ভূমিকা
জ্যামিতির ছাত্রী জিনা গত রাতে তার বাড়ির কাজ করার সময় অনেক দেরি করে জেগেছিল গ্রেট ব্রিটেনের বেক আউট, তাই অবশেষে যখন সে বিছানায় গেল তার ঘুমন্ত মন তখনও কাপকেক আর কম্পাসে পূর্ণ। এটি একটি সবচেয়ে অস্বাভাবিক স্বপ্নের দিকে পরিচালিত করেছিল।
জিনা নিজেকে ইমাজিনারি ইউনিভার্সিটির গ্রেট ব্রাউনি বেক অফের বিচারক হিসেবে খুঁজে পেয়েছেন, এমন একটি স্কুল যেখানে শিক্ষার্থীরা প্রচুর জ্যামিতি শেখে কিন্তু খুব কম পাটিগণিত। কল্পনাপ্রসূত ইউ ছাত্রদের দলগুলিকে তাদের পক্ষে সবচেয়ে বড় ব্রাউনি তৈরি করার দায়িত্ব দেওয়া হয়েছিল এবং বিজয়ী নির্ধারণ করা জিনার উপর নির্ভর করে।
টিম আলফা প্রথম শেষ করেছিল, এবং তারা গর্বের সাথে তাদের আয়তক্ষেত্রাকার ব্রাউনি বিচারের জন্য উপস্থাপন করেছিল। জিনা একটি শাসক বের করে ব্রাউনিটি পরিমাপ করলেন: এটি 16 ইঞ্চি লম্বা এবং 9 ইঞ্চি চওড়া ছিল। টিম বিটা দ্রুত তাদের বর্গাকার ব্রাউনিকে অনুসরণ করে, যার প্রতিটি পাশে 12 ইঞ্চি পরিমাপ করা হয়েছিল। তখনই ঝামেলা শুরু হয়।
"আমাদের ব্রাউনি আপনার চেয়ে অনেক লম্বা," টিম আলফার অধিনায়ক বলেছেন. "আমাদের স্পষ্টতই বড়, তাই আমরা বিজয়ী!"
"কিন্তু আপনার আয়তক্ষেত্রের সংক্ষিপ্ত দিকটি আমাদের বর্গক্ষেত্রের পাশের চেয়ে অনেক খাটো," টিম বিটার একজন প্রতিনিধি বলেছেন। “আমাদের স্কোয়ার স্পষ্টতই বড়। আমরা জিতে গেছি!"
এই নিয়ে তর্ক করাটা জিনার অদ্ভুত লেগেছে। "আয়তক্ষেত্রাকার ব্রাউনির ক্ষেত্রফল হল 9 গুণ 16, যা 144 বর্গ ইঞ্চি," তিনি বলেছিলেন। “বর্গাকার ব্রাউনির ক্ষেত্রফল হল 12 গুণ 12, যা 144 বর্গ ইঞ্চিও। ব্রাউনিগুলি একই আকারের: এটি একটি টাই।"
দুই দলকেই হতবুদ্ধি দেখাচ্ছিল। “আমি বুঝতে পারছি না আপনি 'সময়' বলতে কী বোঝাতে চাচ্ছেন,” একজন ছাত্র বলেছিলেন, যাকে কখনও গুণ শেখানো হয়নি। “আমিও না,” আরেকজন বলল। তৃতীয় একজন বলেছেন, "আমি কমপ্লেক্স কলেজের ছাত্রদের একবার সংখ্যা ব্যবহার করে এলাকা পরিমাপের কথা শুনেছি, কিন্তু এর মানে কি?" কল্পনার ইউনিভার্সিটি সত্যিই একটি অদ্ভুত জায়গা ছিল, এমনকি স্বপ্নের মতো।
জিনার কি করার ছিল? কীভাবে তিনি দলগুলিকে বোঝাতে পারেন যে তাদের ব্রাউনিগুলি একই আকারের ছিল যদি তারা বুঝতে না পারে কীভাবে ক্ষেত্রফল পরিমাপ করা যায় এবং সংখ্যাগুলিকে গুণ করা যায়? ভাগ্যক্রমে, জিনার একটি প্রতিভাধর ধারণা ছিল। "আমাকে একটি ছুরি দাও," সে বলল।
