ভূমিকা
2012 সালে, গণিতবিদ শিনিচি মোচিজুকি দাবি করেছিলেন যে তিনি এর সমাধান করেছেন অ আ ক খ অনুমান, যোগ এবং গুণের মধ্যে সম্পর্ক সম্পর্কে সংখ্যা তত্ত্বের একটি প্রধান উন্মুক্ত প্রশ্ন। শুধু একটি সমস্যা ছিল: তার প্রমাণ, যা 500 পৃষ্ঠার বেশি দীর্ঘ ছিল, সম্পূর্ণরূপে দুর্ভেদ্য ছিল। এটি নতুন সংজ্ঞা, স্বরলিপি এবং তত্ত্বগুলির একটি ছিদ্রের উপর নির্ভর করে যা প্রায় সমস্ত গণিতবিদদের কাছে উপলব্ধি করা অসম্ভব বলে মনে হয়েছিল। কয়েক বছর পরে, যখন দুই গণিতবিদ প্রমাণের বড় অংশকে আরও পরিচিত পদে অনুবাদ করেছিলেন, তখন তারা নির্দেশ করেছিলেন যে একটি "গুরুতর, অনির্ধারিত ফাঁক"এর যুক্তিতে - শুধুমাত্র মোচিজুকির জন্য তাদের যুক্তি প্রত্যাখ্যান করার জন্য যে তারা কেবল তার কাজ বুঝতে ব্যর্থ হয়েছে।
ঘটনাটি একটি মৌলিক প্রশ্ন উত্থাপন করে: একটি গাণিতিক প্রমাণ কী? আমরা এটিকে কিছু চিরন্তন সত্যের উদ্ঘাটন হিসাবে ভাবি, তবে সম্ভবত এটি একটি সামাজিক নির্মাণের কিছু হিসাবে আরও ভালভাবে বোঝা যায়।
অ্যান্ড্রু গ্র্যানভিল, মন্ট্রিল বিশ্ববিদ্যালয়ের একজন গণিতবিদ, সম্প্রতি এটি সম্পর্কে অনেক চিন্তাভাবনা করছেন। তাঁর কিছু লেখার বিষয়ে একজন দার্শনিকের সাথে যোগাযোগ করার পরে, "আমরা কীভাবে আমাদের সত্যে পৌঁছলাম তা নিয়ে আমি ভাবতে পেরেছি," তিনি বলেছিলেন। "এবং একবার আপনি সেই দরজায় ধাক্কা দিতে শুরু করলে, আপনি এটি একটি বিশাল বিষয় খুঁজে পান।"
গ্র্যানভিল ছোটবেলা থেকেই পাটিগণিত উপভোগ করতেন, কিন্তু তিনি কখনই গণিত গবেষণায় ক্যারিয়ারের কথা বিবেচনা করেন না কারণ তিনি জানতেন না যে এমন একটি জিনিস আছে। "আমার বাবা 14 বছর বয়সে স্কুল ছেড়েছিলেন, আমার মা 15 বা 16 বছর বয়সে," তিনি বলেছিলেন। "তারা লন্ডনের তখনকার শ্রমিক-শ্রেণির এলাকাতে জন্মগ্রহণ করেছিল এবং বিশ্ববিদ্যালয় তারা যতটা সম্ভব দেখেছিল তার বাইরে ছিল। তাই আমাদের কোনো ধারণা ছিল না।”
ক্যামব্রিজ বিশ্ববিদ্যালয় থেকে স্নাতক হওয়ার পর, যেখানে তিনি গণিত অধ্যয়ন করেছিলেন, তিনি মানিয়ে নিতে শুরু করেছিলেন র্যাচেল পেপারস, মার্টিন অ্যামিসের একটি উপন্যাস, একটি চিত্রনাট্য। প্রকল্পে কাজ করার সময় এবং তহবিল খোঁজার সময়, তিনি একটি ডেস্ক জব নেওয়া এড়াতে চেয়েছিলেন - তিনি হাই স্কুল এবং কলেজের মধ্যে একটি ব্যবধানে একটি বীমা কোম্পানিতে কাজ করেছিলেন এবং এতে ফিরে যেতে চাননি - "তাই আমি গিয়েছিলাম গ্রেড স্কুলে, "তিনি বলেছিলেন। চলচ্চিত্রটি কখনই মাটিতে পড়েনি (উপন্যাসটি পরে স্বাধীনভাবে একটি চলচ্চিত্রে পরিণত হয়েছিল), তবে গ্র্যানভিল গণিতে স্নাতকোত্তর ডিগ্রি অর্জন করেন এবং তারপরে তার ডক্টরেট সম্পন্ন করতে কানাডায় চলে যান। সে কখনো ফিরে তাকায়নি।
ভূমিকা
"এটি সত্যিই একটি দু: সাহসিক কাজ ছিল," তিনি বলেন. “আমি সত্যিই খুব বেশি আশা করতে যাইনি। আমি আসলেই জানতাম না পিএইচডি কি? ছিল।"
তারপরের দশকগুলিতে, তিনি 175 টিরও বেশি গবেষণাপত্র লিখেছেন, বেশিরভাগই সংখ্যা তত্ত্বে। তিনি জনপ্রিয় দর্শকদের জন্য গণিত সম্পর্কে লেখার জন্যও সুপরিচিত হয়েছেন: 2019 সালে, তিনি একটি সহ-লেখক গ্রাফিক উপন্যাস তার বড় বোন জেনিফার, একজন চিত্রনাট্যকারের সাথে মৌলিক সংখ্যা এবং সম্পর্কিত ধারণা সম্পর্কে। গত মাসে, তার একটি গবেষণাপত্র ছিল “আমরা কীভাবে আমাদের সত্যে পৌঁছেছি” প্রকাশিত গণিত এবং দর্শনের ইতিহাসে। এবং অন্যান্য গণিতবিদ, কম্পিউটার বিজ্ঞানী এবং দার্শনিকদের সাথে, তিনি আগামী বছরের নিবন্ধগুলির একটি সংগ্রহ প্রকাশ করার পরিকল্পনা করছেন। আমেরিকান ম্যাথমেটিকাল সোসাইটির বুলেটিন কিভাবে মেশিন গণিত পরিবর্তন করতে পারে সম্পর্কে.
