পারে, প্রমাণ করে যে প্রচুর আকার আলোকিত করা যায় শুধুমাত্র ভারী গাণিতিক যন্ত্রপাতি ব্যবহারের মাধ্যমেই সম্ভব হয়েছে।

1958 সালে রজার পেনরোজ, একজন গণিতবিদ যিনি জিততে গিয়েছিলেন 2020 পদার্থবিজ্ঞানে নোবেল পুরস্কার, একটি বাঁকা টেবিল পাওয়া গেছে যেখানে একটি অঞ্চলের কোনো বিন্দু অন্য অঞ্চলের কোনো বিন্দুকে আলোকিত করতে পারে না। কয়েক দশক ধরে, একই সম্পত্তি আছে এমন বহুভুজ নিয়ে কেউ আসতে পারেনি। কিন্তু 1995 সালে, টোকারস্কি ত্রিভুজ সম্পর্কে একটি সাধারণ তথ্য ব্যবহার করে একটি ব্লকিশ 26-পার্শ্বযুক্ত বহুভুজ তৈরি করতে দুটি বিন্দু যা পারস্পরিকভাবে দুর্গম, নীচে দেখানো হয়েছে। অর্থাৎ, একটি লেজার রশ্মি এক বিন্দু থেকে শট করা, তার দিক নির্বিশেষে, অন্য বিন্দুতে আঘাত করতে পারে না।

টোকারস্কি তার বিশেষ টেবিল তৈরি করার সময় যে মূল ধারণাটি ব্যবহার করেছিলেন তা হল যে যদি একটি লেজার রশ্মি একটি 45°-45°-90° ত্রিভুজের একটি তীব্র কোণে শুরু হয় তবে এটি কখনই সেই কোণে ফিরে আসতে পারে না।

তার জ্যাগড টেবিলটি এই ধরনের 29টি ত্রিভুজ দিয়ে তৈরি, এই সত্যটিকে চতুরভাবে ব্যবহার করার জন্য সাজানো হয়েছে। 2019 সালে অমিত ওলেকি, তারপর তেল আবিব বিশ্ববিদ্যালয়ের একজন স্নাতক ছাত্র, একই কৌশল প্রয়োগ করেছিলেন একটি আকৃতি উত্পাদন 22টি বাহু (নীচে দেখানো হয়েছে), যা তিনি প্রমাণ করেছেন যে একটি আকৃতির জন্য সম্ভাব্য ক্ষুদ্রতম সংখ্যক বাহু ছিল যার দুটি অভ্যন্তরীণ বিন্দু রয়েছে যা একে অপরকে আলোকিত করে না।

অন্য দিকে ফলাফল প্রমাণ করা অনেক কঠিন হয়েছে। 2014 সালে, স্ট্যানফোর্ড বিশ্ববিদ্যালয়ের গণিতবিদ মরিয়ম মির্জাখানি প্রথম মহিলা হন ফিল্ড মেডেল জিতে, গণিতের সবচেয়ে মর্যাদাপূর্ণ পুরষ্কার, রিম্যান পৃষ্ঠতলের মডুলি স্পেসগুলিতে তার কাজের জন্য - ডোনাটগুলির এক ধরণের সাধারণীকরণ যা মাসুর দেখিয়েছিলেন যে যুক্তিযুক্ত কোণ সহ সমস্ত বহুভুজ টেবিলের পর্যায়ক্রমিক কক্ষপথ রয়েছে। 2016 সালে, স্যামুয়েল লেলিভর প্যারিস-স্যাকলে বিশ্ববিদ্যালয়ের, থিয়েরি মন্টিল ফরাসি ন্যাশনাল সেন্টার ফর সায়েন্টিফিক রিসার্চ এবং বারাক ওয়েইস তেল আবিব ইউনিভার্সিটির মির্জাখানির ফলাফলের একটি সংখ্যা প্রয়োগ করেছে দেখানো যে একটি যৌক্তিক বহুভুজের যেকোনো বিন্দু সসীম অনেকগুলি ছাড়া সমস্ত বিন্দুকে আলোকিত করে। বিচ্ছিন্ন অন্ধকার দাগ থাকতে পারে (টোকারস্কি এবং ওলেকির উদাহরণের মতো) কিন্তু কোন অন্ধকার অঞ্চল নেই যেমন পেনরোজ উদাহরণে রয়েছে, যার দেয়াল সোজা নয় বরং বাঁকা দেয়াল রয়েছে। ভিতরে Wolecki এর 2019 নিবন্ধ, তিনি প্রমাণ করার মাধ্যমে এই ফলাফলকে শক্তিশালী করেছেন যে অপ্রকাশ্য বিন্দুর মাত্র সীমাবদ্ধভাবে অনেক জোড়া রয়েছে।

দুঃখিতভাবে, মির্জাখানি মারা যান 2017 সালে 40 বছর বয়সে, ক্যান্সারের সাথে লড়াই করার পরে। তার কাজ পুল হলের কৌতুক শট থেকে অনেক দূরে বলে মনে হচ্ছে। এবং এখনও বিলিয়ার্ড ট্র্যাজেক্টোরিজ বিশ্লেষণ করে দেখায় কিভাবে এমনকি সবচেয়ে বিমূর্ত গণিতও আমরা যে পৃথিবীতে বাস করি তার সাথে সংযোগ স্থাপন করতে পারে।