জিনা আয়তক্ষেত্রাকার ব্রাউনির লম্বা দিক থেকে 12 ইঞ্চি নিচে মাপা এবং সংক্ষিপ্ত দিকের সমান্তরাল কাট তৈরি করেছে। এটি বড় আয়তক্ষেত্রটিকে দুটি ছোট আকারে পরিণত করেছে: একটি 9-বাই-12 এবং অন্যটি 9-বাই-4। তিনটি দ্রুত কাট দিয়ে তিনি 9-বাই-4 টুকরাটিকে তিনটি ছোট 3-বাই-4 টুকরোতে পরিণত করেছেন। কিছুটা পুনর্বিন্যাস করার ফলে ভিড় থেকে শ্রবণযোগ্য ওহ এবং আআহ হয়েছে: জিনা আয়তক্ষেত্রটিকে বর্গক্ষেত্রের একটি সঠিক প্রতিরূপে পরিণত করেছিলেন।
উভয় দলকে এখন সম্মত হতে হয়েছিল যে তাদের ব্রাউনগুলি একই আকারের ছিল। একটিকে ব্যবচ্ছেদ করে এবং অন্যটিকে গঠন করার জন্য এটিকে পুনর্বিন্যাস করে, জিনা দেখালেন যে দুটি ব্রাউনি একই মোট এলাকা দখল করেছে। এই ধরনের ব্যবচ্ছেদগুলি হাজার হাজার বছর ধরে জ্যামিতিতে ব্যবহার করা হয়েছে যে পরিসংখ্যানগুলি একই আকারের, এবং ব্যবচ্ছেদ এবং সমতুলতা সম্পর্কে অনেকগুলি উল্লেখযোগ্য ফলাফল রয়েছে৷ এমনকি আজও গণিতবিদরা এখনও ব্যবচ্ছেদ এবং পুনর্বিন্যাস ব্যবহার করে সম্পূর্ণরূপে বোঝার জন্য যখন নির্দিষ্ট আকারগুলি সমতুল্য, যা কিছু বিস্ময়কর সাম্প্রতিক ফলাফলের দিকে পরিচালিত করে।
আপনি সম্ভবত গণিত ক্লাসে জ্যামিতিক ব্যবচ্ছেদ দেখেছেন যখন মৌলিক আকৃতির জন্য এলাকা সূত্রগুলি তৈরি করবেন। উদাহরণস্বরূপ, আপনি মনে রাখতে পারেন যে একটি সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফল তার বেসের দৈর্ঘ্যের দৈর্ঘ্যের তার উচ্চতার সমান: এর কারণ হল একটি সমান্তরালগ্রামকে বিচ্ছিন্ন করে একটি আয়তক্ষেত্রে পুনর্বিন্যাস করা যেতে পারে।
এই ব্যবচ্ছেদটি দেখায় যে সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফল একই বেস এবং উচ্চতা সহ একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান, যেটি যে কেউ ইমাজিনারি ইউনিভার্সিটিতে পড়েনি তা জানে, এই দুটি সংখ্যার গুণফল।
ইমাজিনারী ইউ এর কথা বললে, গ্রেট ব্রাউনি বেক অফটি কেবল উত্তপ্ত হয়ে উঠছিল। টিম গামা একটি বড় ত্রিভুজাকার ব্রাউনি নিয়ে এগিয়ে গেল। "এখানে বিজয়ী," তারা সাহস করে ঘোষণা করেছিল। "আমাদের উভয় পক্ষই অন্যদের তুলনায় অনেক দীর্ঘ।"
জিনা পাশ মেপে নিল। "এটিরও একই এলাকা আছে!" তিনি exclaimed. "এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ, এবং পাগুলি 18 এবং 16 পরিমাপ করে, এবং তাই এলাকাটি ..." জিনা এক মুহুর্তের জন্য থামল, সবার মুখের বিভ্রান্ত চেহারা লক্ষ্য করে। "ওহ কিছু মনে করো না. শুধু আমাকে ছুরি দাও।"