কোয়ান্টা গ্র্যানভিলের সাথে গাণিতিক প্রমাণের প্রকৃতি সম্পর্কে কথা বলেছেন — প্রমাণগুলি কীভাবে কাজ করে তাদের সম্পর্কে জনপ্রিয় ভুল ধারণা থেকে শুরু করে, কৃত্রিম বুদ্ধিমত্তার যুগে কীভাবে প্রমাণ লেখার বিকাশ হতে পারে। সাক্ষাত্কারটি সম্পাদনা করা হয়েছে এবং স্পষ্টতার জন্য সংক্ষিপ্ত করা হয়েছে।
আপনি সম্প্রতি গাণিতিক প্রমাণের প্রকৃতির উপর একটি গবেষণাপত্র প্রকাশ করেছেন। কেন আপনি সিদ্ধান্ত নিলেন যে এই বিষয়ে লিখতে হবে?
গণিতবিদরা কীভাবে গবেষণা করেন তা সাধারণত জনপ্রিয় মিডিয়াতে ভালভাবে চিত্রিত হয় না। লোকেরা গণিতকে এই বিশুদ্ধ অনুসন্ধান হিসাবে দেখতে থাকে, যেখানে আমরা কেবল বিশুদ্ধ চিন্তার দ্বারা মহান সত্যে পৌঁছাই। কিন্তু গণিত হল অনুমান সম্পর্কে — প্রায়ই ভুল অনুমান। এটি একটি পরীক্ষামূলক প্রক্রিয়া। আমরা পর্যায়ক্রমে শিখি।
উদাহরণস্বরূপ, যখন রিম্যান হাইপোথিসিসটি 1859 সালে একটি কাগজে প্রথম প্রকাশিত হয়েছিল, তখন এটি জাদুর মতো ছিল: এখানে এই আশ্চর্যজনক অনুমান, কোথাও নেই। 70 বছর ধরে, লোকেরা কেবল বিশুদ্ধ চিন্তার দ্বারা একজন মহান চিন্তাবিদ কী করতে পারে তা নিয়ে কথা বলেছিল। তারপর গণিতবিদ কার্ল সিগেল গটিংজেন আর্কাইভগুলিতে রিম্যানের স্ক্র্যাচ নোটগুলি খুঁজে পান। রিম্যান আসলে রিম্যান জেটা ফাংশনের শূন্যের গণনার পৃষ্ঠাগুলি করেছিলেন। সিগেলের বিখ্যাত কথা ছিল, "একা বিশুদ্ধ চিন্তার জন্য এত কিছু।"
সুতরাং গণিত সম্পর্কে লোকেরা যেভাবে লেখেন - বিশেষ করে কিছু দার্শনিক এবং ইতিহাসবিদদের মধ্যে এই উত্তেজনা রয়েছে। তারা মনে করে যে আমরা কিছু খাঁটি যাদুকর প্রাণী, বিজ্ঞানের কিছু ইউনিকর্ন। কিন্তু আমরা না, সাধারণত. এটা খুব কমই একা একা বিশুদ্ধ চিন্তা.
ভূমিকা
গণিতবিদরা যা করেন তা আপনি কীভাবে চিহ্নিত করবেন?
গণিত সংস্কৃতি সব প্রমাণ সম্পর্কে. আমরা চারপাশে বসে চিন্তা করি এবং আমরা যা করি তার 95% প্রমাণ। প্রমাণের সাথে লড়াই করে এবং যখন আমরা তাদের সাথে লড়াই করি তখন যে সমস্যাগুলি আসে তা ব্যাখ্যা করার মাধ্যমে আমরা প্রচুর বোঝাপড়া অর্জন করি।
আমরা প্রায়শই একটি প্রমাণকে গাণিতিক যুক্তি হিসাবে মনে করি। যৌক্তিক পদক্ষেপের একটি সিরিজের মাধ্যমে, এটি প্রমাণ করে যে একটি প্রদত্ত বিবৃতি সত্য। কিন্তু আপনি লিখছেন যে এটিকে বিশুদ্ধ, বস্তুনিষ্ঠ সত্য বলে ভুল করা উচিত নয়। এর মানে কি বোঝাতে চাচ্ছো?
একটি প্রমাণের মূল বিষয় হল একটি দাবির সত্যতা সম্পর্কে পাঠককে প্ররোচিত করা। তার মানে যাচাই করাটাই মুখ্য। গণিতে আমাদের যে সর্বোত্তম যাচাইকরণ ব্যবস্থা রয়েছে তা হল অনেক লোক একটি প্রমাণকে বিভিন্ন দৃষ্টিকোণ থেকে দেখে, এবং এটি এমন একটি প্রেক্ষাপটে ভালভাবে ফিট করে যা তারা জানে এবং বিশ্বাস করে। কিছু অর্থে, আমরা বলছি না যে আমরা জানি এটি সত্য। আমরা বলছি আমরা আশা করি এটি সঠিক, কারণ অনেক লোক এটি বিভিন্ন দৃষ্টিকোণ থেকে চেষ্টা করেছে৷ প্রমাণ এই সম্প্রদায়ের মান দ্বারা গৃহীত হয়.
তারপরে বস্তুনিষ্ঠতার এই ধারণাটি রয়েছে - যা দাবি করা হয়েছে তা সঠিক তা নিশ্চিত হওয়া, আপনার কাছে চূড়ান্ত সত্য রয়েছে বলে মনে করা। কিন্তু কিভাবে আমরা জানতে পারি যে আমরা উদ্দেশ্য করছি? আপনি যে প্রেক্ষাপটে একটি বিবৃতি দিয়েছেন তা থেকে নিজেকে সরিয়ে নেওয়া কঠিন - সমাজ দ্বারা যে দৃষ্টান্ত স্থাপন করা হয়েছে তার বাইরে একটি দৃষ্টিভঙ্গি থাকা। এটি বৈজ্ঞানিক ধারণার ক্ষেত্রে যেমন সত্য তেমনি অন্য যেকোনো কিছুর ক্ষেত্রেও এটি সত্য।
গণিতে বস্তুনিষ্ঠভাবে আকর্ষণীয় বা গুরুত্বপূর্ণ কী তা জিজ্ঞাসা করতে পারেন। কিন্তু এটাও স্পষ্টভাবে বিষয়ভিত্তিক। কেন আমরা শেক্সপিয়রকে একজন ভালো লেখক বলে মনে করি? শেক্সপিয়ার তার নিজের সময়ে আজকের মতো জনপ্রিয় ছিলেন না। কোনটি আকর্ষণীয়, কোনটি গুরুত্বপূর্ণ তার চারপাশে স্পষ্টতই সামাজিক প্রথা রয়েছে। এবং এটি বর্তমান দৃষ্টান্তের উপর নির্ভর করে।
ভূমিকা
গণিত, যে মত দেখায় কি?
প্যারাডাইম পরিবর্তনের সবচেয়ে বিখ্যাত উদাহরণগুলির মধ্যে একটি হল ক্যালকুলাস। যখন ক্যালকুলাস আবিষ্কৃত হয়েছিল, তখন এর সাথে শূন্যের দিকে যাচ্ছে এমন কিছুকে অন্য কিছু দিয়ে ভাগ করা জড়িত ছিল যা শূন্যের দিকে যাচ্ছে — যা শূন্যকে শূন্য দিয়ে ভাগ করে, যার কোনো অর্থ নেই। প্রাথমিকভাবে, নিউটন এবং লাইবনিজ অসীম নামক বস্তু নিয়ে এসেছিলেন। এটি তাদের সমীকরণগুলিকে কার্যকর করেছে, কিন্তু আজকের মান অনুসারে এটি বোধগম্য বা কঠোর ছিল না।
আমাদের কাছে এখন এপিসিলন-ডেল্টা ফর্মুলেশন রয়েছে, যা 19 শতকের শেষের দিকে চালু হয়েছিল। এই আধুনিক ফর্মুলেশনটি এতই অত্যাশ্চর্য, স্পষ্টতই এই ধারণাগুলিকে সঠিকভাবে পাওয়ার জন্য ভাল যে আপনি যখন পুরানো ফর্মুলেশনগুলি দেখেন, তখন আপনি মনে করেন, তারা কী ভাবছিল? কিন্তু সেই সময়ে, আপনি এটি করতে পারেন এমন একমাত্র উপায় হিসাবে বিবেচিত হয়েছিল। লাইবনিজ এবং নিউটনের কাছে ন্যায্য হতে, তারা সম্ভবত আধুনিক উপায় পছন্দ করত। তাদের যুগের দৃষ্টান্তের কারণে তারা এটা করতে ভাবেনি। তাই সেখানে পৌঁছাতে শুধু ভয়ঙ্করভাবে দীর্ঘ সময় লেগেছে।
সমস্যা হল, আমরা জানি না কখন আমরা এমন আচরণ করছি। আমরা যে সমাজে আছি সেই সমাজে আমরা আটকে আছি। আমরা কী অনুমান করছি তা বলার জন্য আমাদের কাছে বাইরের দৃষ্টিভঙ্গি নেই। গণিতের বিপদগুলির মধ্যে একটি হল যে আপনি কোনো কিছুকে গুরুত্বপূর্ণ নয় বলে ধারণা করতে পারেন কারণ আপনি যে ভাষা ব্যবহার করতে বেছে নিয়েছেন তাতে এটি সহজে প্রকাশ বা আলোচনা করা যায় না। এর মানে এই নয় যে আপনি সঠিক।
আমি ডেসকার্টসের এই উদ্ধৃতিটি সত্যিই পছন্দ করি, যেখানে তিনি মূলত বলেছেন: "আমি মনে করি আমি ত্রিভুজ সম্পর্কে যা জানার সবকিছুই জানি, কিন্তু কে বলবে আমি তা করব? আমি বলতে চাচ্ছি, ভবিষ্যতে কেউ একটি আমূল ভিন্ন দৃষ্টিকোণ নিয়ে আসতে পারে, যা একটি ত্রিভুজ সম্পর্কে চিন্তা করার আরও ভাল উপায়ের দিকে পরিচালিত করে।" এবং আমি মনে করি তিনি সঠিক. আপনি গণিতে তা দেখতে পান।
আপনি যেমন আপনার কাগজে লিখেছেন, আপনি একটি প্রমাণকে একটি সামাজিক কম্প্যাক্ট হিসাবে ভাবতে পারেন — লেখক এবং তাদের গাণিতিক সম্প্রদায়ের মধ্যে এক ধরণের পারস্পরিক চুক্তি। আমরা মোচিজুকির দাবিকৃত প্রমাণ সহ এটি কাজ না করার একটি চরম উদাহরণ দেখেছি অ আ ক খ অনুমান
এটা চরম, কারণ Mochizuki গেমটি যেভাবে খেলা হয়েছে সেভাবে খেলতে চায়নি। তিনি অস্পষ্ট হতে এই পছন্দ করেছেন. যখন লোকেরা সত্যিই নতুন এবং কঠিন ধারণা নিয়ে বড় সাফল্য অর্জন করে, তখন আমি মনে করি যে তাদের ধারণাগুলি যতটা সম্ভব অ্যাক্সেসযোগ্য উপায়ে ব্যাখ্যা করার মাধ্যমে অন্য লোকেদেরকে অন্তর্ভুক্ত করার চেষ্টা করা এবং অন্তর্ভুক্ত করা তাদের দায়িত্ব। এবং তিনি আরও পছন্দ করেছিলেন, ভাল, আমি যেভাবে লিখেছি আপনি যদি এটি পড়তে না চান তবে এটি আমার সমস্যা নয়। তিনি যে খেলাটি খেলতে চান তা খেলার অধিকার রয়েছে। কিন্তু সম্প্রদায়ের সাথে এর কোন সম্পর্ক নেই। আমরা যেভাবে উন্নতি করি তার সাথে এর কোনো সম্পর্ক নেই।
ভূমিকা
যদি একটি সামাজিক প্রেক্ষাপটে প্রমাণ বিদ্যমান থাকে, তাহলে সময়ের সাথে সাথে তারা কীভাবে পরিবর্তিত হয়েছে?