জিনা চতুরতার সাথে কর্ণের মধ্যবিন্দু থেকে লম্বা পায়ের মধ্যবিন্দুতে কেটেছে, তারপর নতুন গঠিত ত্রিভুজটিকে ঘুরিয়েছে যাতে এটি বড় অংশে বসলে এটি একটি নিখুঁত আয়তক্ষেত্র তৈরি করে।
"এটা ঠিক আমাদের ব্রাউনি!" টিম আলফা কেঁদেছে। নিশ্চিতভাবেই, ফলাফলের আয়তক্ষেত্রটি ছিল 9 বাই 16: তাদের আকারের মতোই।
দল বেটা তাদের সন্দেহ ছিল. "কিন্তু কিভাবে এই ত্রিভুজটি আমাদের বর্গক্ষেত্রের সাথে তুলনা করে?" তাদের দলনেতা জিজ্ঞাসা করলেন।
জিনা তার জন্য প্রস্তুত ছিল। "আমরা ইতিমধ্যে জানি আয়তক্ষেত্র এবং বর্গক্ষেত্র একই আকার, তাই ট্রানজিটিভিটি দ্বারা, ত্রিভুজ এবং বর্গক্ষেত্র একই আকার।" ট্রানজিটিভিটি সমতার সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে একটি: এটি বলে যে যদি a = b এবং b = c, তারপর a = c. জিনা চালিয়ে যান, "যদি প্রথম ব্রাউনির ক্ষেত্রফল দ্বিতীয়টির ক্ষেত্রফলের সমান হয় এবং দ্বিতীয় ব্রাউনির ক্ষেত্রফল তৃতীয়টির ক্ষেত্রফলের সমান হয়, তবে প্রথম এবং তৃতীয় ব্রাউনির ক্ষেত্রফলও সমান হতে হবে।"
কিন্তু জিনা সেখানে থামার জন্য ব্যবচ্ছেদ নিয়ে খুব বেশি মজা করছিল। "অথবা আমরা আরও কয়েকটি কাট করতে পারি।"
প্রথমে জিনা সেই আয়তক্ষেত্রটিকে ঘুরিয়েছিলেন যা আগে একটি ত্রিভুজ ছিল। তারপরে তিনি টিম আলফার আয়তক্ষেত্রে যে প্যাটার্নটি ব্যবহার করেছিলেন ঠিক একই প্যাটার্ন ব্যবহার করে তিনি এটিকে কেটেছিলেন।
তারপরে তিনি দেখিয়েছিলেন যে কীভাবে টিম গামার ত্রিভুজের এই নতুন ব্যবচ্ছেদটিকে টিম বিটার বর্গক্ষেত্রে পরিণত করা যেতে পারে, ঠিক যেমনটি তিনি টিম আলফার আয়তক্ষেত্রের সাথে করেছিলেন।
এই পরিস্থিতিতে আমরা বলি যে ত্রিভুজ এবং বর্গক্ষেত্র হল "কাঁচি সমসাময়িক": আপনি কল্পনা করতে পারেন কাঁচি ব্যবহার করে একটি চিত্রকে সসীমভাবে অনেকগুলি টুকরো করে কেটে অন্যটি গঠনের জন্য পুনরায় সাজানো যেতে পারে। ত্রিভুজ এবং বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রে, ব্রাউনিগুলি ঠিক কীভাবে এই কাঁচি একত্রে কাজ করে তা দেখায়।
লক্ষ্য করুন যে প্যাটার্নটি উভয় দিকে কাজ করে: এটি ত্রিভুজকে বর্গক্ষেত্রে বা বর্গক্ষেত্রকে ত্রিভুজে পরিণত করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। অন্য কথায়, কাঁচি একসংগতি প্রতিসম হয়: যদি A আকৃতি B আকৃতির জন্য কাঁচি সঙ্গতিপূর্ণ হয়, তাহলে B আকৃতিটিও A আকৃতির জন্য কাঁচি সমতুল্য।