এটি সব অ্যারিস্টটল দিয়ে শুরু হয়। তিনি বলেছিলেন যে কিছু ধরণের ডিডাক্টিভ সিস্টেম থাকা দরকার - যে আপনি কেবলমাত্র নতুন জিনিসগুলিকে আপনি ইতিমধ্যেই জানেন এবং নিশ্চিত, নির্দিষ্ট কিছু "আদিম বিবৃতি" বা স্বতঃসিদ্ধগুলিতে ফিরে গিয়ে তাদের উপর ভিত্তি করে প্রমাণ করতে পারেন।
তাহলে প্রশ্ন হল: সেই মৌলিক জিনিসগুলো কী যা আপনি সত্য বলে জানেন? অনেক দিন ধরে, লোকেরা শুধু বলেছিল, আচ্ছা, একটি লাইন একটি লাইন, একটি বৃত্ত একটি বৃত্ত; কিছু জিনিস আছে যা সহজ এবং সুস্পষ্ট, এবং সেই অনুমানগুলিই আমরা শুরু করি।
সেই দৃষ্টিভঙ্গি চিরকাল স্থায়ী হয়েছে। এটা অনেকাংশে আজও আছে। কিন্তু ইউক্লিডীয় স্বতঃসিদ্ধ সিস্টেম যেটি বিকশিত হয়েছিল - "একটি লাইন একটি লাইন" - এর সমস্যা ছিল। বার্ট্রান্ড রাসেল একটি সেটের ধারণার উপর ভিত্তি করে এই প্যারাডক্সগুলি আবিষ্কার করেছিলেন। তদুপরি, কেউ গাণিতিক ভাষার সাথে শব্দের গেম খেলতে পারে, "এই বিবৃতিটি মিথ্যা" (যদি এটি সত্য হয় তবে এটি মিথ্যা; যদি এটি মিথ্যা হয় তবে এটি সত্য) এর মতো সমস্যাযুক্ত বিবৃতি তৈরি করতে পারে যা নির্দেশ করে যে স্বতঃসিদ্ধ সিস্টেমে সমস্যা রয়েছে৷
তাই রাসেল এবং আলফ্রেড হোয়াইটহেড গণিত করার একটি নতুন সিস্টেম তৈরি করার চেষ্টা করেছিলেন যা এই সমস্ত সমস্যাগুলি এড়াতে পারে। কিন্তু এটা হাস্যকরভাবে জটিল ছিল, এবং এটা বিশ্বাস করা কঠিন ছিল যে এগুলো থেকে শুরু করা সঠিক আদিম। এতে কেউ স্বাচ্ছন্দ্যবোধ করত না। 2 + 2 = 4 প্রমাণ করার মত কিছু শুরু বিন্দু থেকে বিশাল পরিমাণ স্থান নিয়েছে। এই ধরনের সিস্টেমের বিন্দু কি?
তারপরে ডেভিড হিলবার্ট এসেছিলেন এবং এই আশ্চর্যজনক ধারণাটি পেয়েছিলেন: যে সম্ভবত আমাদের কাউকে বলা উচিত নয় যে ঠিক কী দিয়ে শুরু করা উচিত। পরিবর্তে, যেকোন কিছু কাজ করে - একটি সূচনা বিন্দু যা সহজ, সুসংগত এবং সামঞ্জস্যপূর্ণ - অন্বেষণ করার যোগ্য। আপনি আপনার স্বতঃসিদ্ধ থেকে দুটি জিনিস অনুমান করতে পারবেন না যা একে অপরের বিপরীত, এবং আপনি নির্বাচিত স্বতঃসিদ্ধের পরিপ্রেক্ষিতে গণিতের বেশিরভাগ বর্ণনা করতে সক্ষম হবেন। কিন্তু আপনি একটি অগ্রাধিকার তারা কি বলা উচিত নয়.
এটিও গণিতের বস্তুনিষ্ঠ সত্য সম্পর্কে আমাদের আগের আলোচনার সাথে খাপ খায় বলে মনে হয়। সুতরাং 20 শতকের শুরুতে, গণিতবিদরা বুঝতে পেরেছিলেন যে স্বতঃসিদ্ধ সিস্টেমের বহুত্ব থাকতে পারে - যে একটি স্বতঃসিদ্ধ সেটকে সর্বজনীন বা স্ব-প্রকাশিত সত্য হিসাবে নেওয়া উচিত নয়?
ঠিক। এবং আমার বলা উচিত, হিলবার্ট বিমূর্ত কারণে এটি করা শুরু করেননি। তিনি জ্যামিতির বিভিন্ন ধারণার প্রতি খুব আগ্রহী ছিলেন: নন-ইউক্লিডীয় জ্যামিতি। এটা খুব বিতর্কিত ছিল. তখনকার মানুষের মনে ছিল, আপনি যদি আমাকে একটি বাক্সের কোণে ঘুরে আসা একটি লাইনের এই সংজ্ঞা দেন, তাহলে পৃথিবীতে আমি কেন আপনার কথা শুনব? এবং হিলবার্ট বলেছিলেন যে তিনি যদি এটিকে সুসংগত এবং সামঞ্জস্যপূর্ণ করতে পারেন তবে আপনার শোনা উচিত, কারণ এটি আরেকটি জ্যামিতি হতে পারে যা আমাদের বুঝতে হবে। এবং দৃষ্টিভঙ্গির এই পরিবর্তন - যে আপনি যে কোনও স্বতঃসিদ্ধ সিস্টেমকে অনুমতি দিতে পারেন - শুধুমাত্র জ্যামিতির ক্ষেত্রে প্রযোজ্য নয়; এটি গণিতের সমস্ত ক্ষেত্রে প্রযোজ্য।
তবে অবশ্যই, কিছু জিনিস অন্যদের চেয়ে বেশি দরকারী। তাই আমাদের অধিকাংশই একই 10টি স্বতঃসিদ্ধ নিয়ে কাজ করে, ZFC নামক একটি সিস্টেম।
যা এটি থেকে কী অনুমান করা যায় এবং কী করা যায় না সেই প্রশ্নের দিকে নিয়ে যায়। কন্টিনিউম হাইপোথিসিসের মতো বিবৃতি আছে, যা ZFC ব্যবহার করে প্রমাণ করা যায় না। একটি 11 তম স্বতঃসিদ্ধ থাকতে হবে। এবং আপনি উভয় উপায়ে এটি সমাধান করতে পারেন, কারণ আপনি আপনার স্বতঃসিদ্ধ সিস্টেম চয়ন করতে পারেন। এটা বেশ সুন্দর. আমরা এই ধরণের বহুত্বের সাথে চালিয়ে যাচ্ছি। কোনটা ঠিক, কোনটা ভুল তা স্পষ্ট নয়। কার্ট গোডেলের মতে, আমাদের এখনও স্বাদের উপর ভিত্তি করে পছন্দ করতে হবে এবং আমরা আশা করি ভাল স্বাদ পাব। আমাদের এমন কিছু করা উচিত যা অর্থপূর্ণ। এবং আমরা করি।
গোডেলের কথা বলতে গেলে, তিনি এখানেও বেশ বড় ভূমিকা পালন করেন।
গণিত নিয়ে আলোচনা করার জন্য, আপনার একটি ভাষা প্রয়োজন, এবং সেই ভাষায় অনুসরণ করার জন্য একটি নিয়মের সেট। 1930-এর দশকে, গোডেল প্রমাণ করেছিলেন যে আপনি যেভাবেই আপনার ভাষা নির্বাচন করুন না কেন, সেই ভাষায় সর্বদা বিবৃতি থাকে যা সত্য কিন্তু আপনার শুরুর স্বতঃসিদ্ধ থেকে প্রমাণ করা যায় না। এটি আসলে এর চেয়ে আরও জটিল, কিন্তু তবুও, আপনার কাছে এই দার্শনিক দ্বিধা রয়েছে: আপনি যদি এটিকে ন্যায়সঙ্গত করতে না পারেন তবে একটি সত্য বিবৃতি কী? এটা পাগলামী.