প্রকৃতপক্ষে, ত্রিভুজ, আয়তক্ষেত্র এবং বর্গক্ষেত্রের সাথে জড়িত উপরের যুক্তিটি দেখায় যে কাঁচি একসংগতিও ট্রানজিটিভ। যেহেতু ত্রিভুজটি আয়তক্ষেত্রের সাথে কাঁচি এবং আয়তক্ষেত্রটি বর্গক্ষেত্রের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ কাঁচি, তাই ত্রিভুজটি বর্গক্ষেত্রের সাথে কাঁচি সঙ্গতিপূর্ণ। প্রমাণটি নিদর্শনগুলিতে রয়েছে: কেবল মধ্যবর্তী আকৃতিতে সেগুলিকে ওভারলে করুন, যেমনটি উপরের আয়তক্ষেত্রের সাথে করা হয়েছিল।
যদি আপনি ত্রিভুজটিকে এমন টুকরো টুকরো করে কাটান যা আয়তক্ষেত্র তৈরি করে, তারপর আয়তক্ষেত্রটিকে এমন টুকরো টুকরো করে কেটে ফেলুন যা বর্গক্ষেত্র তৈরি করে, ফলস্বরূপ টুকরোগুলি তিনটি আকারের যেকোনো একটি তৈরি করতে ব্যবহার করা যেতে পারে।
সত্য যে কাঁচি একসংগতি ট্রানজিটিভ একটি আশ্চর্যজনক ফলাফলের কেন্দ্রবিন্দুতে রয়েছে: যদি দুটি বহুভুজের একই ক্ষেত্র থাকে, তাহলে সেগুলি কাঁচি সমতুল্য। এর মানে হল, একই ক্ষেত্রফলের সাথে যেকোনো দুটি বহুভুজ দেওয়া হলে, আপনি সর্বদা একটিকে সীমিত সংখ্যক টুকরো করে কেটে অন্যটিকে তৈরি করতে তাদের পুনর্বিন্যাস করতে পারেন।
এই অসাধারণ উপপাদ্যটির প্রমাণও অসাধারণভাবে সহজবোধ্য। প্রথমত, প্রতিটি বহুভুজকে ত্রিভুজগুলিতে স্লাইস করুন।
দ্বিতীয়ত, প্রতিটি ত্রিভুজকে একটি আয়তক্ষেত্রে পরিণত করুন, যেভাবে জিনা ত্রিভুজাকার ব্রাউনিকে পুনর্বিন্যাস করেছে।
এখন জটিল প্রযুক্তিগত অংশ আসে: প্রতিটি আয়তক্ষেত্রকে একটি নতুন আয়তক্ষেত্রে পরিণত করুন যা এক ইউনিট চওড়া।
এটি করতে, আয়তক্ষেত্র থেকে টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো করে কাটা শুরু করুন।
আপনি যদি আয়তক্ষেত্রটিকে 1 প্রস্থের টুকরোগুলির একটি অবিচ্ছেদ্য সংখ্যায় কাটাতে পারেন, তাহলে আপনার কাজ শেষ: কেবল একে অপরের উপরে তাদের স্ট্যাক করুন। অন্যথায়, শেষ টুকরোটি 1 থেকে 2 ইউনিট চওড়া হলে কাটা বন্ধ করুন এবং বাকিগুলি একে অপরের উপরে স্ট্যাক করুন।
আয়তক্ষেত্রটি নিজেই 1 ইউনিটের কম চওড়া হলে চিন্তা করবেন না: শুধু এটিকে অর্ধেক টুকরো টুকরো করে দিন এবং দুটি টুকরা ব্যবহার করে একটি নতুন আয়তক্ষেত্র তৈরি করুন যা দ্বিগুণ লম্বা এবং অর্ধেক পুরু। যতক্ষণ না আপনি 1 এবং 2 ইউনিট চওড়ার মধ্যে একটি আয়তক্ষেত্র পান ততক্ষণ প্রয়োজন হিসাবে পুনরাবৃত্তি করুন।
এখন কল্পনা করুন যে এই চূড়ান্ত আয়তক্ষেত্রটির উচ্চতা রয়েছে h এবং প্রস্থ w, 1 সহ w < 2. আমরা সেই আয়তক্ষেত্রটিকে কেটে 1 প্রস্থ এবং উচ্চতা সহ একটি আয়তক্ষেত্রে পুনরায় সাজাতে যাচ্ছি h × w. এটি করতে, ওভারলে h × w পছন্দসই সঙ্গে আয়তক্ষেত্র hw × 1 আয়তক্ষেত্র এইরকম।
তারপরে বিন্দুযুক্ত রেখা বরাবর কোণ থেকে কোণে কেটে নিন এবং নীচের ডানদিকের ছোট ত্রিভুজটি কেটে ফেলুন hw × 1 আয়তক্ষেত্র।
এই কাটা h × w আয়তক্ষেত্রকে তিনটি টুকরোতে বিভক্ত করুন যা একটিতে পুনরায় সাজানো যেতে পারে hw × 1 আয়তক্ষেত্র। (এই চূড়ান্ত ব্যবচ্ছেদকে সমর্থন করার জন্য অনুরূপ ত্রিভুজ জড়িত কিছু চতুর যুক্তি প্রয়োজন। বিস্তারিত জানার জন্য নীচের অনুশীলনগুলি দেখুন।)
অবশেষে, এই শেষ আয়তক্ষেত্রটিকে স্ট্যাকের উপরে রাখুন, এবং আপনি সফলভাবে এই বহুভুজকে — সত্যিই, যে কোনও বহুভুজ — প্রস্থ 1 এর আয়তক্ষেত্রে পরিণত করেছেন।
এখন যদি মূল বহুভুজের ক্ষেত্রফল হতো A, তাহলে এই আয়তক্ষেত্রের উচ্চতা হতে হবে A, তাই এলাকা সহ প্রতিটি বহুভুজ A কাঁচি প্রস্থ 1 এবং উচ্চতা সহ একটি আয়তক্ষেত্রের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ A. তার মানে হল যদি দুটি বহুভুজের ক্ষেত্রফল থাকে A, তাহলে তারা উভয়ই একই আয়তক্ষেত্রের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ কাঁচি, তাই ট্রানজিটিভিটি দ্বারা তারা একে অপরের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ কাঁচি। এটি দেখায় যে ক্ষেত্রফল সহ প্রতিটি বহুভুজ A ক্ষেত্রফল সহ অন্যান্য বহুভুজের সাথে কাঁচি সঙ্গতিপূর্ণ A.
কিন্তু এই শক্তিশালী ফলাফলটিও ইমাজিনারি ইউনিভার্সিটির ব্রাউনি বেক অফের বিচার সফলভাবে সম্পন্ন করার জন্য যথেষ্ট ছিল না। এখনও একটি এন্ট্রি বাকি ছিল, এবং টিম পাই যা দেখিয়েছিল তাতে কেউ অবাক হয়নি।
যে মুহুর্তে জিনা সেই বৃত্তটিকে আসতে দেখল সে তার স্বপ্ন থেকে শীতল ঘামে জেগে উঠল। তিনি জানতেন যে একটি বৃত্তকে অনেকগুলি টুকরো করে কেটে একটি বর্গক্ষেত্র বা আয়তক্ষেত্র বা বহুভুজ গঠনের জন্য তাদের পুনর্বিন্যাস করা অসম্ভব। 1964 সালে গণিতবিদ লেস্টার ডুবিন্স, মরিস হির্শ এবং জ্যাক কারুশ প্রমাণ করেছিলেন যে একটি বৃত্ত কোন বহুভুজের সাথে কাঁচি নয়। জিনার স্বপ্ন জ্যামিতিক দুঃস্বপ্নে পরিণত হয়েছিল।
কিন্তু তারা সবসময় মনে হয়, গণিতবিদরা এই বাধাটিকে নতুন গণিতে পরিণত করেছিলেন। 1990 সালে Miklós Laczkovich প্রমাণ করেছিলেন যে একটি বৃত্তকে টুকরো টুকরো করা এবং এটিকে একটি বর্গক্ষেত্রে পুনর্বিন্যাস করা সম্ভব, যতক্ষণ না আপনি অসীমভাবে ছোট, অসীমভাবে সংযোগ বিচ্ছিন্ন, অসীমভাবে জ্যাগড টুকরা ব্যবহার করতে পারেন যা সম্ভবত এক জোড়া কাঁচি দিয়ে তৈরি করা যায় না।