তাই একটি বড় বিশৃঙ্খলা আছে. আমরা যা করতে পারি তাতে সীমাবদ্ধ।
পেশাদার গণিতবিদরা মূলত এটিকে উপেক্ষা করেন। আমরা যা সম্ভব তার উপর ফোকাস করি। পিটার সারনাক যেমন বলতে পছন্দ করেন, "আমরা কর্মজীবী মানুষ।" আমরা এগিয়ে যাই এবং আমরা যা পারি তা প্রমাণ করার চেষ্টা করি।
ভূমিকা
এখন, শুধু কম্পিউটার নয়, এমনকি এআই ব্যবহার করে, প্রমাণের ধারণা কীভাবে বদলে যাচ্ছে?
আমরা একটি ভিন্ন জায়গায় চলে এসেছি, যেখানে কম্পিউটার কিছু বন্য জিনিস করতে পারে। এখন লোকেরা বলে, ওহ, আমরা এই কম্পিউটারটি পেয়েছি, এটি এমন কিছু করতে পারে যা মানুষ করতে পারে না। কিন্তু এটা কি? এটা কি আসলে এমন কিছু করতে পারে যা মানুষ করতে পারে না? 1950 এর দশকে, অ্যালান টুরিং বলেছিলেন যে একটি কম্পিউটার এমনভাবে তৈরি করা হয়েছে যা মানুষ করতে পারে, কেবল দ্রুত। খুব একটা পরিবর্তন হয়নি।
কয়েক দশক ধরে, গণিতবিদরা কম্পিউটার ব্যবহার করে আসছেন - এমন গণনা করতে যা তাদের বোঝার গাইড করতে সাহায্য করতে পারে, উদাহরণস্বরূপ। এআই যা করতে পারে তা হল আমরা যা সত্য বলে বিশ্বাস করি তা যাচাই করা। প্রমাণ যাচাইয়ের সাথে কিছু ভয়ঙ্কর উন্নয়ন ঘটেছে। যেমন [প্রুফ অ্যাসিস্ট্যান্ট] লীন, যা গণিতবিদদের অনেক প্রমাণ যাচাই করার অনুমতি দিয়েছে, পাশাপাশি লেখকদের তাদের নিজস্ব কাজ আরও ভালভাবে বুঝতে সাহায্য করেছে, কারণ যাচাইয়ের জন্য লীনে খাওয়ানোর জন্য তাদের কিছু ধারণাকে সহজ ধাপে ভেঙে দিতে হবে।
কিন্তু এই নির্বোধ? একটি প্রমাণ একটি প্রমাণ শুধুমাত্র কারণ Lean এটা এক সম্মত? কিছু উপায়ে, এটি লোকেদের মতোই ভাল যারা প্রমাণটিকে লীনের জন্য ইনপুটগুলিতে রূপান্তর করে। যা আমরা ঐতিহ্যগত গণিত কিভাবে খুব মত শোনাচ্ছে. তাই আমি বলছি না যে আমি বিশ্বাস করি যে লীনের মতো কিছু অনেক ভুল করতে যাচ্ছে। আমি নিশ্চিত নই যে এটি মানুষের দ্বারা করা বেশিরভাগ জিনিসের চেয়ে বেশি নিরাপদ।
আমি ভয় পাচ্ছি কম্পিউটারের ভূমিকা নিয়ে আমার অনেক সংশয় আছে। জিনিসগুলি সঠিকভাবে পাওয়ার জন্য এগুলি একটি খুব মূল্যবান হাতিয়ার হতে পারে - বিশেষ করে গণিত যাচাই করার জন্য যা নতুন সংজ্ঞাগুলির উপর নির্ভর করে যা প্রথম দর্শনে বিশ্লেষণ করা সহজ নয়। আমাদের অস্ত্রাগারে নতুন দৃষ্টিভঙ্গি, নতুন সরঞ্জাম এবং নতুন প্রযুক্তি থাকা সহায়ক তা নিয়ে কোনো বিতর্ক নেই। কিন্তু আমি যে ধারণা থেকে দূরে সরে যাচ্ছি তা হল আমাদের এখন নিখুঁত লজিক্যাল মেশিন থাকবে যা সঠিক উপপাদ্য তৈরি করে।
আপনাকে স্বীকার করতে হবে যে আমরা নিশ্চিত হতে পারি না যে জিনিসগুলি কম্পিউটারের সাথে সঠিক। আমাদের ভবিষ্যতকে সম্প্রদায়ের অনুভূতির উপর নির্ভর করতে হবে যা আমরা বিজ্ঞানের ইতিহাস জুড়ে নির্ভর করেছি: যে আমরা একে অপরের থেকে জিনিসগুলিকে উড়িয়ে দিয়েছি। যে আমরা এমন লোকদের সাথে কথা বলি যারা একই জিনিসকে সম্পূর্ণ ভিন্ন দৃষ্টিকোণ থেকে দেখে। ইত্যাদি।
আপনি ভবিষ্যতে এটি কোথায় দেখতে পাচ্ছেন, যদিও, এই প্রযুক্তিগুলি আরও পরিশীলিত হওয়ার কারণে?