ল্যাকজকোভিচের ফলাফল যতটা আশ্চর্যজনক এবং উত্তেজনাপূর্ণ ছিল, এটি শুধুমাত্র প্রমাণ করেছিল যে এই ধরনের পচন তাত্ত্বিকভাবে সম্ভব। এটি ব্যাখ্যা করেনি কিভাবে টুকরোগুলি তৈরি করতে হয়, শুধুমাত্র তারা বিদ্যমান থাকতে পারে। যেখানে আন্দ্রাস ম্যাথে, ওলেগ পিখুরকো এবং জোনাথন নোয়েল এসেছিলেন: 2022 সালের প্রথম দিকে তারা একটি কাগজ পোস্ট যেখানে তারা ল্যাকজকোভিচের কৃতিত্বের সাথে মিলেছে, কিন্তু এমন টুকরো দিয়ে যা কল্পনা করা সম্ভব।
দুর্ভাগ্যবশত, আপনি কোনো ব্রাউনি বেক অফ নিষ্পত্তি করতে তাদের ফলাফল ব্যবহার করতে পারবেন না। কাঁচি একা 10 তৈরি করতে পারে না200 টুকরা তাদের পচন প্রয়োজন. কিন্তু আর্কিমিডিস প্রথম $latex pi$ আবিষ্কার বা আবিষ্কার করার সময় শুরু হওয়া প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার ক্ষেত্রে এটি আরেকটি ধাপ এগিয়ে। এবং এটি আমাদেরকে নতুন গণিত উদ্ভাবন বা আবিষ্কারের দিকে এগিয়ে নিয়ে যায় যা পূর্ববর্তী প্রজন্ম স্বপ্নেও ভাবতে পারেনি।
অনুশীলন
1. ব্যাখ্যা করুন কিভাবে আমরা জানি যে একটি সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফল সূত্রের উৎপত্তিতে, আমরা যে ত্রিভুজটি কেটেছি তা সমান্তরালগ্রামের অপর পাশের স্থানটিতে পুরোপুরি ফিট করে।
2. ব্যাখ্যা কর কেন যেকোন ত্রিভুজকে একটি আয়তক্ষেত্রে বিচ্ছিন্ন করা যায়।
ব্যায়াম 3 এবং 4 এর জন্য, দেখানোর জন্য ব্যবহৃত চিত্রটি বিবেচনা করুন যে একটি h × w আয়তক্ষেত্র হল কাঁচি একটির সাথে সঙ্গতিপূর্ণ hw × 1 আয়তক্ষেত্র, বিন্দু লেবেল সহ।
3. কেন $latex triangle$ ব্যাখ্যা কর XYQ $latextriangle$ এর মত ABX. এই দৈর্ঘ্য কি না QY?
4. কেন $latex triangle$ ব্যাখ্যা কর PCX $latex triangle$ এর সাথে সঙ্গতিপূর্ণ AZQ.
উত্তর 1 এর জন্য ক্লিক করুন:
দুটি ত্রিভুজ সঙ্গতিপূর্ণ দেখানোর অনেক উপায় আছে। একটি উপায় হল লক্ষ্য করা যায় যে সমান্তরাল রেখার মধ্যে দূরত্ব ধ্রুবক, তাই দুটি সমকোণী ত্রিভুজের একজোড়া সমান পা রয়েছে।
এবং একটি সমান্তরালগ্রামে, বিপরীত বাহুগুলি সর্বসম হয়, যা কর্ণ-লেগ ত্রিভুজ সমতুল্য উপপাদ্য দ্বারা দুটি ত্রিভুজকে সঙ্গতিপূর্ণ করে তোলে। আপনি কোণ-পার্শ্ব-কোণ ত্রিভুজ সমাহার উপপাদ্য ব্যবহার করে একটি যুক্তিও তৈরি করতে পারেন।
উত্তর 2 এর জন্য ক্লিক করুন:
ত্রিভুজ জ্যামিতির একটি দুর্দান্ত প্রাথমিক ফলাফল হল ত্রিভুজ মধ্যভাগের উপপাদ্য: আপনি যদি একটি ত্রিভুজের দুটি বাহুর মধ্যবিন্দুকে সংযুক্ত করেন, তাহলে রেখার অংশটি তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল এবং অর্ধেক দৈর্ঘ্যের।