সম্ভবত এটি একটি প্রমাণ তৈরি করতে সহায়তা করতে পারে। হয়তো পাঁচ বছরের মধ্যে, আমি ChatGPT-এর মতো একটি AI মডেলকে বলব, “আমি নিশ্চিত যে আমি এটি কোথাও দেখেছি। আপনি কি এটা পরীক্ষা করে দেখবেন?" এবং এটি একটি অনুরূপ বিবৃতি যে সঠিক সঙ্গে ফিরে আসবে.
এবং তারপরে একবার এটি খুব, খুব ভাল হয়ে গেলে, সম্ভবত আপনি আরও এক ধাপ এগিয়ে যেতে পারেন এবং বলতে পারেন, "আমি জানি না কিভাবে এটি করতে হয়, কিন্তু কেউ কি এমন কিছু করেছে?" সম্ভবত শেষ পর্যন্ত একটি এআই মডেল সাহিত্য অনুসন্ধান করার জন্য দক্ষ উপায় খুঁজে পেতে পারে যা অন্য কোথাও ব্যবহার করা হয়েছে এমন সরঞ্জামগুলি বহন করার জন্য - এমনভাবে যা একজন গণিতবিদ পূর্বাভাস নাও পেতে পারেন।
যাইহোক, আমি বুঝতে পারছি না কিভাবে চ্যাটজিপিটি একটি নির্দিষ্ট স্তরের বাইরে গিয়ে প্রমাণ করতে পারে যা আমাদেরকে ছাড়িয়ে যায়। ChatGPT এবং অন্যান্য মেশিন লার্নিং প্রোগ্রামের কথা ভাবছি না। তারা অনেক উদাহরণের উপর ভিত্তি করে শব্দ সমিতি ব্যবহার করছে। তাই এটা অসম্ভাব্য যে তারা তাদের প্রশিক্ষণ তথ্য অতিক্রম করবে. কিন্তু যদি তা ঘটতে থাকে, তাহলে গণিতবিদরা কী করবেন? আমরা যা করি তার অনেকটাই প্রমাণ। আপনি যদি আমাদের কাছ থেকে প্রমাণগুলি নিয়ে যান, আমি নিশ্চিত নই যে আমরা কে হব।
যাই হোক না কেন, যখন আমরা চিন্তা করি যে আমরা কোথায় কম্পিউটার সহায়তা নিতে যাচ্ছি, তখন আমাদের মানব প্রচেষ্টা থেকে আমরা যে সমস্ত পাঠ শিখেছি তা বিবেচনায় নিতে হবে: বিভিন্ন ভাষা ব্যবহার করার গুরুত্ব, একসাথে কাজ করা, বিভিন্ন দৃষ্টিভঙ্গি বহন করা। একটি দৃঢ়তা আছে, একটি স্বাস্থ্য, কিভাবে বিভিন্ন সম্প্রদায় একত্রিত হয়ে কাজ করতে এবং একটি প্রমাণ বুঝতে পারে। যদি আমরা গণিতে কম্পিউটার সহায়তা পেতে যাচ্ছি, আমাদের একইভাবে এটিকে সমৃদ্ধ করতে হবে।
- এসইও চালিত বিষয়বস্তু এবং পিআর বিতরণ। আজই পরিবর্ধিত পান।
- PlatoData.Network উল্লম্ব জেনারেটিভ Ai. নিজেকে ক্ষমতায়িত করুন। এখানে প্রবেশ করুন.
- প্লেটোএআইস্ট্রিম। Web3 ইন্টেলিজেন্স। জ্ঞান প্রসারিত. এখানে প্রবেশ করুন.
- প্লেটোইএসজি। মোটরগাড়ি / ইভি, কার্বন, ক্লিনটেক, শক্তি, পরিবেশ সৌর, বর্জ্য ব্যবস্থাপনা. এখানে প্রবেশ করুন.
- প্লেটো হেলথ। বায়োটেক এবং ক্লিনিক্যাল ট্রায়াল ইন্টেলিজেন্স। এখানে প্রবেশ করুন.
- চার্টপ্রাইম। ChartPrime এর সাথে আপনার ট্রেডিং গেমটি উন্নত করুন। এখানে প্রবেশ করুন.
- ব্লকঅফসেট। পরিবেশগত অফসেট মালিকানার আধুনিকীকরণ। এখানে প্রবেশ করুন.
- উত্স: https://www.quantamagazine.org/why-mathematical-proof-is-a-social-compact-20230831/
- : আছে
- : হয়
- :না
- :কোথায়
- [পৃ
- $ ইউপি
- 10
- 14
- 15%
- 16
- 2012
- 2019
- 500
- 70
- 95%
- a
- সক্ষম
- সম্পর্কে
- বিমূর্ত
- গৃহীত
- প্রবেশযোগ্য
- অনুযায়ী
- হিসাব
- স্বীকার করা
- প্রকৃতপক্ষে
- যোগ
- দু: সাহসিক কাজ
- ভীত
- পর
- বয়স
- চুক্তি
- AI
- অ্যালান
- এলান টুরিং
- সব
- অনুমতি
- অনুমতি
- একা
- বরাবর
- ইতিমধ্যে
- এছাড়াও
- সর্বদা
- আশ্চর্যজনক
- মর্দানী স্ত্রীলোক
- মার্কিন
- পরিমাণ
- an
- বিশ্লেষণ করা
- এবং
- অন্য
- কোন
- যে কেউ
- কিছু
- হাজির
- ফলিত
- প্রয়োগ করা
- নথিপত্র
- রয়েছি
- এলাকায়
- যুক্তি
- কাছাকাছি
- প্রবন্ধ
- কৃত্রিম
- কৃত্রিম বুদ্ধিমত্তা
- AS
- সাহায্য
- সহায়তা
- সহায়ক
- সমিতি
- অনুমানের
- At
- পাঠকবর্গ
- লেখক
- রচনা
- লেখক
- এড়াতে
- দূরে
- পিছনে
- ভিত্তি
- মৌলিক
- ভিত্তি
- BE
- বিয়ার
- কারণ
- পরিণত
- হয়েছে
- হচ্ছে
- বিশ্বাস করা
- বারট্রান্ড
- সর্বোত্তম
- উত্তম
- মধ্যে
- তার পরেও
- বিশাল
- স্বভাবসিদ্ধ
- বড়াই
- বক্স
- বিরতি
- ক্রমশ
- আনা
- কিন্তু
- by
- গণনার
- নামক
- কেমব্রি
- মাংস
- CAN
- কানাডা
- না পারেন
- পেশা
- কার্ল
- বহন
- শতাব্দী
- কিছু
- পরিবর্তন
- পরিবর্তিত
- পরিবর্তন
- বৈশিষ্ট্যযুক্ত
- চ্যাটজিপিটি
- চেক
- পছন্দ
- পছন্দ
- বেছে নিন
- মনোনীত
- বৃত্ত
- দাবি
- নির্মলতা
- পরিষ্কার
- পরিষ্কারভাবে
- সমন্বিত
- সংগ্রহ
- কলেজ
- আসা
- আরামপ্রদ
- সম্প্রদায়গুলি
- সম্প্রদায়
- নিচ্ছিদ্র
- কোম্পানি
- সম্পূর্ণ
- সম্পূর্ণরূপে
- জটিল
- কম্পিউটার
- কম্পিউটার
- ধারণা
- ধারণা
- অনুমান
- বিবেচনা
- বিবেচিত
- সঙ্গত
- গঠন করা
- প্রসঙ্গ
- অবিরত
- কন্টিনাম
- বিতর্কমূলক
- রূপান্তর
- শীতল
- কোণে
- ঠিক
- পারা
- পথ
- পাগল
- সৃষ্টি
- তৈরি করা হচ্ছে
- জীব
- সংস্কৃতি
- বর্তমান
- বিপদ
- উপাত্ত
- ডেভিড
- বিতর্ক
- কয়েক দশক ধরে
- সিদ্ধান্ত নেন
- সংজ্ঞা
- সংজ্ঞা
- ডিগ্রী
- প্রমান
- নির্ভর করে
- বর্ণনা করা
- পরিকল্পিত
- ডেস্ক
- উন্নত
- উন্নয়ন
- DID
- বিভিন্ন
- কঠিন
- আবিষ্কৃত
- আলোচনা করা
- আলোচনা
- আলোচনা
- বিভক্ত
- do
- না
- না
- করছেন
- সম্পন্ন
- Dont
- দরজা
- নিচে
- সময়
- প্রতি
- পূর্বে
- গোড়ার দিকে
- পৃথিবী
- সহজে
- সহজ
- পারেন
- আর
- অন্যত্র
- শেষ
- প্রচেষ্টা
- সমৃদ্ধ করা
- সমীকরণ
- যুগ
- ত্রুটি
- মূলত
- এমন কি
- অবশেষে
- সব
- গজান
- উদাহরণ
- উদাহরণ
- থাকা
- আশা করা
- পরীক্ষামূলক
- ব্যাখ্যা
- এক্সপ্লোরিং
- প্রকাশিত
- চরম
- ব্যর্থ
- ন্যায্য
- মিথ্যা
- পরিচিত
- বিখ্যাত
- দ্রুত
- মনে
- কয়েক
- চলচ্চিত্র
- আবিষ্কার
- প্রথম
- ফিট
- পাঁচ
- কেন্দ্রবিন্দু
- অনুসরণ করা
- জন্য
- দূরদর্শন করা
- চিরতরে
- পাওয়া
- থেকে
- ক্রিয়া
- মৌলিক
- তহবিল
- অধিকতর
- ভবিষ্যৎ
- লাভ করা
- খেলা
- গেম
- ফাঁক
- সাধারণত
- পাওয়া
- পেয়ে
- দাও
- প্রদত্ত
- Go
- Goes
- চালু
- ভাল
- মহান
- স্থল
- কৌশল
- ছিল
- ঘটা
- ঘটেছিলো
- কঠিন
- আছে
- he
- স্বাস্থ্য
- প্রচন্ডভাবে
- সাহায্য
- সহায়ক
- সাহায্য
- এখানে
- উচ্চ
- তার
- ইতিহাস
- আশা
- আশা রাখি,
- কিভাবে
- কিভাবে
- HTTPS দ্বারা
- মানবীয়
- মানুষেরা
- i
- আমি আছি
- ধারণা
- ধারনা
- if
- অবিলম্বে
- গুরুত্ব
- গুরুত্বপূর্ণ
- অসম্ভব
- in
- ঘটনা
- অন্তর্ভুক্ত করা
- শায়িত্ব
- স্বাধীনভাবে
- জ্ঞাপিত
- প্রাথমিকভাবে
- ইনপুট
- উদাহরণ
- পরিবর্তে
- বীমা
- বুদ্ধিমত্তা
- আগ্রহী
- মজাদার
- সাক্ষাত্কার
- মধ্যে
- উপস্থাপিত
- উদ্ভাবিত
- জড়িত
- সমস্যা
- IT
- এর
- জেনিফার
- কাজ
- মাত্র
- শুধু একটি
- চাবি
- জানা
- পরিচিত
- কার্ট
- ভাষা
- ভাষাসমূহ
- বড়
- মূলত
- গত
- পরে
- নেতৃত্ব
- বিশালাকার
- শিখতে
- জ্ঞানী
- শিক্ষা
- বাম
- পাঠ
- উচ্চতা
- মত
- পছন্দ
- সীমিত
- লাইন
- সাহিত্য
- যুক্তিবিদ্যা
- যৌক্তিক
- লণ্ডন
- দীর্ঘ
- অনেকক্ষণ
- দেখুন
- মত চেহারা
- তাকিয়ে
- অনেক
- পছন্দ
- মেশিন
- মেশিন লার্নিং
- মেশিন
- প্রণীত
- পত্রিকা
- জাদু
- প্রধান
- মুখ্য
- করা
- মেকিং
- অনেক
- মার্টিন
- মাস্টার্স
- গণিত
- গাণিতিক
- অংক
- ব্যাপার
- মে..