কারণ রেখাংশটি তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল, কোণ 1 এবং 3 হল সর্বসঙ্গত সংশ্লিষ্ট কোণ। এবং কোণ 1 এবং 2 একই-পার্শ্বের অভ্যন্তরীণ কোণ, তাই তারা সম্পূরক, যার অর্থ তাদের পরিমাপের যোগফল 180 ডিগ্রি। যেহেতু $latexangle$1 হল $latexangle$3 এর সাথে সঙ্গতিপূর্ণ, তার মানে কোণ 3 এবং 2ও সম্পূরক।
এইভাবে, আপনি যখন উপরের ত্রিভুজটিকে চারপাশে এবং ডানদিকে ফ্লিপ করবেন, তখন সর্বসম বাহুগুলি পুরোপুরি মিলবে এবং কোণ 2 এবং 3 একটি সরল রেখা তৈরি করবে।
এটি ত্রিভুজটিকে একটি সমান্তরালগ্রামে পরিণত করে, যা আমরা ইতিমধ্যে জানি, একটি আয়তক্ষেত্রে পরিণত হতে পারে।
উত্তর 3 এর জন্য ক্লিক করুন:
থেকে বিএক্সওয়াইজেড একটি আয়তক্ষেত্র, উভয়ই $latexangle$ জেডবিসি এবং $latexangle$ জেডওয়াইক্স সমকোণ হয় এবং যেহেতু একটি আয়তক্ষেত্রের বিপরীত বাহুগুলি সমান্তরাল, এটি $latexangle$ তৈরি করে YQX $latexangle$ এর সাথে সঙ্গতিপূর্ণ এএক্সবি, যেহেতু তারা বিকল্প অভ্যন্তরীণ কোণ। এইভাবে $latextriangle$ XYQ $latextriangle$ এর মত ABX কোণ-কোণ সাদৃশ্য দ্বারা। অনুরূপ ত্রিভুজগুলিতে বাহুগুলি অনুপাতে থাকে, তাই $latex frac{XY}{AB} = frac{QY}{BX}$। এইভাবে, $latex frac{h}{hw} = frac{QY}{w}$, এবং তাই QY = 1. লক্ষ্য করুন যে, যেহেতু $latexangle$ এডিসি একটি সমকোণ এবং $লেটেক্স কোণ$ ড্যাপ এবং $latex angle$ YQX সঙ্গতিপূর্ণ কোণ, এটি $latex ত্রিভুজ $ তৈরি করে ড্যাপ $latextriangle$ এর সাথে সঙ্গতিপূর্ণ YQX. এটি প্রমাণ করে যে আপনি $latextriangle$ স্লাইড করতে পারেন YQX বর্তমানে $latex triangle$ দ্বারা দখলকৃত স্থানে ড্যাপ, যেমন কাঁচি কনগ্রুয়েন্স আর্গুমেন্টে প্রয়োজন।
উত্তর 4 এর জন্য ক্লিক করুন:
লক্ষ করুন যে $latex angle$ AZQ এবং $latexangle$ PCX উভয়ই সমকোণ, এবং এইভাবে সঙ্গতিপূর্ণ। ব্যায়াম 3-এর মতো সমান্তরাল রেখার বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে, আমরা $ল্যাটেক্স কোণ$ও দেখতে পারি AQZ এবং $latex angle$ PXC সঙ্গতিপূর্ণ অনুরূপ কোণ। এছাড়াও অনুশীলন 3 এ, আমরা তা দেখিয়েছি QY = 1. এটা তোলে QZ = w − 1, যা ঠিক কি CX সমান. এইভাবে, $latex triangle$ PCX $latex triangle$ এর সাথে সঙ্গতিপূর্ণ AZQ কোণ-পার্শ্ব-কোণ ত্রিভুজ একসঙ্গে। এটি যুক্তির অন্য অংশটিকে সমর্থন করে যে একটি h × w আয়তক্ষেত্র হল কাঁচি একটির সাথে সঙ্গতিপূর্ণ hw × 1 আয়তক্ষেত্র।