- হতে পারে
- me
- গড়
- অর্থ
- মানে
- মিডিয়া
- হতে পারে
- ভ্রান্ত ধারনা
- মডেল
- আধুনিক
- মাস
- অধিক
- পরন্তু
- সেতু
- অধিকাংশ ক্ষেত্রে
- মা
- সরানো হয়েছে
- চলচ্চিত্র
- অনেক
- অবশ্যই
- পারস্পরিক
- my
- প্রকৃতি
- প্রায়
- প্রয়োজন
- চাহিদা
- না
- নতুন
- নিউটন
- পরবর্তী
- না।
- নোট
- কিছু না
- ধারণা
- উপন্যাস
- এখন
- সংখ্যা
- সংখ্যার
- উদ্দেশ্য
- নিরপেক্ষভাবে
- বস্তু
- সুস্পষ্ট
- of
- বন্ধ
- প্রায়ই
- oh
- পুরাতন
- on
- একদা
- ONE
- কেবল
- খোলা
- or
- অন্যান্য
- অন্যরা
- আমাদের
- বাইরে
- বাহিরে
- outstrips
- শেষ
- নিজের
- পেজ
- কাগজ
- কাগজপত্র
- দৃষ্টান্ত
- বিশেষ
- বিশেষত
- যন্ত্রাংশ
- পিডিএফ
- সম্প্রদায়
- নির্ভুল
- সম্ভবত
- পরিপ্রেক্ষিত
- দৃষ্টিকোণ
- পিটার
- দর্শন
- পিএইচপি
- জায়গা
- পরিকল্পনা
- Plato
- প্লেটো ডেটা ইন্টেলিজেন্স
- প্লেটোডাটা
- খেলা
- অভিনীত
- নাটক
- বিন্দু
- জনপ্রিয়
- সম্ভব
- অনুশীলন
- চমত্কার
- প্রধান
- সম্ভবত
- সমস্যা
- সমস্যা
- প্রক্রিয়া
- উৎপাদন করা
- প্রোগ্রাম
- উন্নতি
- প্রকল্প
- প্রমাণ
- প্রমাণাদি
- প্রমাণ করা
- প্রতিপন্ন
- প্রকাশ করা
- প্রকাশিত
- ঠেলাঠেলি
- করা
- কোয়ান্টাম্যাগাজিন
- খোঁজা
- প্রশ্ন
- উদ্ধৃতি
- মূলত
- উত্থাপন
- কদাচিৎ
- পড়া
- পাঠক
- নিরূপক
- সত্যিই
- কারণে
- সম্প্রতি
- সংশ্লিষ্ট
- সম্পর্ক
- নির্ভর করা
- গবেষণা
- প্রত্যাবর্তন
- অধিকার
- কঠোর
- বলিষ্ঠতা
- ভূমিকা
- নিয়ম
- বলেছেন
- একই
- করাত
- বলা
- উক্তি
- বলেছেন
- স্কুল
- বিজ্ঞান
- বৈজ্ঞানিক
- বিজ্ঞানীরা
- আঁচড়ের দাগ
- সার্চ
- নিরাপদ
- দেখ
- সচেষ্ট
- মনে
- মনে হয়
- দেখা
- নির্বাচিত
- অনুভূতি
- ক্রম
- সেট
- উচিত
- লাজুক
- দৃষ্টিশক্তি
- অনুরূপ
- সহজ
- সহজ
- কেবল
- থেকে
- বোন
- বসা
- সংশয়বাদ
- দক্ষ
- So
- সামাজিক
- সমাজ
- কিছু
- কিছু
- কোথাও
- বাস্তববুদ্ধিসম্পন্ন
- স্থান
- ইন্টার্নশিপ
- মান
- শুরু
- শুরু
- শুরু হচ্ছে
- শুরু
- বিবৃতি
- বিবৃতি
- ধাপ
- প্রারম্ভিক ব্যবহারের নির্দেশাবলী
- এখনো
- সংগ্রাম
- সংগ্রাম
- চর্চিত
- বিষয়
- এমন
- নিশ্চিত
- পদ্ধতি
- সিস্টেম
- গ্রহণ করা
- ধরা
- গ্রহণ
- আলাপ
- স্বাদ
- প্রযুক্তি
- প্রযুক্তিঃ
- শর্তাবলী
- চেয়ে
- যে
- সার্জারির
- ভবিষ্যৎ
- তাদের
- তাহাদিগকে
- তারপর
- তত্ত্ব
- সেখানে।
- এইগুলো
- তারা
- জিনিস
- কিছু
- মনে
- ভাবুক
- চিন্তা
- এই
- সেগুলো
- যদিও?
- চিন্তা
- দ্বারা
- সর্বত্র
- সময়
- থেকে
- আজ
- আজকের
- একসঙ্গে
- অত্যধিক
- গ্রহণ
- টুল
- সরঞ্জাম
- দিকে
- ঐতিহ্যগত
- প্রশিক্ষণ
- চেষ্টা
- সত্য
- সত্য
- চেষ্টা
- টুরিং
- চালু
- দুই
- সাধারণত
- চূড়ান্ত
- বোঝা
- বোধশক্তি
- বোঝা
- Unicorn
- সার্বজনীন
- বিশ্ববিদ্যালয়
- কেমব্রিজ বিশ্ববিদ্যালয়
- অসম্ভাব্য
- us
- ব্যবহার
- ব্যবহৃত
- ব্যবহার
- দামি
- সুবিশাল
- প্রতিপাদন
- যাচাই
- যাচাই
- খুব
- প্রয়োজন
- চেয়েছিলেন
- চায়
- ছিল
- উপায়..
- উপায়
- we
- webp
- আমরা একটি
- গিয়েছিলাম
- ছিল
- কি
- কখন
- যে
- যখন
- হু
- কেন
- বন্য
- ইচ্ছা
- সঙ্গে
- শব্দ
- শব্দ
- হয়া যাই ?
- কাজ করছে
- কাজ
- কাজ
- মূল্য
- would
- লেখা
- লেখক
- লেখা
- ভুল
- লিখেছেন
- বছর
- বছর
- আপনি
- আপনার
- নিজেকে
- zephyrnet
- শূন্য
- ZETA